Elektrostatik von elektrischen Leitern

N.BORGHINI
Elektrodynamik in Materie
Theoretische Physik IV
X. Elektrostatik und Magnetostatik in Materie
Dieses Kapitel befasst sich mit den elektromagnetischen Feldern in Materie im stationären Regime,
d.h. wenn die mikroskopischen und makroskopischen Felder nicht von der Zeit abhängen.
X.1 Elektrostatik von elektrischen Leitern
Als elektrischer Leiter wird eine Substanz bezeichnet, die frei bewegliche Ladungsträger besitzt,
d.h. Ladungen, die sich unter der Anwendung irgendeiner Kraft bewegen können. Beispiele sind
Metalle, Elektrolytlösungen oder Plasmen.
X.1.1 Konstitutive Gleichung
Entsprechend der Anwesenheit von frei beweglichen Ladungsträgern führt die Anwendung eines
~ r) zur Entstehung einer makroskopischen Stromdichte J(~
~ r). In
beliebigen elektrischen Feldes E(~
manchen Fällen ist die Letztere einfach proportional zur Feldstärke, gemäß dem Ohm-Gesetz in
lokaler Formulierung
~ r) = σel. E(~
~ r),
J(~
(X.1)
mit σel. der elektrischen Leitfähigkeit. Die Letztere kann auch ortsabhängig sein, falls der Leiter
nicht homogen ist — dies kann z.B. passieren, da die elektrische Leitfähigkeit im Allgemeinen
temperaturabhängig ist, wenn die Temperatur nicht gleichförmig im Leiter ist.34
Eine weitere Möglichkeit ist, dass der Leiter anisotrope Eigenschaften aufweist: dann ist die
elektrische Leitfähigkeit ein Tensor 2. Stufe
~ r) = ~~σel. (~r) · E(~
~ r)
J(~
(X.2)
P
bzw. komponentenweise Ji (~r) = j σel.ij (~r)Ej (~r). Ein berühmtes Beispiel ist Graphit, das eine viel
höhere Leitfähigkeit in den Graphen-Ebenen aufweist, als senkrecht dazu.
Im Rest dieses Abschnitts wird nur noch die Elektrostatik von Leitern betrachtet, d.h. die im
~ r) = ~0 gilt. Dazu wird angenommen, dass
Prinzip frei beweglichen Ladungen ruhen, so dass J(~
außerhalb des Leiters Vakuum herrscht.
X.1.2 Leiter im elektrostatischen Gleichgewicht
Ein Leiter ist im elektrostatischen Gleichgewicht, wenn die Ladungsträger keine makroskopische
Bewegung bezüglich eines am Leiter angeschlossenen Bezugssystems haben, d.h. die Stromdichte J~
ist in jedem Punkt null. Dann ist das makroskopische elektrische Feld im Leiter ebenfalls null:
~ = ~0 im Inneren eines Leiters im elektrostatischen Gleichgewicht.
E
(X.3)
Tatsächlich können verschiedene Ursachen zu einer makroskopischen Bewegung der Ladungsträger und dabei einem elektrischen Strom führen: nicht-elektromagnetische Kraftfelder (z.B.
Gravitations- oder Inertialkräfte), Temperaturgradienten (thermoelektrische Effekte), Konzentrationsgradienten (elektrochemische Effekte). . . Somit soll man zwischen mechanischem und
elektrostatischem Gleichgewicht unterscheiden, wobei das Letztere bedeutet, dass die einzige
mögliche Ursache eines Stroms die Anwendung eines elektrisches Feld ist. Im Folgenden werden
diese nicht-elektrostatischen Phänomene ausgeschlossen.
Die Maxwell–Gauß-Gleichung (IX.24a) lässt sich unter Berücksichtigung der Zeitunabhängigkeit
einfach mitteln:
~ · E(~
~ r) = 1 %(~r),
(X.4)
∇
0
34
Dabei soll aber die Bewegung der Ladungsträger wirklich durch das elektrische Feld, nicht durch die Temperaturgradienten verursacht werden. Sonst handelt es sich um einen thermoelektrischen Effekt.
X. Elektrostatik und Magnetostatik in Materie
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was mit der Bedingung (X.3) zu
%(~r) = 0 im Inneren eines Leiters im elektrostatischen Gleichgewicht
(X.5)
führt, d.h. die (freien) Ladungen sitzen auf der Leiteroberfläche.
