Einführung in die analytische Geometrie

Einführung in die analytische Geometrie
Von Florian Modler
Einführung in die
analytische Geometrie
Liebe Matheplanetler,
die analytische Geometrie ist neben der Analysis und der Stochastik einer der drei
Abiturthemen (zumindest in den Jahren 2006 und 2007).
Darum ist es umso wichtiger, dass man sich in diesem Thema sehr gut auskennt. Da die
analytische Geometrie für den einen oder anderen vielleicht etwas komplett Neues ist, fangen
wir mit der Einführung langsam an und haben diese auch besonders ausführlich gestaltet.
Inhalt
1 Was ist analytische Geometrie
2 Der Vektor
2.1 Erfassen von Vektoren durch Zahlen
2.2 Die Länge eines Vektors
3 Addition und Subtraktion von Vektoren
3.1 Addieren von Vektoren
3.1.1 Die Gesetze der Vektoraddition
3.2 Subtrahieren von Vektoren
4 Die S-Multiplikation
4.1 Die Skalar – Multiplikation
4.2 Die Gesetze der S-Multiplikation
5 Der Begriff der linearen Abhängigkeit
5.1 Linearkombinationen von Vektoren
6 Abschluss
1 Was ist analytische Geometrie
Wie der Name schon verrät hat „analytische Geometrie“ etwas mit Geometrie zu tun. Es
werden also arithmetische Objekte mit geometrischen Objekten verknüpft und umgekehrt.
Oder anders ausgedrückt: Die analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie, das
algebraische Hilfsmittel (vor allem aus der linearen Algebra) zur Lösung geometrischer
Probleme bereitstellt. Sie ermöglicht es in vielen Fällen, geometrische Aufgabenstellungen
rein rechnerisch zu lösen, ohne die Anschauung zu Hilfe zu nehmen.
2 Der Vektor
In der analytischen Geometrie ist der Begriff des „Vektors“ von entscheidender Bedeutung.
Aber was versteht man unter einem Vektor? Wir wollen dies nicht allzu kompliziert gestalten
und uns auf die Definition, die man eigentlich in fast jeder normalen Schule lernt
beschränken.
Einen Vektor kann man sich vereinfacht und anschaulich als einen Pfeil darstellen und
vorstellen.
a
Abb. 1 Vektoreinführung
Betrachten wir nun zwei Pfeile:
a
a
Wir stellen fest, dass die Pfeile gleich lang, parallel
und gleich orientiert sind.
Man sagt: Die Pfeile sind Vertreter oder Repräsentanten
des Vektors a . Die Vektoren sind vektorgleich.
Abb. 2 Vektorgleiche Pfeile
Dies definiert man:
Definition:
Unter einem Vektor versteht man die Menge aller zu einem Pfeil vektorgleichen Pfeile.
Zwei Pfeile heißen vektorgleich genau dann, wenn sie gleich lang, parallel und gleich
orientiert sind.
Allgemeine Bezeichnungen:
AB : Pfeile werden durch ihre Endpunkte bezeichnet (siehe Abbildung 3)
B
BA
B
A
AB
A
Abb. 3 Unterschied zwischen Vektor und Pfeil
a : Vektoren werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet
2.1 Erfassen von Vektoren durch Zahlen
Ziel dieses Abschnittes ist es, dass wir Vektoren durch Zahlen bzw. durch eine so genannte
Koordinatendarstellung in Form einer Matrix darstellen können.
Dazu betrachten wir nun diese beiden Vektoren in einem Koordinatensystem.
Abb. 4 Verdeutlichung des Erfassens von Vektoren durch Zahlen
Zu Vektor a1 :
Wir haben die Punkte A(0; 0) und B(3; 2).
Um den Vektor durch Zahlen zu erfassen, müssen wir folgende Rechnung durchführen:
3 0  3
a1  
 
 2  0  2
Zu Vektor a2 :
Wir verwenden die Punkte C(2; 3) und D(5; 5):
5  2 3 
a2  
 
5  3   2
Wir stellen zusätzlich noch fest, dass diese Vektoren wahrscheinlich vektorgleich sind. Zu
100% können wir es an dieser Stelle noch nicht sagen, da wir noch keine Länge eines Vektors
berechnen können, aber da die Koordinatenschreibweise übereinstimmt, sollten die Vektoren
die gleiche Länge besitzen.
Wir halten fest:
Satz:
1) Sind P(p1; p2) und Q(q1; q2) zwei Punkte der Ebene und ist der Pfeil PQ ein Vertreter des
Vektors a , so gilt:
q  p  a 
a 1 1  1 
 q2  p2   a2 
2) Sind P(p1; p2; p3) und Q(q1; q2; q3) zwei Punkte des Raumes und ist der Pfeil PQ ein
Vertreter des Vektors a , so gilt:
 q1  p1   a1 

