TPH-Lab Federpendel Federpendel 1 Lernziel: Die Durchführung dieser Übung vertieft das Verstehen des Federpendels, übt die Begriffe: kinetische und potentielle Energie und lässt den Einfluss der mitschwingenden Federmasse erkennen. 2 Vorbereitung: Anleitung durchdenken 3 Übungsdurchführung 3.1 Wiegen der Feder 3.2 Auflegen verschiedener Zusatzmassen (m=250g, 500g,..) 3.3 Bestimmung der Verlängerung der Feder für jede angehängte Gesamtmasse mges . (Anm.: ohne Federmasse) 3.4 Anschwingen der Feder und Bestimmung der Periodendauer ( 30 bis 50 Schwingungen). 3.5 Gestoppt wird beim Durchgang durch die Ruhelage! 3.6 Eintragen der Verlängerung l über der angehängten Masse mges und Bestimmung der Richtkraft D aus der Steigung der Geraden 3.7 T² in Abhängigkeit von mges auftragen und meff,F aus dem Schnittpunkt mit der m-Achse bestimmen, sowie D aus der Steigung dieser Geraden ermitteln. 3.8 Vergleich der Werte für die Federkonstante D aus Punkt 3.6) und Punkt 3.7) sowie der durch Wägung bestimmten Federmasse mF mit der aus Punkt 3.7) bestimmten Masse meff,F 3.9 Man führe eine Ausgleichsrechnung durch . 3.10 Fehlerabschätzung. 4 Ausarbeitungen: Übungsprotokoll, Diagramme, Berechnungen 5 Kontrollfragen: Welche Dimension besitzt die Dämpfungskonstante? Welche Ursachen hat die Dämpfung? Wie verändert sich die Schwingungsdauer durch die Dämpfung? Bermoser / Haiml / Irnleitner/ FH - Salzburg 1/3 TPH-Lab 7 Federpendel Anhang: Wir betrachten zunächst ein idealisiertes Federpendel, bestehend aus einem Körper K der Masse m, der an einer Spiralfeder S mit der Federkonstanten (Richtkraft) D aufgehängt ist. Verschiebt man K in senkrechter Richtung um die Strecke x aus seiner Ruhelage, so übt die gespannte Feder auf K die rücktreibende Kraft F = - D.x aus. Läßt man K los, so bewirkt F eine Beschleunigung a = d²x/dt² in Richtung Ruhelage (x = 0), die mit der wirkenden Kraft durch F = m.a zusammenhängt, so daß also: F = m.a = -D.x Damit wird die Bewegungsgleichung: Dies ist die DGL einer harmonischen Schwingung mit D/m=². Die Schwingungsdauer dieses idealisierten Pendels ist somit: d²x/dt² + D/m . x = 0. m D Für eine masselose Feder (mF=0) wäre demnach die Periodendauer T = 0, bzw. ∞, was aber offensichtlich nicht richtig ist. Die Masse der Feder wurde übersehen! Zu ihrer Berücksichtigung geht man vom Energieerhaltungssatz aus, nach dem die Summe aus potentieller und kinetischer Energie des Systems eine Konstante sein muss. Die potentielle Energie in der Lage x ist: T = 2 Epot = ∫ F dx = ½ D x² Die kinetische Energie setzt sich zusammen aus der kinetischen Energie des angehängten Gewichts Ekin= ½ mv² = ½ m (dx/dt)² und der kinetischen Energie der Feder. Zu deren Berechnung denkt man sich die Feder der Länge L in kleine Stückchen der Länge l und damit der differentiell kleinen Masse mF zerlegt. Wenn die Feder homogen ist, gilt: ∆𝑙 mF = mF L Ist der Abstand des Feder-Massenelements mF vom Aufhängepunkt gleich l, so wird dieses Element bei Auslenkung aus der Ruhelage nur um einen Bruchteil der Auslenkung des angehängten Gewichts u.zw. um das Stück 𝑙 xL ausgelenkt. Bewegt sich nun das angehängte Gewicht mit der Geschwindigkeit v=dx/dt, so bewegt sich das Massenelement mF nur mit der Geschwindigkeit d/dt und hat dem entsprechend die Energie: Ekin,F = ½ mF *(d/dt)²½ mF ∆𝑙 L *(d/dt)²= ½ mF ∆𝑙 L 𝑙 *(dx/dt)²*( L)² Die gesamte kinetische Energie der Feder findet man wieder durch Addition der differentiell kleinen Energien der Feder-Massenelemente (Integrieren = Übergang: l =>dl ) L 𝑙 Ekin =½ mF *(dx/dt)² ∫0 ( L)² 𝑑𝑙 L = ½ mF (dx/dt)² /3 Damit wird die Gesamtenergie des Federpendels Bermoser / Haiml / Irnleitner/ FH - Salzburg 2/3 TPH-Lab Federpendel Eges,F = ½ (m + mF/3)(dx/dt)² + ½ D x². Diese Gleichung nach der Zeit differenziert, ( E ist zeitlich konstant => dE/dt =0), ergibt die Schwingungsgleichung unter Berücksichtigung der Federmasse: (m + mF/3) d²x/dt² + D x = 0. Den Ausdruck mF/3 = meff,F bezeichnet man auch als effektive Federmasse. Die Periode wird somit: TF = 2 m m eff,F D ) Trägt man T² als Funktion von m auf, so ergibt sich eine Gerade, welche die m-Achse bei m = -mF/3 schneidet. Die Steigung der Geraden ist gleich 4²/D und hängt somit nur von D ab. Bermoser / Haiml / Irnleitner/ FH - Salzburg 3/3