Federpendel

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Federpendel
Federpendel
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Lernziel:
Die Durchführung dieser Übung
• vertieft das Verstehen des Federpendels,
• übt die Begriffe: kinetische und potentielle Energie und
• lässt den Einfluss der mitschwingenden Federmasse
erkennen.
2
Vorbereitung:
Anleitung durchdenken
3
Übungsdurchführung
3.1
Wiegen der Feder
3.2
Auflegen verschiedener Zusatzmassen (m=250g, 500g,..)
3.3
Bestimmung der Verlängerung der Feder für jede
angehängte Gesamtmasse mges . (Anm.: ohne Federmasse)
3.4
Anschwingen der Feder und Bestimmung der Periodendauer
( 30 bis 50 Schwingungen).
3.5
Gestoppt wird beim Durchgang durch die Ruhelage!
3.6
Eintragen der Verlängerung ∆l über der angehängten Masse
mges und Bestimmung der Richtkraft D aus der Steigung der
Geraden
3.7
T² in Abhängigkeit von mges auftragen und meff,F aus dem
Schnittpunkt mit der m-Achse bestimmen, sowie D aus der
Steigung dieser Geraden ermitteln.
3.8
Vergleich der Werte für die Federkonstante D aus Punkt 3.6)
und Punkt 3.7) sowie der durch Wägung bestimmten Federmasse
mF mit der aus Punkt 3.7) bestimmten Masse meff,F
3.9
Man führe eine Ausgleichsrechnung durch .
3.10
Fehlerabschätzung.
4
Ausarbeitungen:
Übungsprotokoll, Diagramme, Berechnungen
5
Kontrollfragen:
Welche Dimension besitzt die Dämpfungskonstante?
Welche Ursachen hat die Dämpfung?
Wie verändert sich die Schwingungsdauer durch die Dämpfung?
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Federpendel
Anhang:
Wir betrachten zunächst ein idealisiertes Federpendel, bestehend aus einem Körper K der Masse m, der an
einer Spiralfeder S mit der Federkonstanten (Richtkraft) D aufgehängt ist. Verschiebt man K in senkrechter
Richtung um die Strecke x aus seiner Ruhelage, so übt die gespannte Feder auf K die rücktreibende Kraft F
= - D.x aus. Läßt man K los, so bewirkt F eine Beschleunigung
a = d²x/dt² in Richtung Ruhelage (x = 0), die mit der wirkenden Kraft durch F = m.a zusammenhängt, so
daß also:
F = m.a = -D.x
Damit wird die Bewegungsgleichung:
Dies ist die DGL einer harmonischen Schwingung mit D/m=ω².
Die Schwingungsdauer dieses idealisierten Pendels ist somit:
d²x/dt² + D/m . x = 0.
m
D
Für eine masselose Feder (mF=0) wäre demnach die Periodendauer T = 0, bzw. ω=∞, was aber
offensichtlich nicht richtig ist. Die Masse der Feder wurde übersehen!
Zu ihrer Berücksichtigung geht man vom Energieerhaltungssatz aus, nach dem die Summe aus potentieller
und kinetischer Energie des Systems eine Konstante sein muss. Die potentielle Energie in der Lage x ist:
T = 2π.
Epot = F dx = ½ D x²
Die kinetische Energie setzt sich zusammen aus der kinetischen Energie des angehängten Gewichts
Ekin= ½ mv² = ½ m (dx/dt)²
und der kinetischen Energie der Feder. Zu deren Berechnung denkt man sich die Feder der Länge L in kleine
Stückchen der Länge ∆l und damit der differentiell kleinen Masse ∆mF zerlegt.
Wenn die Feder homogen ist, gilt:
∆
∆mF = mF
Ist der Abstand des Feder-Massenelements ∆mF vom Aufhängepunkt gleich l, so wird dieses Element bei
Auslenkung aus der Ruhelage nur um einen Bruchteil der Auslenkung des angehängten Gewichts u.zw. um
das Stück
ξ = x∗
ausgelenkt.
Bewegt sich nun das angehängte Gewicht mit der Geschwindigkeit v=dx/dt, so bewegt sich das
Massenelement ∆mF nur mit der Geschwindigkeit dξ/dt und hat dem entsprechend die Energie:
Ekin,F = ½ ∆mF *(dξ/dt)² = ½ mF
∆
*(dξ/dt)²= ½ mF
∆
*(dx/dt)²* )²
Die gesamte kinetische Energie der Feder findet man wieder durch Addition der differentiell kleinen
Energien der Feder-Massenelemente (Integrieren = Übergang: ∆l =>dl )
Ekin =½ mF *(dx/dt)² ²
= ½ mF (dx/dt)² /3
Damit wird die Gesamtenergie des Federpendels
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Eges,F = ½ (m + mF/3)(dx/dt)² + ½ D x².
Diese Gleichung nach der Zeit differenziert, ( E ist zeitlich konstant => dE/dt =0), ergibt die
Schwingungsgleichung unter Berücksichtigung der Federmasse:
(m + mF/3) d²x/dt² + D x = 0.
Den Ausdruck mF/3 = meff,F bezeichnet man auch als effektive Federmasse.
Die Periode wird somit:
TF = 2π.
m + m eff,F
D
)
Trägt man T² als Funktion von m auf, so ergibt sich eine Gerade, welche die m-Achse bei
m = -mF/3 schneidet. Die Steigung der Geraden ist gleich 4π²/D und hängt somit nur von D ab.
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