Zusammenfassung (Claudia H.)

INHALTSVERZEICHNIS
1
Physik II
Universität Regensburg, Sommersemester 2008
Prof. Christian Schüller
Zusammenfassung
Inhaltsverzeichnis
I
Einführung
5
1 Kräfte zwischen ruhenden Ladungen: Elektrostatik
5
2 Kräfte zwischen bewegten Ladungen: Magnetische Kräfte
6
3 Das elektromagnetische Feld
6
II
6
Grundlagen der Elektrostatik
4 Die Elementarladung
7
5 Das Coulombsche Gesetz
7
6 Das elektrische Feld
8
7 Das elektrische Potential
8
8 Das elektrische Feld als Gradient des Potentials
9
9 Der Gauÿsche Satz der Elektrostatik
11
III
11
Verschiedene Anwendungen der Gesetze der Elektrostatik
10 Das elektrostatische Feld einer unendlich ausgedehnten, ebenen Ladungsschicht
12
11 Das elektrische Feld eines Plattenkondensators
12
12 Unendlich langer, geladener Draht und Koaxialkabel
14
13 Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel
14
14 Leiter in einem statischen elektrischen Feld
15
15 Spitzen in starken elektrischen Feldern
16
16 Das Rastertunnelmikroskop
16
17 Der Faradaysche Käg
16
18 Inuenz
17
19 Das elektrische Feld zwischen geladenen Leitern und die Bildladung
17
20 Die Energie des elektrischen Feldes
17
21 Die Abschirmung elektrischer Potentiale in leitenden Medien
18
INHALTSVERZEICHNIS
IV
Isolatoren im elektrischen Feld
2
19
22 Die Gleichungen der Elektrostatik in einem Dielektrikum
19
23 Die Polarisierbarkeit von Atomen in elektrischen Wechselfeldern
21
24 Die Dieelektrizitätskonstante eines Plasmas und Plasmaschwingungen
22
25 Die Orientierungspolarisation
22
26 Die Dielektrizitätskonstante eines dichten Mediums
23
27 Elektrische Polarisation in festen Körpern
24
V
25
Der elektrische Strom
28 Stromdichte, Strom und Ladungserhaltung
25
29 Elektrische Leitfähigkeit und das Ohmsche Gesetz
26
30 Mikroskopisches Modell für das Ohmsche Gesetz
26
31 Elektronenleitung in festen Körpern
27
32 Ionenleitung in Elektrolytlösungen
28
33 Die elektrische Leistung eines Stromes in einem Widerstand
28
34 Elektromotorische Kraft
29
35 Austrittsarbeit, Kontaktspannung und Thermospannung
31
36 Stromkreise und Stromverzweigungen (Kirchhosche Regeln)
32
VI
32
Das magnetische Feld
37 Das Ampèresche Gesetz
33
38 Das Biot-Savartsche Gesetz
34
39 Der relativistische Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen Feldern
35
VII
35
Die Bewegung von geladenen Teilchen im magnetischen Feld
40 Die magnetische Kraft auf einen stromführenden Draht
35
41 Der Hall-Eekt
35
42 Der magnetohydrodynamische Generator (MHD-Generator)
36
43 Bewegte metallische Leiter (Generatorprinzip)
36
44 Kraftwirkungen auf einen magnetischen Dipol im magnetischen Feld
37
45 Bahnen freier Ladungen im Magnetfeld
38
46 Bahnen geladener Teilchen im Magnetfeld der Erde
39
INHALTSVERZEICHNIS
VIII
3
Induktionserscheinungen
39
47 Das Faradaysche Induktionsgesetz
39
48 Die Lenzsche Regel
40
49 Beispiele zum Induktionsgesetz
40
50 Die Selbstinduktion
41
51 Die Energie des magnetischen Feldes
43
52 Der elektrische Schwingkreis
43
53 Erzwungene elektrische Schwingungen
44
54 Gekoppelte Schwingkreise
45
55 Erzeugung ungedämpfter Schwingungen
45
56 Wechselstromleistung
46
IX
46
Wechselstromlehre
57 Komplexe Widerstände
47
58 Hoch- und Tiefpässe
48
X
49
Materie im Magnetfeld
59 Die Magnetisierung der Materie
49
60 Feldgleichungen in Materie
51
XI
52
Elektromagnetische Wellen
61 Erweiterung des Ampèreschen Gesetzes für zeitlich veränderliche Felder: der Verschiebungsstrom
52
62 Die Maxwellschen Gleichungen
52
63 Die Wellenausbreitung im Vakuum
53
63.1 Wellengleichungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63.2 Ebene elektrische Welle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
54
63.3 Periodischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
63.4 Das Magnetfeld elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
64 Die Energiedichte einer elektromagnetischen Welle und der Poynting-Vektor
55
65 Geführte elektrische Wellen
55
65.1 Das Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
65.2 Der Rechteck-Hohlleiter
56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66 Strahlung von einem oszillierenden elektischen Dipol (Hertzscher Dipol)
56
67 Die Streuung elektromagnetischer Strahlung an Atomen
58
INHALTSVERZEICHNIS
XII
Einige Anwendungen
4
59
68 Drehspulinstrument
59
69 Oszilloskop
60
70 Magnetisch gespeicherte Information
60
71 Informationsübertragung/Rundfunktechnik
61
72 Transformator
61
73 Wheatstonsche Brückenschaltung
62
74 Triode/Diode
63
5
Teil I
Einführung
1 Kräfte zwischen ruhenden Ladungen: Elektrostatik
(Coulombsches Gesetz)
F
1
4π
qr1 q22
(1.1)
0
Das Coulombsche Gestetz beschreibt nicht nur die Kräfte zwischen geladenen, makroskopischen Körpern, sondern auch zwischen dem Atomkern und den Elektronen des AToms.
Zwischen elektrostatischen und Gravitations-Kräften gibt es einen qualitativen und einen quantitativen wesentlichen Unterschied:
1. Während Massen sich immer anziehen, gibt es bei Ladungen auch abstoÿende Kräfte, nämlich zwischen
Ladungen gleichen Vorzeichens.
2. Die elektrostatische Kraft zwischen zwei Protonen ist etwa
1036 -mal stärker als die Gravitationsanziehung
zwischen ihnen.
Gewitter
Im Inneren einer Gewitterwolke werden sehr eektiv positive und negative Ladungen voneinander
getrennt. Die Ursache der Ladungstrennung liegt wohl im Kontakt von Eisteilchen und üssigen
Wassertröpfchen, die eine unterschiedliche Anität für Eletrkonen besitzen und sich daher beim
Kontakt miteinadner unterschiedlich auaden. Die zwischen positiv und negativ geladenen Wolken oder zwischen den Wolken und der Erde sich aufbauenden starken elektrischen Kräfte führen
zu den bekannten Blitzentladungen, die in der Regel alle 10 Minuten eine Ladung von
10C
zur
Erdoberäche abführen.
Die Katze
Bringt man zwei verschiedene Körper, z.B. einen Glasstab und ein Katzenfell, in Berührung miteinander, so ndet im Allgemeinen an der Grenzäche eine Ladungstrennung statt, weil der eine
Körper Ladungen fester binden kann als der andere. Trennt man die Körper nach der Berührung,
so ist der eine Körper negativ und der andere positiv geladen. Da die Gröÿe der getrennten Ladungen mit der wirksamen Berührungsäche wächst, lässt sie sich durch gegensteitiges Reiben
steigern.
Definition 1.1
Es gibt Materialien, in denen sich Ladungen leicht bewegen, sogenannte Leiter, und andere
Stoe, sogenannte Isolatoren, ohne elektrisches Leitvermögen.
Wir gehen davon aus, das an jedem Ort, an dem auf eine kleine Testladung
elektrisches Feld
~
E
q
eine Kraft
F~
ausgeübt wird, ein
existiert:
Definition 1.2 (Elektrische Feldstärke)
~
E
~
Fq
(1.2)
Das elektrische Feld lässt sich statt durch Feldstärkevektoren auch durch Kraftlinien - auch Feldlinien genannt
- kennzeichnen. Denitionsgemäÿ liegen sie überall parallel zum elektrischen Feldstärkevektor, und ihre Dichte
gibt den Betrag der Feldstärke an.
2
KRÄFTE ZWISCHEN BEWEGTEN LADUNGEN: MAGNETISCHE KRÄFTE
6
2 Kräfte zwischen bewegten Ladungen: Magnetische Kräfte
qp~v B~ q q v B sin ϕ
5 T
Magnetfeld der Erde an der Erdoberäche im Mittel: 5 10
Lorentz-Kraft:
F~
(1.3)
Da die Lorentz-Kraft immer senkrecht zur Geschwindigkeit wirkt, ändert sich unter dem Einuss magnetischer
Kräfte nur die Richtung, nie aber der Betrag von
~v .
Die kinetische Energie geladener Teilchen bleibt also beim
Durchiegen magnetischer Felder unverändert.
Definition 2.1
Bewegte oder ieÿende elektrische Ladungen bezeichnet man als elektrischen Strom.
I
Wenn am Stromtransport
schwindigkeit
~v
n
A
(1.4)
Ladungsträger pro Volumeneinheit beteiligt sind, die sich alle mit gleicher Ge-
nach rechts bewegen, dann ergibt sich ein Gesamtstrom:
I
Hierbei ist
dq
dt
Anqv Aj
j
die Querschnittsäche des Drahtes und
j
wird die Stromdichte genannt:
Strom
Querschnittsäche
(1.5)
Bringt man diesen stromdurchossenen Draht in das Magnetfeld eines Hufeisenmagneten, so erfährt er eine
seitlich wirkende Lorentz-Kraft
F~
l A n q p~v B~ q l pI~ B~ q
Stromdurchossenen Leiter erzeugen ein Magnetfeld. Die magnetischen Kraftlinien umschlieÿen den stromdurchossenen Draht kreisförmig, fangen also an keiner Stelle an, sondern sind in sich geschlossen.
B
µ0 I
2π
r
(1.6)
3 Das elektromagnetische Feld
Ruhende Ladungen erzeugen ein elektrisches Feld. Durch die BEwegung von Ladungen entsteht zusätzlich ein
magnetisches Feld.
Sowohl das elektische als auch das magnetische Feld von Ladungen verändern sich, wenn man von einem Bezugssystem zu einem anderen übergeht.
Für zeitlich veränderliche Felder gilt die Unabhängigkeit der Felder
~
E
und
~
B
voneinander nicht mehr.
Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld erzeugt in der Umgebung automatisch auch ein elektrisches Feld und in
analoger Weise führt ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld auch zu einem Magnetfeld. Die symmetrische
Kopplung zwischen zeitlich veränderlichen elektrischen und magnetischen Feldern fand ihren mathematischen
Ausdruck in dem Maxwellschen Gleichungen.
Die wichtigste Konsequenz der Maxwellschen Gleichungen liegt in dem erstmaligen Verständnis der Ausbreitung
von elektromagnetischen Wellen. Nach der MAxwellschen Theorie sollten sich alle elektromagnetischen Wellen
mit der charakteristichen Geschwindigkeit
c
?µ1 Lichtgeschwindigkeit
(1.7)
0 0
fortpanzen.
Ein geladenes Teilchen unter dem gleichzeitigen Einuss von elektrischen und magnetischen Feldern erfährt eine
Gesamtkraft
F~
q
~
E
~
~v B
Diese Kraft wird als Verallgemeinerung häug auch als Lorentz-Kraft bezeichnet.
(1.8)
7
Teil II
Grundlagen der Elektrostatik
4 Die Elementarladung
Millikan: Elektrische Ladung ist quantisiert, kleinste Einheit ist die Elementarladung
e
Quarks
Alle frei in der Natur vorkommenden Elementarteilchen besitzen eine positive oder negative Elementarladung, wenn sie nicht elektrisch neutral sind. Dies ist eine Erfahrungstatsache, die theore-
1
3 e und
2
3 e theoretisch postuliert. Ihre Existesnz konnte inzwischen in verschiedenen Streuexperimenten
nachgewiesen werden. Sie kommen, als gebundene Teilchen in Hadronen vor.
tisch kaum verstanden ist. Es wurden auch Teilchen, sogenannte Quarks, mit Ladungen
Atome
Atome sind aus geladenen Teilchen, den Elektronen und Kernen, aufgebaut. Letztere sind gebundene
Systeme aus einfach positiv geladenen Protonen und ungeladenen Neutronen. Normalerweise
besitzt ein Atom die gleiche Zahl von Protonen und Elektronen, so dass es nach auÿen als
ungeladen oder elektrisch neutral erscheint.
(Ladungserhaltung)
Die Summe der positiven und negativen Ladungen in einem abgeschlossenen
System ändert sich nie.
(Ladungsinvarianz)
Die Ladung von Elementarteilchen ist relativistisch invariant, sie ändert sich also
nicht mit der Geschwindigkeit des Teilchens.
