Vertiefungsbox Nachfragekurve: Nutzen und Budget

VWL plus
Vertiefungsbox
Nachfragekurve: Nutzen und Budget
Fabio Canetg
Motivation
In dieser Vertiefung wollen wir untersuchen, wie die individuelle Nachfrage­kurve
hergeleitet wird. Im Gegensatz zur Analyse der aggregierten (sprich: gesamtwirt­
schaftlichen) Nachfragekurve (siehe Buch, Seite 41 ff.), beschränken wir uns hier
also auf die Entscheidung einer einzelnen Person. Die gesamtwirtschaftliche
Nachfrage ergibt sich aus der Summe aller individuellen Nachfragen: Je mehr
Nachfrager es gibt, desto höher ist die nachgefragte Menge. Die gesamtwirtschaft­
liche Nachfragekurve verschiebt sich also nach rechts, wenn die Anzahl Nach­
fragerinnen und Nachfrager steigt. Wie konstituiert sich aber die individuelle
Nachfragekurve? Lassen Sie uns dazu mit einem Beispiel beginnen.
Nach dem Frühstück entscheiden Sie sich manchmal einen Kaffee zu trinken.
Wahrscheinlich hatten Sie auch schon einen Tag, an dem Sie einen zweiten ge­
nommen haben. Haben Sie aber schon einmal drei, vier oder fünf Kaffees nach­
einander getrunken? Auf den ersten Blick erscheint die Wahl der Anzahl Kaffees
als eine ganz natürliche Angelegenheit. Welche ökonomischen Konzepte stecken
aber hinter Ihrer Entscheidung?
Diese Vertiefungsbox beschäftigt sich mit der Idee des abnehmenden Grenznut­
zens und der daraus resultierenden Form und Steigung der Nachfragekurve. Nach­
dem Sie diese Box durchgearbeitet haben, sollten Sie erklären können, wie die
Krümmung der Nachfragekurve mit Ihren Vorlieben zusammenhängt.
Grafik 1: Abnehmender Grenznutzen
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Nachfragekurve: Nutzen und Budget
Fabio Canetg
Grafik 2: Konkave Funktion
Viele sagen, dass der erste Kaffee des Tages der Beste sei. Und kaum jemand be­
hauptet, dass der fünfte Kaffee mehr bringt als der erste. Ökonomen sprechen
in diesem Zusammenhang vom Prinzip des abnehmenden Grenznutzens: Der
zusätzliche Nutzen (Grenznutzen) einer konsumierten Einheit nimmt mit der
Anzahl bereits konsumierten Einheiten ab. Grafisch können wir das Prinzip des
abnehmenden Grenznutzens mit einer konkaven1 Nutzenfunktion abbilden. Der
Zusatznutzen des fünften Kaffees ist zwar noch immer positiv, aber kleiner als der
Zusatznutzen des zweiten Kaffees.
Tabelle 1
Zahlungsbereitschaft
Durchschnittliche ZB pro Kaffee
Kaffee 1
5.50 Franken
5.50 Franken
Kaffee 2
4.50 Franken
5.00 Franken
Kaffee 3
3.75 Franken
4.60 Franken
Kaffee 4
3.25 Franken
4.25 Franken
Kaffee 5
3 Franken
4 Franken
Die Steigung der Nachfragekurve hängt mit dem Prinzip des abnehmenden Grenz­
nutzens zusammen. Überlegen Sie sich dazu Folgendes: Wieviel würden Sie nach
dem ersten Kaffee für den zweiten bezahlen? Und wieviel nach dem vierten für
den fünften? Bestimmt würden Sie deutlich mehr für den zweiten bezahlen als
für den fünften, weil der zweite Kaffee Ihnen mehr Zusatznutzen bringt als der
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Eine konkave Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass der durchschnittliche Funktionswert zweier x-Werte (A)
kleiner ist als der Funktionswert am Durchschnitt der beiden x-Werte (B). Oder einfach ausgedrückt: Wenn Sie
eine Linie durch den Funktionswert bei x=2 und den Funktionswert bei x=5 ziehen, kommt diese unterhalb der
Funktion zu liegen.