Die Maxwell–Faraday-Gleichung (IX.24c) führt im stationären Fall zur makroskopischen Gleichung
~ × E(~
~ r) = ~0.
∇
(X.6)
Infolgedessen existiert ein Potential Φ(~r), aus dem sich das elektrische Feld herleiten lässt
~ r) = −∇Φ(~
~ r),
E(~
(X.7)
wobei die Gleichung im ganzen Raum gilt.
~ r) = ~0 im Inneren eines Leiters folgt, dass das elektrische Potential Φ(~r) im ganzen
Aus E(~
Volumen des Leiters konstant ist. Außerhalb des Leiters führen Gl. (X.4) mit % = 0 und Gl. (X.7)
zur Laplace-Gleichung
4Φ(~r) = 0 außerhalb eines Leiters.
(X.8)
Um die Lösungen dieser Gleichung völlig zu charakterisieren, müssen die Randbedingungen an
der Oberfläche des Leiters mithilfe der Gleichungen (X.4) und (X.6) präzisiert werden:35
• Sei eine Kontour Γ um die Oberfläche ∂ V des Leiters, mit Seiten der ∂ V
`
~e2
Länge ` längs ~e1 parallel zu ∂ V und δ längs ~e3 normal zu ∂ V :36
δ
~
e3BMB
~ ×E
~ durch die durch Γ Laut dem Satz von Stokes ist der Fluss von ∇
~e1
abgeschlossene Fläche S
I
Z
2
~
~
~ r) · d~r = E1 (x3 = 0− ) − E1 (x3 = 0+ ) ` + O(δ) = 0,
∇ × E(~r) · ~e2 d S = E(~
S
Γ
wobei die letzte Gleichung aus Gl. (X.6) folgt. Daher gilt E1 (x3 = 0− ) = E1 (x3 = 0+ ) d.h.
E1 ist stetig an der Oberfläche. Analog prüft man die Stetigkeit von E2 nach. Insgesamt ist
~ k des elektrischen Feldes stetig an der Leiteroberfläche und somit
die Tangentialkomponente E
null auch für x3 = 0+ (d.h. gerade außerhalb des Leiters).
In der Nähe der Leiteroberfläche ist das elektrische Feld also normal, d.h. Φ(x3 = 0+ ) ist
konstant, so dass ∂ V eine Äquipotentialfläche darstellt, zu der die Feldlinien senkrecht sind.
~ ⊥ des Feldes an der Oberfläche ist im Allgemeinen nicht null, und
• Die Normalkomponente E
deshalb nicht stetig.
Sei jetzt ein Volumen v , abgegrenzt durch Elementarflächen dS
∂ V dS
~e2
auf den beiden Seiten der Oberfläche ∂ V und durch die Röhre, die
~e3BMB
diese Flächen miteinander verbindet. Der Gauß-Integralsatz gibt
~e1
Z
I
Z
3
2
+
−
~
~
~
∇ · E(~r) d ~r =
E(~r) · d ~s =
E3 (x3 = 0 ) − E3 (x3 = 0 ) dx1 dx2 + O(δ),
v
∂v
dS
wobei ∂ v die Oberfläche des Volumens v bezeichnet. Im Integral auf der rechten Seite gilt
E3 (x3 = 0− ) = 0. Andererseits kann man die Maxwell–Gauß-Gleichung (X.4) benutzen mit
auf der rechten Seite einer Flächenladungsdichte %(~r) = σ(x1 , x2 )δ(x3 ). Damit ergibt sich
Z
Z
Z
%(~r) 3
σ(x1 , x2 )
d ~r =
dx1 dx2 =
E3 (x3 = 0+ ) dx1 dx2 + O(δ),
0
0
v
dS
dS
σ
+
d.h. E3 (x3 = 0 ) =
an der Leiteroberfläche.
0
35
Es wird angenommen, das alle Felder im Unendlichen verschwinden.
Die Richtungen der Koordinatenachsen ändern sich in jedem Punkt ~r der Oberfläche, so dass man ~e1 , ~e2 , ~e3 mit ~r
kennzeichnen sollte. ~e3 (= ~en ) ist in jedem Punkt der nach außen gerichtete Normaleinheitsvektor zur Leiteroberfläche,
so dass x3 = 0+ bzw. x3 = 0− einen Punkt im Äußeren bzw. im Inneren des Leiters bezeichnet.
