Klasse 9

Stochastik Sekundarstufe II
Zur Konzeption
Das Programm besteht aus zwei Teilen, die trotz gewisser innerer Bezüge unabhängig voneinander bearbeitet
werden können:
1. Beschreibende Statistik
2. Wahrscheinlichkeitsrechnung und beurteilende Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung und beurteilende Statistik müssen rein fachlich getrennt werden. Die
Wahrscheinlichkeitsrechnung geht von bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus. Demgegenüber
behandelt die Statistik die Frage, wie man durch Beobachtungen Aussagen über Wahrscheinlichkeiten gewinnt
und diese bis zu einem gewissen Grade sichert.
Unterrichtsmethodisch lassen sich Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik nicht trennen, denn
Wahrscheinlichkeitsverteilungen können nicht als a priori gegeben betrachtet werden. Sie werden in vielen
Fällen durch Beobachtungen gewonnen.
Das vorliegende Programm betrachtet jedoch die Verflechtung nicht als notwendiges methodisches Übel. Es
versucht vielmehr systematisch zu einer Verflechtung zu gelangen. So bietet es sich beispielsweise an, bereits
in die Behandlung der Binomialverteilung Hypothesentests zu integrieren.
Das vorliegende Programm ermöglicht nicht nur eine unabhängige Behandlung von beschreibender Statistik
und Wahrscheinlichkeitsrechnung, sondern ermöglicht darüber hinaus die Umsetzung unterschiedlicher
Kurzwege durch den Bereich. So ist es z.B. möglich, die Normalverteilungen (auch die Approximation der
Bernoulli-Verteilung durch die Normalverteilung) wegzulassen und trotzdem mittels Vielfachen der
Standardabweichung (intensiv) Hypothesentests durchzuführen.
Das Schwergewicht des vorliegenden Kurses liegt auf der Behandlung endlicher Wahrscheinlichkeitsräume.
Es finden allenfalls gelegentlich, etwa bei der Ungleichung von Tschebyschev, vorsichtige Ausfüge in nichtendliche, in diesem Falle diskrete Wahrscheinlichkeitsräume statt. Durch die Normalverteilung kommen auch
stetige Zufallsvariable ins Spiel, aber die Normalverteilung wird nur in ihrer Bedeutung als Approximierende
benutzt. Insbesondere treten keine maßtheoretischen Probleme auf, da bei stetigen Zufallsvariablen nur
Intervallwahrscheinlichkeiten bestimmt werden und nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung irgendeiner Algebra untersucht wird.
Die Behandlung endlicher Wahrscheinlichkeitsräume ermöglicht zwar prinzipiell einen mathematisch exakten
Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie, dieser ist jedoch aus methodischen Gründen zumindest teilweise, z.B.
bei der Behandlung mehrstufiger Zufallsversuche, schwerfällig. Das Programm liefert daher überwiegend dort
formale Beweise, wo sich diese methodisch anbieten. Eine in den ersten Grundzügen vollständige Theorie
(mehr ist an der Schule ohnehin nicht üblich/möglich) liefert der Anhang zu Kapitel 1. Er kann gegebenenfalls
zur Vertiefung herangezogen werden.
Eine weitere Vertiefung wird im Anhang von Kapitel 4 mit dem Beweis der Ungleichung von Tschebyschev
und dem daraus folgenden schwachen Gesetz für große Zahlen angeboten.
Kapitel 0: Beschreibende Statistik
1. Konzeptionelles
Die beschreibende Statistik ist so konzipiert worden, dass keine Voraussetzungen aus den übrigen Kapiteln
benötigt werden. Trotzdem war es sinnvoll, an der einen oder anderen Stelle, z.B. das n-Gesetz betreffend
1
(vgl. Abschnitt 0.1.3), informell Mitteilungen zu machen. Die Begriffe und Verfahren der beiden ersten
Abschnitte sind recht einfach und zumindest teilweise auch schon in der Sekundarstufe I Unterrichtsinhalt
gewesen.
Mit Blick auf die anspruchsvolleren Inhalte von Abschnitt 0.3 erscheint es nützlich, sich mit dem Umgang mit
dem Summenzeichen weitgehend vertraut zu machen.