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fünfte. Ihre Zahlungsbereitschaft für einen zusätzlichen Kaffee ist also tiefer, je
mehr Kaffee Sie bereits zu sich genommen haben. Weil auch die durchschnittliche
Zahlungsbereitschaft pro Kaffee mit der Anzahl Kaffees sinkt (siehe Tabelle 1), ist
die Nachfragekurve abwärtsgeneigt. Weshalb aber ist sie gekrümmt?
Grafik 3: Positiver Nutzen: Kaffee und Ovomaltine
Stellen Sie sich nun vor, dass Sie sich zwischen Kaffee und Ovomaltine entschei­
den müssen. Beide Güter haben (in einem sinnvollen Bereich, sagen wir: bis 10
Einheiten) einen positiven, aber abnehmenden Grenznutzen. In anderen Wor­
ten: Jeder zusätzliche Kaffee und jede zusätzliche Ovomaltine stiftet Ihnen einen
positiven Zusatznutzen. Dieser nimmt aber mit der Anzahl bereits konsumier­
ter Getränke ab. Die Grafik oben zeigt alle Kombinationen von Ovo und Kaffee,
die Ihnen einen bestimmten Nutzen (U1) generieren. Drei Kaffees und eine Ovo
(Punkt A) sind Ihnen gleichviel Wert wie 1 Kaffee und 3 Ovos (Punkt B). Weil der
Grenznutzen beider Produkte positiv ist, stellt eine Indifferenzkurve weiter aussen
ein höheres Nutzenniveau dar. Alle Kombinationen auf der Linie U2 generieren
Ihnen also mehr Nutzen als die Kombinationen auf der Indifferenzkurve U1. Sie
werden sich vielleicht fragen, was das Wort «Indifferenzkurve» genau bedeutet.
Die Antwort ist einfach: Alle Güterbündel auf einer Indifferenzkurve gehen mit
demselben Nutzen einher. In unserem Beispiel ist es Ihnen egal, ob sie drei Kaf­
fees und eine Ovo oder einen Kaffee und drei Ovos haben. Per Definition liegen
die beiden Punkte deshalb auf derselben Indifferenzkurve. Die Indifferenzkurven
sind gekrümmt, weil die beiden Güter (Kaffee und Ovo) abnehmende Grenznut­
zen aufweisen. Überlegen Sie sich dazu Folgendes: Wenn Sie sich im Punkt A
befinden und einen Kaffee aufgeben, müssen Sie nur ungefähr 2/3 Ovo erhalten,
um Ihren Nutzen konstant zu halten. Wenn Sie sich demgegenüber im Punkt D
befinden und einen Kaffee aufgeben, müssen Sie mit deutlich mehr Ovomaltine
entschädigt werden, um dasselbe Nutzenniveau halten zu können. Die Aufgabe
eines Kaffees ist also teurer, wenn Sie nur zwei (D) statt drei (A) Kaffees zur Ver­
fügung haben. Anders gesagt: Der Zusatznutzen des dritten Kaffees ist kleiner als
der Zusatznutzen des zweiten Kaffees.
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Nachfragekurve: Nutzen und Budget
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Das Prinzip des abnehmenden Grenznutzens führt dazu, dass sie möglichst beide
Güter konsumieren wollen. In unserem Fall ist der Zusatznutzen der zweiten
Ovo grösser als der Zusatznutzen des dritten Kaffees. Deshalb ist es im Punkt A
optimal, einen Kaffee für eine Ovo aufzugeben. Durch einen solchen Tausch wür­
de Ihr Gesamtnutzen erhöht (Sie sprängen von A nach C, das auf einer höheren
Indifferenzkurve liegt). Hätten Sie Ihren Nutzen lediglich konstant halten wollen,
wären nur rund 2/3 einer Ovo als Gegenleistung für den aufgegebenen Kaffee
ausreichend gewesen (Punkt D, siehe oben).