  
a   q2  p2    a2 
q  p  a 
3 
 3
 3
2.2 Die Länge eines Vektors
Schauen wir uns folgenden Vektor im Koordinatensystem an:
x2
A
a2
a
0
x1
a1
Abb. 5 Länge eines Vektors
Wie wir sehr schön an der Abbildung 5 sehen, können wir nun den Satz des Pythagoras
anwenden, um die Länge des Vektors zu bestimmen.
| a | ²  a1 ²  a2 ²
| a | a1 ²  a2 ²
3
Beispiel: Für a    gilt: | a | 3²  4²  25  5 .
 4
Uns interessieren in diesem Fall nur die positiven Ergebnisse, da eine Länge immer nur
positive Werte annehmen kann bzw. eine Länge im gewissen Sinne auch nur als positive Zahl
dargestellt wird.
Für räumliche Vektoren gilt entsprechend:
| a | ²  a1 ²  a2 ²  a3 ²
| a | a1 ²  a2 ²  a3 ²
Satz:
Für den Betrag ebener und räumlicher Vektoren gilt
| a | a1 ²  a2 ² bzw. | a | a1 ²  a2 ²  a3 ² .
Das heißt unter dem Betrag eines Vektors ( | a | ) verstehen wir die Maßzahl der Länge seiner
Repräsentanten
Beachte, dass | a | eine Zahl, nicht etwa eine Größe ist, die sich aus Maßzahl und Maßeinheit
zusammensetzt.
3 Die Addition und Subtraktion von Vektoren
Nun liegt die Vermutung nahe, dass man mit Vektoren auch „rechnen“ kann. Aber wie kann
man nun Vektoren addieren uns subtrahieren? Diese Fragen wollen wir nun in diesem
Abschnitt nach gehen.
3.1 Addieren von Vektoren
Aus der Physik kennen wir schon ein so genanntes Kräfteparallelogramm. Hier greifen zwei
Kräfte an einem Punkt an. Durch das Zeichnen eines Kräfteparallelogramms konnte man die
resultierende Kraft bestimmen. Es war die Diagonale des Parallelogramms.
Dies können wir auf die Vektoren übertragen. Denn wir haben am Anfang gelernt, dass man
sich Vektoren erstmal wie Pfeile vorstellen kann.
Abb. 6 Die Addition von Vektoren
Abbildung 6 zeigt nun die Addition von Vektoren. Um in der Physiksprache zu bleiben: Die
resultierende Kraft stellt also die Summe der beiden angreifenden Kräfte dar.
Es gilt somit: c  a  b  b  a
Definition:
Zwei Vektoren a und b werden addiert, indem man je einen Repräsentanten von a und b so
an einander legt, dass der Anfang des zweiten Pfeils mit der Spitze des ersten Pfeils
übereinstimmt. Ein Repräsentant des Summenvektors c  a  b reicht dann vom Anfang des
ersten Pfeils bis zur Spitze des zweiten Pfeils.
Beispiel:
 2
 3
a   ;b   
3
1 
 2   3  2  3  5 
c  ab      
 
 3  1   3  1   4 
Satz:
Zwei in Koordinatendarstellung gegebene Vektoren werden addiert, indem man ihre
entsprechenden Koordinaten addiert.
 a1   b1   a1  b1 
    

a  b   a2    b2    a2  b2 
 a  b   a  b 
 3  3  3 3
Wir können die Allgemeingültigkeit dieser Gleichungen aus der Pfeildarstellung der
Vektoraddition herleiten, wenn wir die drei Vektoren durch die Koordinatendifferenzen der
drei Punkte P(p1;p2;p3); Q(q1;q2;q3) und R(r1;r2;r3) darstellen:
 a1   q1  p1 
 b1   r1  q1 
 c1   r1  p1 
  

  

  

a   a2    q2  p2  ; b   b2    r2  q2  ; c   c2    r2  p2 
a  q  p 
b   r  q 
c  r  p 
3 
3 
 3  3
 3  3 3
 3  3
Wenn man die Koordinaten von a und b addiert, erhält man in der Tat die Koordinaten von
c , denn es gilt:
a1  b1  (q1  p1 )  (r1  q1 )  r1  p1  c1
a2  b2  (q2  p2 )  (r2  q2 )  r2  p2  c2
a3  b3  (q3  p3 )  (r3  q3 )  r3  p3  c3
3.1.1 Die Gesetze der Vektoraddition:
Abbildung 6 lässt vermuten, dass auch in der Vektorrechnung das Kommutativgesetz gilt. Wir
wollen nun die uns aus der Menge der reellen Zahlen bekannten Gesetze nachweisen und
somit Gesetze der Vektoraddition kennen lernen.
1. Kommutativgesetz:
Satz: (Kommutativgesetz)
Für alle Vektoren a, b V gilt: a  b  b  a .
Beweis:
 a1   b1   a1  b1   b1  a1   b1   a1 
    
 
    
a  b   a2    b2    a2  b2    b2  a2    b2    a2   b  a
a  b   a  b  b  a  b   a 
 3  3  3 3  3 3  3  3
Der entscheidende Beweisschritt besteht in der Anwendung des Kommutativgesetzes für die
Addition reeller Zahlen in den einzelnen Koordinaten des Summenvektors.
Wir müssen uns immer wieder vor Augen führen, dass es keine Selbstverständlichkeit ist,
dass wir mit Vektoren genauso rechnen können, wie mit den reellen Zahlen. Aber wir können
die uns in den reellen Zahlen bekannten Gesetze zum Beweis anwenden.
2. Assoziativgesetz:
Satz: (Assoziativgesetz)
Für alle Vektoren a, b, c V gilt: (a  b)  c  a  (b  c) .
Beweis:
 a1   b1   c1   a1  b1   c1   b1  a1  c1 
      
   

