2. Stationäre elektrische Felder in Leitern 2. Das stationäre elektri

-235-
Theoretische Elektrotechnik TET 1
2. Stationäre elektrische
Felder in Leitern
• Die elektrische Stromdichte
• Grundgleichungen des stationären Strömungsfeldes
• Widerstand und Leitwert
• Grenzbedingungen
• Energie und Leistungsumsatz
[Buch Seite 70-87]
-236-
Theoretische Elektrotechnik TET 1
Üblicherweise wird dieses Kapitel eher wie folgt überschrieben!
2. Das stationäre elektrische Strömungsfeld
• Die elektrische Stromdichte
• Grundgleichungen des stationären Strömungsfeldes
• Widerstand und Leitwert
• Grenzbedingungen
• Energie und Leistungsumsatz
[Buch Seite 70-87]
1
-237-
Stationäres elektrisches Feld im Leiter
Zur Bedeutung von «stationär»
(1) Metallischer Leiter im elektrischen Feld:
+
+
E
feldfrei
–
–
i
+
E
u
E
–
i
E
Stationäres
elektrisches
Feld im Leiter?
Kurzzeitiges Ungleichgewicht (< 10 fs),
d.h. Ladunsgträger wandern schnell
an die Oberfläche. Im nachfolgenden
Gleichgewicht ist Inneres feldfrei!
Langandauerndes Ungleichgewicht:
Quelle hält Potentialdifferenz aufrecht,
Ladungsträger wandern ständig, d.h.
stationär; Inneres ist nicht feldfrei.
-238-
Stationäres elektrisches Feld im Leiter
Zur Bedeutung von «stationär»
(2) Das elektrische Strömungsfeld:
«Nachschub»
u
J
• Wird die Potentialdifferenz (Spannung u) mit Hilfe
einer (starren) Urspannungsquelle aufrecht erhalten, dann herrscht auch im Innern des Metalls
ein elektrisches Feld vor.
i
+
+
vD +
+
+
E
+
i
Erster Hinweis auf
die Elektrodynamik.
• Ladungen wandern stetig (Geschwindigkeit vD) entsprechend der im Innern wirkenden Coulombkraft.
• Es findet ein dauernder, d.h stationärer Ausgleichsvorgang der Ladungen statt.
• Dieser kann nur aufrecht erhalten werden, wenn
die Spannungsquelle Ladungen «nachliefert», was
der Aufrecherhaltung der Spannung entspricht.
• Die Gesamtheit der stetig wandernden Ladungen
wird mit dem stationären Strömungsfeld J umschrieben (wird oft auch mit S oder G bezeichnet).
2
-239-
Elektrische Stromdichte I
Ladungsträgerbewegung
(1) Strom als «Ladungszufuhr» von positiven Ladungsträger:
Elektrode (El)
u
J
i A
+ vD D E
+ s +
+
D = Dn n
i
totales Differenzial :
d = t dt + s ds
Stationärer Fall:
dQ
i=
dt
Integrationshülle ohne de
dA
Q=
dA = D n
D n
dF
El / A
dF
de d de
DdF
=
dt
dt
dt
d
ds D-Feld ist auch
= + = + v
dt t dt s t
s ortsabhängig.
de D D A =
dF + v n n dF
dt
s t
A
Q
vD
V = di
=0
(
di =
Elektrische Stromdichte II
)
-240-
Ladungsträgerbewegung
(2) Ladungsträgerstrom
Elektrode (El)
u
J
i A
+ vD D E
+ s +
+
i
Vom Typ «Stromdichte» und heisst
Verschiebungsstromdichte (später).
Im stationären Fall 0.
de D
di =
=
dF + vD dF
dt
t
(im stationären Fall)
di = vD dF = J dF
J = vD Stromdichte des Strömungsfeldes
di = J n dA = J n dA dF = n dA
Jn =
di
dA
Stromdichte als Flächendichte des
elektrischen Stromes.
Merke: Beim Strömungsfeld der bewegten Ladungsträger handelt es sich um einen sogenannten Konvektionsstrom. Im Leiter wird der Konvektionsstrom zum Leitungsstrom.
3
-241-
Elektrische Stromdichte III
Ladungsträgerbewegung
(3) Stromdichte und elektrische Stromstärke:
di = J n dA
i
A
J
i = di = J n dA
A
n
i
Elektrischer Strom:
i
i = J n
dA
A
A
dF
(4) Bezugspfeil der Stromstärke:
(A) Der Vektor der Stromdichte J wird physikalisch vorgegeben (durch die Ladungsträgerbewegung).
(B) Der Bezugspeil der Stromstärke i (kein Vektor!) ist
gleichsinnig zu wählen, wie der willkürlich nach
oben/unten orientierte Flächennormalenvektor.
(C) Die Stromstärke ist positiv bei n und J gleichgerichtet und negativ wenn entgegengesetzt gerichtet.
-242-
Elektrische Stromdichte IV
Ladungsträgerbewegung
(5) Das Gesamtbild:
J = v
J = v
>0
>0
J = v
J = v
<0
<0
4
Elektrische Stromdichte V
-243-
Ladungsträgerbewegung
(6) Strömungsfeld aus unterschiedlichen Ladungsträgern:
J = (+ ) v(+ ) + ( ) v( ) = J ( + ) + J ( )
mit :
• Positive und negative Ladungsträger: bipolarer Stromtransport.
(+) + () = 0 (Neutralitätsbedingung )
J = (+ ) v(+ ) v( )
(
)
• Aus historischen Gründe entspricht die technische Stromrichtung der «Fliessrichtung»
der positiven Ladungsträge.
• Alternative Szenarien des
Ladungstransportes wie z.B.
Zur Orientierung von J( ) siehe
auch Folie 242.
(a) die Ladungsbewegung im
Vakuum (Elektronenstrahl),
(b) die Ladungsbewegung im
Elektrolyten,
(c) die Ladungsbewegung im
Halbleiter,
Zur Neutralitätsbedingung vergleiche
auch Folien 11 (abgeschlossene
Systeme) 12 (starke Kräfte) und
113 (Realstatus Potential in QED).
werden in GET1 diskutiert.