36
X. Elektrostatik und Magnetostatik in Materie
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Insgesamt ist das elektrische Feld an der Oberfläche eines elektrischen Leiters gegeben durch
~ r) = σ(~r) ~en (~r) in einem Punkt ~r der Leiteroberfläche,
E(~
0
(X.9)
σ(~r)
wobei ~en (~r) den Normaleinheitsvektor zur Oberfläche im Punkt ~r bezeichnet.
stellt also den
0
Sprung E⊥ (~r) der Normalkomponente E⊥ (~r) bei der Oberfläche dar.
Die Gesamtladung Q des Leiters folgt aus der Integration dieses Resultats über die ganze Oberfläche:
Z
Z
Z
2~
2
~
~ r) · d2 S,
~
(X.10)
∇Φ(~
E(~r) · d S = −0
Q=
σ(~r) d S = 0
∂V
∂V
∂V
mit d2 S~ = d2 S ~en (~r) in jedem Punkt der Oberfläche.
Bemerkungen:
~ von den positiv geladenen Bereichen des Leiters
∗ Gleichung (X.9) bedeutet, dass das Feld E
stammt und in den negativ geladenen Bereichen endet.
~ = ~0 in der unmittelbaren Nachbarschaft
∗ Eine detaillierte Analyse zeigt, dass die Bedingung E
der Oberfläche tatsächlich nicht erfüllt wird. Folglich sind die Ladungsträger nicht auf der „mikroskopischen“ Oberfläche, sondern über eine Dicke von einigen Atomschichten verteilt. Wiederum ist
~ nicht unstetig, sondern dessen Betrag variiert von 0 bis σ/0 über
für feine Auflösungen das Feld E
diese gleiche Dicke.
∗ Laut der Relation (X.9) hängt das elektrische Feld in einem Punkt ~r der Leiteroberfläche nur von
der „lokalen“ makroskopischen Ladungsverteilung σ(~r) im selben Punkt ab, nicht von der Verteilung
der anderen Ladungen.
~ 1 = σ/(20 )~en des
Außerdem sieht es so aus, als ob Gl. (X.9) in Widerspruch zum Ausdruck E
Feldes einer unendlich ausgedehnten Ebene stände (s. z.B. Demtröder [3] Kapitel 1.2.1).
Sei ein Flächenelement d2 S der Leiteroberfläche sowie ein unendlich benachbarter Punkt M : von
M aus wird d2 S unter einem Raumwinkel 2π gesehen, d.h. wie eine unendliche Ebene, so dass
~ 1 = σ/(20 )~en ist. Folglich ist das durch die anderen
das durch d2 S erzeugte Feld in M gerade E
2
Ladungen — des Leiters, zu dem d S gehört, oder anderer Leiter — erzeugte Feld in M gegeben
~ 2 = σ/0~en − E
~ 1 = σ/(20 )~en , unabhängig von der genauen Verteilung jener anderen
durch E
Ladungen.
Sei jetzt der Punkt M 0 symmetrisch von M bezüglich der Leiteroberfläche. Das durch die anderen
~ 2 , weil M und M 0 für entfernte LaLadungen erzeugte Feld in M 0 ist dasselbe wie in M , d.h. E
2
~ 0 = σ/(20 )(−~en ):
dungen denselben Punkt darstellen. Andererseits erzeugt d S in M 0 ein Feld E
1
0
0
~
~
~
insgesamt ist das Feld in M genau E1 + E2 = 0, wie in einem Punkt im Inneren des Leiters zu
erwarten ist. Gleichung (X.9) lässt sich also mit dem Feld einer unendlich ausgedehnten Ebene
vereinbaren.
X.1.3 Elektrisches Feld außerhalb eines Leiters
Das elektrische Potential im Äußeren eines Leiters bzw. eines Systems von Leitern lässt sich
berechnen durch Lösung der Laplace-Gleichung (X.8) mit den Randbedingungen Φ = const. an der
Oberfläche ∂ V a jedes Leiters und mit dem Zusammenhang (X.10) für jeden Leiter. Dann ist das
elektrische Feld durch Gl. (X.7) gegeben.