2. Regression und Korrelation
Das Problem der Regressionsanalyse besteht unter anderem darin, zu einer Punktwolke im x-yKoordinatensystem eine „optimal angepasste“ lineare Funktion x  y = f(x) zu finden. Was „optimal“
bedeuten soll, wird auf Lernseite 0.3.1 durch zwei Postulate definiert. Letztlich müssen Schüler diese Setzung
wohl akzeptieren, da durchaus auch andere Postulate formuliert werden können, denen man Plausibilität nicht
absprechen kann.
Übung 1 verfolgt das Ziel, mit den Postulaten, die eine Regressionsgerade definieren, geometrisch vertraut zu
werden. Insbesondere macht die Übung deutlich, dass mit der Festlegung des Schwerpunktes als Graphenpunkt
nur noch die Steigung variiert werden kann. Die Übung zeigt unter Nutzung der beiden Pfeiltasten, wie sich mit
der Drehung der Geraden die y-Abweichungen und damit auch die Summe von deren Quadraten ändert. Es
wird dadurch klar, dass eine Minimierung möglich ist.
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Abschnitt 0.3 Übung 1
Abschnitt 0.3 Übung 2
Die rechnerische Umsetzung liegt damit auf der Hand. Um mit dem Vorgehen ohne allzu großen
Rechenaufwand vertraut zu werden, werden in Übung 2, Abschnitt 0.3.2 zunächst Regressionsgeraden zu drei
Punkten bestimmt. Die Übertragung auf den allgemeinen Fall wird dann auf Lernseite 0.33 dargestellt.
Übung 3 dient der Berechnung von Regressionsgeraden zu beliebigen Punktwolken. Es können insbesondere
selbst gewählte Punkte eingegeben werden. Da die numerischen Rechnungen bei zahlenmäßig großen
Punktwolken aufwendig sind, können die Werte von Varianz der x-Werte und Kovarianz der Wertepaare auch
abgerufen werden. Dies liefert sofort die Steigung der Regressionsgeraden. Darüber hinaus kann man sich die
Regressiongerade darstellen lassen.
2
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Abschnitt 0.3 Übung 3
Abschnitt 0.3 Übung 6
Die bisherige Theorie bedeutete durch die Betrachtung der y-Differenzen eine ungleiche Behandlung der
Variablen x und y. Dies ist vor allem dann problematisch, wenn eigentlich keine der beiden Variablen vor der
anderen ausgezeichnet ist.
Konkret bedeutet die Ungleichbehandlung der beiden Variablen, dass ein Rollentausch zu einer anderen
Geraden führt. In gewisser Hinsicht ist der Korrelationskoeffizient rxy ein Maß dafür, wie groß die
Abweichung ist. Genaueres hierzu findet sich auf Lernseite 0.3.5. Die zugehörige Übung 6 ermöglicht
wiederum die freie Eingabe einer Punktwolke. Die Koordinatendarstellungen der Regressionsgeraden bezüglich
der beiden Achsen können abgerufen werden. Gleiches gilt für den Korrelationskoeffizienten r xy. Dies
ermöglicht einfaches Experimentieren mit unterschiedlich strukturierten Punktwolken. Es können dadurch
wichtige Erfahrungen gesammelt werden und es kann eine anschauliche Absicherung der Vorstellung von
Korrelationskoeffizienten erreicht werden.
Kapitel
1:
Grundlagen
Wahrscheinlichkeitsrechnung
und
einfache
Probleme
der
Das Programm macht keine Vorkenntnisse aus der Sekundarstufe II zur Voraussetzung. Um mit einer der
Sekundarstufe II angemessenen Problemstellung zu beginnen, bietet Abschnitt 1.1.1 sogleich zwei Übungen
an, die auf den Begriff und das Verständnis des Erwartungswertes abzielen. Die Simulationen der
Zufallsversuche mit der Kontrollmöglichkeit der „Erwartungswerte“ sollen eine adäquate
Wahrscheinlichkeitsvorstellung integrativ vermitteln. Die Definition unverzichtbarer Grundbegriffe zur
Beschreibung einfacher Zufallsversuche wird dann in Übung 3 von Abschnitt 1.1.2 nachgetragen.