(a  b)  c  [ a2    b2 ]   c2    a2  b2    c2    b2  a2  c2 
a  b  c  a  b  c  b  a  c 
 3  3  3  3 3  3  3 3 3 
 a1   b1  c1 
  

  a2   [ b2  c2 ]  a  (b  c)
a  b  c 
 3  3 3
Auch hier ist der entscheidende Beweisschritt in der Anwendung des Kommutativgesetzes für
reelle Zahlen.
Um das Neutralitätsgesetz anwenden und beweisen zu können, müssen wir das neutrale
Element und den Nullvektor definieren.
Aus der arithmetischen Definition der Vektoraddition ergibt sich unmittelbar, dass ein
neutrales Element für die Vektoraddition an allen Stellen die Koordinate 0 haben muss. Es gilt
nämlich:
 a1   0   a1  0   a1 
    
  
 a2    0    a2  0    a2 
 a  0  a  0   a 
 3    3
  3
Definition:
Unter dem Nullvektor 0 versteht man den Vektor, dessen sämtlichen Koordinaten Null sind.
0
 
0  0
0
 
Dem Nullvektor ordnet man jede Richtung und jede Orientierung zu.
Für den Betrag (die Maßzahl der Länge) des Nullvektors gilt: | 0 | 0
3. Neutralitätsgesetz:
Satz: (Neutralitätsgesetz)
Für jeden Vektor a V gilt: a  0  0  a  a .
Beweis:
 a1   0   a1  0   a1 
    
  
a  0   a2    0    a2  0    a2   a
 a  0  a  0   a 
 3    3
  3
 a1   0   0  a1   0   a1   a1 
    
      
a  0   a2    0    0  a2    0    a2    a2   a
 a  0 0  a  0  a   a 
   3  3
3
 3   
Um das Inversitätsgesetz zu definieren und zu beweisen, machen wir wieder einen kleinen
Einschub und zwar definieren wir vorher das inverse Element bzw. den Gegenvektor.
Wenn wir zu irgendeiner reellen Zahl a ihre Gegenzahl –a addieren, ergibt sich die Zahl 0,
also das neutrale Element der Addition.
Die Zahl – a ist daher – hinsichtlich der Addition – das inverse Element zur Zahl a.
Wir wollen untersuchen, ob es auch zu jedem Vektor a hinsichtlich der Vektoraddition einen
inversen Vektor b gibt.
Definition:
 a1 
 a1 


 
Der Vektor a   a2  heißt der Gegenvektor zum Vektor a   a2  .
 a 
a 
 3
 3
4. Inversitätsgesetz:
Satz: (Inversitätsgesetz)
Für alle Vektoren a V gilt a  (a)  (a)  a  0 .
Beweis:
 a1   a1   a1  (a1 )   a1  a1   0 
  
 
 
  
a  (a)   a2    a2    a2  (a2 )    a2  a2    0   0
 a   a   a  (a )   a  a   0 
3 
 3  3  3
 3 3  
Was bedeutet das graphisch?
Abb. 7 Graphische Darstellung des inversen Vektors
| a | 2²  3²  13
|  a | 2²  (3)²  13
Man erkennt, dass die Pfeile zu a und a sich jeweils nur durch ihre Orientierung
unterscheiden, dass sie aber gleich lang und zu einander parallel sind.
Satz:
Für jeden Vektor a und seinen Gegenvektor a gilt:
1) | a || a | 2)  a || a3)  a  a
Satz:
Für alle Vektoren a V gilt: ( a )  a .
3.2 Subtrahieren von Vektoren
Folgende Abbildung dient zur Erklärung der Subtraktion von Vektoren
Abb. 8 Subtraktion von Vektoren I
Es gilt (siehe Abbildung 8): c  a  b  a  (b)
Man kann einen Vertreter des Differenzvektors a  b zeichnerisch auch dadurch bestimmen,
dass man zwei Vertreter der Vektoren a und b mit ihren Anfangspunkten aneinander legt;
dann reicht der Vertreter des Vektors a  b von der Spitze des zweiten Pfeils bis zur Spitze
des ersten Pfeils. (siehe Abbildung 8)
Ein weiteres Beispiel mit Koordinaten:
Abb. 9 Subtraktion von Vektoren II
Es gilt:
z  x  y  x  ( y )
3
 3 
x   ; y   
5
 3 
 3   3   3  (3)   6 
z  x y      
 
 5   3   5  (3)   8 
Definition:
Für beliebige Vektoren a, b V gilt:
a  b  a  (b) .
Satz:
Zwei in Koordinatendarstellung gegebene Vektoren werden subtrahiert, indem man ihre
entsprechenden Koordinaten subtrahiert:
 a1   b1   a1   b1   a1  b1 
      
 

a  b  a  (b)   a2    b2    a2    b2    a2  b2  .
 a   b   a   b   a  b 
 3  3  3  3  3 3
4 Die S-Multiplikation
4.1 Die Skalar - Multiplikation
Nun können wir also Vektoren addieren und subtrahieren. Fehlt nur noch die Multiplikation.
Wir führen zunächst die S-Multiplikation ein. Darunter versteht man das Produkt aus einer
Zahl (einem Skalar) und einem Vektor. Das Skalarprodukt und das Vektorprodukt werden
voraussichtlich in Teil 4 erscheinen.
Ein Beispiel für die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl wäre 4a .
Anschaulich können wir 4a wie folgt darstellen, denn 4a  a  a  a  a .
Abb. 10 Beispiel einer S-Multiplikation
Wenn wir diese Schreibweise auf die Koordinatendarstellung übertragen, so erhalten wir:
 a   a   a   a   a   a  a  a  a   4a 
4a  4  1    1    1    1    1    1 1 1 1    1 
 a2   a2   a2   a2   a2   a2  a2  a2  a2   4a2 
Wie berechnen wir also r1r2 a ?
Es gibt mehrere Möglichkeiten:
1. Möglichkeit:
r a  rr a 
r1r2 a  r1  2 1    1 2 1 
 r2 a2   r1r2 a2 
2. Möglichkeit:
Wir berechnen zunächst r1r2. Also
ra  r1r2 a mit r  r1  r2
Ein weiteres Beispiel:
 1 
Gegeben seien die Vektoren a    . Im folgenden sollen die Vektoren
 2 
 1 
1  1 
a1     a2  3   berechnet und in einem Koordinatensystem dargestellt werden.
2  2 
 2 
1