!
!
Grafik 4: Tauschwerte I
!
!
Grafik 5: Tauschwerte II
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Bisher haben wir nur von relativen Mengenverhältnissen gesprochen. Wodurch
wird aber die absolute Anzahl Kaffees und Ovos bestimmt? Welcher Mechanis­
mus legt fest, dass Sie beispielsweise nur je 2 Einheiten konsumieren und nicht je
10 Einheiten? Aus Ihrem Alltag wissen Sie, dass Sie nicht mehr einkaufen können,
als Sie Geld (oder andere Tauschmittel) zur Verfügung haben. Ökonomen nennen
diese Einschränkung eine Budgetrestriktion. Wenn beide Güter gleichviel Kosten,
ist die Budgetrestriktion eine 45-Grad-Gerade, die folgende Maximal-Konsumpti­
onen zulässt: entweder acht Kaffees und null Ovos (das gesamte verfügbare Ein­
kommen wird für Kaffee ausgegeben, Punkt D), null Kaffees und acht Ovos (Punkt
E) oder alle linearen Kombinationen davon (beispielsweise 2 Kaffees und 6 Ovos,
Punkt F). Gegeben diese Einschränkung, versuchen Sie nun, den höchstmöglichen
Nutzen zu generieren. Dieser wird erreicht, indem Sie die Indifferenzkurve ge­
rade soweit nach aussen schieben, bis diese die Budgetgerade nur noch in einem
(Tangential-)Punkt berührt (Punkt G). Technisch käme dies einer Maximierung
unter einer Nebenbedingung (der Budgetrestriktion) gleich.
Stellen Sie sich nun vor, dass sich der Preis von Kaffee verdoppelt. Neu können Sie
also entweder null Ovos und vier Kaffees (Punkt H), null Kaffees und acht Ovos
(Punkt E) oder alle linearen Kombinationen davon (beispielsweise einen Kaffee
und sechs Ovos, Punkt I) kaufen. Durch die Preisänderung des Kaffees hat sich
die Budgetgerade nach innen verschoben. Sie können nicht länger das vormals
optimale Konsumbündel (G) konsumieren, weil dieses zu teuer wäre. Optimal
ist unter den neuen Bedingungen Punkt J. Wenn der Preis von Kaffee sogar noch
weiter steigen würde, wäre Punkt K nutzenmaximierend. Wenn Sie die Punkte
G, J und K verbinden, erhalten Sie eine gekrümmte Funktion. Das optimale Ver­
hältnis von Ovo und Kaffee ist also – aufgrund des abnehmenden Grenznutzens –
nicht linear sondern konvex2.
Grafik 6: Gekrümmte Funktion
2 Eine konvexe Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass der durchschnittliche Funktionswert zweier x-Werte
grösser ist als der Funktionswert am Durchschnitt der beiden x-Werte. Oder einfach ausgedrückt: Wenn Sie
eine Linie durch den Funktionswert bei x=6 und den Funktionswert bei x=4 ziehen, kommt diese oberhalb der
Funktion zu liegen.
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Nachfragekurve: Nutzen und Budget
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Zur Vereinfachung wollen wir zum Schluss annehmen, dass eine Ovo genau ei­
nen Franken kostet. Dadurch können wir die Anzahl Ovos auf der Y-Achse durch
den Frankenpreis von Kaffee ersetzen. Das optimale Verhältnis von Anzahl Ovos
und Anzahl Kaffees überträgt sich so auf das optimale Verhältnis von Preis und
Anzahl Kaffees. Die Beziehung zwischen den Grössen Preis und Menge nennen
wir Nachfragekurve. Wie das optimale Verhältnis zwischen Ovo und Kaffee ist die
Nachfragekurve im Normalfall – aufgrund des abnehmenden Grenznutzens der
meisten Güter – nicht nur negativ geneigt sondern auch konvex.