Einige Eigenschaften des elektrischen Felds im Äußeren eines Leiters können mithilfe qualitativer
Argumente hergeleitet werden. Ein gutes Beispiel davon ist das
X. Elektrostatik und Magnetostatik in Materie
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X.1.3
a Feld in der Nachbarschaft einer Spitze
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Sei ein geladener elektrischer Leiter mit einer Spitze, d.h. mathematisch einem Bereich hoher
Krümmung.
B
A
~ normal. Somit wächst der Querschnitt einer
An der Leiteroberfläche ist das elektrische Feld E
~
Feldröhre — durch die der Fluss von E konstant bleibt — viel schneller in der Nachbarschaft der
Spitze (Punkt A) als in Bereichen kleinerer Krümmung wie in der Umgebung des Punkts B.
Andererseits wird weit vom Leiter dieser als punktförmig gesehen, so dass dessen Feld denselben
Wert in davon gleich entfernten Punkten annimmt. Bei solchen Abständen ist der Fluss des elektri~ identisch. Wenn man die Feldlinien von E
~
schen Felds durch gleich große Flächen senkrecht zu E
von großen Abständen aus heraufkommt, folgt aus der Erhaltung des Flusses, dass das Feld höhere
Werte in A als in B annimmt.
Bemerkung: Eine Berechnung des elektrischen Felds in der Nachbarschaft einer kegelförmigen
Spitze auf einem Leiter befindet sich in Landau–Lifschitz [4] § 3 Aufgabe 4.
X.1.3
b Spiegelladungsmethode
::::::::::::::::::::::::::::::
Quantitative Lösungen für die Feldkonfiguration außerhalb eines Leiters können in einigen Fällen
auch analytisch berechnet werden. Eine geeignete Methode beruht auf der Unizität der Lösung der
Laplace-Gleichung mit gegebenen Randbedingung.
Sei ein zu lösendes Problem
mit einem Leiter und Ladungen außerhalb davon, entsprechend
P P 1 (3)
einer Ladungsdichte %(~r) = i qi δ (~r − ~xi ), mit ~xi den Positionen der Ladungen. Sei dann ein
anderes Problem P 2 ohne Leiter aber mit denselben Ladungen an den ~xi sowie zusätzlichen Ladungen („Spiegelladungen“) innerhalb des durch den Leiter leer gelassenen Raums. Wenn das (lösbare!)
Problem P 2 zu einem Potential Φ führt, wovon eine Äquipotentialfläche mit der Fläche des Leiters
vom Problem P 1 übereinstimmt, dann ist das Potential außerhalb dieser Äquipotentialfläche gleich
dem Potential von P 1 außerhalb des Leiters.
Als Beispiel dieser Methode sei das Problem P 1 eines Leiters, der den
Halbraum z > 0 füllt, mit einer Punktladung q außerhalb des Leiters im
Punkt ~xq = (0, 0, −a). Im Bereich z < 0 — d.h. im Äußeren des Leiters —
ist das Potential Lösung der Poisson-Gleichung 4Φ(~r) = qδ (3) (~r − ~xq )/0 ,
mit der Randbedingung Φ = Konstante für z = 0.
@
@
@
@
q0
q
• a - @
@ a •
@
@
@
@
z
-
Sei dann das Problem P 2 mit zwei Punktladungen in einem sonst leeren Raum: eine Punktladung
q sitzt im Punkt ~xq = (0, 0, −a) und eine Punktladung q 0 im Punkt −~xq = (0, 0, a). Diese Ladungen
erzeugen das Potential
q
q0
Φ(~r) =
+
,
4π0 |~r − ~xq | 4π0 |~r + ~xq |
q (3)
q0
δ (~r − ~xq ) + δ (3) (~r + ~xq ) im ganzen Raum.
0
0
Dieses Potential stellt eine spezielle Lösung der Gleichung 4Φ(~r) = qδ (3) (~r − ~xq )/0 für z ≤ 0 dar,
die konstant (und null) für z = 0 ist wenn q 0 = −q. Das Potential Φ ist also auch Lösung für z ≤ 0
des ursprünglichen Problems P 1 .37
Lösung von 4Φ(~r) =
37
Die zweite Randbedingung, betreffend den Betrag des Felds an der Leiteroberfläche bzw. die Gesamtladung des
Leiters, wurde hier wegen der unendlichen Ausdehnung des Leiters nicht präzisiert.