Elektrische Stromdichte VI
-244-
Ladungserhaltung
(1) Bilanz der Stromstärke für eine geschlossene Hüllfläche:
J
J
dF
V
i
• Ladungserhaltung: Bilanz des Ladungstransports durch die
Hüllfläche ist ausgeglichen, d.h. Ein- und Ausfuhr von Ladung
heben sich auf. Die Zuleitung (cf. Folie 240) ist nun endlich
dick und kann in V mitberücksichtigt werden. Es ergibt sich
für die Bilanz der externen Stromstärken des Leiters Null:
D i=
V t + J dF =
Dd
F
+
J
= V dF =
t V
D
dV
+
J
= div
dF := 0
t
V
V
5
-245-
Elektrische Stromdichte VII
Ladungserhaltung
(2) Die Kontinuitätsgleichung:
J
J
dF
t
dV
+
J
dF = 0
V
Ladungserhaltung
V
• Die Rate der Ladungsänderung im Volumen V entspricht
gerade den ein- und austretenden elektrischen Strömungsfeldern.
V
• Wird das Volumen V als Knoten interpretiert, dann gilt:
dQ
+ i = 0
dt
i
stationärer
Fall
i
=0
Kirchhoffscher
Knotensatz !
-246-
Elektrische Stromdichte VIII
Ladungserhaltung
(2) Die Kontinuitätsgleichung:
t
stationärer
dV
+
J
Fall
dF = 0 V
dF
J
V
V
Grundgesetz des stationären
Strömungsfeldes. Dies ist
eine Verallgemeinerung des
Knotensatzes.
+
div
J
dV = 0
t
V
J
dF = 0
V
J
dA = 0
n
V
dF
Integral-Form
+ div J = 0 stationärer
div
J
=0
Fall
t
Kontinuitätsgleichung
Differential-Form
6
-247-
Elektrische Stromdichte IX
Zur Mikrophysik des Ladungstransportes
(1) Kopplung zwischen elektrischer Feldstärke und Ladungsträgerbewegung:
s result.
• zylindrischer Leiter
• Es sei: T > 0
q>0
q
q
q
x
E
U (Quellen spannung)
a)
b)
Nur statistisch ungeordnete
Temperaturbewegung: Im Zeitmittel kein Ladungstransport.
Ungeordnete Temperaturbewegung wird durch
eine feldinduzierte Driftbewegung überlagert:
Im Zeitmittel findet ein Ladungstransport statt.
-248-
Elektrische Stromdichte X
Zur Mikrophysik des Ladungstransportes
(1) Kopplung zwischen elektrischer Feldstärke und Ladungsträgerbewegung:
v thermisch
s result.
q
q
4
2
3
1
x
E
sresult E
(detailiertere Herleitungen finden sich in
GET1 ab Folie 124).
• Resultierende mittlere Geschwindigkeit (Driftgeschwindigkeit):
sresult
v =
= b E =: vD
i
b: Beweglichkeit der
Ladungsträger q
im gegebenen
Leitermaterial.
i : mittlere Laufzeit.
Stösse i
• Kopplung der elektrischen Feldstärke zur Stromdichte (Folie 240):
J = vD = b E = E
Im stationären Fall ist die Stromdichte J proportional zum E-Feld, mit der
elektrischen Leitfähigkeit als Proportionalität (weiteres Grundgesetz).
J = E
[ ] = Sm 1
: elektrische
Leitfähigkeit.
7
-249-
Elektrische Stromdichte XI
Zur Mikrophysik des Ladungstransportes
(2) Fazit:
J = E
• Als Ursache elektrischer Strömungsfelder und Stromstärken
müssen elektrische Felder vorhanden sein.
• Dies ist eine allgemeine Darstellung des Ohmschen Gesetzes.
[Sm/mm2]
Ag
62.5
Cu
58.8
Au
43.5
Al
35.7
Querschnitt: mm2
Länge:
m
oder:
Ag = 62.5·106 S/m
• Die Beweglichkeit b ist für negative Ladungsträger auch
negativ. Somit ist die Leitfähigkeit stets eine positive Grösse.
• Die Leitfähigkeit widerspiegelt die «Reibung» der Ladungsträger am Ionengitter des Leitermaterials.
• Das Ohmsche Gesetz gilt nicht immer: Es gibt auch kompliziertere Zusammenhänge zwischen J und E (z.B. wenn das
Magnetfeld die Leitfähigkeit beeinflusst).
• Selbst bei kleinen Strömen bewegen sich bereits erhebliche
Ladungsmengen durch das Ionengitter, fast unbemerkt von
aussen: (a) Der Leiter ist neutral, (b) Trägerstrom und feste
Ionenbilden temporäre Di- bzw. Multi-Pole mit entsprechend
lokal abklingenden Feldern (siehe Folie 63).
Elektrische Stromdichte XII
-250-
Beispiel: «Ladungsträgerrelaxation»
(1) Das instationäre zeitliche Verhalten des Ladungsausgleichs:
• Das Innere des
Leiters ist feldfrei,
d.h. es ist auch
ladungsfrei, bzw.
neutral.
D (I)
=
+ div J = 0 + div E =
+ div
+ t
t
t
t Beschreibt das
(II) J = E
Zeitverhalten im
+ = 0
Innern des Leiters.
t (III) div D = (
)
8
Elektrische Stromdichte XIII
-251-
Beispiel: «Ladungsträgerrelaxation»
(1) Das instationäre zeitliche Verhalten des Ladungsausgleichs:
+ = 0
t T + T = 0
t Ansatz :
( r,t ) := 0 ( r ) T ( t )
T ( t ) = C e
t
t
= C e
t
R
t
( r,t ) = 0 ( r ) C e R = 0 ( r ) e R R =
(2) Mit Zahlen für Silber:
= 0 = 8.854 10 12
= 62.5 10
6 S
m
F
m
R = 1.42 10 19 s
Relaxationszeitkonstante
Elektrische Stromdichte XIV
-252-
Beispiel: «Ladungsträgerrelaxation»
(2) Relaxation der Raumladungsdichte im metallischen Leiter:
Fragen: Driftet die Ladung wegen
R = 1.42·10–19 s mit Überlichtgeschwindigkeit auseinander?
Gilt das Driftmodel der
Ladungsträgerbewegung noch?
9
-253-
Der elektrische Stromkreis I
Beschreibung der Spannungsquelle
(1) Elektromotorische Kraft und Ladungstrennung:
• Elektromotorische Kraft: In der Spannungsquelle gibt
es eine nichtelektrische, antreibende Kraft (z.B.
chemisch), welche die Ladungstrennung vornimmt.