 (1)   1 


1
1  1 
a1  a      2
 2

2
2  2   1
 
  (2)   1 
2

 1   (3)  (1)   3 
a2  3a  3    
 
 2   (3)  (2)   6 
Abb. 11 Graphische Darstellung des Beispiels
Satz:
Für beliebige Vektoren a V und eine beliebige reelle Zahl r 
gilt:
 a1   ra1 
  

ra  r  a2    ra2 
 a   ra 
 3  3
r nennt man Skalar. Aus diesem Grund bezeichnet man die Multiplikation eines Vektors mit
einer Zahl auch als S-Multiplikation.
4.2 Die Gesetze der S-Multiplikation
Auch hier wollen wir nun die Gesetze der S-Multiplikation beweisen, denn wir können auch
hier nicht davon ausgehen, dass die gleichen Gesetz gelten wie mit reellen Zahlen.
- Kommutativgesetz:
Eine zur Gleichung des Kommutativgesetzes analoge Gleichung für die S-Multiplikation
müsste lauten:
ra  ar
Der Term ar ist aber nicht definiert. Daher gibt es kein Kommutativgesetz für die SMultiplikation. Man kann zwar einen Vektor mit einer Zahl vervielfachen, aber man kann
keine Zahl mit einem Vektor vervielfachen.
- Assoziativgesetz:
Vermutung: s(ra)  ( s  r )a
Zu beachten ist, dass ( s  r ) ein Zahlenprodukt ist, während bei s ( ra ) zweimal die SMultiplikation angewendet werden muss.
Beispiel: 2(3a )  (2  3)a  6a
Abb. 12 Graphische Darstellung des Beispiels
Beweis:
 ra1   s  ra1 
 a1 

 

 
s(ra)  s  ra2    s  ra2   ( s  r )  a2   ( s  r )a
 ra   s  ra 
a 
3
 3 
 3
Satz:
Für alle r , s 
s(ra)  ( s  r )a .
und für alle Vektoren a V gilt:
- Distributivgesetz:
Vermutung: (r1  r2 )a  r1 a  r2 a
Beweis:
Substitution von r1+r2=z
 a1   za1   (r1  r2 )a1   r1a1  r2 a1 
  
 
 

(r1  r2 )a  za  z  a2    za2    (r1  r2 )a2    r1a2  r2 a2 
 a   za   (r  r )a   r a  r a 
 3  3  1 2 3  1 3 2 3
 r1a1   r2 a1 

 

  r1a2    r2 a2   r1 a  r2 a
ra  r a 
 1 3  2 3
Satz:
Für alle r , s 
und für alle Vektoren a V gilt:
(r1  r2 )a  r1 a  r2 a
Vermutung: r (a  b)  ra  rb
Beweis:
 a1   b1 
 a1  b1   r (a1  b1 )   ra1  rb1 
   

 
 

r (a  b)  r[ a2    b2 ]  r  a2  b2    r (a2  b2 )    ra2  rb2 
 a  b 
 a  b   r (a  b )   ra  rb 
3 
 3  3
 3 3  3 3   3
 ra  rb
Satz:
Für alle r , s 
und für alle Vektoren a V gilt:
r (a  b)  ra  rb
Wir wollen noch einige Sätze beweisen:
Satz:
Für jede Zahl r 
1) | ra || r || a |
und für alle Vektoren a V gilt:
2) ra || a
3)
a )ra  a, r  0
b)ra  a, r  0
Beweise:
Zu 1): Für alle r 
und für alle Vektoren a V gilt:
 ra1 