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Abschnitt 1.1 Übung 3
3
Was unter adäquater Wahrscheinlichkeitsvorstellung zu verstehen ist, geht aus den Übungen 1 und 2 in
Abschnitt 1.2 hervor. Im Sinne einer präzisen Fassung wird dabei ein informeller Vorgriff auf Kenntnisse
gemacht, die erst später systematisiert werden, aber doch schon in der Simulation zu Übung 1 bestätigt werden.
Die Übungen 1 und 2 thematisieren darüber hinaus die beiden wichtigen Verfahren, nach denen man in der
Praxis zu Wahrscheinlichkeitsaussagen gelangt: durch Symmetrieüberlegungen oder durch Statistik.
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Abschnitt 1.2 Übung 1
Abschnitt 1.2 Übung 2
Das angemessene Hilfsmittel zur Bearbeitung mehrstufiger Zufallsversuche bilden die Pfadregeln, deren
Begründung aus den Lerntexten und Übungen von Abschnitt 1.4 hervorgeht. Obwohl hier indirekt bereits
bedingte Wahrscheinlichkeiten auftreten, erfolgt die eigentliche begriffliche Fassung in Abschnitt 1.5.
Interessante Aufgaben nicht sehr hohen Anspruchs ergeben sich zu dem Begriff der totalen Wahrscheinlichkeit
(Abschnitt 1.5.2, Übung 2 ) und vor allem aus dem Satz von Bayes (Abschnitt 1.5.3, Übungen 3 und 4). Der
für den weiteren Aufbau unverzichtbare Begriff der stochastischen Unabhängigkeit von Ereignissen wird
schließlich in Abschnitt 1.5.4 eingeführt und in der zugehörigen Übung 5 gesichert.
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Abschnitt 1.5 Übung 2
Abschnitt 1.5 Übung 3
4
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Abschnitt 1.5 Übung 4
Abschnitt 1.5 Übung 5
Kapitel 2: Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
und
ihre
Anwendung
in
der
Der Aufbau dieses Kapitels ist relativ kanonisch:
Nach einer Begründung der Produktregel der Kombinatorik (Abschnitt 2.1.1, Übung 1) werden die wichtigsten
kombinatorischen Grundprozesse in zwei alternativen Urnenmodellen behandelt.
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Abschnitt 2.1 Übung 3
Kapitel 3: Zufallsvariable, Varianzen und Standardabweichungen
1. Zufallsvariable und Erwartungswerte
Zufallsvariable sind weder zufällig noch variabel, sondern per definitionem Funktionen von der
Ergebnismenge in die reellen Zahlen. Die Bezeichnungsweise für Zufallsvariable ist für Schüler etwas
ungewohnt. Während in den übrigen Bereichen der Mathematik Funktionen zumeist mit kleinen Buchstaben
bezeichnet werden, werden für Zufallsvariable in der Regel Großbuchstaben verwandt. Solange sich mit den
Zufallsvariablen kein konkreter Kontext verbindet, werden außerdem häufig die Buchstaben am Schluss des
Alphabets benutzt: X, Y, Z.
Ungewohnt ist auch die Bezeichnung von Ereignissen, d.h. Teilmengen der Ergebnismenge eines
Zufallsversuchs mithilfe von Zufallsvariablen: Ist X eine Zufallsvariable, so bezeichnet X = 3 die Menge der
Ergebnisse (Elemente der Ergebnismenge S), denen die Zufallsvariable den Wert 3 zuordnet (X=3 ist also die
Urbildmenge von 3). Daher haben auch Schreibweisen wie P(X=3) = 0.5 einen Sinn und sind nach einer
5
gewissen Eingewöhnung sehr suggestiv: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X in dem zugrunde
liegenden Zufallsversuch den Wert 3 annimmt, ist 0.5.
Anstelle des Begriffs Zufallsvariable wird auch der Begriff Zufallsgröße benutzt, der allerdings auch nicht sehr
treffend ist. Zufallsfunktion wäre vielleicht eine angemessenere Bezeichnung, die sich jedoch offenbar nicht
durchgesetzt hat.
