GRUNDWISSEN 7. KLASSE – EINHEIT 2 SYMMETRIEN, BESONDERE WINKEL, BESONDERE DREIECKE, KONGRUENZ BEI DREIECKEN UND WICHTIGE KONSTRUKTIONEN SYMMETRIEN Symmetrie zu einer Achse a Die Achsenspiegelung: Zu einer Achse a wird jedem Punkt P der Zeichenebene ein Bildpunkt P’ zugeordnet: Falls , liegt P’ so, dass [PP’] von der Achse a rechtwinklig halbiert wird. Falls ist, gilt P = P’ (P heißt Fixpunkt) Eine Figur, die bei einer Achsenspiegelung wieder auf sich abgebildet wird, heißt achsensymmetrisch. Bsp.: Die Figur ist zur Achse a symmetrisch. Der Punkt P geht durch Achsenspiegelung in P’ über. F ist ein Fixpunkt. Symmetrie zu einem Punkt P Die Punktspiegelung: Zum Zentrum Z wird jedem Punkt P der Zeichenebene ein Bildpunkt P’ zugeordnet: Für P ≠ Z liegt P’ so, dass P’ PZ und ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Für P = Z ist P’ = Z (P heißt Fixpunkt). Eine Figur, die bei einer Punktspiegelung wieder auf sich abgebildet wird, heißt punktsymmetrisch. Bsp.: Die Figur ist zum Zentrum Z punktsymmetrisch. Der Punkt P geht durch Punktspiegelung in P’ über. BESONDERE WINKEL Geradenkreuzung: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, bilden eine Geradenkreuzung. Nebeneinander liegende Winkel (α und β) heißen Nebenwinkel, sie ergeben zusammen stets 180°. Gegenüberliegende Winkel (α und α, oder β und β) heißen Scheitelwinkel. Sie sind gleich groß. g h Innenwinkel bei Dreiecken und Vierecken: Die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck ergibt 180°, in jedem Viereck 360°. Die Innenwinkelsumme eines beliebigen nEcks beträgt allgemein: ( ) Bsp.: Bei einem 5-Eck beträgt die Innenwinkelsumme immer ( ) Doppelkreuzung: Die beiden Winkel 1 und 2 heißen Stufenwinkel. Die Winkel 1 und 1 sowie 2 und 2 heißen Wechselwinkel. Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind. g h BESONDERE DREIECKE Das gleichschenklige Dreieck Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten (Schenkel) heißt gleichschenklig. Die dritte Seite heißt Basis. Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig: Das Dreieck ist gleichschenklig. Das Dreieck ist achsensymmetrisch. Das Dreieck besitzt zwei gleich große Basiswinkel. Basis Das gleichseitige Dreieck Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt gleichseitig. Seine Innenwinkel betragen jeweils 60°. 60° 60° 60° Das rechtwinklige Dreieck Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel, wenn C auf dem Halbkreis über [AB] liegt. (Thaleskreis) C C’ A B KONGRUENZ BEI DREIECKEN Figuren, die deckungsgleich sind heißen kongruent. Sind zwei Figuren F und G kongruent, so schreibt man kurz . In kongruenten Figuren sind entsprechende Winkel gleich groß und entsprechende Seiten gleich lang. Kongruenzsätze für Dreiecke SSS Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten übereinstimmen. SWS Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen. WSW und SWW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen. SsW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen. WICHTIGE KONSTRUKTIONEN Mittelsenkrechte 1. Kreis um P und Q mit gleichem Radius r. 2. Gerade durch die Schnittpunkte der beiden Kreise ist die Mittelsenkrechte von [PQ]. Winkelhalbierende 1. Kreis um S mit beliebigem Radius r. Die beiden Schnittpunkte P1 und P2 mit den Schenkelen bilden eine neue Strecke. 2. Mittelsenkrechte zu [P1P2] ist die Winkelhalbierende w. Lot errichten ( ) 1. Kreis um P schneidet die Gerade g in S1 und S2. 2. Mittelsenkrechte der Strecke [S1S2] ist das gesuchte Lot Lot fällen ( ) 1. Kreis mit Radius r um P mit Schnittpunkten S1 und S2 auf g. 2. Mittelsenkrechte der Strecke [S1S2] ist das gesuchte Lot.