| ra ||  ra2  | r ² a1 ²  r ² a2 ²  r ² a3 ²  r ²(a1 ²  a2 ²  a3 ²)  r ²  a1 ²  a2 ²  a3 ²
 ra 
 3
| r |  a1 ²  a2 ²  a3 ² | r || a |
Zu 2) und 3) :
Um den Satz der Dreiecksungleichung anwenden zu können, betrachten wir | a  ra | :
a) Für jede Zahl r mit r  0 und für den Vektor a gilt:
| a  ra || (1  r )a | ( Distributivgesetz )
| a  ra ||1  r || a | (nach1))
| a  ra | (1  r ) | a | (r  0,1  r  0)
| a  ra || a |  r | a | ( Distributivgesetz )
| a  ra || a |  | r || a | (r  0)
| a  ra || a |  | ra | (nach1))
Dies bedeutet, dass a und ra parallel und gleich orientiert sind (siehe Dreiecksungleichung).
b) Für jede Zahl r mit r<0 gilt –r>0, also:
(r )a  a (nacha))
Der Gegenvektor zu (r )a ist der Vektor (r )a)  (r )a  ra ; daher gilt nach a  a :
ra  ( r )a und somit ra  a und selbstverständlich auch ra || a .
5 Der Begriff der linearen Abhängigkeit
5.1 Die Linearkombination von Vektoren
Folgende Vektoren sollen in einem Koordinatensystem dargestellt werden.
 1
3 
1 
 1
3 
1 
a1    ; a2    ; a3    Des weiteren 3a1  3   ; 2a2  2   ; 2a3    .
2 
 2 
 3
2 
 2 
 3
Anschließend berechnet und stellt folgenden Vektor im Koordinatensystem dar:
b  r1 a1  r2 a2  r3 a3  3a1  2a2  2a3
Lösungen:
Abb. 13 Graphische Darstellung
Erklärung zur Darstellung:
Zuerst haben wir den Pfeil des Vektors 2a2 an die Spitze des Pfeils des Vektors 3a1
verschoben, um die Addition vorzunehmen. Denn jetzt sitzt der zweite Pfeil mit seinem
Anfangspunkt an der Spitze des ersten Pfeils. Als Ergebnis erhalten wir den gestrichelten
Pfeil.
Nun haben wir den Pfeil des Vektors 2a3 an die Spitze dieses Summenvektors verschoben
und addiert und erhalten den in grau gezeichnet Pfeil und damit den Vektor b .
Wie man sieht, erspart man sich das ständige Parallelogramm zeichnen, indem man die
Vektoren verschiebt, denn alle Vektoren sind Repräsentanten.
Sowohl die rechnerische als auch die graphische Darstellung ergeben folgenden Vektor b :
b  r1 a1  r2 a2  r3 a3  3a1  2a2  2a3
 1  3  1   3   6   2   3  6  2   1 
b  3   2    2             
 
 2   2   3   6   4   6   6  4  6   4 
Definition:
Für n Vektoren a1 , a2 ,..., an V und n reelle Zahlen r1 , r2 ,..., rn 
heißt der Vektor b mit
b  r1 a1  r2 a2  ...  rn an eine Linearkombination der Vektoren a1 , a2 ,..., an .
Man sagt auch, dass der Vektor b aus den Vektoren a1 , a2 ,..., an linear kombiniert ist oder
linear erzeugt.
Schauen wir uns noch ein zweites Beispiel an:
 2 
1 


Wir wählen die Vektoren a1  1   a2   2  mit den Faktoren r1=2 und r2=-1. Wir
3 
5 
 
 
erhalten:
 2  1   4  1  5 
    
  
b  2a1  a2  2 1    2    2  2    4 
 3   5   6  5  1 
    
  
Auch hier wurde der Vektor b aus den beiden anderen Vektoren linear erzeugt.
Die beiden Beispiele weisen aber einen wesentlichen Unterschied auf.
Bei dem zweiten Beispiel kann man den Vektor b nur mit den Faktoren r1=2 und r2=-1 linear
aus den beiden anderen Vektoren erzeugen.
Bei Beispiel 1 sind die Zahlen r1, r2 und r3 dagegen nicht eindeutig festgelegt. Es gibt
zahlreiche Möglichkeiten:
a) mit s1=-8, s2=-3 und s3=2 erhält man:
 1  3  1   8  9  2  1 
8a1  3a2  2a3  8    3    2    
 b
 2   2   3   16  6  6   4 
b) mit t1=14, t2=7 und t3=-6 erhält man:
 1  3  1   14  21  6  1 
14a1  7a2  6a3  14    7    6    
 b
 2   2   3   28  14  18   4 
c) mit u1=-2,5, u2=-0,5 und u3=0 erhält man ebenfalls:
 1
 3  1 
 2  1 
2,5a1  0,5a2  0a3  2,5    0,5    0    0,5       b
2 
 2   3 
 8   4 
Wir beschäftigen uns nun mit der Frage, ob man auch den Vektor a1 aus den anderen
Vektoren linear erzeugen kann.
Dazu wählen wir das 1. Beispiel mit b  3a1  2a2  2a3 . Wir formen diese Gleichung einfach
nach Vektor a1 um und erhalten:
1
2
2
a1  b  a2  a3 Somit haben wir diesen Vektor aus den anderen Vektoren linear erzeugt.
3
3
3
Es besteht also eine wechselseitige Abhängigkeit, an der alle Vektoren in gleicher Weise
beteiligt sind.
Deswegen schreiben wir für den Vektor b den Vektor a4 .
Aus der Gleichung a4  3a1  2a2  2a3 erhalten wir durch äquivalenten Umformungen:
3a1  2a2  2a3  a4  0
Allgemein heißt das:
c1 a1  c2 a2  ...  cn an  0
Wir wollen nur rechnerisch den Vektor b als Linearkombination der Vektoren a1  a2
darstellen.
 1 
1 
 1
b    ; a1    ; a2   
 9 
 1
 1
Lösung:
Wir müssen die Faktoren vor den Vektoren berechnen:
 c2 1
 1 
1 
1  1   c1 1 
  c2 

   c1    c2       
 9 
 1
1  9   c1  (1) 
 c2 1
Hier raus entwickeln wir ein Gleichungssystem (siehe 1. Teil dieser Serie). Wir erhalten r1=4
und r2=-5.
Eine Lösung der Gleichung c1 a1  c2 a2  ...  cn an  0 wäre, wenn alle Faktoren 0 wären.
Diese Lösung bezeichnet man als „triviale Lösung“. Man kann für c1=c2=...=cn=0 diese
Gleichung aber nach keinem der vorkommenden Vektoren auflösen, also aus dieser
Gleichung auch nicht herleiten, dass einer der Vektoren sich aus den anderen linear erzeugen
lässt.
Außerdem ist die Gleichung 0a1  0a2  ...  0an  0 allgemein gültig, also für beliebige
Vektoren erfüllt und kann also für sich genommen auch nichts über deren Abhängigkeit
aussagen.
Somit definieren wir:
Definition:
1) Vektoren a1 , a2 ,..., an V heißen linear anhängig genau dann, wenn es Zahlen
c1 , c2 ,..., cn  gibt, die nicht sämtlich gleich 0 sind und für die gilt:
c1 a1  c2 a2  ...  cn an  0
2) Sind n Vektoren nicht linear abhängig, so nennt man sie linear unabhängig.
Ein paar Beispiele zum Veranschaulichen:
3 
 1
 2