5 Das Coulombsche Gesetz
F~
1
4π
q1 q2 ~r
2 r
0 r
Coulombsches Gesetz
(2.1)
~
r
r aus, dass die Kraft auf der Verbindungsgeraden beider Ladungen liegt. Bei
gleichem Vorzeichen der Ladungen stoÿen sie sich ab, bei umgekehrtem Vorzeichen erfolgt anziehung.
Rutherfordsche Streuexperimente: Beweis, dass die Coulombkraft bis herab zu Abständen von r
10 14 m noch
Dabei drückt der Einheitsvektor
dtreng dem Coulombgesetz folgt.
Die experimentelle Beobachtung zeigt, dass sich Gesamtkraft vektoriell aus Teilkräften zusammensetzt:
F~
wobei
~e1
~rr
1
1
und
~e2
~rr
2
2
F~1
F~2
1
4π
qq1
e1
2 ~
0 r1
Einheitsvektoren in Richtung von
1 qq2
~e2
4π0 r22
~r1
und
~r2
sind.
Superpositionsprinzip
Die Einzelkräfte zwischen je zwei Ladungen überlagern sich einfach, ohne dass die Gegenwart einer Ladung irgendeinen Einuss auf die Kräfte zwischen den anderen Ladungen ausübt. Dieses
Prinzip der vektoriellen Addition von Kräften heiÿt Superpositionsprinzip.
(2.2)
6
DAS ELEKTRISCHE FELD
8
6 Das elektrische Feld
Eine Punktladung
q1
die sich am Ort
~r1
bendet erzeugt an einem anderen Punkt
Feldstärke:
mit
~r01
~ p~r0 q E
P0
am Ort
~r0
eine elektrische
1 q1
e01
2 ~
4π0 r01
(2.3)
~r0 ~r1 und ~e01 als zugehöriger Einheitsvektor
Der Feldstärkevektor ist damit von positiven Punktladungen weg und zu negativen Punktladungen hin gerichtet.
Betrachte
N
Ladungen
qj ,
Superpositionsprinzip
~ p~r0 q E
N
1 ¸ qj
e0j
2 ~
4π0 j 1 r0j
(2.4)
Definition 6.1 (räumliche Ladungsdichte)
∆q p~rq
ρp~rq lim
∆V
kontinuierliche Ladungsverteilung:
Betrachte Volumenelement
dV1
mit Ladung
ρ dV1 ,
~ p~r0 q E
Ñ0 ∆V p~rq
~
dE
Beitrag:
»
1
4π0
V
dq
dV
4π1
(2.5)
0
ρdV1
e01 und erhalten
2 ~
r01
ρp~r1 qdV1
~e01
2
~r01
(2.6)
7 Das elektrische Potential
Definition 7.1 (Potentielle Energie) Die potentielle Energie einer Ladung q0 im Abstand r01 von
einer anderen Ladung q1 ist deniert als der negative Wert der Arbeit, die sich ergibt, wenn man die Ladung
q0 aus dem Unendlichen auf den Abstand r01 an q1 heranführt. Damit ist die potentielle Energie Upot einer
Ladung q0 am Ort r0 im Abstand r01 von q :
Upot p~r0 q » ~r0
8
1
F~ d~r 4π0
» r01
8
q0 q1
dr
r2
1
4π
q0 q1
0 r01
Definition 7.2 (Elektrostatisches Potential)
(2.7)
p q
Als elektrostatisches Potential ϕ ~
r0 am Ort ~r0
wird entsprechend der negative Wert der Arbeit bezeichnet, um eine psotivie Einheitsladung in einem elektrischen Feld vom Unendlichen bis nach
~r0
heranzuführen:
ϕp~r0 q Potential einer Punktladung
q1
am Ort
~r0
im Abstand
ϕp~r0 q » ~r0
8
r01
~ p~rq d~r
E
(2.8)
von der Punktladung:
1 q1
4π0 r01
(2.9)
Definition 7.3 (Äquipotentiallinien) Betrachtet man das Potential ϕprq in Einheiten von Volt im
Abstand r von einem Proton sieht man: Orte gleichen Potentials sind Kugelschalen um das Proton und werden
Äquipotentiallinien genannt.
Es ist keine resultierende Arbeit zu leisten, wenn man die Einheitsladung im elektrostatischen Feld
beliebigen geschlossenen Bahn herumführt:
¾
~ d~r 0
E
C
wenn man über eine geschlossene Kurve oder Linie
C
in einem elektrostatischen Feld.
~
E
auf einer
(2.10)
8
DAS ELEKTRISCHE FELD ALS GRADIENT DES POTENTIALS
9
Die Zirkulation des elektrischen Feldes ist null oder das elektrische Feld ist wirbelfrei.
Mit
ρp~rq
ortsabhängiger Ladungsdichte erhält man:
ϕp~r0 q 1
4π0
»
V
ρp~r1 q
dV1
r01
(2.11)
Definition 7.4 (Spannung)
Die Potentialdierenz zwischen zwei Punkten ~
r1 und ~r2 eines elektrischen
Feldes wird als elektrische Spannung bezeichnet und gibt den negativen Wert der Arbeit an, die man erhält,
wenn man eine Einheitsladung von
~r1
nach
U21
~r2
bringt.
ϕp~r2 q ϕp~r1 q » r2
r1
~ p~rq d~r
E
(2.12)
8 Das elektrische Feld als Gradient des Potentials
Ex
BBϕ , Ey BBϕ , Ez BBϕ
x
~e1 BBϕ
x
~
E
y
(2.13)
z
B
ϕ
~
~e3
Bz gradpϕq ∇ϕ
Bϕ
~e2
By
(2.14)
Der elektrische Feldvektor steht immer senkrecht auf den Äquipotentialächen.
Potential und Feldstärke eines elektrischen Dipols
Wir betrachten zwei Punktladungen
q
und
q die im Abstand d auf der z-Achse eines Koordi-
natensystems so angeordnet sein sollen, dass der Koordinatenursprung in der Mitte der beiden
Ladungen liegt.
Potential
ϕpx, y, z q
~r px, y, z q:
eines solchen Dipols im Punkt
ϕpx, y, z q Fernfeldnäherung:
r
1 b
4π0
x2
q
y2
" d Verwende: x ! 1 ñ
?
z
1
d 2
2
1
ñ ϕpx, y, zq 4π
0
Definition 8.1
Das Produkt
q d~ wird
q
b
x2
x1
y2
z
d 2
2
(2.15)
x
2
qdz
r3
als Dipolmoment
(2.16)
p~
bezeichnet:
p~ q d~
Der Vektor zeigt von der negativen Ladung zur positiven Ladung.
Andere Formulierung:
ϕprq 1 p cos θ
4π0 r2
1
4π
p~~r
3
0 r
(2.17)
8
DAS ELEKTRISCHE FELD ALS GRADIENT DES POTENTIALS
Das elektrische Feld erhält man durch Gradientenbildung aus dem Potential. Für
10
p~ p0, 0, pq ergibt
p 3zx
BBϕx 4π
5
0 r
Bϕ p 3zy
Ey By 4π0 r5
Bϕ p 3 cos2 θ 1
Ez Bz 4π0 r3
Das Feld ist rotationssymmetrisch um die Dipolachse ñ elektrisches Feld kann in zwei Kompo-
sich
Ex
nenten zerlegt werden, senkrecht un parallel zur Dipolachse:
EK
b
Ek
Ex2
Ey2
p
4π
0
4 cos θ sin θ
r3
3 cos2 θ 1
r3
0
p
Ez 4π
Dipolmoment von Molekülen
Viele zweiatomige Molek+le besitzen ein natürliches permanentes Dipolmoment. Im HCl-Molekül
zum Beispiel hält sich das Elektron des Wasserstoatoms hauptsächlich in der Nähe des Chloratoms auf, so dass positiver und negativer Ladungsschwerpunkt nicht zusammenfallen. Es bildet
sich HCl mit einem Dipolmoment.
Bemerkung 8.1
Dipolmomente lassen sich vektoriell addieren
Andererseits kann man auch in Atomen, welche an sich kein Dipolmoment besitzen, durch das
Anlegen eines elektrischen Feldes eine Ladungsverschiebung hervorrufen und damit ein elektrisches Dipolmoment induzieren.
Jede Ladungsverteilung erzeugt im Raum ein elektrisches Feld. Dieses Feld kann entweder durch die Feldstärke
selbst oder die Angabe des Potentials an jedem Punkt im Raum eindeutig bestimmt werden. Beide Formen der
Beschreibung sind äquivalent, da man aus dem Potential immer durch Gradientenbildung das Feld ermitteln
kann. Es ist oft sogar einfacher, erst das Potential einer Ladungsverteilung zu bestimmen und daraus das Feld
durch Dierentiation zu ermitteln.
9
DER GAUßSCHE SATZ DER ELEKTROSTATIK
11
9 Der Gauÿsche Satz der Elektrostatik
Der Gauÿsche Satz ist allgemeiner als das Coulomb-Gesetz, da er auch für bewegte Ladungen die Gültigkeit
beibehält.
Definition 9.1 (Fluss eines Vektorfeldes) Flächenelement dA durch die Teilchen der Geschwindigkeit ~
v strömen. Winkel zwischen Flächennormale und Teilchengeschwindigkeit: Θ.
Zahl der Teilchen, welche pro Zeiteinheit durch dA ieÿen: Teilchenuss dφ
ρ : Zahl der Teilchen pro Volumeneinheit
dφ ρ v dA cos Θ ρ ~v ~n dA
~ : dA~n
dA
~
f ρ~v
Flächenvektor:
Stromdichte:
ñ dφ f~ dA~
Gesmatuss durch geschlossene Fläche (Oberäche):
¾
φ
~
f~ dA
A
A:
Fluss des elektrischen Feldes aus der geschlossenen Fläche
φ
¾
~ dA
~
E
(2.18)
A
Beispiel 9.1 (Kugeloberfläche)
Im Zentrum einer Kugeloberäche sitzt eine Ladung
q.
Das elek-
trische Feld an der Oberäche hat den Wert
E
1
4π
φ E 4πr2
1
4π
q
2
0 r
q
4πr2
2
0 r
q
0
Allgemeine Herleitung: Projektion der Kugeloberäche auf beliebige Fläche
Der Fluss des elektrischen Feldes aus einer beliebigen Fläche, die eine Punktladung
φ
¾
q
umschlieÿt:
~ dA
~ q
E
0
A
Äuÿere Ladungen führten nicht zu einem Fluss aus einer geschlossener geschlossenen Fläche:
φ
¾
~ dA
~0
E
A
(Gauÿsche Satz der Elektrostatik)
Der gesamte Fluss aus einer geschlossenen Fläche
gleich der gesamten Ladung, die sich innerhalb der Fläche
A
bendet, dividiert durch
¾
Gauÿsche Satz (Einzelladungen):
A
¾
Gauÿsche Satz (Ladungsverteilung):
A
A
ist
0 .
N
¸
~ dA
~ 1
E
qj
0 j 1
(2.19)
~ dA
~ 1
E
0
(2.20)
»
V
ρ dV
12
Teil III
Verschiedene Anwendungen der Gesetze der
Elektrostatik
Das elektrostatische Feld wird durch zwei Gesetze vollkommen beschrieben:
1. Gauÿsche Satz:
Der Fluss des elektrischen Feldes aus der Oberäche um ein Volumen ist proportional der darin enthaltenen
Ladung:
¾
~ dA
~ 1
E
0
A
»
V
ρ dV
2. Die Zirkulation des elektrischen Feldes ist null:
¾
~ d~r 0
E
C
Dies gilt nur bei statischen Feldern, nicht in der Elektrodynamik bei zeitlich veränderlichen Feldern.
10 Das elektrostatische Feld einer unendlich ausgedehnten, ebenen
Ladungsschicht
geladene Ebene, z.B. homogen positiv geladenes Blatt Papier
Aus Symmetriegründen folgt, dass
~
E
nur senkrecht auf der Ebene stehen kann sowie rechts und links der Fläche
dem Betrage gleich sein muss.
Betrachte Teilladung
dem Seitenächen
Q
A1
und umgebe mit Fläche (Quader). Auf vier Seitenlächen ist
A2
und
~
E
parallel zu
A,
nur auf
senkrecht. Also folgt für den Fluss:
E 1 A1
E 2 A2
Q
0
A2 , |E1 | |E2 |
Q
ñ E 21
EA
A1
ñEA
0
E
0
Q
A
2σ
0
2σ
(3.1)
0
mit Flächenladungsdichte
Folgerung:
E -Feld
σ
QA
unabhängig vom Abstand
11 Das elektrische Feld eines Plattenkondensators
Definition 11.1
Zwei entgegengesetzt geladene, metallische Platten, deren Abstand klein ist gegenüber
dem Plattendurchmesser, nennt man einen Plattenkondensator.