• Dieser Kraftwirkung kann in der Quelle ein «fiktives»
elektrisches Feld Eemk zwischen b-a zugrunde gelegt
werden. Eine solche «elektrostatische Repräsentation» der elektromotorischen Kraft heisst auch
eingeprägte Feldstärke Eemk.
• Durch die Ladungstrennung entsteht ein Quellenfeld
EQ, welches in der Quelle, d.h. zwischen b-adas «antreibende» Feld Eemk kompensiert: EQ + Eemk = 0
• Konsequenz: Mit elektrostatischen Feldern können
keine Ladungen getrennt werden, was wiederum auf
die «nichtelektrische Natur» von (statischen) elektrischen Quellen hinweist.
-254-
Der elektrische Stromkreis II
Beschreibung der Spannungsquelle
(2) Zwei Zugänge zur
Urspannung:
(a) Urspannung über das externe Feld EQ (Quellenfeld),
mit E = 0 entlang von b-a:
E
dl =
/{ba}
EQ dl = EQ dl = uQ
(b) Eingepägte Spannung über das interne Feld Eemk
(«Stromantrieb») mit Eemk = 0 ausserhalb von b-a:
(a) E
d
l
=
E
+
E
d
l
=
E
d
l
emk Q
emk = uemk
(
)
Das externe Feld EQ hat
Ladungen als Ursache:
(b )
E
Q dl = 0
10
-255-
Der elektrische Stromkreis III
Beschreibung der Spannungsquelle
(2) Zwei Zugänge zur Urspannung:
(a)
uemk
= Eemk dl = Eemk dl = (b )
= Eemk dl =
(
Quelleninterne
Deutung der
Urspannung:
Antrieb innerhalb der Quelle
uemk = uba
)
= EQ dl = uQ
Mit Klemmen - als
Bezugspfeilrichtung:
Quellenexterne
Deutung der
Urspannung:
Antrieb über
die Klemmen
uQ = u 12
uQ = uemk
Der elektrische Stromkreis IV
-256-
Quelle und Strömungsfeld
(1) Der Stromkreis:
Äquipotentiale,
ÄquipotentialFlächen.
Umlaufintegral bezüglich EQ ist Null.
J (a) E dl = b Eemk dl + dl =
( )
J = uemk + dl = J = uQ + dl = 0 (A)
(B)
Mit:
(A): Umlaufintegral (physikalisch motiviert)
(B): Maschensatz (netzwerktheoretisch)
11
-257-
Der elektrische Stromkreis V
Quelle und Strömungsfeld
(2) Der elektrische Widerstand:
J u12 = 0 N = E dl = dl
0
i = J n
dA = J dF
dF
A
A
J 0 dl
u12
R12 =
= i
J dF
allgemein
A
-258-
Der elektrische Stromkreis VI
Quelle und Strömungsfeld
(2) Der elektrische Widerstand:
(A) Konstante Stromdichte (d.h. konstanter
Querschnitt) und konstante Leitfähigkeit:
dl
J n dx
u12
R12 =
= 0 =
i
J
n
dA
A
dF
Jn
dx
J
dA
0
n
A
R12 =
dx
0
dA
=
A
A
12
-259-
Der elektrische Stromkreis VII
Quelle und Strömungsfeld
(B) Zylindrische Anordnung mit variablem
Querschnitt und variabler Leitfähigkeit
(Variationen nur in x-Richtung):
(2) Der elektrische Widerstand:
R12 =
u12
=
i
0
Jn
dx
J
n
=
dA
A
R12 =
i
A dx
0
i
A dA
A
i
A dx
0
i
dx
( x ) A ( x )
0
=
Der elektrische Stromkreis VIII
-260-
Quelle und Strömungsfeld
(3) Spannungs- und Stromverhältnisse:
uQ
uQ
i
A1
J1
E-Feld (Spannung) ist Ursache
(links) und Wirkung (rechts) des
Strömungsfeldes J (Strom) !
u2
0
A2
i
u1
u1
1
u2
1 + 2
x
Ex
0
1
J2
u1
u2
2
E x1
J1 A11
E x 2 J 2 A21
x
13
-261-
Der elektrische Stromkreis IX
Zusammenhang zwischen Widerstand und Kapazität
(1) Widerstandsbehafteter Kondensator:
u = E dl
i=
J
dF
R C =
Merke:
Widerstand
und Kapazität hängen
nur von der
Geometrie
und dem
Material ab!
Gibt es eine
Verwandtschaft?
= R
V
R=
u
=
i
Q=
Dd
F
Mit «Stromdurchführung»
E
dl
V
Ohne «Stromdurchführung»
E
dl
= J dF E dF
V
V
Dd
F
E
V
V dF
Q C= =
=
u
E
d
l
E
dl
-262-
Die Grenzbedingungen I
Grenzbedingung der elektrischen Stromdichte
1
J1
(1) Grundgesetz des elektrischen Strömungsfeldes (Folie 246):
2
J2
Eingeschlossene
Ladung A
Stationärer Fall
t
dV
+
J
dF = 0
V
V
+ div J = 0
t
Integral-Form mit
«Integrationsbox» V
Differential-Form
(2) Wir verwenden an der Grenzschicht für den
Operator «div» die Flächendivergenz (Folie
96 ff.) und an Stelle von die Dichte .
+ n12 J 2 J1 = 0 + Div J = 0
n12 J 2 J1 = 0 t
t
(
)
(
)
14
-263-
Die Grenzbedingungen II
Grenzbedingung des elektrischen Potentials
1
n12
2
Grenzbedingungen bezüglich der Ableitung
des Potentials:
Div
J
=
n
J
J
=
(Folie 262)
12
2
1
P0
t
2
J = E
E = grad Flächen
ladungsdichte Div J = n12 ( 2 grad 2 1 grad 1 ) = t
(Folie 41)
grad n =
n = n12
n
2
1 2
1
2 n 1 n t = 0 Div J = 2 n + 1 n = t
1
P
(
)
-264-
Die Grenzbedingungen III
Brechungsgesetz der elektrischen Stromdichte
J1
1
2
n12
1
t
2
(2) Fallunterscheidungen:
( I) 2 :
1 = 0
(II) 2 0 :
1 = 2
1 endlich
(1) Kombination der Grenzbedingungen:
J2
J1 n12 = J 2 n12 1 E1 n12 = 2 E2 n12
E1 t = E2 t
1 E1 cos (1 ) = 2 E2 cos ( 2 ) (1)
E1 sin (1 ) = E2 sin ( 2 )
(2)
Gleichung ( 2)
untere
obere Gleichung (1)
tan (1 ) 1
=
tan ( 2 ) 2
Dieses Brechungsgesetz gilt für den
stationären Fall.