Nachdem in Übung 1 eine gewisse Vertrautheit im Umgang mit Zufallsvariablen gesichert wird, wird in
Übung 2 vor der Definition in mehreren konkreten Kontexten eine adäquate Vorstellung vom Begriff
„Erwartungswert einer Zufallsvariablen“ erarbeitet.
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Abschnitt 3.1 Übung 1
Abschnitt 3.1 Übung 2
Der Erwartungswert selbst wird (für endliche Ergebnismengen) in Abschnitt 3.1.2 durch Summation über die
Elemente der Ergebnismenge definiert. Diese Definition ist zweckmäßig für den Nachweis der Linearität des
Erwartungswertes, die in Übung 3 thematisiert wird. Die Linearität ist vor allem in Kapitel 4 bei der
Behandlung vielstufiger Zufallsversuche mit gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf jeder Stufe wichtig.
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Abschnitt 3.1 Übung 3
Abschnitt 3.1 Übung 4
Häufig treten in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsversuche mit nur wenigen Funktionswerten einer
Zufallsvariablen X auf. In diesen Fällen ist eine äquivalente Definition des Erwartungswertes angemessen, in
der nur über die Produkte a k · P(X = a k) summiert wird, wobei die a k die Wertemenge von X bilden. Die neue
Darstellung wird in Übung 4, Abschnitt 3.1.3 gesichert. Interessant und lehrreich, allerdings auch nicht ganz
einfach ist in dieser Übung die Aufgabe mit der Bestimmung der zu erwartenden Untersuchungen im Falle
einer 10%-igen Erkrankungswahrscheinlichkeit. Beachten Sie bei Abruf der Hilfe die Modellbildung mit den
Glücksrädern. Die Bestimmung von E(X) aus E(Y) folgt unter Ausnutzung der Linearität.
2. Varianz und Standardabweichung
6
Warum in der Definition der Varianz gerade die Abstandsquadrate gewählt werden, kann a priori nur
beschränkt einsichtig gemacht werden. Tatsächlich wird ja auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie mit
Momenten unterschiedlicher Ordnung gearbeitet. Die Ausführungen auf der Lernseite 3.2.1 können somit nur
einen Ansatz darstellen, die Definition plausibel zu machen. Formal rechtfertigt sich die Definition a posteriori
durch die nützliche Beziehung zwischen Erwartungswert und Varianz, die in Abschnitt 3.2.3 thematisiert
und in der zugehörigen Übung gesichert wird. Diese Beziehung wird insbesondere an späterer Stelle zur
Bestimmung der Varianz der kanonischen Zufallsvariablen der Binomialverteilung ausgenutzt. Dabei wird auch
von der Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Gebrauch gemacht.
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen sichert nämlich die beweistechnisch häufig wichtige Linearität der
Varianz bzgl. der Addition von Zufallsvariablen (Übung 5, Abschnitt 3.2.4). Bei der Unabhängigkeit von
Zufallsvariablen ist neben der formalen Definition ein inhaltliches Verstehen in folgendem Sinne
entscheidend:
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Abschnitt 3.2 Übung 4
Abschnitt 3.2 Übung 5
Wenn zwei Zufallsvariablen unabhängig voneinander sind, so nützt die Kenntnis eines Funktionswertes einer
der beiden nichts zur Prognosewahrscheinlickeit der Funktionswerte der anderen. Diese Einsicht soll durch die
in Übung 4 vorgesehenen Simulationen gestützt werden.
Beachten Sie in Übung 4: Es kann durchaus der Fall eintreten, dass für spezielle Werte a, b die Gleichung
P(X=a Y=b) = P(X=a)·P(Y=b) gilt und trotzdem X und Y voneinander abhängig sind. Erst das Überprüfen
aller Wertepaare liefert eine formal sichere Entscheidung. Man kann die Frage nach der Unabhängigkeit auch
dadurch entscheiden, dass man überlegt, ob sich aus der Kenntnis eines Funktionswertes ein Nutzen für die
Prognose des anderen ergeben kann.