Das Feld dieser Anordnung erhält man durch Superposition der Felder der entgegengesetzt geladenen Platten.
Die Felder im Auÿenraum kompensieren sich vollständig. Im Innenraum verdoppelt sich das Feld.
E
2 2σ AQ 0
0
(3.2)
Im gesamten Raum zwischen den Platten hat das Feld nach Richtung und Betrag den gleichen Wert und ist
unabhägig vom Abstand
d
beider Platten.
11
DAS ELEKTRISCHE FELD EINES PLATTENKONDENSATORS
13
Die Potentialdierenz gibt die ARbeit an, welche geleistet werden muss, um eine positive Einheitsladung entgegen der Richtung der elektrostatischen Karft von einer Platte zur anderen zu bringen. Damit erhält man als
Spannung zwischen den beiden Platten:
U
» d
2
~ dr
E
d
2
E d σ d
0
Die Spannung ist also im Unterschied zur Feldstärke proportional zum Plattenabstand
U
d:
dA Q
(3.3)
0
Die Spannung ist proportional zur gepeicherten Ladung
Q.
Diese Proportionalität ist eine Folge des Superpositionsprinzips und gilt daher nicht nur für den Plattenkondensator, sondern für alle beliebig geformten Kondensatoren.
Q U.
Führe Proportionalitätsfaktor ein:
Kapazität eines Plattenkondensators:
C
UQ
C
Kapazität:
(3.4)
0 Ad
(3.5)
Hohe Kapazität: Metallfolien, mit isolierender dünnen Zwischenschicht aufgerollt
Drehkondensator: stetige Veränderung der eektiven Kondensatoroeräche und damit der Kapazität durch
Drehen
Parallelschaltung
An beiden Kondensatoren liegt die gleiche Spannung
Q Q1
Q2
C1 U
C
C2 U
C1
U
an. Es gilt:
pC1
C2 qU
C U
C2
(3.6)
Reihenschaltung/Serienschaltung
Q:
Beide Kondensatoren tragen die gleiche Ladung
U
U1
U2
CQ
1
1
C
Q
C2
Q
C1
1
C2
1
1
C1
1
C2
Q
C
(3.7)
12
UNENDLICH LANGER, GELADENER DRAHT UND KOAXIALKABEL
14
12 Unendlich langer, geladener Draht und Koaxialkabel
Betrachten unendlich langen, geraden Draht, der homogen geladen sein soll, d.h.
λ
Ladung
Längeneinheit
const.
Aus Symmetriegründen können alle Feldlinien nur senkrecht zur Symmetrieachse, das heiÿt senkrecht zur Drahtachse, stehen.
Feld auÿerhalb eines unendlich, langen, gerade, Drahtes
Feld auÿerhalb des Drahtes:
Anwendung des Gauÿschen Satzes
Betrachten Länge
l
und legen Zylinderäche um das Kabel
»
Zylinderwand
~ dA
~
E
2
»
~ dA
~ lλ
E
0
Kreisächen
Das Elektrische Feld der Kreisächen ist parallel zu
Zylinderwand
»
Zylinderwand
~
A
der Kreisächen, also bleibt nur die
~ dA
~ E 2πr l
E
ñ E 2πr l lλ
0
E
2πλ r
(3.8)
0
Koaxialkabel/Zylinderkondensator
Definition 12.1 Draht mit Durchmesser 2ri wird mit metallischen Hohzylinder mit Durchmesser 2ra umgeben. Auf dem äuÿeren Hohlzylinder soll die gleiche Ladungsmenge - aber mit
umgekehrten Vorzeichen - sitzen wie auf dem inneren Draht. Eine solche Anordnung nennt
man ein Koaxialkabel oder einen Zylinderkondensator.
Gauÿscher Satz
Auÿenraum ist völlig feldfrei und das Feld zwischen Draht und Hohlzylinder hat
wie oben berechnet den Wert
E
2πλ r .
0
Da der Auÿenraum feldfrei ist, wird das Koaxialkabel technisch als sog. abgeschirmtes Kabel verwendet. Koaxialkabel werden z.B. als Antennenkabel verwendet.
Kapazität:
Berechne Spannung zwischen Innen und Auÿenleiter
U
» ra
ri
~ d~r E
λ
2π0
» ra
ri
1
dr
r
λ
ln
2π0
ra
ri
0
ñ C Uq λ l 2π
2π0r l
r
λ ln r
ln r
a
a
i
i
13 Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel
Feld im Auÿenraum
Betrachten Kugeläche
A mit Radius R, welche die homogen geladene Kugel (Ladung Q, Radius R0 )
konzentrisch umschlieÿt. Aus Symmetriegründen kann das elektrische Feld nur radial nach auÿen
gerichtet sein und steht daher senkrecht auf der Gauÿschen Fläche
Feldes durch
A
ist daher
¾
A
~ dA
~ E 4πR2
E
Q
0
A.
Der Fluss des elektrischen
14
LEITER IN EINEM STATISCHEN ELEKTRISCHEN FELD
15
1
4π
RQ2
E
(3.9)
0
Entspricht dem elektrischen Feld einer Punktladung. Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel ist also im Auÿenraum genau so groÿ, als sei die gesamte Kugelladung im Kugelmittelpunkt konzentriert.
Feld im Innern
Lege wieder Kugeläche
A
mit Radius
R
um den Punkt im Inneren. Das elektrische FEld ist auch
in diesem Fall radial nach auÿen gerichtet.
E 4πR2
3
Q RR3
0
0
1
4π
QR3R
E
0
(3.10)
0
Kapazität gegenüber unendlich weit entfernte umhüllende Gegeneletrode
Spannung zwischen dem Unendlichen und der Oberäche der geladenen Kugel mit Radius
U
»8
R0
E dR C
»8
R0
1
4π0
R0 :
1
RQ2 dR 4π
RQ
0
0
UQ 4π0 R0
14 Leiter in einem statischen elektrischen Feld
Elektricshe Leiter besitzen frei bewegliche Elektronen. Beim Anlegen eines elektrischen Feldes nehmen die
freien Ladungen eine Gleichgewichtslage ein, die dadurch bestimmt ist, dass die elektrische Kraft im Innenraum
des Leiters null wird, das heiÿt das elektrische Feld bricht zusammen. Im Innern eines Metalles kann also im
Gleichgewichtszustand kein elektrostatisches Feld existieren.
Also gilt im Innern eines Leiters:
~
E
0 ñ ρ 0 und alle Punkte des Metalls benden sich auf dem gleichen
Potential
Die Ladungen stoÿen sich ab und sitzen daher an der Oberäche.
Da die Metalloberäche eine Äquipotentialäche ist, verschwinden alle Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes an der Oberäche, das heiÿt das elektrische Feld unmittelbar auÿerhalb eines Metalls steht immer
senkrecht auf der Metalloberäche. (also parallel zum Radius)
Elektrisches Feld an der Oberäche einer geladenen Metallkugel mit dem Radius
EK
mit dem Potential
Da
ϕ0
ϕ0
R0
und der Ladung
Q:
1
4π
RQ2 Rϕ0
0
0
0
der Kugel an der Oberäche
auf der ganzen Oberäche konstant ist, folgt
E
R1
0
Also: Da die Metalloberäche eine Äquipotentialäche ist, führt dies zu höheren Flächenladungsdichten an
Spitzen
Beispiel 14.1
Um bei Hochspannungsquellen das Auftreten hoher Feldstärken zu verhindern, ist es daher
notwendig, nur abgerundete Metallteile mit groÿem Krümmungsradius zu verwenden und nach Möglichkeit
jede Art von Spitzen zu vermeiden.
15
SPITZEN IN STARKEN ELEKTRISCHEN FELDERN
16
15 Spitzen in starken elektrischen Feldern
Betrachte metallische Spitzen mit auÿerordentlich kleinen Krümmungsradius
Feldemission
negativ aufgeladenen Spitze
Alle Feldlinien enden auf den negativen Ladungsträgern in der Spitze, das heiÿt im Allgemeinen auf
den Elektronen, und sind bei hohen Feldern zunehmend in der Lage, diese Elektronen trotz ihrer
Bindung ans Metall aus der Spitze herauszuziehen. Dieser Vorgang heiÿt Feldemission.
Die emittierten Elektronen folgen im Vakuum genau dem radialen Verlauf der Feldlinien und können
daher auch ein vergröÿertes Bild der Spitzenkathode auf einen entfernten Leuchtschirm abbilden.
Dies ist das Prinzip des Feldelektronenmikroskops.
positiv geladenen Spitzen
Die positiven Zugkräfte des Feldes wirken auf die positiven Ionen der Spitzenoberäche. Dadurch
wird ihre Bindung an der Spitze wirksam reduziert, so dass sie auf der Oberäche schneller
diundieren als ohne Feld, schon bei relativ niedrigen Temperaturen üssig werden und schlieÿlich
sogar von der Oberäche verdampfen.
Ionenquelle
Anwendung: Feldionenmikroskop
16 Das Rastertunnelmikroskop
Bei der rastertunnelmikroskopischen Messung wird eine elektrisch leitende SPitze (auch Nadel) systematisch
(in einem Raster) über das ebenfalls leitende Untersuchungsobjekt gefahren. Die Spitze und die Objektäche
sind dabei nicht in elektrischem Kontakt, und wegen des isolierenden Mediums dazwischen (Luft oder Vakuum)
ndet ei makroskopischem Abstand kein kontinuierlicher Stromuss statt. Nähert man jedoch die Spitze der
Oberäche auf atomare Gröÿenordnungen an, so tritt mit einer Wahrscheinlichkeit gröÿer Null ein Austausch
von Elektronen auf, was bei Anlegen einer kleinen Spannung zu einem Tunnelstrom führt. Denn nach dem
Gesetzen der Quantenmechanik stellt jedes Teilchen zugleich eine Materiewelle dar und kann daher mit endlicher
Wahrscheinlichkeit auch in den klassisch verbotenen Bereich der hohen Energiebarriere eindringen und ihn
prinzipiell durchtunneln.
17 Der Faradaysche Käg
Wollen zeigen, dass das elektrische Feld in jedem metallischen Hohlraum verschwindet, wenn er keine Ladungen
enthält.
Das Feld im Innern eines Leiters ist Null, also verschwindet auch der Fluss des Feldes durch eine Fläche, die den
Hohlraum ganz umschlieÿt. Dies bedeutet, dass auf der OBeräche des inneren Hohlraums die Gesamtladung
Null sein muss. Das schlieÿt aber nicht aus, dass beispielsweise positive Ladungen auf der einen und negative
Ladungen auf der anderen Seite dieser Oberäche sitzen, was zu einem elektrischen Feld im Hohlraum führen
würde.
¾
Wirkbelfreiheit des elektrischen Feldes
~ d~r 0
E
C
Als Integrationsweg für dieses Linienintegral wählen wir die geschlossene Kurve
und teilweise durch den Hohlraum verläuft. Da
~
E
C
die teilweise durch den Leiter
im Leiter Null ist, verschwindet auch der Beitrag zum Integral
im Leiter. Da aber das GEsamtintegral über die geschlossene Kurve verschwindet, muss auch der Beitrag zu
¶
~ d~r im Hohlraum Null sein. Dieses ist für beliebige Integrationswege nur möglich, wenn
E
C
Hohlraum, der vom Leiter umgeben ist, exakt verschwindet.
~
E
im ganzen
Daraus folgt die Feldfreiheit von metallischen Hohlräume
Anwendung: Abschirmen von elektrischen Felder (Faradayscher Käg, Blitz schlägt nicht ins Innere des Autos
ein)
18
INFLUENZ
17
Van-de-Graaf-Generator
Bringt man mit einem Löel Ladungen in das Innre einer metallischen Hohlkugel, so wandern die
Ladungen sofort nach auÿen, und der innere Hohlraum bleibt feldfrei, unabhängig davon wie viel
Ladungen die Hohlkugel schon trägt.
Man kann die Kugel auf ein viel höheres Potential auaden als die Ladungquelle trägt.
Entscheidend für eine wirkungsvolle Spannungserhöhung ist das Abstreifen des Löels im feldfreien
Inneren der Hohlkugel.
18 Inuenz
Was passiert, wenn eine Metallprobe in ein elektrisches Feld gebracht wird, und wie es dabei zur Auslöschung
des Feldes im Metall kommt.
Metall im elektrischen Feld eines Plattenkondensators
Ladungstrennung (Inuenzladungen entstehen)
Sie liefern im Innern des MEtalls ein Feld, das dem ursprünglichen entgegengerichtet ist und diess genau zu null
kompensiert. Deshalb ist das Feld im Innern des Leiters Null.