X. Elektrostatik und Magnetostatik in Materie
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X.1.4 Elektrostatische Energie eines Systems von elektrischen Leitern
Sei ein System von elektrischen Leitern a, b, c... mit jeweils der Ladung bzw. dem Potential Qa ,
Qb , Qc ... bzw. Φa , Φb , Φc ... Die nach außen gerichteten Normaleinheitsvektoren zu den Leiteroberflächen ∂ V a , ∂ V b , ∂ V c ... werden als ~na , ~nb , ~nc ... bezeichnet.
~ r)2 /2
Die elektrostatische Energie des Systems folgt aus der Integration der Energiedichte 0 E(~
über das ganze Volumen V außerhalb der Leiter:
Z
Z
Z
0 ~ 2 3
0
0 ~ 3
~
~
~ r) − Φ(~r) ∇
~ · E(~
~ r) d3~r.
E =
E(~r) d ~r = −
E(~r) · ∇Φ(~r) d ~r = −
∇ · Φ(~r)E(~
2 V
2 V
2 V
~ · E(~
~ r) = 0 einsetzen, und zum anderen das
Im Term auf der rechten Seite kann man zum einen ∇
~
Volumenintegral der Divergenz von Φ(~r) E(~r) mithilfe des Integralsatzes von Gauß in ein Oberflächenintegral transformieren. Ein Teil der Oberfläche des Volumens V sitzt im Unendlichen, wo die
Felder als null angenommen werden, und der Rest entspricht den Oberflächen der Leiter. Dann gilt
Z
0 X
~ r) · (−d2 S ~nj ),
E =−
Φ(~r)E(~
2
∂Vj
j
d.h. unter Berücksichtigung der Gleichförmigkeit des Potentials an jeder Leiteroberfläche sowie der
Beziehung (X.10)
X1
E =
Φj Qj ,
(X.11)
2
j
analog der Energie eines Systems von Punktladungen.
Bemerkung: In der Berechnung der elektrostatischen Energie wurden die Beiträge der Leiter weggelassen, indem die Energiedichte nur über das Volumen außerhalb der Leiter integriert wurde. Dies
kommt dem
der inneren Energien der Leiter gleich: innerhalb jedes Leiters ist zwar
Vernachlässigen
2
~
~
E(~r) = 0, ~e(~r) ist aber nicht Null.
~ des
Sei jetzt eine Variation δQj der Ladungen. Eine solche Variation führt zu einer Änderung δ E
Feldes im Bereich außerhalb der Leiter, und damit zu einer Variation der elektrostatischen Energie38
Z
X
~ r) · δ E(~
~ r) d3~r =
δE = 0 E(~
Φj δQj ,
V
j
wobei die zweite Gleichung aus einer Herleitung analog zur Berechnung der Energie folgt. Dieses
Resultat kann nur mit Gl. (X.11) in Übereinstimmung gebracht werden, wenn jede Ladung Qj eine
Linearkombination der Potentiale ist:
X
Qj =
Cji Φi , ∀j.
(X.12)
i
Die Cji heißen Kapazitätskoeffizienten. Diese Relationen können invertiert werden
X
−1
Φj =
Cji
Qi , ∀j,
(X.13)
i
mit
−1
Cji
den Koeffizienten der inversen Matrix zu der der Cji .
Somit lautet schließlich die elektrostatische Energie (X.11)
X1
X1
Cij Φi Φj =
C −1 Qi Qj ,
E =
2
2 ij
d.h. Cij =
38
(X.14)
i,j
i,j
∂2E
∂2E
−1
bzw. Cij
=
.
∂Φi ∂Φj
∂Qi ∂Qj
Wenn man statt der Ladungen die Potentiale variieren lässt, lautet die darausfolgende Energievariation
X
δE =
Qj δΦj .
j
X. Elektrostatik und Magnetostatik in Materie
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Theoretische Physik IV
Bemerkung: Aus diesen Relationen folgen nach Austausch der Ordnung der Ableitungen die Sym−1
−1
metrien Cij = Cji bzw. Cij
= Cji
.
Literatur
• Feynman [5, 6], Kapitel 5-9–5-10, & 6-6–6-12
• Griffiths [7], Kapitel 2.5 & 3.2
• Landau–Lifschitz [4], Kapitel I § 1–3 und Kapitel III § 21.
X. Elektrostatik und Magnetostatik in Materie
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