3. Beweistechnische Nutzung der Linearität von Erwartungswert und
Additivität der Varianz
Die Berechnung von Erwartungswerten mehrstufiger Zufallsversuche ist oft aufwendig und trickreich. Ein
wichtiges Beweisverfahren nutzt dabei die Linearität des Erwartungswertes: Man stellt die Zufallsvariable,
deren Erwartungswert bestimmt werden soll, als Summe einfacher Zufallsvariablen dar, deren Erwartungswerte
sich leicht angeben lassen. In Übung 5, Abschnitt 3.1.4 wird auf diese Weise bereits in einem Vorgriff auf
Kapitel 4 der Erwartungswert der kanonischen Zufallsvariablen der Binomialverteilung bestimmt.
Entsprechend wird in Übung 7, Abschnitt 3.1.5 mit der hypergeometrischen Verteilung verfahren.
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Abschnitt 3.1 Übung 5
Abschnitt 3.1 Übung 7
Mit dem entsprechenden Trick lassen sich oft Varianzen mehrstufiger Zufallsversuche bestimmen. Ein
überzeugendes Beispiel ist Übung 6, Abschnitt 3.2.5, welches wiederum einen Vorgriff auf die Behandlung
der Binomialverteilung darstellt. Lehrreich und zugleich überraschend dürften auch die Übungen 7, 8 und 9
von Abschnitt 3.2 im Rahmen dieser Thematik sein.
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Abschnitt 3.2 Übung 6
Abschnitt 3.2 Übung 7
Abschnitt 3.2 Übung 8
Abschnitt 3.2 Übung 9
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Kapitel 4: Binomialverteilung, Normalverteilung und beurteilende
Statistik
1. Konzeptionelles
8
Es wurde bereits erwähnt, dass sich mithilfe der Binomialverteilung bereits recht sinnvoll beurteilende Statistik
treiben lässt. Mehr noch: Man kann die Bedeutung der Normalverteilung durchaus in Frage stellen, wenn sie
nur zur Approximation der Binomialverteilung ausgenutzt wird. Die Näherungsrechnungen gemäß MoivreLaplace werden von den heute verfügbaren Rechnern auch für sehr hohe Stufenzahlen außerordentlich schnell
erledigt (vgl. das beigefügte Programm „Stochastischer Taschenrechner“). Anders stellt sich allerdings die
Bedeutung dar, wenn der zentrale Grenzwertsatz ins Spiel kommt, welcher die Bedeutung der
Normalverteilung in vielen Anwendungen erst einsichtig macht.
2. n-stufige Bernoulli-Versuche
Abschnitt 4.4.1 führt n-stufige Bernoulli-Versuche und in diesem Zusammenhang die kanonische
Zufallsvariable X ein, welche die Erfolge zählt. Die Herleitung einer Berechnungsvorschrift für P(X = k) ist
wegen der inzwischen verfügbaren kombinatorischen Kenntnisse nicht sehr schwierig. Sie wurde auch in einem
naheliegenden Vorgriff bereits in Übung 2, Abschnitt 2.3.3 erarbeitet.
Während Übung 1 die Berechnung konkreter Wahrscheinlichkeiten verlangt, wird in Übung 2 die BernoulliVerteilung auf 2 Weisen dargestellt. In der Übung sind Erfolgswahrscheinlichkeit p und Anzahl der Stufen n
veränderlich. Wichtig für das Weitere ist vor allem die Beobachtung, dass das Stabdiagramm bzw. Histogramm
auch für deutlich von 0.5 verschiedene Erfolgswahrscheinlichkeiten mit wachsendem n „immer symmetrischer“
wird.
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Abschnitt 4.4 Übung 1
Abschnitt 4.4 Übung 2
Die beiden Übungen zu Abschnitt 4.1.2 sind entsprechend den Übungen zu Abschnitt 4.1.1 konzipiert, nur
dass jetzt die kumulative Verteilung behandelt wird.
Ein problemorientierter Unterricht kann auch mit Übung 3 beginnend deutlich machen, dass die dort
formulierten Aufgaben gelöst sind, wenn Aufgaben der Art von Übung 1 gelöst sind.
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Abschnitt 4.1 Übung 1
Abschnitt 4.1 Übung 3
Die Kenntnis der kumulativen Verteilungsfunktion zu n-stufigen Bernoulli-Versuchen legt einen ersten Einstieg
in Fragen der beurteilenden Statistik nahe. Entsprechend verfährt Übung 5 in Abschnitt 4.1.3.