Demonstration: Zwei ache aufeinadergepresste Aluminionlöel in das elektrische Feld eines Plattenkondensators, trennen im Feld und auÿerhalb vom Feld
19 Das elektrische Feld zwischen geladenen Leitern und die Bildladung
Gauÿscher Satz bei unbekannten Ladungsverteilungen nicht anwendbar
Beispiel: Elektrisches Feld zwischen zwei oder mehreren geladenen Leitern
Wissen: Metalloberächen sind Äquipotentialächen
Beispiel: Elektrisches Feld zwischen einer kleinen geladenen Kugel und einer ebenen metallischen Oberäche
Ausgangspunkt: Ladungsanordnung eines elektrischen Dipols
Auf die mittlere ebene Äquipotentialäche
A
wird eine dünne ungeladene Metallplatte angebracht. Wenn diese
Metallplatte ungeladen ist, besitzt sie genau das Potential der Äquipotentialäche
A
und die Gegenwart der
Metallplatte verändert nichts am Feldverlauf der Anordnung. Nur im Innern des Metalls ist das Feld Null wegen
der Inuenzladungen. Anderersetis ist druch die Metallplatte der Feldverlauf im linken Halbraum unabhängig
von dem im rechten geworden. So ändert sich nichts am Feldverlauf im rechtsn Halbraum, wenn man die linke
Hälfte ganz mit Metall ausfüllt.
elektrisches Feld zwischen Punktladunt
q
und ebener Metalloberäche
Die Feldlinien haben einen Verlauf, als ob sich im gleichen Abstand hinter der Metalloberäche eine negative
Ladung
q befände. Diese imaginäre Ladung nennt man auch Bild- oder Spiegelladung.
20 Die Energie des elektrischen Feldes
Wenn man einen Leiter auaden will, so muss man Arbeit leisten gegen die abstoÿenden Kärfte der schon auf
dem Leiter vorhandenen Ladungen. Nehmen wir an, eine Metalläche mit der Kapazität
q
C . Um noch eine weitere Ladung
auf dem Leiter zu bringen, muss man die Arbeit leisten:
Ladung
q
und liege daher auf dem Potential
U
dW
»Q
0
q
dq
C
Q
Q
trage bereits eine
aufzubringen ist daher
2
Q
2C
21 CU 2
Dieses Resultat gilt allgemein für einen beliebigen Kondensator der Kapazität
man leisten muss, um die Gesamtladung
C
aud dem Unendlichen
U dq Cq dq
Die insgesamt erforderliche Arbeit, um auf den Kondensator die Ladung
W pQq dq
C
und ist gleich der Arbeit, die
von einer Elektrode zur anderen zu bringen.
21
DIE ABSCHIRMUNG ELEKTRISCHER POTENTIALE IN LEITENDEN MEDIEN
18
Plattenkondensator
2
W
Q
2C
2dA Q2 2dA 20 A2 E 2 12 0 E 2 V
0
0
Wir können sagen, dass die zur Auadung des Kondensators erforderliche Arbeit verwendet wurde, um ein elektrisches Feld zwischen den Platten des Kondensators aufzubauen. Nach dieser
Auassung steckt diese Energie jetzt im elektrischen Feld des Volumesn
V.
Oder ander ausge-
drückt: Die Energiedichte des elektrischen Feldes beträgt:
W
V
Energiedichte des elektrischen Feldes
12 0 E 2
(3.11)
Wichtig bei der Betrachtung: Elektrisches Feld und damit Energiedichte ist innerhalb des Plattenkondensators konstant
Beispiel 20.1 (Elektronenradius)
re
me c2
Betrachte Elektron als geladene Kugel mit Ladung
e und Radius
2
2
Q
8πe r
We 2C
0
e
Kraft zwischen den Platten eines Kondensators
Platten entgegengesetzt geladen
ñ ziehen sich gegenseitig mit Kraft F
an
Entfernen gegen die Wirkung dieser Kraft die Platten um eine kleine Strecke
F ∆d 1
0 E 2 A ∆d ñ F
2
∆d.
12 0 E 2 A 12 QE
21 Die Abschirmung elektrischer Potentiale in leitenden Medien
Wie sieht das elektrische Feld und as Potential einer geladenen Kugel aus, die sich nicht im Vakuum, sondern
in einem leitenden Medium bendet?
Wenn sich die Kugel im Vakuum befände, würden die elektrischen Feldlinien ohne Unterbrechung radial nach
1
r 2 abfällt.
Bringt man nun die Kugel in einen Elektrolyten, so werden von der positiv geladenen Kugel die negativen Ionen
auÿen verlaufen, so dass das Feld mit
angezogen, die positiven dagegen abgestoÿen, so dass die Kugel in ihrer näheren Umgebung nunmehr von einer
insgesamt negativen Ladungswoke umgeben ist. Diese Ladungswolke schirmt oenbar das Feld der Kugel im
entfernten Auÿenraum sehr wirkungsvoll ab.
Quantitative Betrachtung
Wähle relativ groÿe Kugel, betrachte Feldverteilung in der Nähe der Kugeloberäche, vernachlässige
Kugelkrümmung
Ladungsverteilung im Elektrolyten
In groÿen Abstand von der Kugeloberäche herrscht Ladungsneutralität, das heiÿt die
Teilchendichte der ositiven Ionen
n
Bis auf einen Abstand
x
n
ist gleich der Ionendichte
n n8
für
n
xÑ8
können sich nur positive Ionen der Kugel nähern, die eine
thermische Energie haben, die gröÿer ist als die potentielle Energie
q ϕpxq
Verwende barometische Höhenformel:
q ϕpxq
n pxq n8 exp kB T
,
n pxq n8 exp
q ϕpxq
kB T
19
Hohe Temperaturen
kB T
" |qϕ|:
pn pxq n pxqq q n8 2q k ϕTpxq
2
B
Gauÿscher Satz: Lege Fläche
A
A E px
Allerdings gilt auch
d2 ϕ
dx2
mit Dicke
dx
dxq A E pxq A dE
dx , also
d2 ϕ
dx2
dE
f
dx ρ A dx
dx
0
ρ
0
Einsetzen und so weiter ergibt Debeysche Abschirmlänge:
d
D
0 k B T
2n8 q 2
Diese ist ein Maÿ für die Dicke der negativen Ladungsschicht, welche die positiv geladene Kugel
umgibt
Teil IV
Isolatoren im elektrischen Feld
Einuss eines elektrischen Feldes aus Isolatoren (fest, üssig oder gasförmig) soll betrachtet werden, wobei die
Ladungen nicht frei sind, sondern an den Molekülen es Isolators gebunden.
22 Die Gleichungen der Elektrostatik in einem Dielektrikum
Dieelektrikum ist ein anderer oft gebrauchter Name für einen Isolator
Definition 22.1 (permanente Dipole)
Wenn die Schwerpunkte von positiven und negativen Ladun-
gen eines Moleküls, aus denen der Isolator besteht, nicht zusammenfallen, besitzt das Molekül ein elektrisches
Dipolmoment, das sogenannte permanente Dipol. Im elektrischen Feld erfolgt eine Orientierung der permanenten Dipole in Feldrichtung, die man Orientierungspolarisation nennt.
Definition 22.2 (induzierte Dipole)
Atome und Moleküle die kein permanentes Dipolmoment be-
sitzen: In einem solchen Atom verschieben sich im elektrischen Feld der positive und negative Ladungsschwerpunkt voneinander um die Strecke
δ,
so dass ein induziertes Dipolymoment des Atoms:
~
p~ q ~δ 0 α E
entsteht. Wobei
Spannung
U
α
die atomare Polarisierbarkeit ist.
sinkt ab, wenn ein nichtleitendes Medium in dem Zwischenraum gebracht wird,
Q
bleibt konstat
Definition 22.3 (Dieelektrizitätszahl, relative Dielektrizitätskonstante)
r
CCM UU0
0
(4.1)
M
ñ EM E 0
r
Definition 22.4 (Polarisierbarkeit)
Feld zu beeinussen.
Eigenschaften eines Dielektrikums ein angelegtes elektrisches
22
DIE GLEICHUNGEN DER ELEKTROSTATIK IN EINEM DIELEKTRIKUM
20
Polarisations-Oberächenladungen schwächen das elektrische Feld. Die Ladungen können durch zwei Eekte
gebildet werden:
1. Verschiebungspolarisation:
Entstehung von induzierten Dipolmomenten durch Verschiebung von positiven und negativen Ladungsschwerpunkten
2. Orientierungspolarisation:
Eventuell vorhandene polare Moleküle, die infolge von Wärmebewegungen umgeordnet sind, werden im
Feld teilweise ausgerichtet.
Betrachten nun Isolator, aus nichtpolaren Molekülen, im elektrischen Feld eines Plattenkondensators:
Die negativen Ladungen des Isolators werden relative zu dem positiven um eine Strecke
δ
nach oen verschoben.
Die Polarisation des Isolators stört nicht die Neutralität im Innern der Probe, erzeugt abr negative bzw. positive
Überschussladungen auf der oberen bzw. unteren Fläche des Isolators.
Auf der oberen Fläche sitzt genau die gleiche Ladungsmenge aber umgekehrten Vorzeichens. Die gesamte Probe
stellt also einen Dipol dar.
Definition 22.5
Als Polarisation
P~
bezeichnet man das Dipolmoment des Isolators pro Volumeneinheit:
P~
n p~
induziertes atomares Dipolmoment:
n:
(4.2)
~
p~ 0 α E
(4.3)
Anzahl der Atome pro Volumeneinheit, Teilchendichte
Bei homogener Polarisation ist der Betrag des Dipolmoments gleich der Flächenladungsdichte der Polarisationsladung
σpol
Definition 22.6 (Elektrische Suszeptibilität)
0 χ E~
P~
Isotropes Medium:
χ const.
χ ist ein
Anisotropes Medium:
(4.4)
Tensor
Plattenkondensator mit und ohne Füllung
σF :
σP :
Ladung auf Plattenkondensator
Polarisierte Ladung auf Dielektrikum
σF
0
σF P E0 P
E0
E
σF σP
0
E
0
0
E0 χ E
E0
E
1
(4.5)
χ
(4.6)
Bisher: Homegenes Feld eines Plattenkondensator
Jetzt: Elektrisches Feld und Polarisationsvektor haben nicht überlal im Medium den gleichen Betrag und die
gleiche Richtung
Denken wir uns eine geschlossene OBeräche
das durch die Oberäche
A
A.
Wie groÿ ist die Ladungsmenge
Q
die infolge der Polarisation
umschlossene Volumen verlässt?
Q
¾
A
~
P~ dA
(4.7)
23
DIE POLARISIERBARKEIT VON ATOMEN IN ELEKTRISCHEN WECHSELFELDERN
Es entsteht also im Innern von
A
eine Polarisationsladung
QP
»
A
21
QP
~
P~ dA
»
V
ρP dV
Neben dieser Polarisationsladung gibt es aber grundsätzlich auch die Möglichkeit von freien Ladungen, die auch
ohne Polarisation existieren, charakterisierbar durch
ρF .
Also gilt für die Ladungsdichte:
ρ ρF
¾
~ dA
~
E
1
0
»
A
ρdV
F
1
0
»
V
p ρF
ρP
ρP qdV
1 0
»
ρF dV
V
¾
~
P~ dA
A
Damit ergit sich:
(Gauÿsche Satz im Isolator)
¾ P~
0
~
E
dA~ Q F
(4.8)
0
A
~
Für lienare Medien (P
0 χE~ ) gilt also:
¾
0 p 1
~ dA
~
χq E
Weiterhin gilt nun im isotropen Dielektrikum:
F
¾
~ d9A
~ QF
0 E
(4.9)
4π1 q1r2q2
0
Definition 22.7 (Dielektrischer Verschiebungsvektor)
~
D
0 E~
(4.10)
23 Die Polarisierbarkeit von Atomen in elektrischen Wechselfeldern
Statische elektrische Felder
positve und negative Ladungstrennung werden im Feld um Strecke
rücktreibende Kraft
F
q E ist proportional zur Auslenkung
δ
voneinander getrennt
Harmonischer Oszillator
Feld oszilliert mit Winkelfrequenz
ω
Annahme: unendlich schwerer Kern, nur Elektronen werden bewegt
Ex
E0 cospωtq
Bewegungsgleichung der Elektronen (allg. Schwingungsgleich:
me Lösung:
d2 x
dt2
ma
mω 2 x Fext :
m2 ω02 x q Ex
x x0 cos ωt
x0
0
m pωqE
2 ω2 q
e
0
Enthalte oszillierendes Dipolmoment
2
px
q x m pωq2 ω2 q Ex 0 αpωq Ex
e
Polarisierbarkeit
α
hängt also von Winkelfrequenz
0
ω
des Wechselfeldes
~
E
ab.
Annahmen: Wechselwrikungen mit Nachbaratomen vernachlässigbar, keine Abweichungen von der linearen Beziehung zwischen Auslenkung
x
und
E
(nicht immer erfüllt!)
