Geometrie - ftb
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GIBZ Gewerblich-industrielles Bildungszentrum ZUG 2. KON1/PME1/AU1 Geometrie Aehnliche, kongruente und symmetrische Dreiecke Betrachen wir die Dreiecke ABC und DEF, so haben diese auf dem ersten Blick nichts gemeinsam: Drehen wir jedoch Dreieck ABC soweit nach links, dass die Seite AC zur Horizontalen wird und verschieben wir danach das Dreieck DEF nach links, dann sehen wir, dass beide Dreiecke sich sehr ähnlich sind, Dreieck ABC jedoch etwas „grösser“ ist als Dreieck DEF. Beide Dreiecke haben genau die gleiche Form, jedoch ungleiche Grössen, man nennt sie deshalb ähnliche Dreiecke Die beiden Dreiecke links haben nicht nur die gleiche Form, sondern auch die gleiche Grösse. Würde man das rechte Dreieck noch etwas nach links verschieben, würde dieses das andere komplett überdecken. Man spricht deshalb von deckungsgleichen oder kongruenten Dreiecken Kap. 1: Dreiecke, Vierecke, Polynome Seite 6 GIBZ Gewerblich-industrielles Bildungszentrum ZUG KON1/PME1/AU1 Geometrie Aehnlichkeitssätze: (Quelle: Wikipedia) Die ersten drei Ähnlichkeitssätze* für Dreiecke lauten: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei (und somit in drei Winkeln übereinstimmen. (W:W-Satz) Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. (S:S:S-Satz) Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen. (S:W:S-Satz) Kongruenzsätze : (Quelle: Wikipedia) Als Kongruenzsatz bezeichnet man in der Geometrie Aussagen, anhand derer sich einfach die Kongruenz von Dreiecken nachweisen lässt. SSS-Satz: Zwei Dreiecke, die in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen, sind kongruent. WSW-Satz: Zwei Dreiecke, die in einer Seitenlänge und in den dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent. SWS-Satz: Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind kongruent. SsW-Satz: Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in jenem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt, sind kongruent. Hierbei wird die Einschränkung gegenüber einem nicht allgemein existierenden SSW-Satz durch eine entsprechende Schreibweise oder Kennzeichnung (etwa SsW, Ssw oder SSW g, siehe die Abbildung unten zum Ausdruck gebracht. *) Der 4. Aehnllichkeitssatz wird beim Thema Gegenwinkel behandelt. Kap. 1: Dreiecke, Vierecke, Polynome Seite 7 GIBZ Gewerblich-industrielles Bildungszentrum ZUG KON1/PME1/AU1 Geometrie Symmetrische Dreiecke Wenn zwei Dreiecke spiegelbildlich gleich sind, spricht man von symmetrischen Dreiecken. Genau in der Mitte zwischen den Dreiecken verläuft die sogenannte Symmetrieachse, d.h. die Achse um welches das Dreieck gespiegelt wird. Uebungs-/Hausaufgaben: Zeichnen Sie folgende Dreiecke und bestimmen Sie ob diese ähnlich, kongruent, symmetrisch oder gänzlich unähnlich sind (alle Seitenangaben in mm). Dreieck ABC Dreieck DEF 1. Winkel CAB = Winkel ABC = 65°, c = 50 Winkel DEF = Winkel EFD = 65°, d = 50 2. a = 52, b = 64, c = 36 d = 64, e = 36, f = 52 3. Winkel CAB = 80°, b = 80, c = 40 Winkel DEF = 40°, Winkel EFD = 60°, e = 80, f = 40 4. a = 30, b = 40, c = 50 d = 60, e = 80, f = 75 Kap. 1: Dreiecke, Vierecke, Polynome Seite 8