15
-265-
Die Grenzbedingungen IV
Beispiel: «Stromlinien»
J1
.
n12
J1
2 = 0
1
J n1 = J1 n12 = 0
1
=0
n
n12
2 1
J n1 = J1 n12 = 1 1
n
1
J
= n1
n
1
-266-
Die Grenzbedingungen V
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»
(1) Nichtstationäre Grenzbedingungen bei vorhandener Flächenladungsdichte:
J1
1 , 1
1
2 , 2
n12
t
2
(A) Nichtstationäres Strömungsfeld:
(
J2
+ n12 J 2 J1 =
+ J 2n J1n = 0
t
t
+ 2 E2n 1E1n = 0
t
1 NormalkomE2n = 1 E1n ponenten.
2
2 t
E1 t = E2 t
TangentialE2t = E1t
komponenten.
tan (1 ) E1t E1n E2n
=
=
tan ( 2 ) E2t E2n E1n
)
16
-267-
Die Grenzbedingungen VI
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»
(1) Nichtstationäre Grenzbedingungen bei vorhandener Flächenladungsdichte:
(A) Nichtstationäres Strömungsfeld:
tan (1 ) E2n 1
1 =
= tan ( 2 ) E1n 2 2 E1n t
D1
1
2
n12
1
t
2
D2
(B) Elektrische Flussdichte:
n12 D2 D1 = Dn2 Dn1 = (
)
2 E2n 1 E1n = E2n = 1 E1n + E
2t = E1t
2
tan (1 ) E2n 1
=
= +
tan ( 2 ) E1n 2 2 E1n
Gibt es zwei verschiedene Brechungsgesetze? Siehe Normalkomponenten!
Die Grenzbedingungen VII
-268-
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»
(1) Nichtstationäre Grenzbedingungen bei vorhandener Flächenladungsdichte:
tan (1 ) 1
! 1
1 = +
=
tan ( 2 ) 2 2 E1n 2 2 E1n t
• Da beide Brechungsgesetze auf dem Verhältnis der
gleichen elektrischen Feldkomponenten beruhen,
müssen beide Brechungsgesetze gelten, bzw. die
obenstehende Gleichung muss zwingend erfüllt sein.
• Die Flächenladungsdichte hat hier die Funktion, das
Brechungsgesetz der elektrischen Flüsse mit demjenigen der elektrischen Stromdichten zu verbinden.
• Welche Zeitentwicklung der Flächenladungsdichte
(t) ist zwingend notwendig, damit das (nichtstationäre) Brechungsgesetz gilt?
17
-269-
Die Grenzbedingungen VIII
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»
(2) Zeitentwicklung der Flächenladungsdichte:
1
! 1
1 +
=
2 2 E1n 2 2 E1n t
2 + = 2 E1n 1 1 2 t
2 2 2 + = 2 J1n 1 1 2 t
1
2 2 R2 Mit den Relaxationszeitkonstanten:
R1 =
1
1
R2 =
+ = J1n ( R2 R1 )
t
+
= J1n 1 R1 t R2
R2 2
2
-270-
Die Grenzbedingungen IX
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»
(3) Lösung der Differentialgleichung für die Flächenladungsdichte:
+
= J1n 1 R1 t R2
R2 (RB ) ( 0 ) := 0
+ Inhomogene Lösung:
= H + P (RB )
Homogene Lösung:
+
=0
t R2
H = 0 e
t
R2
Partikuläre Lösung:
+
= J1n 1 R1 = const.
t R2
R2 t
R2
( t ) = J1n ( R2 R1 ) 1 e P
= J1n 1 R1 R2
R2 P = J1n ( R2 R1 )
18
-271-
Die Grenzbedingungen X
Beispiel: «Nichtstationäres Brechungsgesetz»
(3) Lösung der Differentialgleichung für die Flächenladungsdichte:
J1n ( R2 R1 )
t
R2
( t ) = J1n ( R2 R1 ) 1 e • Für R1 = R2 bildet sich keine Flächenladung
auf der Grenzschicht.
• Diese Zeitentwicklung gilt für die vorgegebene Stromdichte J1n und nur bezüglich
des Brechnungsgesetzes aus Folie 268.
R2
t
-272-
Dielektrische Absorption I
Strömungsfeld in nichthomogenen Medien
(1) Die Kontinuitätsgleichung «revisited»:
+ div J = 0
div J = div D = div D + Dgrad t
J = E + + J grad = 0
J = D
t D = E + J grad
= 0
t J
+
= grad( R )
t R R
grad = grad 2
R =
19
-273-
Dielektrische Absorption II
Strömungsfeld in nichthomogenen Medien
(2) Diskussion:
J
+
= grad( R )
t R R
(r )
R (r ) = (r )
• Fliesst ein stationäres Strömungsfeld durch
ein inhomogenes Medium, d.h. inhomogen in
und, so bildet sich eine feste Raumladung
an dieser Stelle: dielektrische Absorption.
• Die Kontaktklemmen des Stromkreises sind
z.B. solche Inhomogenitäten.
• Das zum stationären Strömungsfeld assoziierte, stationäre elektrische Feld kann auch
aus diesen festen Raumladungen alleine bestimmt werden, unter vollständiger Vernachlässigung des Strömungsfeldes.
Stationärer Fall:
= J grad( R )
• Ladungen sind Ursache von E- und J-Feld.
• Die obige Gleichung korrespondiert einerseits
mit Folie 251 und andererseits mit Folie 269.
• Entladene Kondensatoren haben Restladung!
-274-
Dielektrische Absorption III
Beispiel: «Grenzfläche»
J1n
1
1
.
J1
J2
J 2n
= J grad( R )
J1n = J 2n = J n
J n grad( R ) n
n n = 2
2
• Brechungsgesetz aus Folie 264 gilt.
• Es tritt eine inhomogene, gemäss
Jn verteilte Flächenadung auf.