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Übungsmaterial 1
1) Erklären Sie, wie die Zahlungsbereitschaft und der Grenznutzen zusammen­
hängen. Wie verändert sich Ihr Gesamtnutzen, wenn die Zahlungsbereitschaft
nicht länger gleich hoch wie der Grenznutzen ist, sondern darüber liegt? Nut­
zen Sie zur Beantwortung dieser Frage die Grafik 2.
Optimalerweise sind die Zahlungsbereitschaft für ein Gut (sagen wir: Cola) und der
Grenznutzen desselben Gutes gleich hoch. Die Zahlungsbereitschaft entspricht in unserem Beispiel dem Preis oder der Anzahl anderer Güter, die Sie für eine zusätzliche
Cola bereit sind aufzugeben. Ist die Zahlungsbereitschaft höher als der Grenznutzen,
reduziert sich der Gesamtnutzen aus Ihrem Konsumbündel relativ zur Ausgangsposition (Punkt A). Grafisch zeigt sich das darin, dass Sie «zuviel» des Alternativgutes
aufgeben, um eine zusätzliche Cola zu erhalten (Punkt B).
2) Wie ist die Nachfragekurve geneigt, wenn der Grenznutzen nicht abnehmend,
sondern konstant ist? Nutzen Sie zur Beantwortung der Frage die Tabelle 1.
Zahlungsbereitschaft
Durchschnittliche ZB pro Kaffee
Kaffee 1
5 Franken
5 Franken
Kaffee 2
5 Franken
5 Franken
Kaffee 3
5 Franken
5 Franken
Kaffee 4
5 Franken
5 Franken
Kaffee 5
5 Franken
5 Franken
Die durchschnittliche Zahlungsbereitschaft für Kaffee ist bei jeder Kaffeemenge gleich
hoch. Sie sind also bei jeder bereits konsumierten Kaffeemenge bereit, 5 Franken für
einen weiteren Kaffee zu bezahlen. Der Grund liegt darin, dass der Zusatznutzen eines
Kaffees immer 5 Franken beträgt, also nicht mit der Anzahl bereits konsumierter Kaffees abnimmt. Die Nachfragekurve ist in diesem Fall horizontal.
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Nachfragekurve: Nutzen und Budget
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3) Stellen Sie sich vor, Sie befänden sich auf der Indifferenzkurve U1 in Grafik 2.
Hier sind Sie indifferent zwischen dem Konsumbündel drei Kaffees und eine
Ovomaltine (Punkt A) und dem Konsumbündel ein Kaffee und drei Ovomalti­
nen (Punkt B). Welches Produkt ist Ihnen unter diesen Umständen wertvoller?
Wie verändert sich Grafik 2, wenn ein Produkt wertvoller als das andere ist?
Die beiden Güter sind Ihnen gleich wertvoll. Um Ihr Nutzenniveau konstant zu halten,
können Sie in jedem Punkt auf der Indifferenzkurve U1 einen Kaffee für eine Ovomaltine tauschen. Wäre dieses Verhältnis nicht 1:1, wäre ein Produkt wertvoller als das
andere. In einer solchen Situation wäre die Indifferenzkurve entweder steiler (Kaffee
ist wertvoller) oder flacher (Ovomaltine ist wertvoller) als in unserem Beispiel. Wäre
also Kaffee wertvoller, müssten Sie zwei Ovomaltinen für einen Kaffee erhalten, um Ihr
Nutzenniveau konstant zu halten. In diesem Fall ist Ihnen Kaffee doppelt so wertvoll
wie Ovomaltine.
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Übungsmaterial 2: Anspruchsvoll
4a) Grafik 3 zeigt die Nutzenmaximierung unter der vorgegebenen Budgetres­
triktion. Weshalb ist es ineffizient, nicht das gesamte Budget für Kaffee und
Ovomaltine auszugeben? Beantworten Sie die Frage grafisch und intuitiv.