 
1) a1   1  a2   2   a3  1 
2 
3 
5
 
 
 
Man erkennt sofort, dass a1  a2  a3  a1  a2  a3  0 . Die Vektoren sind somit linear
abhängig.
2 
1 
 2 




 
2) a1   1  a2   2   a3   0 
3 
0 
0 
 
 
 
Man erkennt nicht sofort, dass dieses LGS nur die triviale Lösung besitzt. Aus diesem Grund
sind die Vektoren linear unabhängig.
 2
 1
Sind die Vektoren a1     a2    linear abhängig?
1 
0 
Auch hier stellen wir ein Gleichungssystem auf und erkennen, dass keine lineare
Abhängigkeit vorliegt, da nur die triviale Lösung vorliegt.
Allgemein können wir also festhalten:
Satz:
Vektoren a1 , a2 ,..., an V sind linear unabhängig genau dann, wenn die Gleichung
c1 a1  c2 a2  ...  cn an  0 nur für c1=c2=...=0 erfüllt ist.
Definition:
Vektoren a1 , a2 ,..., an V heißen linear abhängig genau dann, wenn c1 a1  c2 a2  ...  cn an  0
eine nicht triviale Lösung hat.
Satz:
Vektoren a1 , a2 ,..., an V sind linear unabhängig genau dann, wenn die Gleichung
c1 a1  c2 a2  ...  cn an  0 nur die triviale Lösung hat.
Sätze zum Begriff der linearen Abhängigkeit
Die Gleichung c1 a1  0 ist für eine Zahl c1 mit c1  0 nur erfüllt, wenn a1  0 ist.
Somit können wir sagen:
Satz:
1) Ein Vektor a ist linear abhängig genau dann, wenn a  0 ist.
2) Ein Vektor a ist linear unabhängig genau dann, wenn a  0 ist.
In den einführenden Überlegungen haben wir die Frage, ob Vektoren linear abhängig oder
linear unabhängig sind, nur auf Vektoren bezogen, die sämtlich vom Nullvektor verschieden
sind.
In unserer Definition nach linearer Abhängigkeit wird der Nullvektor aber nicht
ausgeschlossen.
Wie sieht es also aus, wenn sich unter den Vektoren der Nullvektor 0 befindet? Als Beispiel
nehmen wir a1  0 .
Die Bedingung der Definition ist dann stets erfüllt, so wählt man c1=1 und c2=c3=...=0, so gilt:
10  0a2  ...  0an  0  0  ...  0  0 Die Bedingung unserer Definition ist mit c1  0 also
erfüllt. Es gilt damit:
Satz:
Befindet sich unter den Vektoren a1 , a2 ,..., an der Nullvektor 0 , so sind diese Vektoren linear
abhängig.
Falls n Vektoren a1, a2 ,..., an linear abhängig sind, muss für wenigstens eine der Zahlen ck
gelten:
ck  0 . Daher kann man die Gleichung c1 a1  c2 a2  ...cn an  0 nach dem zugehörigen Vektor
ak auflösen. Beispielsweise nehmen wir c2  0 , so ergibt sich:
c
c
c
a2   1 a1  3 a3  ...  n an
c2
c2
c2
Dies bedeutet, dass wenigstens einer der Vektoren aus den anderen beiden linear erzeugbar
ist.
Lässt sich umgekehrt wenigstens einer von n Vektoren a1, a2 ,..., an aus den anderen linear
erzeugen, dann sind die Vektoren auch linear abhängig? Gilt dies zum Beispiel für den Vektor
an , dann gibt es Zahlen r1, r2 ,..., rn mit
an  r1 a1  r2 a2  ...  rn 1 an 1
r1 a1  r2 a2  ...  rn 1 an 1  (1)an  0
.
Wegen 1  0 sind a1, a2 ,..., an also linear abhängig.
Satz:
Vektoren a1, a2 ,..., an sind linear abhängig genau dann, wenn es unter ihnen wenigstens einen
gibt, der sich aus den anderen linear erzeugen lässt.
Weiterhin sind folgende Sätze sehr schnell einsichtig:
Satz:
1) Lässt man bei n linear unabhängigen Vektoren a1, a2 ,..., an einen Vektor weg, so sind die
restlichen Vektoren ebenfalls linear unabhängig.
2) Fügt man zu n linear abhängigen Vektoren a1, a2 ,..., an einen Vektor hinzu, so sind auch
die Vektoren linear abhängig.
Folgende Vektoren sollen auf lineare Abhängigkeit überprüft werden:
6 
15 
a1    ; a2  