• Ist im Fall 2 die Grenzschicht
keine Äquipotentialfläche mehr?
identisch mit
Folie 270 !
Jn
R
n
R
J n R2 R1
n
n
n J n ( R2 R1 )
= Jn = Jn 2 1 2 1 2 = J n 1
1
20
-275-
Zu den Grundgleichungen I
Vergleich der Elektrostatik mit dem Strömungsfeld
(1) Zur Wirbelfreiheit im stationären Fall:
rot E = 0
J
E
dl = 0
J
dl = 0
J 0
J dl = 0
• Es ist nur die triviale Lösung ist möglich.
Konstante Leitfähigkeit
entlang des Stromkreises.
• Stromkreis braucht eine Quelle, d.h.eine
eingeprägte Feldstärke. Dann gilt (Folie 254):
E
d
l
=
E
d
l
emk 0
-276-
Zu den Grundgleichungen II
Vergleich der Elektrostatik mit dem Strömungsfeld
(1) Zur Divergenzfreiheit im stationären Fall:
divJ = 0
E
dF = 0
V
J
dF = 0
V
J1 dF
R1
Gilt
immer !
Widerspruch ?
E
dF = dV
V
dF
V
Merke: Der Integrand unterscheidet sich lediglich
in der Konstante !
R
J
V
R2
J2
V
(a)
(b )
(a) Homogen: Bei homogenem R = / impliziert
die Gegenüberstellung in Ladungsfreiheit.
(b) Inhomogen: Bei inhomogenem / muss noch gelten; es gibt Ladungen in (Folie 273).
21
-277-
Eine formale Analogie I
Dualität zwischen Stromdichte und Flussdichte
ladungsfrei
D = E = grad
div D = 0
D J
E = grad n12 D2 D1 = 0
(
Ei =
)
Di
i
stationär
J = E = grad
div J = 0
n12 J 2 J1 = 0
(
= 0
)
n12 E2 E1 = 0
(
Ji
Ei = i
)
tan (1 ) 1
=
tan ( 2 ) 2
tan (1 ) 1
=
tan ( 2 ) 2
-278-
Eine formale Analogie II
Dualität zwischen Stromdichte und Flussdichte
(1) Feldbilder der Punktladung bzw. des «Punktstromes»:
Elektrostatik
Stationäres
Strömungsfeld
Siehe Folien 239,
244 und 261
(2) Satz von Gauss in der Elektrostatik
bzw. «Satz von Gauss» beim
stationären Strömungsfeld:
Q=
D
dF
A
I J dF = J dF + J dF = 0
A
A1
J
dF = I A1
A2
J dF = I
AA1
22
-279-
Die Spiegelungsmethode I
Anwendung auf das stationäre Strömungsfeld
Elektrostatik:
Ladungen
über unendlich gut
leitenden
Grenzflächen
Stationäres
Strömungsfeld:
Ströme über
unendlich gut
leitenden
Grenzflächen
Ansätze:
Überlegung:
Mehr hierzu
wird in den
Folien 210
bis 216
dargelegt.
Ladungsbewegung der
Spiegelladungen ergibt das
gespiegelte
Strömungsfeld.
0
Die Spiegelungsmethode II
-280-
Anwendung auf das stationäre Strömungsfeld
Stationäres
Strömungsfeld:
Ströme in endlich gut
leitenden Materialien
mit einer Grenzschicht
zum nichtleitenden
Material.
Anwendung:
Tiefenerder
Überlegung:
Superpositionsprinzip
23
Leistungsdichte im Strömungsfeld I
-281-
Ladungstransport im Leiter
(1) Vom elektrischen Feld verrichtete Arbeit:
1 = + d
du
J
2 = +
n
l +
di
+
dP p=
= EJ
dV
(2)
(2)
W12 = F dl = Q E dl = Qu12
di dA
E dl
+
Vom E-Feld
abgegebene
Leistungsdichte
(1)
(1)
dW12
dQ
= u12 = u12 i
dt
dt
du = 1 2 = +d = E dl = E n dl
Feld leistet Arbeit, d.h.
positive Ladungsträger
di = J n dA
werden
angetrieben.
dP = du di = E n dl J n dA =
= E J dl dA = E J dV
P12 =
Leistungsdichte im Strömungsfeld II
-282-
Ladungstransport im Leiter
(2) Verlustleistung:
u
i
J
i
(3) Das Joulesche
Gesetz:
p=
E
dP = EJ
dV
P = E J dV
V
Das vom E-Feld für den Ladungstransport geleistete Arbeit wird
ans Leitersystem abgegeben, d.h. zur Überwindung der «Reibungsverluste» der Ladungsträger am Metallgitter aufgewendet.
Das Metallgitter gerät dadurch in Schwingung, bzw. erwärmt sich.
Die vom Feld geleistete Arbeit wird demnach in Wärme umgewandelt und somit dem elektrischen System entzogen. Man
nennt die beim Transport umgesetzte Arbeit Verlustleistung.
1 2
2
p = EJ = J = E
Der «Reibungswiderstand» wird anhand
von charakterisiert.
24
Leistungsdichte im Strömungsfeld III
-283-
Ladungstransport im Leiter
(4) Alternativer Zugang zur Verlustleistung:
1 > 2
i
J
u
dF
E
P = J E dV = J grad dV
V
V
div ( s v ) = s div v + v grad s
P = J grad dV =
V
2
i
V
J
= div J dV + div
dV
(
)
V
V
= J
dF
P=
J
dF
VektorIdentität
=0
V
V
Leistungsdichte im Strömungsfeld IV
-284-
Ladungstransport im Leiter
(4) Alternativer Zugang zur Verlustleistung:
1 > 2
u
2
A1
i
J
A2
i
dF
E
V
P=
J dF =
V
= 1 J dF 2 J dF =
A1
A2
= 1 J dF 2 J dF =
A1
A2
= 1 ( i ) 2 i = (1 2 ) i =
>0
= u i > 0
Im gewählten Bezugspfeilsystem ist die
Verlustleistung eine positive Grösse.
