Sinussatz

Sinussatz
In einem Dreieck
C
γ
a
b
α
β
c
A
B
verhalten sich die Längen der Seiten wie die Sinuswerte der
gegenüberliegenden Winkel:
sin β
sin γ
sin α
=
=
a
b
c
bzw. sin α : sin β : sin γ = a : b : c.
Sinussatz
1-1
Beweis:
betrachte die durch eine Höhe begrenzten rechtwinkligen Teildreiecke
b
α
a
h
β
b
Sinussatz
2-1
Beweis:
betrachte die durch eine Höhe begrenzten rechtwinkligen Teildreiecke
b
a
h
α
β
b
sin α =
h
,
b
sin β =
h
a
Sinussatz
2-2
Beweis:
betrachte die durch eine Höhe begrenzten rechtwinkligen Teildreiecke
b
a
h
α
β
b
sin α =
h
,
b
=⇒
sin α : sin β =
sin β =
h
a
h h
: =a:b
b a
Sinussatz
2-3
Beispiel:
Entfernung d zweier schwer zugänglicher Punkte P und Q
Sinussatz
3-1
Beispiel:
Entfernung d zweier schwer zugänglicher Punkte P und Q
P
d
Q
α
b
a
A
30◦
30◦
c = 100
45◦
^(APB) = 90◦ − 60◦ = 30◦
a = 100/ sin 30◦ = 200
Winkelsumme gleich 180◦
α = 15◦
B
Sinussatz
3-2
Beispiel:
Entfernung d zweier schwer zugänglicher Punkte P und Q
P
d
Q
α
b
a
A
30◦
30◦
c = 100
Sinussatz
45◦
^(APB) = 90◦ − 60◦ = 30◦
a = 100/ sin 30◦ = 200
Winkelsumme gleich 180◦
α = 15◦
B
=⇒ b : 100 = sin 135◦ : sin 15◦ , d.h.
b ≈ 100 · 0.7071/0.2588 = 273.2
Sinussatz
3-3
Beispiel:
Entfernung d zweier schwer zugänglicher Punkte P und Q
P
d
Q
α
b
a
A
30◦
30◦
c = 100
Sinussatz
45◦
^(APB) = 90◦ − 60◦ = 30◦
a = 100/ sin 30◦ = 200
Winkelsumme gleich 180◦
α = 15◦
B
=⇒ b : 100 = sin 135◦ : sin 15◦ , d.h.
b ≈ 100 · 0.7071/0.2588 = 273.2
Kosinussatz
=⇒
d 2 = a2 + b 2 − 2ab cos 30◦ , d.h.
d ≈ (40000 + 74640 − 2 · 54640 · 0.8660)1/2 = 141.4
Sinussatz
3-4
exakte algebraische Rechnung:
Sinussatz
3-5
exakte algebraische Rechnung:
Additionstheorem
=⇒
1/2 = sin(30◦ ) = 2s
p
1 − s 2,
| {z }
s = sin(15◦ )
cos(15◦ )
d.h.
(1/4)2 = s 2 (1 − s 2 )
und s =
p
2−
√
3/2 (Lösung in (0, 1/2))
Sinussatz
3-6
exakte algebraische Rechnung:
Additionstheorem
=⇒
1/2 = sin(30◦ ) = 2s
p
1 − s 2,
| {z }
s = sin(15◦ )
cos(15◦ )
d.h.
(1/4)2 = s 2 (1 − s 2 )
und s =
p
2−
√
3/2 (Lösung in (0, 1/2))
Skalierung der Längen mit dem Faktor 1/100, cos(30◦ ) =
√
3/2
a = 2
1
2
√ p
√
2 2− 3
√
4
2
3
2
√ −2·2· √ p
d = 4+
=2
√ ·
2(2 − 3)
2 2− 3 2
√
dunskaliert = 100 2)
b =
(
Sinussatz
3-7
Beweis der letzten Gleichheit durch Umformung
√
2
4 3
√ =√ p
2+
√
2− 3
2 2− 3
Sinussatz
3-8
Beweis der letzten Gleichheit durch Umformung
√
2
4 3
√ =√ p
2+
√
2− 3
2 2− 3
√
√
1/(2 − 3) = 2 + 3 und Quadrieren
√
36 + 24 3 + 12 =
48
√
2(2 − 3)
Sinussatz
3-9
Beweis der letzten Gleichheit durch Umformung
√
2
4 3
√ =√ p
2+
√
2− 3
2 2− 3
√
√
1/(2 − 3) = 2 + 3 und Quadrieren
√
36 + 24 3 + 12 =
48
√
2(2 − 3)
Übereinstimmung nach Erweitern der rechten Seite mit 2 +
Sinussatz
√
3
3-10