24
DIE DIEELEKTRIZITÄTSKONSTANTE EINES PLASMAS UND PLASMASCHWINGUNGEN
22
24 Die Dieelektrizitätskonstante eines Plasmas und Plasmaschwingungen
Definition 24.1 (Plasma)
Die Elektronen sind nicht an ihre positiven Ionen gebunden, sondern können
sich von ihnen entfernen. Ein solches Medium heiÿt Plasma. Es besteht also aus
n freien Elektronen und Ionen
pro Volumeneinheit.
Fehlende Bindung zwischen einem Eletrkon und seinem Gegenion bedeutet
ω0
0, ωq nm q ω2
0
e
2
nq
ωP2 :
0 me
0 und damit:
2
χ n αpω0
Entstehung der Plasmaschwingung
Wähle
0 , χ 1
Betrachte eben Plasmaschicht von endlicher Dicke, in der sich Elektronen der Masse
me
frei gegenüer
den viel schwereren Ionen bewegen können. Jetzt wollen wir kurzzeitig (z.B. durch ein äuÿeres
Feld) alle Elektronen um die Strecke
x
nach oben auslenken. Dadurch entsteht auf der oberen
Grenzäche eine negative Ladungsdichte
σP
und auf der unteren infolge der zurückbleibenden
σP ,
positiven Ionen entsprechend die Ladungsdichte
wobei gilt:
σP
nqx
Dies führt (wie beim Plattenkondensator) zu einem elektrischen Feld im Plasma
E
σP n q x
0
0
und damit eine rücktreibende Kraft auf jedes Elektron im Plasma, die zur Aslenkung
tional ist:
me d2 x
dt2
qE n q x ñ ddtx2
2
propor-
ωP2 x 0
0
Die Elektronenwolke schwingt mit Kreisfrequenz
oben und unten.
2
x
ωP , der Plasmafrequenz, zeitlich periodisch nach
Plasmaschwingung
25 Die Orientierungspolarisation
permanentes Dipolmoment liegt um vier Gröÿenordnungen über dem induzierten Dipolmoment
Elektrischer Dipol im homogenen elektrischen Feld
Im homogenen elektrischen Feld wirkt ein Kräftepaar auf die eiden Ladungen des Dipols. Die resultierende Kraft ist daher Null. Das Kräftepaar erzeugt jedoch ein Drehmoment
~
M
d~ F~ q pd~ E~ q p~ E~
Epot pφq »
9
M dφ p E cosφ
φ 90
p~ E~
Elektrischer Dipol im inhomogenen elektrischen Feld
Im inhomogenen Feld sind die Kräfte auf die positive und die negative Ladung des Dipols nicht mehr
entgegengesetzt gleich, so dass auf dem Dipol im inhomogenen Feld neben dem Drehmoment auch
eine Kraft
F~
F~ F~
Fx
Analog für
Fy
und
ausgeübt wird.
q pEx Ex q q d~ grad Ex
p~ grad Ex
Fz
~
d~ k E
ñ F p grad E
in Richtung des Feldes
26
DIE DIELEKTRIZITÄTSKONSTANTE EINES DICHTEN MEDIUMS
23
Nichtpolare Moleküle
Auch ein nichtpolares Molekül besitzt im elektrischen Feld ein induziertes Dipolmoment
~.
p~ 0 α E
Daher wird auch ein nichtpolares Atom oder Molekül in die Richtung des wachsendes Feldes
gezogen mit einer Kraft
Beispiel 25.1
F
p grad E 0 α E grad E
Wegen dieses induzierten Dipolmoments werden auch ungeladene Papier-
schnitzel und Staubteilchen in ein hohes elektrisches Feld hineingezogen. Hierauf beruhen einige
elektrostatische Reinigungsmethode (z.B. Reinigung der Luft von Ruÿteilchen)
Entstehung der Orientierungspolarisation
Ohne elektrisches Feld, stellt sich aufgrund der Stöÿe eine statistische Verteilung der Richtungen der
Dipolmomente ein: Die mittlere Polarisation pro Volumeneinheit ist daher null. Lägt man nun ein
äuÿeres Feld an, so treten folgende Vorgänge auf: Im Molekül wird ein Dipolmoment durch das
Feld induziert, seine Gröÿe ist jedoch fast immer vernachlässigbar im Vergleich zum permanenten
Dipolmoment. Wichtiger ist, dass das Feld ein Drehmoment
~
M
p~ E~ auf die Dipole ausübt,
wodurch sie teilweise in Feldrichtung ausgerichtet werden. Durch diese Ausrichtung entsteht eine
Polarisation pro Volumeneineheit, die sogenannte Orientierungspolarisation.
Bei endlichen Temepraturen verhindern die Molekülstöÿe, die eine Energie austauschen, eine vollständige Orientierung. Der Grad der Orientierung hängt im thermischen Gleichgewicht von der potentiellen Energie der
Dipole im Feld ab.
Die Polarisation pro Volumeneinheit steigt linear mit dem angelegten Feld an. Daraus ergibt sich die paraelektrische Suszeptibilität zu
χ
Definition 25.1
n2pk T
0 E
0
B
2
P
Ein Paraelektrikum ist ein nichtleitendes Material, das keine parallel ausgerichteten per-
manenten elektrischen Dipolmomente aufweist.
χ
1
T . Eine derartige Temeraturabhängigkeit nennt man ein Curie-Verhalten.
26 Die Dielektrizitätskonstante eines dichten Mediums
Wir wollen jetzt genauer prüfen, wie groÿ das elektrische Feld ist, welches unter verschiedenen Umständen auf
ein Atom wirkt.
Wissen bereits
Atom/nichtpolares Molekül allein zwischen den Platten eines Kondesnators mit Ladungsdichte
so wirkt auf das Atom das elektrische Feld
E
σ
σF ,
F
0
Erhöht man die Zahl der Atome und betrachtet z.B. ein atomares Gas im Plattenkondensator, so
muss die durch die Polarisation an den Grenzächen entstehende Ladungsdichte
σ
σP
berücksichtigt
σP
.
0
Innenraum des Mediums ist ladungsfrei
werden:
E
F
E
σF
σP
0
des Mediums die Feldstärke beschreibt, welche auf jedes Atom des Mediums wirkt.
sondern eine gröÿere Feldstärke. Wir werden sehen, dass
E
σF
σP
wirkt,
0
nur näherungsweise bei geringer Dichte
Wir wollen jetzt zeigen, dass in Wirklichkeit auf jedes Atom des Mediums nicht ein Feld
Modell
Jedes Atom ist in einem isotropen Isolator so von Nachbaratomen umgeben, dass es in einem nahezu
kugelförmigen Hohlraum sitzt. Das elektrische Feld in diesem Loch
im kompakten Material
E
σ
F
ELoch
ist gröÿer als des Feld
σP , weil an der unteren und oberen Grenzäche des Hohlraums
0
zusätzlich Ladungen durch die Polarisation des umgebenden Mediums entstehen, welche das Feld
im Loch
ELoch
über den Wert von
E
erhöhen.
27
ELEKTRISCHE POLARISATION IN FESTEN KÖRPERN
24
Feld in einem kugelförmigen Hohlraum
Superpositionsprinzip:
~ Loch
E
E~ E~ Kugel
Dazu: Feld im Innern einer homogen polarisierten Kugel vom Radius
r0
Annahmen:
~ Kugel , P~
• E
•
im Kugelvolumen homogen
Gesamtladung im Kugelmittelpunkt
Im polarisierten Zustand sind alle negativen gegen alle positiven Ladungen um
δ
verschoben.
Also ist die polarisierte Kugel von auÿen gesehen äquivalent zu einem Dipol
p~0
Q ~δ 4π3 r03 nq ~δ 4π3 r03 P~
ϕ
1 p0
z
4π0 r03
ϕ EKugel z
3P z
0
ñ E~ Kugel 2P
~
0
Das Feld in einem kugelförmigen Hohlraum:
ELoch
E
1P
3 0
Das zusätzliche Feld kann nur in gasförmigen Medien mit kleiner Polarisation vernachlässigt werden.
Konsequenzen
P~
n:
n α 0 E~ Loch n α 0 ~
E
P~
30
ñ P~ 1 n nαα 0 E~
3
Zahl der Atome pro Volumeneinheit
Hieraus folgt die Clausius-Mosotti-Beziehung:
χ
nα
1 n3α
nα
3
1
nα
1 n3α
(4.11)
!1ñχnα
27 Elektrische Polarisation in festen Körpern
Beispiel 27.1
In Kristallen können Moleküle mit permanenten Dipolmomenten in geordneter Weise so
eingebaut sein, dass der ganze Kristall auch ohn angelegtes Feld ein permanentes Dipolmoment besitzt.
Dadurch entstehen an der Kristalloberäche elektrische Dauerladungen, die allerdings schwer nachweisbar
sind, da sie normalerweise Ladungen aus der umgebenden Atmosphäre anziehen und dadurch neutralisiert
werden.
Änderungs der Polarisation des Kristalls (Erwärmung, Druck)
Änderung der Ladugnsdichte auf der Oberäche
Diese Änderung der Oberächenladung ist leicht messbar und als pyroelektrischer (Temperaturänderung) bzw.
piezoelektrischer (Druck) Eekt bekannt.
Andererseits:
Anwendung eines Feldes
Ladungsverschiebung
vertikale Ausdehnung oder Kompression des Kristall
25
Beispiel 27.2
So kann man durch Anlegen von Wechselfeldern an piezoelektrische Kristalle periodische,
mechanische Deformation in diesen hervorrufen und sie somit zur Ultraschallerzeugung verwenden.
Manche Kristalle die kein Dipolmoment besitzen (oder besitzen können) besitzen oft dennoch als Verunreinigungen Ionen mit einen permanenten Dipolmoment. Diese zeigen daher eine Orientierungspolarisation wie ein
polares Gas. Insbesondere steigt die dielektrische Suszeptibilität
erwarten, mit
χ
des Kristalls, wie für ein polares Gas zu
1
T an.
Ferroelektrizität
Es git Kristalle, die auch orientierte Dipole mit einer permanenten Polarisation besitzen, aber nur
unterhalb einer kritischen Temperatur
Tc .
Erhöht man die Temperatur über diesen kritischen
Punkt, so hört plötzlich die Ausrichtung der molekularen Dipole auf, doe Polarisation wird sehr
klein. Diese Erscheinung nennt man Ferroelektrizität.
Erklärung:
nα 3
χ
3nα
3 nα
bei der kritischen Temperatur
Clausius-Mosotti-Beziehung:
Tc
ñ Suszeptibilität wird unendlich (Polarisationskatastro-
phe)
χÑ8
bedeutet, dass schon geringste elektrische Felder sehr hohe Polarisationen erzeugen können.
Teil V
Der elektrische Strom
28 Stromdichte, Strom und Ladungserhaltung
Elektrische Ströme werden durch die Bewegungen von Ladungsträgern erzeugt. Gemessen wird der Strom
I,
der in einem Draht ieÿt, durch die Zahl der Ladungen, welche sich pro Senkunde durch die Querschnittsäche
des Drahtes bewegen.
Stromdichte
j:
Zahl der Ladungen, welche pro Sekunde senkrecht durch eine Einheitsäche ieÿen.
Definition 28.1 (Stromdichte)
~j
Ladungsdichte:
n:
Ladungen
q
n q ~v ρ v
ρnq
pro Volumeneinheit mit Geschwindigkeit
(5.1)
v
Im Allgemeinen besitzen nicht alle Ladungen dieselbe Geschwindigkeit.
~j
q
¸
nk ~vk
k
Definition 28.2 (Driftgeschwindigkeit)
xvy n1 ¸
nk ~vk
k
ñ ~j n q x~vy ρ x~vy
~
dI ~j dA
(Ladungserhaltung)
(5.2)
Die Zahl der Ladungen, die pro Zeiteinheit aus der geschlossenen Fläche her-
ausieÿt, muss gleich der Abnahme der Ladung
Q
im Innern des umschlossenen Volumens sein.
29
ELEKTRISCHE LEITFÄHIGKEIT UND DAS OHMSCHE GESETZ
¾
~ dQ
~j dA
dt
dtd
A
Annahme: Ladungsdichte zeitliche konstant
26
»
ρdV
(5.3)
v
ñ BBρt 0
¾
~0
~j dA
(5.4)
A
Definition 28.3 zeitunabhängige Ladungsverteilung
Strimdichte ρ x~
v y fast immer konstant
Man spricht in diesem Fall von stationären Strömen
29 Elektrische Leitfähigkeit und das Ohmsche Gesetz
(Ohmsches Gesetz)
Legt man ein einen metallischen Draht eine Spannung
Beobachtung ein elektrischer Strom
I,
U
an, so ieÿt nach der
der bei konstanter Temperatur proportional zur angelegten Spannung
ist.