25
Leistungsdichte im Strömungsfeld V
-285-
Allgemeinere Definition des elektrischen Widerstands
Ströme sind besser zu bestimmen als Spannungen:
1 > 2
J
2
dF
i
E
V
i
Bei der Definition der Leistung P = u·i ist die Spannung
u in realen Systemen oft schwierig zu bestimmen, also:
P = E J dV = J
dF
V
V
P = u i = i R
2
R=
P 1
=
E
J dV
i 2 i 2 V
1
= 2 J
dF
i V
Zur Äquipotentiallinie
siehe Folie
274 und 305.
R V
R V
-286-
Das Randwertproblem I
Feldgleichungen des stationären Strömungsfeldes
(1) Potentialfeld und Strömungsfeld:
Ziel: Es ist eine partielle Differentialgleichung zu finden, welche
alle Grundgleichungen des stationären Strömungsfeldes erfüllt.
div J = div E = div ( [ grad ])
(
)
= grad grad div ( grad )
= grad grad = 0
+
grad
grad = 0
= const.
= 0
• Kontinuitätsgl.
• Gesetz von Ohm
• stationär/statisch
Analogie: Vergleiche auch
Folie 277 und
Folie 178.
Vektoranalysis:
Vergleiche
Folie 283.
Es gibt hier
nur eine
LaplaceGleichung.
26
-287-
Das Randwertproblem II
Formulierung für das Strömungsfeld
(2) Die «Stromformulierung» des Problems (rein Neumannsches RW-Problem):
r G
= 0
=0
n
J
i
= n2 = n
A2
J
i
= n3 = +
n
A3
r G1
r G2
r G3
Merke: Das negative Vorzeichen der Stromdichten an beiden Stromtoren wird durch die Bezugsrichtung des Stromes und den Gradient des zugehörigen Potentials «geregelt».
-288-
Das Randwertproblem III
Formulierung für das Strömungsfeld
(3) Die «Spannungsformulierung» des Problems (gemischtes RW-Problem):()
= 0
r G
=0
n
= 2
= 3
r G1
r G2
r G3
u = 1 2
(4) Lösungsansätze:
Das stationäre Problem des
Strömungsfeldes J löst man
über das statische Potentialfeld ()
J = grad ()
Merke:
Gemischte Randwertprobleme
sind oft nur mit
erheblichem Aufwand und selten
eindeutig zu lösen !
E = grad J = E
27
-289-
Das Randwertproblem IV
Beispiel: «Kontaktschiene»
(1) Die Problemstellung:
i y
• Relativ ausführliches Anschauungsbeispiel.
2s
• Zweidimesnionale (2D) Rechnung,
d.h. die Struktur ist in z-Richtung
unendlich ausgedehnt.
b
• Daher: Strombelag i / an Stelle der
Stromstärke.
• Die Zuleitungen seien unendlich leitfähig: Grenzfläche wird somit zur
Äquipotentialfläche, was das Problem
sehr vereinfacht.
d
c
x
a
2s
• Gesucht: Das Strömungsfeld im endlich leitfähigen Material.
i • Wird über das Potentialfeld gelöst.
-290-
Das Randwertproblem V
Beispiel: «Kontaktschiene»
(1) Die Problemstellung:
i y
2s
b
ey = n
y
=
d
c
a
2s
r ]0, a[ ]0,b[
= 0
i x
n
x x=0
y[ 0, b ]
=0
x x=a
y[ 0, b ]
=0
2is x d < s
=
0 sonst
2is x c < s
=
y=b
x[ 0, a ]
0 sonst
y y=0
x[ 0, a ]
y
28
-291-
Das Randwertproblem VI
Beispiel: «Kontaktschiene»
(2) Ansetzen der Potentialfunktion:
= p0 + p1 y + a1 cos ( k x ) + b1 sin ( k x ) ( c1ek y + d1e k y )
x
x=0
y[ 0, b ]
(
Siehe Folien
181 und 183
(H-1)+(H-2).
)
= a1k sin ( k 0 ) + b1k cos ( k 0 ) c1ek y + d1e k y = 0
b1 = 0
x
x=a
y[ 0, b ]
(
)
= a1k sin ( k a ) c1ek y + d1e k y = 0
k = kn =
n
a
-292-
Das Randwertproblem VII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(2) Ansetzen der Potentialfunktion:
y
y
y=0
x[ 0, a ]
y=b
x[ 0, a ]
(
kn 0
(
kn b
= p1 + a1 cos ( kn x ) kn c1e
= p1 + a1 cos ( kn x ) kn c1e
(
d1e
kn 0
d1e
kn b
)
2is x d < s
=
0 sonst
)
2is x c < s
=
0 sonst
= p0 + p1 y + cos ( kn x ) Cn ekn y + Dn e kn y
n=1
)
Cn := an cn
Dn := an dn
Die Randbedingungen können nur mit Hilfe aller Eigenwerte/Eigenlösungen
erfüllt werden: es muss eine Reihenentwicklung angesetzt werden.
29
-293-
Das Randwertproblem VIII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(3) Die Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten mittels Momentenmethode:
!
= n fn ( x ) = ( RB )x[ a,b ]
n G
Erzwingen der (Neumannschen)
Randbedingung.
n=1
Frage: Wie testet man die «Gleichheit» von Funktionen?
(A) Direkter Vergleich:
( x )
n
(B) Projektionsmethode:
= g( x)
( x )
n
,t m ( x ) = g ( x ) ,t m ( x )
c n = m
t n ,t m = c n m = 0 n m
:= dx
Aufwendig, da eigentlich
für jedes x auf Gleichheit
getestet werden muss, was
«sehr viele» Bestimmungsgleichungen für ergibt.
G
Die Projektion auf eine Testfunktion tm ermöglicht den
Vergleich zwischen wenigen Integralen (sprich: Zahlen).
-294-
Das Randwertproblem IX
Beispiel: «Kontaktschiene»
(3) Die Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten mittels Momentenmethode:
n G
!
= n fn ( x ) = ( RB )x[ a,b ]
( RB )x[a,b] m t m ( x )
n=1
m=0
Erzwingen der Randbedingung (RB)
b b
a n=1
n
Bekannte (stückweise) Approximation
fn ( x ) t m ( x ) dx = ( RB )x[ a,b ] t m ( x ) dx
a
b
b
n fn ( x ) t m ( x ) dx = ( RB )x[a,b] t m ( x ) dx
n=1
a
a
m
n=1
n
M nm = m n
Gleichungssystem
• tm heisst Basisfunktion oder oft auch
Testfunktion.
• tm sollte «problemspezifisch» gewählt
werden (z.B. oben).
