Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kapitel 3: Wahrscheinlichkeit nach Kolmogorow
Laplace: alle Elemente im Stichprobenraum sind gleich möglich. Synonym für "wahrscheinlich"
Zweites Problem: Laplace erklärt nur sehr wenige Experimente (typisch: Münzwurf: die Münze
kann auf der Seite liegen bleiben, aber die Wahrscheinlichkeit ist nicht gleich).
Laplace folgt aus einer Annahme: alles ist GLEICH möglich.
Für eine saubere Definition fehlte eine ordentliche mathematische Sprache > die wurde erst
von Kolmogorov im Jahre 1933 entwickelt.
Gute Idee ist nur soviel wert wie die Art und Weise ihrer Darstellung.
Gute Idee: Venn-Diagramme veranschaulichen Mengen und Wahrscheinlichkeiten
Jedes Ereignis wird von einem Kreis dargestellt. Wenn beide Ereignisse gleichzeitig eintreten,
entstehen überlappende Kreise, die eine Schnittmenge formen. Ereignisse können getrennt
auftreten A oder B, daneben aber auch A UND B. Omega ist dann A, B, A und B, weder A noch
B.
Wenn Ereignis A (Apfel essen) vollständig in Ereignis B (essen) liegt, dann ist A ein Teilereignis
von B.
Disjunktheit von Ereignissen: A und B haben keine Schnittmenge.
Wie stellen wir Wahrscheinlichkeiten dar? Kleine Kreisfläche = niedrige Wahrscheinlichkeit.
Stichprobenraum omega ist immer Wahrscheinlichkeit 1, alle Ereignisse können also nicht
grösser sein.
Kolmogorov: bedeutende Arbeiten für Mathematik und Statistik
"Wahrscheinlichkeit ist eher eine theoretische Frage". Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl,
nothing else.
Laplace hatte recht: a) Null ist die kleinste Wahrscheinlichkeit, b) Eins ist die grösste.
Welche Anforderung muss eine Zahl erfüllen, um eine Wahrscheinlichkeit sein zu können.
Eigenschaften von Zahlen dass sie Wahrscheinlichkeiten sein können!
Kolmogorov's Axiome. Ausgehend von der Sigma-Algebra: also aller möglichen Ereignisse, die
bei einem Zufallsexperiment überhaupt auftreten können.
Jedes Ereignis E in der SA hat eine Wahrscheinlichkeit p(E).
Axiome 1 und 2: P(E) kann nur zwischen 0 und 1 liegen.
Smarties-Experiment: ziehe ein Smartie.
Der Stichprobenraum OMEGA besteht aus den 8 Farben der Smarties.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung p(omega) entspricht der Zahl innerhalb einer Farbe an allen
Smarties.
Trial mit EINEM Smartie: E = rot oder grün > E(rot), E(grün)
Axiom 3: Wenn disjunkt, dann p(E) = p(rot) + p(grün) [= 0.21]
D = Ampel = p(E) + p(gelb) > in diesem Fall handelt es sich um ein Ereignis und ein
Elementarereignis > Axiom 3 ist also auch richtig, wenn es sich nicht ausschliesslich um
Elementarereignisse handelt.
Laplace hatte zwar ähnliche Ideen, aber ging von falschen Prämissen aus. Die Axiome sind
Festlegungen, können nicht hergeleitet werden.
Folgerungen aus den Axiomen. Diese stimmen überein mit dem was wir von Laplace schon
kennen.
Wenn E in viele disjunkte Ereignisse zerlegt werden kann, dann ist p(E) = p(E1)+…+p(Ek). Hier
können die Ereignisse verschieden möglich sein! Beispiel Münzwurf: Kopf oder Seite =
p(K)+p(S).
OMEGA = OMEGA + O/, deshalb O/ = 0
p(-E) = 1-p(E), deshalb OMEGA = E + -E
Verbundwahrscheinlichkeit? Der erweiterte Additionssatz. Beispiel Kartensaugen:
Eine Frau UND Name mit Konsonant am Ende > p(Frau)+p(Konsonant)-p(Frau&Konsonant).
Aufpassen auf Schnittmengen. Nicht immer einfach zu entscheiden!
Eine Schnittmenge muss auch Teil der sigmaalgebra sein. Wenn es eine Schnittmenge gibt, ist
deren Wahrscheinlichkeit eine Verbundwahrscheinlichkeit. Anzeichen: UND.
Lösung: allgemeiner Additionssatz: man zieht die Verbundwahrscheinlichkeit p(AB) ab.
Allgemeiner Additionssatz: p(A+B):p(A)+p(B)-p(AB).
Wahrscheinlichkeitsfunktionen: Jedes Elementarereignis hat eine Wahrscheinlichkeit mit einer
reellen Zahl. Vererbung an die Zufallsvariable ist genauso wie bei Laplace.
Woher kennen wir die Wahrscheinlichkeiten, mit denen wir rechnen? Bei Laplace war das klar,
bei Kolmogorov ist das anders. Beisp. Würfelwurf. Wer sagt denn dass ein Würfel auf allen
Seiten gleich schwer ist? Und wenn ein gezinkter Würfel angeblich eine Wahrscheinlichkeit
von 0.75 hat, die 6 zu zeigen, wie sieht es mit den anderen Seiten aus?
Die wird deutlich, wenn man denselben Versuch (trial) mehrmals hintereinander ausführen. In
diesem Fall kann man zählen, wie oft ein bestimmtes Ergebnis nach n Anzahl trials gefallen ist.
Absolute und relative Häufigkeiten: Versuch wie oben beschieben. Bei kleinen Anzahlen sind
die Wahrscheinlichkeiten sehr unterschiedlich. Absolute Häufigkeit = Anzahl eines bestimmten
Resultats bei einer bestimmten Anzahl von trials. h(xi) oder h(X=xi) oder hi.
Relative Häufigkeit ist die Anzahl eines bestimmten Wertes and ALLEN gemessenen Werten:
diese werden mit f(xi) dargestellt. n steht normalerweise für die Gesamtanzahl.
Relative Häufigkeit: f(xi) = h(xi)/n
Beispiel gezinkter Würfel: im trial sehen wir nur 0.5 Wahrscheinlichkeit, während der
Hersteller von 0.75 spricht: dasist deshalb so, weil die relative Häufigkeit NICHT dasselbe ist
wie die Wahrscheinlichkeit. Diese letztere ist THEORETISCH.
Wahrscheinlichkeit legt fest, was man erwarten KANN, bestimmt aber nicht die Wahrheit. Ein
klarer Unterschied zwischen Theorie und Empirie. Man kann sich der Wahrscheinlichkeit nur
annähern.
Das Gesetz der grossen Zahl. P(X=xi):=lim (n>oo)*h(xi)/n >>> betrifft nur die
Wahrscheinlichkeit, nicht die absoluten Häufigkeiten im trial.
Um eine unbekannte Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, muss ein Experiment SEHR oft
wiederholt durchgeführt werden, um an die theoretische Wahrscheinlichkeit heranzukommen.