 8 
 20 
Lösungen:
r1 a1  r2 a2  0
 r1  6   r2  15   0 


 
 r1  (8)   r2  (20)   0 
I .6r1  15r2  0
II .  8r1  20r2  0
Einsetzungsverfahren :
8r1  20r2  0  r1  2,5r2
EinsetzenInGleichungI :
6r1  15r2  0  15  15r2  0
 r2  1
Die Vektoren sind also linear abhängig. Beim Anwenden des Additionsverfahren erhält man
beim Addieren beider Gleichungen I. und II. 0=0. Somit hat das Gleichungssystem unendlich
viele Lösungen.
Es würde auch gelten: 5a1  2a2  0  5a1  2a2
Es gilt daraus:
2
a2 (Unterscheid in der Länge)
5
2. a1 || a2 (Vektoren sind parallel)
1. a1 
3. a1  a2 (Vektoren sind gleich orientiert)
Definition:
Da parallele Vektoren Vertreter besitzen, die auf derselben Geraden (lateinisch: linea recta)
liegen, nennt man solche Vektoren kollinear.
Was wir an den Beispielen erkannt haben, gilt allgemein:
Sind zwei ebene oder räumliche Vektoren linear abhängig, so sind sie kollinear (parallel).
Denn für solche Vektoren gibt es zwei Zahlen c1 und c2 mit c1 a1  c2 a2  0 , wobei wenigstens
eine dieser Zahlen von0 verschieden ist:
1) Ist c1  0 , so ergibt sich: a1  
c2
a2
c1
2) Ist c1=0, so muss c2  0 und es ergibt sich: a2  
c1
a1 .
c2
In beiden Fällen sind die Vektoren kollinear.
Wir vermuten nun das Umgekehrte, dass also zwei parallele Vektoren linear abhängig sind.
Sind zwei Vektoren zu einander parallel und ist a1  0 , so gibt es stets eine Zahl r mit
a2  ra1 , alsora1  (1)a2  0
ist a2  0 , so gibt es eine Zahl s mit a1  sa2 , alsora1  (s)a2  0
Satz:
Zwei ebene oder zwei räumliche Vektoren sind linear abhängig genau dann, wenn sie
kollinear (parallel) sind.
Welche geometrische Bedeutung hat es, wenn drei Vektoren linear abhängig sind?
Es gibt also Zahlen c1, c2, c3 mit c1 a1  c2 a2  c3 a3  0 , wobei wenigstens eine der Zahlen von
0 verscheiden ist.
Beispiel c3 ist ungleich 0:
c1
c
a1   2 a2
c3
c3
Fallunterscheidung:
a3  
1) Vektor a1  a2 sind kollinear, also linear abhängig, so ist auch a3 zu den beiden Vektoren
kollinear.
a) Beispiel:
3 
 6 
12 
a1    ; a2    ; a3   
 1
2 
 4 
 3   6  12 
 2a1  a2  a3  2        
 1  2   4 
 6  6  12   0 

     0, alsoa3  2a1  a2
 2  2  4   0 
Wegen a2  2a1 sind a1 und a2 kollinear; daher ist auch a3 zu a1 und a2 kollinear.
a3  4a1  a3  2a2
Lineare Abhängigkeit bei drei räumlichen Vektoren
Wir wollen nun untersuchen, welche geometrische Bedeutung es hat, wenn drei (ebene oder
räumliche) Vektoren linear abhängig sind. Somit müsste es nach der Definition der linearen
Abhängigkeit drei Zahlen c1, c2 und c3 geben mit c1 a1  c2 a2  c3 a3  0 , wobei wenigstens eine
der Zahlen von 0 verscheiden sein muss. Wir behandeln hier nur den Fall, dass c3  0 ist. Die
anderen Fälle sind analog zu behandeln.
Ist also c3  0 , so kann man die Gleichung nach a3 auflösen und man erhält
c
c
a3   1 a1  2 a2 .
c3
c3
c
c
Zur Vereinfachung nennen wir  1  r1   2  r2 . Somit ist die Gleichung mit
c3
c3
a3  r1 a1  r2 a2 (1) zu benennen.
Nun müssen wir zwei Fälle unterscheiden.
1. Fall:
Die Vektoren a1 , a2 sind bereits linear abhängig, also kollinear, somit ist auch der dritte
Vektor a3 zu den beiden anderen Vektoren linear abhängig und somit kollinear.
Beispiele:
3 
 6 
12 
a) a1    ; a2    ; a3   
 1
2 
 4 
Es gilt:
3 
 6 
12 
a1    ; a2    ; a3   
 1
2 
 4 
 6  6  12   0 
2a1  a2  a3  
     0, also
 2  2  4   0 
a3  2a1  a2
Damit haben wir gezeigt, dass alle Vektoren linear abhängig und damit kollinear sind.
b)
 3 
9 
6 
 
 
 
a1  1  ; a2   3  ; a3   2 
2 
 6 
 4 
 
 
 