Definition 29.1 (Ohmscher Widerstand)
Ein ohmscher Widerstand ist ein spezieller elektrischer
Widerstand, dessen Widerstandswert (zumindest innerhalb gewisser Grenzen) unabhängig von der Spannung,
der Stromstärke und der Frequenz ist.
R
Widerstand eines Leiters:
Definition 29.2 ρ0 :
U
I
R ρ0 l
A
spezischer Widerstand, der vom Material und seiner Temperatur abhängt
zische Leitfähigkeit
σ0 :
σ0 :
spe-
1
ρ0
U
0
~
ñ ~j AI RA
U A Aσ
l σ0 E
~j
σ0 E~
(5.5)
30 Mikroskopisches Modell für das Ohmsche Gesetz
~j
n q x~vy σ0 E~ ñ x~vy E~
Erklärung:
•
Betrachten: Groÿe Zahl von Ladungen im thermischen Gleichgewicht (z.B. Elektronen in Plasma)
•
Elektronen mit beträchtlicher thermischer Geschwindigkeit: Stöÿe untereinander und mit Ionen
τ :
mittlere Zeit zwischen Stöÿen
x~vy 0
•
kein Feld:
•
elektrisches Feld: Beschleunigung
d~v
dt
q m E ñ ~v q m E t
~
~
~v0
31
ELEKTRONENLEITUNG IN FESTEN KÖRPERN
~vD
x~vy µ :
•
•
•
C
vD
E
Vernachlässige die Abhänigkeit der Stoÿzeit
27
~
qE
t
m
G
x~v0 y q m E τ
~
ñ ~vD E~
mq τ Beweglichkeit
τ
von
E
a
ñ ~vD x~vy x~v2 y ñ τ τ pE q
Groÿe Feldstärken ñ kinetische Energie so groÿ, dass bei Stöÿen neutrale Atome ionisiert werden. Die
Groÿe Feldstärken
Ladungsträgerkonzentration steigt mit dem Feld an.
Das Ohmsche Gesetz verliert also seine Gültigkeit, wenn die Ladungsträgerdichte oder die Stoÿzeit vom Feld
abhängen.
Andere Interpretation von
mit Reibungskraft
~vD
qmE~ τ :
m
d~vD
dt
qE~ loomoon
m ~vτD
FR
FR
Das Ohmsche Gesetz weiÿt also darauf hin, dass auf die Ladungsträger viskose Reibungskräfte wirken.
Allgemeiner Fall: negative und positive Ladungsträger am Strom beteiligt
ñ σ0 e n µ n µ e2 n τ
m
m
τ
n
31 Elektronenleitung in festen Körpern
•
beste Elektrizitätsleiter: Reine Metall; Leitung durch bewegliche ELektronen die von den gebunden Ionen
abgegeben werden; reine Metalle haben hohe Eletktronendichte
•
Ionenwanderung ist nicht am Strom beteiligt, denn am Ende des Leiters ist keine Materialbewegung oder
Abscheidung nachweisbar
•
Nur Elektronenbeweglichkeit bestimmt also Leitvermögen
ñ aus Leitvermögen kann die Beweglichkeit
der Elektronen und Stoÿzeit ermittelt werden:
τ
σn0 me2
T1
•
In Metallen ist die Leitfähigkeit sehr groÿ, sinkt aber beim Erwärmen:
•
In Halbleitern ist die Leitfähigkeit in der Regel viel kleiner, steigt aber beim Heizen:
•
Halbleiter können bei tiefen Temperaturn also als gute Isolatoren betrachtet werden
•
Bringt man Fremdatome in das Metall, z.B. durch Legierungen, so wird die Stoÿzeit als Leitfähigkeit fast
σ0
σ0
T
temperaturunabhägig
Definition 31.1
In der Metallurgie ist eine Legierung ein Gemenge mit metallischem Charakter aus zwei
oder mehr chemischen Elementen, von denen mindestens eines ein Metall ist.
Bemerkung 31.1
Die meisten Metalle gehorchen dem Ohmschen Gesetz mit groÿer Genauigkeit.
a
ñ vD ! x~v2 y
32
IONENLEITUNG IN ELEKTROLYTLÖSUNGEN
28
Supraleitung
In einer groÿen Zahl von Metallen und Metall-Legierungen bricht bei hinreichend tiefer Temperatur
der elektrische Widerstand plötzlich ganz zusammen. Diese Erscheinung heiÿt Supraleitung.
Der elektrische Widerstand im supraleitenden Zustand ist nach allen Beobachtungen unmessar klein,
das heiÿt er ist null.
Man kann mit supraleitenden Spulen sehr hohe Magnetfelder auch in groÿen Volumina und ohne
ohmsche Verluste herstellen.
Beispiel 31.1
Beispiele für groÿräumige supraleitende Magnete in Kernspin-Tomographen
und Blasenkammern zum Teilchennachweis
32 Ionenleitung in Elektrolytlösungen
Definition 32.1 (Elektrolyt)
Ein Elektrolyt ist ein (üblicherweise üssiger) Sto, der beim Anlegen
einer Spannung unter dem Einuss des dabei entstehenden elektrischen Feldes elektrischen Strom leitet, wobei
seine elektrische Leitfähigkeit und der Ladungstransport durch die gerichtete Bewegung von Ionen bewirkt wird.
Auÿerdem treten an den mit ihm in Verbindung stehenden Elektroden chemische Vorgänge auf.
Es gibt viele experimentelle Hinweise darauf, dass der Ladungstransport in einem Elektrolyten immer mit einem
Materialtransport verbunden ist.
Diese Beobachtungen legen den Schluss nahe, dass die elektrostatischen Bindungen zwischen den Ionen eines
Molkeküls bei der Lösung in Wasser aufgebrochen werden, so dass das positive Ion und das negative im elektrischen Feld in entgegengesetzten Richtungen wandern können.
Modell: Wasser als dielektrisches Kontinuum,
Coulombsches Gesetz
Der Lösungsvorgang für Ionen ist infolge der Polarisation der umgebenden Wassermoleküle energetisch günstiger
als der von Atomen und deshalb gehen positive Metallionen in Lösung.
Faradaysches Gesetz
Die Faradayschen Gesetze beschreiben den Zusammenhang zwischen Ladung und Stoumsatz bei
der Elektrolyse.
1. Faradaysches Gesetz
Die Stomenge, die an einer Elektrode während der Elektrolyse abgeschieden wird, ist proportional zur Ladung, die durch den Elektrolyten geschickt wird.
2. Faradaysches Gesetz
Die durch eine bestimmte Ladung abgeschiedene Masse eines Elements ist proportional zum
Atomgewicht des abgeschiedenen Elements und umgekehrt proportional zu seiner Wertigkeit, daher zur Anzahl von einwertigen Atomen, die sich mit diesem Element verbinden
können.
Bisher: Elektrolyten mit geringer Ionenkonzentraltion
höhere Konzentration der Ladungsträger
ñ es bildet sich um jedes positive Ion eine Wolke negativer Ladungs-
träger (und umgekehrt), welche das Feld der positiven Ionen nach auÿen mehr oder weniger abschrimt
Infolge dieser Abschirmung einer Ladung durch andere nimmt die Leitfähigkeit starker Elektrolyte nicht mehr
genau mit der Ionenkonzentration zu, sondern zeigt bei hohen Ionenkonzentrationen kleinere Zuwäsche.
33 Die elektrische Leistung eines Stromes in einem Widerstand
Unterscheidung:
•
Ladungsträger durchquert Potentialdierenz
•
Strom
I
ieÿt durch Widerstand
U
ñ elektrisches Feld leistet an Ladung q die Arbeit q U
ñ I dqdt Ladungen pro Sekunden laufen durch dieselbe Potentialdierenz
34
ELEKTROMOTORISCHE KRAFT
29
ñ dW
P U I
dt
(elektrische Leistung)
Für die in einem Ohmschen Widerstand abgegebene elektrische Leistung
P
(5.6)
gilt:
2
P
U I I 2 R UR
Energie wird den Ladungsträger zugeführt
nete kinetische Energie wird erhöht
Energie wird durch Stöÿe mit Umgebung abgegeben
ungeord-
Temperaturerhöhung
34 Elektromotorische Kraft
Betrachten geschlossenen Stromkreis, in dem ein stetig geschlossener Stromuss aufrechterhalten wird.
Energiequelle muss Leistung
P
I 2 R aufbringen, die in dem Widerstand des Stromkreises verzehrt wird.
Anlaufspannung
Betrachte Heizkathode und Anode
Kathode emittiert Elektronen mit kinetischen Energie
wird die Anlaufspannung
UA
kB T
zur Anode. Im Gleichgewichtszustand
so groÿ sein, dass die Elektronen ihre gesamte kinetische Energie
auf dem Weg verlieren.
Ekin e UA
kB T
Innenwiderstand einer Stromquelle
Definition 34.1 (Klemmenspannung)
Klemmenspannung bezeichnet die elektrische Span-
nung, die zwischen den zwei Anschlüssen einer Stromquelle oder Spannungsquelle gemessen
werden kann. Sie ist die Dierenz aus Leerlaufspannung (EMK) und dem Produkt aus Ausgangswiderstand oder auch Innenwiderstand
Ri
der Spannungsquelle und dem Strom
I.
Oder:
Strom mal Lastwiderstand
Jede Stromquelle hat einen Innenwiderstand
Ri ,
der daher rührt, dass die Ladungsträger auf dem
Wege vom Ort ihrer Trennung zu den Ausgangsklemmen des Gerätes Stöÿe mit den Atomen
oder Molekülen des entsprechenden Leitermaterials erleiden. Wenn die Klemmenspannung der
unbelasteten Stromquelle
U0
U0
ist (man nennt
auch die elektromotorische Kraft EMK), dann
sinkt bei Belastung mit einem äuÿeren Widerstand
U0
Ri Ra auf den Wert
U
U0 I Ri U0 1
Ra
die Klemmenspannung beim Strom
Ri
Ri
Ra
I
U0 R RaR
i
a
Die Klemmenspannung ist daher abhängig vom Verbraucherwiderstand.
Man kann jedoch den Innenwiderstand
Ri
sehr klein machen, so dass man damit eine Klemmen-
spannung erhält, die in vorgegebenen Grenzen praktisch unabhägig von der Belastung wird.
P
U I U0 R RaR R U0R U02 pR
i
a
i
a
0ñP 0
U0 0 ñ P 0
i
Ra
Ra q 2
Ra
Das heiÿt bei Leerlauf oder bei Kurzschluss gibt die Quelle keine Leisteung ab
34
ELEKTROMOTORISCHE KRAFT
30
Galvanische Elemente
Ein galvanisches Element besteht aus zwei verschiedenen Metallelektroden, die in eine elektrolytische
Lösung eingetaucht sind. Man misst zwischen den beiden Elektroden eine elektrische Spannung.
Ursache:
Zwischen Metallelektrode und umgebenden Eletrolytüssigkeit besteht ein Konzentrationsgefälle von
Metallionen
Diusion (Übergang von Metallionen in die Lösung). Die Elektronen des Metalls
lösen sich jedoch kaum im Wasser. Das Metall lädt sich deshalb negativ relativ zur Lösung auf
φ,
dass keine weiteren Ionen mehr in Lösung gehen
positive äuÿere Spannung an Elektrode
positive Metallionen gehen verstärkt in Lösung
und zwar bis auf ein so hohes Potential
können.
•
Elektrode löst sich auf
•
negative Spannung (Potential der Elektrode niedriger gegenüber dem des Elektrolyten)
mehr Metallionen können aus der Lösung an der Elektrode abscheiden
Elektrode wird
dicker
•
zwei verschiedene Elektroden mit Potentialdierenzen
nungdierenz
U
∆φ1 ∆φ2
Definition 34.2
∆φ1
und
∆φ2
in Elektrolyt
Span-
Eine Anordnung aus zwei verschiedenen Metallelektroden in einem Elek-
trolyten heiÿt galvanisches Element.
Verbindet man die beiden Pole des galvanischen Elements, das die Spannung
einen Lastwiderstand
Ra ,
I
R
Ri
liefert, durch
U
a
wobei
U
so ieÿt ein Strom
Ri
der Innenwiderstand des Elementes ist. Der Strom wird im Metall durch Elektronen-
transport getragen, wobei die Elektronen von der negative Elektrode zur positiven Elektrode
ieÿen
Beispiel 34.1 (Batterie)
Strom
Elektronentransport von neg. Zinkelektrode zu pos. Kupferelektrode
Elektronenmangel in Zn-Elektrode, Elektronenüberschuss in Cu-Elektrode
Änderung der Spannung zwischen Zn-und Cu-Elektrode
Ausgleich durch Ionenwanderung im Elektrolyten
Zn-Atome gehen als Zn
-Ionen in Lösung und lassen je zwei Elektronen in Zn-Elektrode zurück
und wandern zur Cu-Elektrode
Zn-Elektrode wird immer dünner, Cu-Elektrode überzieht sich mit Zinkschicht
Spannung sinkt
Bleiakkumulator
H2 SO4 Lösung
P bSO4 -Schicht
Er besteht aus zwei Bleiplatten, die in eine verdünnte
Beide Platten überziehen sich mit einer dünnen
Nun: Spannung zwischen den beiden Elektroden
chemische Reaktionen
galvanisches Element
Entladung
tauschen.