Die obenstehende Grafik zeigt die Budgetrestriktion (die blaue 45-Grad-Gerade) sowie
den Bereich, in welchem das Budget nicht gänzlich ausgeschöpft wird (das blaue Dreieck). Innerhalb dieses Dreiecks generieren alle (!) möglichen Konsumbündel ein tieferes
Nutzenniveau (siehe beispielsweise Punkt B und Punkt C). Die Ineffizienz kommt daher, dass nicht alle Ressourcen (sprich: nicht das gesamte Einkommen) dazu eingesetzt
werden, nutzengenerierende Güter zu beschaffen.
4b)Die Steigung der Budgetrestriktion zeigt den relativen Preis zwischen Ovo­
maltine und Kaffee. Was aber bestimmt, wie weit «aussen» die Budgetres­
triktion zu liegen kommt? Versuchen Sie, die Budgetrestriktion mit einer For­
mel der Form # Ovomaltine = ... zu beschreiben. Nutzen Sie C1 = # Kaffee und
C2 = # Ovomaltine.
Die Höhe des Einkommens bestimmt, wie weit aussen die Budgetrestriktion zu liegen
kommt. Betrachten Sie dazu die Extrempunkte A und B. In diesen wird das gesamte
Einkommen (Y) entweder für Kaffee (C1 ) oder Ovomaltine (C2 ) ausgegeben. Konsequenterweise verschiebt sich die Budgetrestriktion also nach aussen, wenn unser Einkommen
steigt. P bezeichnet den Preis der jeweiligen Güter.
P1C1 + P2C2 = Y
C2 =
1
P2
(Y − P1C1)
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Nachfragekurve: Nutzen und Budget
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4c) Nehmen Sie folgende Nutzenfunktion und Budgetrestriktion an und maxi­
mieren Sie über die Grössen C1 (Kaffee) und C2 (Ovomaltine). Zeigen Sie, dass
die Nachfragen nach C1 und C2 die unten gegebene Form annehmen.
Nutzenfunktion
Budgetrestriktion
U = ln(C1) + ln(C2 )
P1C1 + P2C2 = Y
Nachfrage C1
C1 =
1
2P1
Nachfrage C2
C2 =
1
2P2
In einem ersten Schritt werden die Optimalitätsbedingungen (englisch: first order conditions, FOC) bezüglich C1 und C2 berechnet.  wird dabei als Lagrange-Multiplikator
genutzt. Gleichsetzen und Einsetzen in die Budgetrestriktion erlauben die Herleitung
der Nachfragefunktionen.
1
C1
= P1
FOC wrt C1
1
C2
= P2
FOC wrt C2
4d)Verwenden Sie die Nutzenfunktion um zu zeigen, dass die Indifferenzkurve
wie folgt repräsentiert werden kann. Was ist U?
IndifferenzkurveC2 = exp(U – ln(C1))
Die Indifferenzkurve kann hergeleitet werden, indem die Nutzenfunktion nach C1 aufgelöst wird. U zeigt ein mögliches Nutzenniveau. Anstatt (wie in Grafik 2) zu vermerken,
dass das Nutzenniveau auf der Indifferenzkurve U1 grösser ist als das Nutzenniveau
auf der Kurve U2, kann der Nutzen auch in der dritten Dimension abgebildet werden:
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4e) Wie hängt eine Verschiebung der Nachfragekurve mit einer Verschiebung der
Budgetrestriktion zusammen?
In Aufgabe 4b) haben wir gezeigt, dass die Budgetrestriktion nach aussen geschoben
wird, wenn das Einkommen steigt. Von Aufgabe 4c) wissen wir, dass eine Einkommens­
erhöhung mit einer höheren Nachfrage einhergeht. In anderen Worten: Bei jedem
gegebenen Preis erhöht sich die Nachfrage nach beiden Gütern. Die Nachfragekurve
verschiebt sich also nach aussen.
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