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Abschnitt 4.1 Übung 5
Erwartungswert und Varianz der kanonischen Zufallsvariablen X eines n-stufigen Bernoulli-Versuchs werden
in den Abschnitten 4.2.1 und 4.2.2 berechnet. Die Berechnung erfolgt dadurch, dass die kanonische
Zufallsvariable durch eine Summe sehr einfacher nur von einer Stufe abhängiger Zufallsvariabler dargestellt
wird. Es gibt für die Vorschriften E(X) = n · p und V(X) = n · p · (1-p) auch Ad-hoc-Beweise, diese sind jedoch
etwas schwer durchschaubar. Ein weiterer Vorteil des hier gewählten Vorgehens ist die
Anwendbarkeit/Übertragbarkeit auf andere Situationen. Im vorliegenden Programm wird dies z.B. im
Zusammenhang mit dem zentralen Grenzwertsatz (Abschnitt 4.5.3) genutzt.
Die Herleitung einer Berechnungsvorschrift für die Varianz kann auch in einer Übung (Übung 5,
Abschnitt 3.2.6) erfolgen.
Die „ungefähre Symmetrie“ der Histogramme zu n-stufigen Bernoulli-Versuchen mit großem n legt die
Untersuchung der Wahrscheinlichkeiten symmetrischer Umgebungen um den Erwartungswert E(X) der
kanonischen Zufallsvariablen nahe. Die wichtigsten diesbezüglichen Zusammenhänge werden in Abschnitt
4.3.1, Übung 1, erarbeitet und veranschaulicht. Die Aussagen sind Erfahrungsaussagen, die auf der
Untersuchung vieler Histogramme beruhen.
Da sich viele Aufgaben zu n-stufigen Bernoulli-Versuchen recht gut mithilfe der kumulativen
Verteilungsfunktion K(n; p; k), die auch auf dem stochastischen Taschenrechner verfügbar ist, lösen lassen,
stellt sich die Frage nach der Motivation der (integralen) Approximation durch die Normalverteilung
(integrale Approximation nach Moivre-Laplace). Diese ist durch die Bearbeitung von Aufgaben mit extrem
hoher Stufenzahl möglich. Solche Aufgaben finden sich in Abschnitt 4.4.3, Übung 4. Ein Beispiel ist in
10
dieser Übung Teilaufgabe 6, wobei es ein Leichtes ist, die Stufenzahl durch Variation der Aufgabe weiter zu
erhöhen.
Die Aussagen selbst ermöglichen eine recht effektive und weitgehende Behandlung von Fragen der
beurteilenden Statistik: Hypothesentests (einseitig oder zweiseitig); Anzahlschätzungen. Dies geschieht
zunächst in den Abschnitten 4.3.2, 4.3.3 und 4.3.4 mit den zugehörigen Übungen.
Bemerkung zu den Signifikanzniveaus:
In zweiseitigen Hypothesentests wird oft nicht mit -, 2- und 3-Umgebungen um den Erwartungswert mit
den Signifikanzniveaus 32%, 4.5% und 0.5% gearbeitet, sondern mit den Signifikanzniveaus 10%, 5% und 1%.
Entsprechendes gilt für einseitige Tests. Dazu müssen Zahlenwerte c bestimmt werden, so dass sich durch c·
die gewünschten Niveaus ergeben.
Wenn man es als Lehrer vermeiden will, hier nicht einfach eine Vorgabe (z.B. c=1.96 für das Niveau 5% beim
zweiseitigen Hypothesentest) zu machen, ist es aus unterrichtsmethodischen Gründen sinnvoll, zunächst
(evtl. auch kürzer als in dem vorgegebenen Programm) mit den naheliegenden -, 2- und 3-Umgebungen zu
arbeiten und hinterher zu -Umgebungen mit den Signifikanzniveaus 10%, 5% und 1% überzugehen. Auf
diese Möglichkeit sind die Übungen 5 in Abschnitt 4.3.5 sowie 6 und 7 in Abschnitt 4.3.6 abgestimmt.