35
AUSTRITTSARBEIT, KONTAKTSPANNUNG UND THERMOSPANNUNG
31
35 Austrittsarbeit, Kontaktspannung und Thermospannung
Austrittsarbeit
Um die in einem Metall frei beweglichen Leitungselektronen aus dem Metall herauszubringen, muss
man Arbeit leisten gegen die anziehenden Kräfte zwischen Elektronen und positiven Ionen des
Metallgitters.
Wählt man das Vakkuumpotential 0, so wird für ein Metall mit der Energie
besetzten Energiezustand der Elektronen die Austrittsarbeit
Φ
EC
für den höchsten
EC . Die Austrittsarbeit ist
negativ, weil man Energie aufwenden muss.
Beispiel 35.1 (Photoelektrischer Effekt)
Licht fällt auf Metalloberäche. Dann
können Photonen dessen Energie die Austrittsenergie des Elektrones übertreen Elektronen
auslösen. Dann werden von Metall Elektronen emittiert.
Kontaktspannungen
Bringt man zwei verschiedene Metalle mit unterschiedlichen Austrittsarbeiten in Kontakt miteinander, so ieÿen Elektronen vom Metall mit der kleineren Austrittsarbeit in das Metall mit der
gröÿeren Austrittsarbeit. Dadurch entsteht eine Raumladung, die zu einem elektrischen Gegenfeld führt, das die Elektronen wieder zurücktreibt. Gleichgewicht herrscht, wenn die Ströme in
beide Richtungen gleich groÿ sind. Durch die Raumladungen werden die Potentiale
Metall verschoben zu
φ1
bzw.
φ2 ,
und es entsteht eine Kontaktspannung
U
φ
in beiden
φ1 φ2 zwischen
den beiden Metallen.
Thermoelektrische Spannungen eines Leiters
Ein elektrisches Feld kann auch im Auÿenraum nur eines Leiters entstehen, wenn dieser nämlich nicht
überall die gleiche Temperatur besitzt. Da die Elektronen am heiÿeren Ende eine höhere mittlere kinetische Energie haben als am kälteren, erhöht sich wie bei einem idealen Gas die Dichte
der Elektronen auf der kälteren Seite, wodurch sie sich gegenüber der wärmeren negativ auflädt (warm
ab
Teilchen bewegen sich schneller, stöÿen sich öfter
Elektronen stoÿen sich mehr
geringere Elektronendichte). So entsteht zwischen den beiden Enden eine Potentialdie-
renz, die verhindert, dass weitere Elektronen wandern. Dies ist die sogenannte thermoelektrische
Spannung.
Thermospannung in geschlossenen Stromkreisen
In einem geschlossenen Kupferring, der an einer Stelle erwärmt wird, heben sich die Thermospannungen gerade auf, und es tritt deshalb keine EMK auf.
Thermoelemente
Da die Thermospannungen von Metall zu Metall variieren, entsteht in einem geschlossenen Leiterkreis, der aus zwei verschiedenen Leitern zusammengefügt ist, eine EMK und somit ein Strom,
wenn beide Leiter, genauer die Übergänge zwischen beiden, eine unterschiedliche Temperatur
besitzen.
36
STROMKREISE UND STROMVERZWEIGUNGEN (KIRCHHOFFSCHE REGELN)
32
Peltier-Eekt
Was passiert, wenn ein elektrischer Strom
I
durch eine Berührungsstelle zweier verschiedener Leiter
ieÿt?
So wie eine Wasserströmung z.B. in einer Zentralheizung eine bestimmte Wärmemenge mit sich führt,
ist auch mit dem Strom der Leitungselektronen ein bestimmter, für den Leiter charakteristischer
Wärmetransport verbunden.
Da aber die spezischer Wärme pro Leitungselektron von Sto zu Sto variiert, ist die durch den
Strom
I
mitgeführte Wärmemenge in manchenStoen höher als in anderen, so dass die Kontakt-
stellen erwärmen oder abkühlen.
36 Stromkreise und Stromverzweigungen (Kirchhosche Regeln)
Definition 36.1 (technische Stromrichtung)
Man deniert die Stromrichtung als positiv, in
der eine positive Ladung sich bewegen würde, also von der positiven zur negativen Klemme der Batterie.
Linienintegral der elektrischen Feldstärke entlang der Verbindung ist Null: (da geschlossene Kurve)
(Kirchhoffsche Schleifenregel)
In einem geschlossenen Stromkreis ist die Summe der Spannun-
gen über alle Schaltelemente null:
¸
Un
0
(5.7)
n
Hierbei sind die Batteriespannungen negativ zu zählen.
Ladungserhaltung für stationäre Ströme:
(Kirchhoffsche Knotenregel)
Die Summe aller Ströme, die in einen Knoten hinein- bzw. heraus-
ieÿen ist Null.
¸
In
0
n
Dabei werden willkürlich die herausieÿenden Ströme negativ gezählt.
Teil VI
Das magnetische Feld
F~
~
B
µ0 I ~r
2π
r2
q p~v B~ q
Lorentz-Kraft
(6.1)
Magnetfeld eines stromdurchossenen geradlinigen Leiters im Abstand r
(6.2)
~
Im Gegensatz zu den elektrischen Feldlinien besitzen magnetische Feldlinien weder Anfang noch Ende. Alle Versuche magnetische Ladungen zu nden, aus denen magnetische Feldlinien hervorquellen, sind bisher erfolglos
verlaufen.
Magnetische Felder sind quellenfreie Wirbelfelder.
Auch für magnetische Felder gilt das Superpositionsprinzip: Die von zwei Drähten erzeugten Felder addieren
sich überall vektoriell.
Eine stromdurchossene Spule und ein Stabmagnet zeigen qualitativ das gleiche magnetische Feld.
37
DAS AMPÈRESCHE GESETZ
33
37 Das Ampèresche Gesetz
Definition 37.1 (Magnetischer Fluss)
Φ
magnetischer Fluss durch eine Fläche
»
~ d9A
~
B
A
A
magnetische Feldlinien sind stets ringförmig geschlossen:
¾
~ dA
~0
B
Quellenfreiheit des Magnetfeldes
(6.3)
A
Als Nächstes betrachten wir die Zirkulation des Magnetfeldes, die deniert ist als das Linienintegral
¶
B d~s über
einen geschlossenen Integrationsweg. Zirkulation des Magnetfeldes um einen geraden, stromführenden Draht:
Integrationsweg ein konzentrischer Kreis um Drahtachse
¾
~ d~s µ0 I 2πr
B
2π r
µ2 I
C
Mit Hilfe des Superpositionsprinzips können wir das Gesetz auf beliebig viele, beliebig orientierte stromdurchossenen Leiter anwenden.
¶
~ d~s über einen beliebigen
(Ampèresches Gesetz) Das Linienintegral B
C ist gleich µ0 mal dem vom Integrationsweg eingeschlossenen Strom:
¾
geschlossenen Integrationsweg
~ d~s µ0 I
B
(6.4)
C
mit
I
³
A
~:
~j dA
¾
~ d~s µ0 B
¾
~
~j dA
(6.5)
A
C
Beispiel 37.1 (Das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Drahtes) Betrachte Draht mit
Radius a durch den Strom I0 ieÿt. Im Inneren des Drahtes ergibt sich mit dem Ampéreschen Gesetz:
B prq 2πr
Auÿenraum:
0 I0
µ0 I0 ar 2 ñ B prq µ2πa
r
2
B prq 2πr
2
0 I0
µ0 I0 ñ B prq µ2πr
Beispiel 37.2 (Koaxialkabel) Konzentrische Anordnung
der gleiche Strom I in entgegengesetzte Richtungen ieÿt.
Zwischen den beiden Zylindern:
B pr q für
für
r
r
¤a
¡a
von zwei metallischen Zylindern, in denen
µ0 I0
2πr
Auÿenraum ist feldfrei
Abstand zwischen den beiden Leitern sehr viel kleiner als Innenradius: Man kann einen Ausschnitt der Breite
l
auassen als eine Bandleitung, die aus zwei parallelen, ebenen Platten der Breite
zwei Ströme
Ix
I0 2πrl
l
besteht und in denen
in entgegengesetzte Richtungen ieÿen.
Magnetfeld zwischen den Platten ist unabhängig von Plattenabstand und parallel zu den Platten:
B
I0
µ0 Ilx
µ0 2πr
38
DAS BIOT-SAVARTSCHE GESETZ
34
Beispiel 37.3 (Das Magnetfeld einer langen Spule)
Wenn die Spule sehr viel länger als ihr
Durchmesser ist, ist das Magnetfeld im Auÿenraum vernachlässigbar klein gegenüber der Feldstärke
Inneren.
B0
B0
im
ist parallel zur Spulenachse.
Lege ein Rechteck halb in den Auÿenraum, halb in den Innenraum. Beim Linienintegral werden nur die zu
B0
parallelen Seiten gerechnet:
B0 L Bauen L B0 L µn N I
wenn
N
Windungen vom Integrationsweg umschlossen werden.
Feldstärke im Innern einer langen Spule:
B0
n
ñ
µ0 n I
N
L : Windungszahl pro Längeneinheit
Feld ist im Innern homogen
38 Das Biot-Savartsche Gesetz
Berechnung des magnetischen Feldes, das einen beliebig geformten, stromdurchossenen Leiter umgibt:
d~l und
Man teilt den stromführenden Draht in kurze Leiterelemente
relements an einer Stelle im Abstand
~r
berechnet den Feldbeitrag
~
dB
des Leite-
von diesem Leiterelement.
Berechnung mit:
(Biot-Savartsches Gesetz)
~
dB
0I
µ4πr
3
d~l ~r
(6.6)
Beispiel 38.1 (Magnetfeld eines Ringstromes oder magnetischen Dipols)
Magnetischer
Verlauf einer ringförmigen Stromschleife:
Der Einfachheithalber wollen wir der Stromschleife eine rechteckige Form mit den Kantenlängen
geben.
Die Spule liege in der
von der Stromschliefe
x y -Ebene. Zunächst
r " a, b berechnen.
dB
wollen wir das Magnetfeld auf der
I
µ0 4πr
dl sin β
2
Bz px y
β
z -Achse
a
und
b
in groÿen Abstand
pd~l, ~rq
?
ab
0q µ0 I2πr
3
Definition 38.1 (magnetisches Moment)
m
~ : I ab Strom Fläche
µ0 m
ñ Bz 2π
r3
Ebenso: Magnetfeld in groÿen Abstand
r
in der
xy -Ebene:
Bz p z
Beispiel 38.2
µ0 m
0q 4π
r3
Magnetische Momente treten in der Natur bei jeder kreisenden Ladungsbewegung auf. So
besitzen alle Elementarteilchen mit endlichen Drehimpuls im allgemeinen ein charakteristisches magnetisches Moment.
Die Ursache des magnetischen Momentes der Erde ist noch ungeklärt. Es nimmt um etwa 5% pro Jahrhundert ab. Das magnetische Moment hat im Laufe der Erdgeschichte mehrmals seine Richtung relativ zur
Drehachse der Erde umgepolt.
39
DER RELATIVISTISCHE ZUSAMMENHANG ZWISCHEN ELEKTRISCHEN UND MAGNETISCHEN FELDERN
39 Der relativistische Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen Feldern
In unseren bisherigen Betrachtungen spielte das Bezugssystem, in dem wir die Ladungen als ruhend bzw. bewegt
betrachteten keine Rolle. Ändert man das Bezugssystem, so können aus ruhenden Ladungen bewegte werden
und umgekehrt. Entsprechend sollten sich bei Änderungen des Bezugssystems elektrische Felder in magnetische
transformieren und umgekehrt.
(Rest ist nicht Sto der Vorlesung, gehört zu Relativitätstheorie)
Teil VII
Die Bewegung von geladenen Teilchen im
magnetischen Feld
In diesem Abschnitt wollen wir das zeitlich konstante mangetische Feld als vorgegeben betrachten. Fragestellung: Wie bewegen sich Ladungsträger in homogenen oder inhomogenen Magnetfeldern unter dem Einuss der
Lorentz-Kraft?
40 Die magnetische Kraft auf einen stromführenden Draht
Betrachten wir einen Draht der Länge l, in dem ein Strom
I
ieÿt und der senkrecht zum Magnetfeld
~
B
liegt.