 3  9  6   0 

  
a1  a2  a3  1  3  2    0   0, also
 2  6  4  0

  
a3  a1  a2
Damit haben wir gezeigt, dass alle Vektoren linear abhängig und damit kollinear sind.
Wir können dies auch verallgemeinern:
a) Ist a1  0 , so gilt 1a1  0a3  0 , und nach Gleichung (1) ist a3  r2 a2 .
b) Ist a2  0 , so gilt 1a2  0a3  0 , und nach Gleichung (1) ist a3  r1 a1 .
Somit ist der dritte Vektor zu den beiden anderen Vektoren kollinear.
c) Ist dagegen a1  0 und a2  0 , so gibt es eine Zahl s mit s ungleich 0 und
1
a2  sa1 , alsoa1  a2 ; daraus ergibt sich:
s
a3  r1 a1  r2 a2  r1 a1  r2 ( sa1 )  r1 a1  (r2 s )a1 )  (r1  r2 s )a1
und
r
r
1
a3  r1 a1  r2 a2  r1 ( a2 )  r2 ( sa1 )  1 a2  (r2 s )a1 )  ( 1  r2 )a2
s
s
s
Also ist auch in diesem Fall der dritte Vektor von den beiden anderen kollinear.
2. Fall:
Sind die Vektoren a1 , a2 linear unabhängig, also nicht kollinear, so müssen wir hier drei
Fallunterscheidungen vornehmen, nämlich r1, r2 ungleich 0, r1=0 und r2=0.
In allen Fällen gibt es Vertreter der drei Vektoren, die in einer Ebene liegen.
Dies ist für ebene Vektoren selbstverständlich. Bei räumlichen Vektoren liegt dagegen ein
Sonderfall vor, denn in den meisten Fällen gibt es für drei räumliche Vektoren keine
Vertreter, die in der selben Ebene liegen.
Definition:
Vektoren heißen komplanar genau dann, wenn es Repräsentanten dieser Vektoren gibt, die
alle in der selben Ebene liegen.
Satz:
Wenn drei räumliche Vektoren linear abhängig sind, dann sind sie komplanar.
Man könnte vermuten, dass die Umkehrung dieses Satzes gilt, dass also zwei komplanare
Vektoren linear abhängig sind.
Dies wollen wir mit einem geometrischen Beweis beweisen:
Beweis:
1) Wir betrachten zu aller erst den Sonderfall, das nämlich bereits zwei Vektoren kollinear
sind.
Sind zwei der drei Vektoren, zum Beispiel a1 , a2 kollinear, also linear abhängig, dann gibt es
zwei Zahlen c1 und c2 ( c1 , c2  0 ), so dass gilt: c1 a1  c2 a2  0
Also auch c1 a1  c2 a2  0a3  0(c1 , c2  0) .
Dies bedeutet, dass die drei Vektoren linear abhängig sind.
2) Um den Beweis nachzuvollziehen, benötigen wir eine Skizze:
Abb. 14 Beweis
Wenn sich unter den drei Vektoren sich keine zwei befinden, die kollinear sind, dann haben
die drei Pfeile UA1 ,UA2 ,UA3 , die als Vertreter der drei Vektoren an einem Punkt U angetragen
werden, paarweise verschiedene Richtungen.
Abbildung 1 zeigt, dass durch die Spitze A3 des Pfeils zu a3 Parallelen zu den beiden anderen
Pfeilen gezeichnet sind.
Diese schneiden die Geraden g1(U, A1) und g2(U, A2) in zwei Punkten B1 und B2.
Die Pfeile UB1 ,UB2 sind Vertreter zweier Vektoren b1 , b2 , die zu a1 , a2 kollinear sind.
Daher gibt es zwei Zahlen c1 , c2  0 mit b1  c1 a1  b2  c2 a2 .
Somit gilt:
a3  b1  b2  c1 a1  c2 a2
. Daher sind die Vektoren tatsächlich linear abhängig.
 c1 a1  c2 a2  a3  0
Wir wollen noch einige Beispiele geben, die wir mit Hilfe der Matrix und dem Gaußschen
Eliminationsverfahren lösen wollen, so könnt ihr euer Wissen aus Teil 1 noch einmal etwas
auffrischen:
Prüfe folgende Vektoren auf lineare Abhängigkeit.
1 
 3 
2 
 
 
 
a)a1   2  ; a2   3  ; a3  1 
3
1 
 3 
 
 
 
1 
2 
 1 
 
 
 
2 
5 
2


b)a1 
; a2 
; a3   
4 
9 
 4 
 
 
 
 1 
 3 
1 
Lösungen:
1 
 3 
2 
 
 
 
a )a1   2  ; a2   3  ; a3  1 
3
1 
 3 
 
 
 
0  r1 a1  r2 a2  r3 a3 muss eine nicht triviale Lösung haben.
 1 3 2   1 3 2   1 3 2 

 
 

 2 3 1    0 3 3    0 3 3 
 3 1 3   0 10 9   0 0 3 

 
 

Nur die triviale Lösung. Die Vektoren sind also linear unabhängig.
1 
2 
 1 
 
 
 
2 
5 
2


b)a1 
; a2 
; a3   
4 
9 
 4 
 
 
 
 1 
 3 
1 

 
 

 1 2 1   1 2 1  1 2 1

 
 

 -2 -5 2    0 -1 0    0 -1 0 

 
 

0  0 0 0 
 4 9 4   0 1
 1 3 1   0 1 0   0 0 0 

 
 

Die Vektoren sind linear abhängig. Es folgt:
r2  0
Einsetzen in I.:r1  r3  0  r1  r3
 r1  1 
   
r   r2   t  0 
 r  1 
 3  
6 Abschluss
Das war nun der zweite Teil unser Serie „Lineare Algebra und analytische Geometrie“. Wir
hoffen, auch dieser Artikel hat euch gefallen. Wir wollen nun einen kleinen Ausblick für den
dritten Artikel dieser Serie geben. Und zwar wird diese über Geraden und Ebenen handeln.
Euer
Florian Modler



Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
Kapitel 2: Einführung in die analytische
Geometrie
Kapitel 3: Geraden und Ebenen