Übung 5 liefert eine experimentelle Methode, wie man zu den erforderlichen Bereichen um den
Erwartungswert gelangt. In den Übungen 6 und 7 kann schließlich für zweiseitige bzw. einseitige
Hypothesentests das Signifikanzniveau nach Belieben gewählt werden.
Übung 8 in Abschnitt 4.3.7 behandelt die Frage nach dem erforderlichen Stichprobenumfang, wenn
Wahrscheinlichkeitsaussagen mit einer vorgegebenen Sicherheit höchstens um einen ebenfalls vorgegebenen
Prozentsatz falsch sein dürfen. Die genaue Formulierung unter Verwendung beider Unsicherheitenist hier
wichtig: Man kann eine vorgegebene maximale Unschärfe in der Wahrscheinlichkeit nur mit einer gewissen
Wahrscheinlichkeit erreichen. Standardformulierungen bringen hier die Gefahr mit sich, dass die gewonnenen
Aussagen inhaltlich nicht voll verstanden sind. Eine gewisse Variabilität in den Formulierungen kann daher der
Verständnissicherung dienen.
Ein wichtiger Begriff der beurteilenden Statistik ist der Begriff des Konfidenzintervalls. Seine Erarbeitung
kann in enger Anlehnung an Hypothesentest erfolgen, wie in Übung 9 von Abschnitt 4.3.8 verdeutlicht
wird. Das Berechnungsverfahren findet sich in Übung 10 von Abschnitt 4.3.8.
Eine Interessante Anwendung der Kenntnisse über Sigma -Umgebungen liefert der radioaktive Zerfall. Für die
Bestimmung von Zählraten verwendet die Physik die sogenannte n-Regel, welche in den Übungen 11 und 12
zu Abschnitt 4.3.9 erarbeitet und in einer Simulation angewandt wird. Übung 13 in Abschnitt 4.3.10
behandelt unter dem Aspekt der n - Regel die Altersbestimmung nach der C14-Methode
(Radiocarbonmethode).
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Abschnitt 4.3 Übung 8
Abschnitt 4.3 Übung 9
11
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Abschnitt 4.3 Übung 10
Die Histogramme sämtlicher Bernoulli-Verteilungen besitzen ein „glockenförmiges“ Aussehen. Das legt es
nahe, nach einer Klasse von Funktionen zu suchen, die eine gute Approximation gestatten. Der Weg zur
genäherten Darstellung wird in den Abschnitten 4.4.1 – 4.4.4 zusammen mit den Übungen ausführlich
dargestellt. Auf einen Beweis der Näherungen von Moivre-Laplace wird üblichen Schulbuchdarstellungen
entsprechend verzichtet. Die Annäherung wird somit als Erfahrungssatz gewonnen. Durch die spezifischen und
variablen Darstellungsmöglichkeiten des Computers wird dies in besonderer Weise transparent.
Die Näherungsformeln von Moivre –Laplace stellen einen ersten Schritt in Richtung der Behandlung von
Normalverteilungen dar.
Wodurch erhalten Normalverteilungen ihre besondere Bedeutung? Warum kann man mit einem gewissen Recht
bei vielen Prozessen, in denen Schwankungen auftreten, eine Normalverteilung zugrunde legen?
Der tiefere Grund ist der zentrale Grenzwertsatz, welcher in Abschnitt 4.5.3 erarbeitet wird. „Erarbeitet
werden“ kann natürlich in der Schule nicht „beweisen“ bedeuten. Der zentrale Grenzwertsatz wird den
Darstellungsmöglichkeiten des Computers entsprechend durch in vieler Hinsicht sehr variabel gestaltete
Simulationen in den Übungen 3 und 4 von Abschnitt 4.5.3 gewonnen.
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Abschnitt 4.5 Übung 3
Abschnitt 4.5 Übung 4
Die Normalverteilung in Abschnitt 4.5 macht eine Übertragung der Begriffe Erwartungswert und Varianz auf
stetig verteilte Zufallsvariablen erforderlich. Die Normalverteilung selbst wird zusammen mit Anwendungen
nach dem zentralen Grenzwertsatz behandelt.
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