• Naheliegend wäre:
t := f
(Galerkin-Methode)
30
-295-
Das Randwertproblem X
Beispiel: «Kontaktschiene»
(3) Die Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten mittels Momentenmethode:
• Fazit: Die Entwicklungskoeffizienten n der Feldentwicklung werden mit Hilfe einer
Testfunktion tm (geeignete Basis ) bestimmt. Die Matrixelemente Mnm des hierfür
«konstruierten» Gleichungssystems sind die Momente fn I tm .
• Galerkin-Methode: Werden die Testfunktionen gleich den Entwicklungsfunktionen angesetzt, dann ergibt sich wegen der Orthogonalität der Basen für die Matrix aus Mnm eine
Diagonal- oder gar Einheitsmatrix und das Gleichungssystem gerät zum reinen Koeffizientenvergleich (siehe Folien 191 und 192; und sind beides Fourier-Reihen).
2is x d < s; y = 0
0 sonst
km x ) =
(
m ( y ) cos
is x c < s; y = b
m=0
2
tm ( x )
0 sonst
Galerkin-Methode:
tm(.) = cos(.)
anwenden zur
Erzwingung der
Randbedingungen
und aus
Folie 292.
-296-
Das Randwertproblem XI
Beispiel: «Kontaktschiene»
(4) Momentenmethode angesetzt auf die Randbedingung :
G x d < s
= p1 + cos ( kn x ) kn Cn ekn 0 Dn e kn 0 = y=0
n=1
0 sonst
x[ 0, a ]
y
(
G=
)
i
2 s
m=0:
cos ( km x ) = cos ( m
a x ) = 1
d +s
a
p dx = ( G )
dx
1
0
Testfunktion für m = 0
d s
i
p1 = G 2as = a
p1 a = 2s G
Merke: Der Summenterm
wird wegen n = 1 bei m = 0
durch die Orhogonalitätsrelation (cf. Folie 297)
ausgeblendet!
31
-297-
Das Randwertproblem XII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(4) Momentenmethode angesetzt auf die Randbedingung :
m0:
d +s
a cos ( k x )k (C
Dn ) cos ( km x ) dx = ( G ) cos ( km x ) dx
s
d
n
n
n
0 n=1
( A)
(A) :
(B)
a cos ( k x )k (C
n
n
n
Dn ) cos ( km x ) dx = km ( Cm Dm ) 0 n=1
a
cos (
0
n
a
x ) cos (
m
a
a2 n = m
x ) dx = 0 n m
a
2
Orthogonalitätsrelation
der Kosinusfunkttion.
Das Randwertproblem XIII
-298-
Beispiel: «Kontaktschiene»
(4) Momentenmethode angesetzt auf die Randbedingung :
m0:
d +s
(B ) : ( G ) cos ( km x ) dx = d s
d +s
G
sin ( km x ) d s
km
G
km
G
=
km
=
( A ) + (B ) :
Cm Dm = sin ( km [ d + s ]) sin ( km [ d s ]) 2 cos ( km d ) sin ( km s ) 4G
cos ( km d ) sin ( km s )
akm2
32
-299-
Das Randwertproblem XIV
Beispiel: «Kontaktschiene»
(4) Momentenmethode angesetzt auf die Randbedingung :
m0:
a cos ( k x ) k (C e
c+s
)
Dn e
cos ( km x ) dx = G cos ( km x ) dx
cs
n
n
kn b
kn b
n
0 n=1
( A)
(B)
( A ) + (B ) :
Cm ekm b Dm e km b = Gleichungssystem für die
unbekannten
Entwicklungskoeffizienten
Cm und Dm.
Cm Dm
Cm e
km b
4G
cos ( km c ) sin ( km s )
akm2
= ak 2 cos ( km d ) sin ( km s )
4G
m
Dm e
km b
= ak 2 cos ( km c ) sin ( km s )
4G
m
-300-
Das Randwertproblem XV
Beispiel: «Kontaktschiene»
(5) Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten:
= Qm cos ( km d )
Cm Dm
Cm ekm b Dm e km b = Qm cos ( km c )
Qm = ak 2 sin ( km s ) = 2ia k1m 4G
m
(
sin( km s )
km s
cos ( km c ) cos ( km d ) ekm b
Dm = Qm 2sinh ( km b )
Cm = Qm cos ( km c ) cos ( km d ) e
2sinh ( km b )
lösen
·e –k
·b
m
–
+
)
• geeignete
Substitution
km b
• Zudem gilt für den
Sinus Hyperbolicus:
sinh ( km b ) =
(
= 12 ekm b e km b
)
33
-301-
Das Randwertproblem XVI
Beispiel: «Kontaktschiene»
(6) Zusammensetzen der Potentialfunktion (Rücksubstitution):
( x, y ) = p0 + p1 y + cos ( kn x ) ( Cn ekn y + Dn e kn y )
m n
n=1
Cn ekn y =
{
Qn
cos ( kn c ) ekn y cos ( kn d ) ekn [ yb ]
2sinh ( knb )
Dn e kn y =
(Folie 294)
}
{
Qn
cos ( kn c ) e kn y cos ( kn d ) e kn [ yb ]
2sinh ( knb )
Cn ekn y + Dn e kn y =
}
cos ( kn c ) 2 cosh ( kn y ) Qn
2 sinh ( knb ) cos ( kn d ) 2 cosh ( kn [ y b ]) -302-
Das Randwertproblem XVII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(6) Zusammensetzen der Potentialfunktion (Rücksubstitution):
Mit den Substitutionen:
p1 = i
a
Qn = 2i 1 sin ( kn s ) a kn kn s kn =
n
a
Potentialfunktion (Lösung):
i
2i 1 sin ( kn s ) cos ( kn x )
( x, y ) = p0 y a
a n=1 kn s
kn s
sinh ( knb )
{
cos ( kn c ) cosh ( kn y ) cos ( kn d ) cosh ( kn [ y b ])
}
Merke: Die Grösse p0 bleibt unbestimmt, d.h. das Potential kann lediglich bis auf eine
Konstante bestimmt werden.
