Übungsaufgaben diskrete Zufallsvariable - Wiwi Uni

Übungsaufgaben diskrete Zufallsvariable
1. Erklären Sie formal, in Worten und graphisch (letzteres am Beispiel einer stetigen und
diskreten Zufallsvariable), was die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable X aussagt.
2. Die Losgröße einer Produktion besteht aus n=100 Einheiten. Diese enthält k=10 defekte
Teile. In einer Stichprobe von 5 Teilen befanden sich m defekte Teile. Die
Zufallsvariable X bezeichnet die Anzahl der defekten Teile in Ihrer Stichprobe. Zeichnen
Sie den Verlauf der Verteilungsfunktion.
3. Die Zufallsvariable X bezeichne die Augenzahl beim gleichzeitigen Wurf von zwei
Würfeln.
3.1 Zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion.
3.2 Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion.
3.3. Zeigen Sie, an welchen Stellen die Verteilungsfunktion stetig ist. Erläutern Sie an
diesem Beispiel den Zusammenhang von Wahrscheinlichkeitsfunktion und
Verteilungsfunktion für diskrete Zufallsvariable.
4. Zeigen Sie, daß P((a, b])  F(b)  F(a) .
5. Nennen Sie drei englische Synonyme für den Begriff „Verteilungsfunktion“.
6. X ist eine diskrete Zufallsvariable mit P(X=0) = 0.25, P(X=1) = 0.125, P(X= 2) = 0.125
und P(X= 3) = 0.5. Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion und die
Wahrscheinlichkeitsfunktion.
7. Die folgende Tabelle zeigt die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariable.
Schreiben Sie daneben die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x).
x
0
1
2
3
4
5
F(x)
0
0,1
0,3
0,7
0,8
1
f(x)
8. Für eine stetige Zufallsvariable gilt P(X  x)  0 für x  R . Begründen und interpretieren
Sie dieses Ergebnis.
9. Leiten Sie, für n = 3, die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer binomialverteilten
Zufallsvariablen her. (Führen Sie alle relevanten Ergebnisse in einer Tabelle auf).
10. Ein Zufallsexperiment liefert das Resultat „Erfolg“ mit Wahrscheinlichkeit 0.4 oder „kein
Erfolg“ . Das Zufallsexperiment wird 8 mal wiederholt. Die interessierende
Zufallsvariable X ist die Anzahl der Erfolge. Zeichnen Sie Wahrscheinlichkeitsfunktion
und Verteilungsfunktion. Wie bezeichnet man die Zufallsvariable X?
11. In der Optionspreistheorie modelliert man manchmal den Kursverlauf einer Aktie in
einem Binomialbaum. Nehmen Sie an, der initiale Kurs einer Aktie ist 100 Euro. In n = 5
aufeinander folgenden Schritten kann der Kurs entweder um +1 Euro nach oben springen
oder – 1 Euro nach unten. Beides ist gleich wahrscheinlich (p=0.5). Die fünf aufeinander
folgenden Ereignisse (Kurssprünge) sind unabhängig.
12.1 Zeichnen Sie den Binomialbaum mit dem Kurs an jedem Knotenpunkt.
12.3 Schreiben Sie an das Ende des Binomialbaums den jeweiligen Kurs und die
dazugehörige Wahrscheinlichkeit. Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion für die
Zufallsvariable „Kurswert nach 5 Schritten“.
12. Zeigen Sie, daß für p  0 und n   und n  p   die Wahrscheinlichkeitsfunktion der
x
x  0,1, 2,... approximiert werden kann. Wie
x!
nennt man die resultierende Verteilung?
Binomialverteilung mit f (x)  e
13. In der empirischen Finanzmarktanalyse wird die Zahl der Handelsereignisse während der
ersten Stunde des Handelsprozesses mit Hilfe einer Poisson Verteilung mit  = 20
modelliert
13.1.
Begründen Sie, weshalb eine solche Approximation sinnvoll ist.
13.2.
Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion F(x) für x = 0, 1, 2, 3...10.
13.3.
Interpretieren Sie den Ausdruck F(10). Interpretieren Sie den Ausdruck 1F(10).