34
Das Randwertproblem XVIII
-303-
Beispiel: «Kontaktschiene»
(7) Kompaktere Darstellung der Potentialfunktion:
n
cos ( na x ) An cosh ( a y ) +
i
( x, y ) = p0 y + n
n
a
n=1 sinh ( a b ) +Bn cosh ( a [ y b ]) sin ( na s )
2i
n
An = cos ( a c ) n
n a s
sin ( na s )
2i
n
Bn = +
cos ( a d ) n
n a s
Merke: Die Grösse p0 bleibt unbestimmt.
Das Randwertproblem XIX
-304-
Beispiel: «Kontaktschiene»
(8) Die elektrische Feldstärke:
E = grad Ex x E = = Ey y n
n sin ( na x ) An cosh ( a y ) +
Ex = =
x n=1 a sinh ( na b ) +Bn cosh ( na [ y b ]) n
i
n sin ( na x ) An sinh ( a y ) +
Ey = =
y a n=1 a sinh ( na b ) +Bn sinh ( na [ y b ]) ( An , Bn ) :
Die Berechnung erfolgt gleich
wie beim Potential (Folie 303).
35
-305-
Das Randwertproblem XX
Beispiel: «Kontaktschiene»
(9) Darstellung des Potential- und des Strömungsfeldes:
• Die Feldlinien
des Strömungsfeldes sind die
Orthogonaltrajektorien der
Äquipotentiallinien.
J ( x, y )
( x, y )
• Klar: Feldlinien
des Strömungsfeldes sind ja
auch die Feldlinien des elektrischen Feldes.
Das Randwertproblem XXI
-306-
Beispiel: «Kontaktschiene»
(10) Diskussion zum Potential:
• Die Neumannsche Randbedingung ist bei den unendlich gut leitenden Zuleitungen erfüllt.
• Beim Neumannschen
Randwertproblem scheint
der Rand keine Äquipotentiallinie mehr zu sein
(siehe hierzu auch die
Folie 274).
= const.
n
• Die Bestimmung der
Spannung wird daher
problematisch und damit
auch die Berechnung des
elektrischen Widerstands.
36
-307-
Das Randwertproblem XXII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(11) Berechnung der elektrischen Leistung:
(A) Verlustleistung gemäss Folien 282, 283:
P = E J dV = J
dF =
V
V
J
n = J
n
dl;
= V
n
P
= V n dl
n V
d +s
V
= const.
P
=
dl + dl
n d s
n c+s
cs
Das Randwertproblem XXIII
-308-
Beispiel: «Kontaktschiene»
(11) Berechnung der elektrischen Leistung:
(B) Approximative Annahme eines konstanten Potentials:
d +s
P
= ( x, 0 ) dx + ( x,b ) ( dx )
n d s
n c+s
= y
cs
d +s
x,
0
dx
+
(
)
y
y=0 d s
d +s
c+s
( x,b ) dx
y=b cs
c+s
i i ( x, 0 ) dx + ( x,b ) dx
= 2 s d s
2 s cs
i i ( d, 0 ) 2s + ( c,b ) 2s
2 s 2 s 37
Das Randwertproblem XXIV
-309-
Beispiel: «Kontaktschiene»
(11) Berechnung der elektrischen Leistung:
(C) Resultat und Diskussion:
P
i i ( d, 0 ) 2s + ( c,b ) 2s =
2 s 2 s i
i
i
( d, 0 ) ( c,b ) = ( d, 0 ) ( c,b ) Es wurde hier die realistische Annahme eines über die Zuleitungen nur schwach variierenden
Potentials gemacht, wodurch die Integration über sehr einfach ausfällt (siehe unten). Bei
einer exakten Berechnung der Leistung müsste die Integration ausgeführt werden. Als Alternative gibt es zudem noch die erheblich
c+s
schwierigere Volumenintegration der
x,b dx c,b 2s
Leistungsdichte z.B. gemäss den Folien 282
bzw. 307.
cs
( )
(
)
Das Randwertproblem XXV
-310-
Beispiel: «Kontaktschiene»
(12) Berechnung des elektrischen Widerstandsbelags bezüglich der Dicke :
R =
2
P =
( i )2 i 2
1
u
i
( d, 0 ) ( c,b ) = i
Merke: Der Widerstandsbelag R' ist hier als Widerstand bezüglich der
Querschnittsabmessung in z-Richtung definiert (nicht pro Länge) !
cos ( na d )
n
A
+
B
cosh
b
(
)
n
n
a
n
b
sinh ( a b )
+ R =
n
a n=1 cos ( a c )
An cosh ( na b ) + Bn n
sinh ( a b )
A
An = n
(i )
B
Bn = n
(i )
Für die Potentialfunktion und
deren Entwicklungskoeffizienten
An und Bn siehe Folie 303.
38
Das Randwertproblem XXVI
-311-
Beispiel: «Kontaktschiene»
(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandsbelag R' :
Verifikation am vollständig kontaktierten Widerstandsgebiet: (c = d = s = a / 2)
cos ( n2 )
n
A
+
B
cosh
b
(
)
n
a
n
n
b
sinh ( a b ) R
+ R =
a n=1 cos ( n2 )
n
A cosh ( a b ) + Bn sinh ( na b ) n
sin ( n )
A
2
cos ( n2 ) n 2 = 0 n An = n = (i ) n
2
sin ( n2 )
Bn
2
n
Bn =
=+
cos ( 2 ) n = 0
(i ) n
2
n Das Randwertproblem XXVII
-312-
Beispiel: «Kontaktschiene»
(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandsbelag R' :
Verifikation am vollständig kontaktierten Widerstandsgebiet: (c = d = s = a / 2)
y
i b
b
+ {0} =
R =
a n=1
a
2s
b
R=
2s
c =d
i a
x
R
b
=
a
Merke: Der Widerstandsbelag R' ist
hier als Widerstand bezüglich der
Querschnittsabmessung in zRichtung definiert (nicht pro Länge) !
39
-313-
Das Randwertproblem XXVIII
Beispiel: «Kontaktschiene»
(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandbelags R' :
R
R0
R0 =
b
a
a=4
b=2
2s = 0.4
d
-314-
Das Randwertproblem XXIX
Beispiel: «Kontaktschiene»
(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandbelags R' :
2s
R
R0
2s = 0.4
b
a=4
b=2
2s
a
40
Das Randwertproblem XXX
-316-
Beispiel: «Kontaktschiene»
(13) Diskussion des elektrischen Widerstands R / Widerstandbelags R' :
R
R0
a=4
b=2
2s = 0.4
c, d
41