Die Lorentz-KRaft, welche auf dieses Leiterelement wirkt, ist
F~
n: Zahl der Ladungsträger
~vD : Driftgeschwindigkeit
mit Ladung
q
nAlq
~
~vD B
pro Volumeneinheit
I~ n A q ~vD
ñ F~ pI~ B~ q l
Ob positive Ladungen nach rechts oder negative nach links ieÿen, positive wie negatie Ladungen erleiden die
gleiche Lorentz-Kraft in die gleiche Richtung. Man kann daher durch die Messung der Kraftwirkung auf den
Leiter keine Auskunft über das Vorzeichen der Ladungsträger im Metall erhalten.
41 Der Hall-Eekt
Die Lorentzkraft bewirkt eine Ablenkung der Ladungsträger eines Leiters senkrecht zum Magnetfeld und zur
Stromrichtung. Diese Ablenkung führt zu einer Ladungstrennung, die wiederum ein elektrisches Feld
EH
erzeugt.
42
DER MAGNETOHYDRODYNAMISCHE GENERATOR (MHD-GENERATOR)
36
Die Ladungstrennung schreitet so lange fort, bis das sich aufbauende elektrische Feld eine der Lorentzkraft
FL
n q pvD B q entgegengerichtete gleich groÿe elektrische Kraft FC n q EH bewirkt.
q EH q pv B q ñ EH vD B Hall-Feld
(7.1)
Aus dem Vorzeichen der Driftgeschwindigkeit ergibt sich naturgemäÿ bei konstanten Strom auch sofort das
Vorzeichen der Ladungsträger. Durch die Messung des Hall-Feldes
EH
in einem bekannten Magnetfeld
B
kann
man also sowohl die Gröÿe als auch das Vorzeichen der Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger bestimmen
unabhägig von ihrer Dichte
n
und ihrer Ladung
q.
n q VD
ñ EH jnBq
j
Ladungsträgerdichte
n
kann bestimmt werden.
Auf diese Weise hat man gefunden, dass in den meisten Metallen der Strom von negativen Leitungselektronen
getragen wird.
Löcher
Manche Halbleiter zeigen jedoch eine negative Hallspannung! Dies lässt sich folgendermaÿen verstehen: Bei diesen Halbleitern tragen überwiegend Elektronen-Defektstellen (so genannte Löcher)
zur Leitung bei: Ein Elektron besetzt bei seiner Bewegung im elektrische Feld ein Loch neben
seinen bisherigen Platz. Das Loch, welches dieses Elektron hinterlässt, wird von einem anderen
Elektron besetzt usw. Das Loch wirkt wie ein positives Teilchen, welches sich mit einer positiven
Driftgeschwindigkeit bewegt.
Beispiel 41.1 (Hall-Sonde)
magnetischer Felder. Das Hall-Feld
Eine weitere wichtige Anwendung des Hall-Eektes liegt in der Messung
EH
steigt linear mit dem messenden Magnetfeld
B und die Empndlichkeit
einer Hall-Sonde wächst mit der Driftgeschwindigkeit. Für Magnetfeldmessungen dieser Art benutzt man
daher am vorteilhaftesten Materialien mit hoher Ladungsträgerbeweglichkeit.
42 Der magnetohydrodynamische Generator (MHD-Generator)
Lässt man ein ionisiertes Plasma senkrecht durch ein Magnetfeld strömen, so ndet eine räumliche Ladungstrennung senkrecht zur Strömungsgeschwindigkeit statt. Die obere Elektrode lädt sich gegenüber der unteren
elektrisch auf. Verbindet man beide Elektroden über einen Verbraucherwiderstand (s. Kap. EMK), so ieÿt
ein Strom, und dem sogenannten MHD-Generator kann auf diese Weise elektrische Energie entnommen werden.
Ebenso: Metallstreifen zwischen zwei Kontakten senkrecht durch ein Magnetfeld ziehen
nach unten abgelenkt (hohe Ladungsträgerdichte des Metall erzeugen gröÿere Ströme)
43 Bewegte metallische Leiter (Generatorprinzip)
Elektronen werden
44
KRAFTWIRKUNGEN AUF EINEN MAGNETISCHEN DIPOL IM MAGNETISCHEN FELD
Kupferdraht wird senkrecht zur Längsachse mit Geschwindigkeit
~v
magn. Kraft auf Elektronen = - magn. Kraft auf positive Ionen
37
bewegt.
Summe der Kraft Null
Auf den Draht als Ganzes wirkt also keine Kraft. Die beweglichen Elektronen werden jedoch innerhalb des
Drahtes durch die Lorentzkraft zu einen Ende gedrängt, wodurch eine EMK oder Potentialdierenz erzeugt
wird. Im Gleichgewicht gilt:
qE
q v B ñ E v B
U
»l
0
~ r v B l
Ed~
Dies ist das Grundprinzip aller Spannungsgeneratoren, bei denen durch die Bewegung von Leitern im statischen
Magnetfeld eine Spannung erzeugt wird.
In der Technik wird das Generatorprinzip meist mit rotierenden Spulen und festen Magneten oder mit rotierenden Magneten und festen Spulen verwirklicht.
44 Kraftwirkungen auf einen magnetischen Dipol im magnetischen
Feld
B k b ñ F1
Das Magnetfeld übt Kraft
F1
bzw.
I Ba
F1 auf Leiterschleife aus Drehmoment
D F1 b sin Θ I B a b sin Θ
~ m
~
m
~ I ab ñ M
~ B
Ein magnetischer Dipol verhält sich also im magnetischen Feld ähnlich wie der elektrische Dipol im elektrischen
Feld: Auf beide wirkt ein ausrichtendes Drehmoment und beide besitzen im Feld daher eine bestimmte potentielle
Energie.
Beispiel 44.1 (Motoren)
Drehbare Spule im Magnetfeld eines Permanentmagneten
Strom durch Spule
Rotation aufgrund Drehmoment
Aufrechterhalten der Drehung durch Umpolen nach Drehung um 180
Drehung erzeugt EMK (Generatorprinzip), die angelegter Spannung entgegenwirkt
höchstmögliche Drehzahl, wenn Gegen-EMK gleich groÿ wie die von auÿen angelegte Spannung
Das heiÿt: Ein Elektromotor verbraucht im Idealfall keine Leistung zur Drehung des Motors (kein Strom
ieÿt)
Beispiel 44.2 (Drehpulsgalvometer)
Messung des elektrischen Stromes
Drehspule im Magnetfeld eines Permanentmagnet wird elastisch an Ruhelage gebunden
Drehmoment
M
kleine Drehwinkel:
Auslenkung der Spule um Winkel
dΘ M
I
gröÿte Empndlichkeit bei Ruhelage
Θ 90
dΘ
45
BAHNEN FREIER LADUNGEN IM MAGNETFELD
38
Beispiel 44.3 (Die Präzession von Atomen und Kernen im Magnetfeld)
Kreisströme exis-
tieren nicht nur in geschlossenen Drahtschleifen, sondern auch in vielen Atomen als Folge der kreisenden
Bahnbewegung ihrer Elektronen um den positiven Kern. So besitzen alle Atome mit einem elektonischen
Bahndrehimpuls immer auch ein magnetisches Moment. Auch die Eigendrehung (Spin) vieler geladener Elementarteilchen und Kerne führen dazu, dass diese Teilchen ein magnetisches Moment besitzen, obwohl ihr
Schwerpunkt ruht.
Atom oder Kern in Magnetfeld
Präzession (Richtungsänderung der Achse eines rotierenden Kreisels, wenn
äuÿere Kräfte auf ihn einwirken)
I
v
q ν q 2πR
dQ
dt
45 Bahnen freier Ladungen im Magnetfeld
Bewegung eines freien, geladenen Teilchens in einem homogenen Magnetfeld
Geschwindigkeit
~v
senkrecht zu Magnetfeld
F~L
~
B
q p~v B~ qK~v ñ |~v| const
Das Teilchen bewegt sich in diesem Fall auf einer Kreisbahn:
2
F
ω
q v B m vr
vr mq B
Zyklotronfrequenz
(7.2)
Kreisfrequenz unabhängig von Bahnradius
Zyklotron
Magnetfeld senkrecht auf Bild- und Bahnebene
Wechselspannung
U
an Elektroden mit Frequenz
ν
qB
2πm
geladene Teilchen werden bei jedem Durchgang Energie aufnehmen
Bahnradius wird vergröÿert
Mit einem Zyklotron dieser Art können prinzipiell nur kinetische Energien der Teilchen erreicht
werden, de noch klein sind im Vergleich mit ihrer Ruheenergie
m0 c2 .
Für höhere Geschwindig-
keiten wird die Masse geschwindigkeitsabhängig und kann in der Zyklotronfrequenz nicht mehr
als konstant betrachtet werden.
Blasenkammer
Umlaufsinn bzw. Ablenkrichtung eines freien geladenen Teilchens im Magnetfeld hängt vom Vorzeichen der Ladung ab
Ladungsvorzeichen nocht unbekannter Elementarteilchen ist daher sofort aus dem Blasenkammerbild
seiner Bahn im Magnetfeld ablesbar.
Definition 45.1
Die Blasenkammer ist ein Teilchendetektor, der die Spuren von geladenen
Elementarteilchen und Hadronen sichtbar macht.
Auÿerdem ist der Impuls ablesbar:
p mv
rqB
46
BAHNEN GELADENER TEILCHEN IM MAGNETFELD DER ERDE
39
Massenspektrometer
Im Massenspektrometer wird die Ablenkung eines Ions bekannter Geschwindigkeit im Magnetfeld
zur Bestimmung seiner Masse benützt.
Schräg einfallende Teilchen
Teilchen, die sich nicht senkrecht zum homogenen Magnetfeld bewegen:
Geschwindigkeitskomponente
vK
und
vk
senkrecht und parallel zu
~ q besitzt keine Komponente parallel zum Feld B
~
F~ q p~v B
ñ vk wird im magnetischen Feld nicht geändert
F wirkt nur auf vK
2
m vK
F qv B ñ vK ω K
r
r
~
B
q
B
m
Das Teilchen bewegt sich somit parallel zum Magnetfeld mit konstanter Geschwindigkeit vorwärts, umkreist aber dabei die Feldrichtung mit der Zyklotronfrequenz. Es bewegt sich also auf
einer schraubenförmigen Bahn.
Teilchen in inhomogenen Magnetfeld
Lorentzkraft wirkt immer senkrecht zu
~v
Betrag der Gesamtgeschwindigkeit bleibt unverändert
Annahme: Drehimpuls konstant
m vK r
m ω r2 const. ñ B r2 const.
46 Bahnen geladener Teilchen im Magnetfeld der Erde
Inhomogenes Magnetfeld, dass nach unten hin zunimmt und nach unten zeigt (oberhalb der Kugel)
Ein Teilchen, dass sich nach oben bewegt, erfährt eine Kraftablenkung nach unten
Das geladene Teilche nerfährt also im inhomogenen Magnetfeld eine Reexion.
Protonen oder Elektronen können also zwischen der oberen Halbkugel der Erde und der unteren hin und
herreektiert werden
Beispiel 46.1
tronen in Region
Atombombenexpolosion in groÿer Höhe an Stelle A erhöhten Dichte der Protonen und ElekA. Nach etwa einer Sekunde tauchten diese Protonen im Punkt B über der Südhalbkugel auf.
Diese künstlich injizierten Protonen und Elektronen pendeln für sehr lange Zeiten von Norden nach Süden
und zurück.
Teil VIII
Induktionserscheinungen
Faradays Versuche haben klar demonstriert, dass ein zeitlich sich ändernder magnetischer Fluss z.B. durch eine
Spule, eine elektrische Spannung in einer Spule hervorruft.
47 Das Faradaysche Induktionsgesetz
Spule: einfache Drahtschleife im Magnetfeld eines Stabmagneten
Fluss ändert sich nicht
Flusänderung
keine Spannung
Spannung
U
dΦ
dt
Faradaysches Induktionssgesetz
Diese induzierte Spannung ist unabhägig von der Art der Bewegung (Drehen, Annähern,...)
(8.1)
48
DIE LENZSCHE REGEL
40
48 Die Lenzsche Regel
Nach dem Ohmschem Gesetz führt die induzierte SPannung auch zu einem Strom
I
UR dΦR{dt
Lenzsche Regel aus der Energieerhaltung
In Draht mit Widerstand
R
ieÿt Strom
Leistung die aufgebracht werden muss
I
P
I2 R
ñ diese Energie ist die (kin.) Energie des Magneten
Das durch den Induktionsstrom erzeugte Magnetfeld muss also die Bewegung des Stabmagneten
abbremsen
(Lenzsche Regel)
Der induzierte Strom hat immer eine solche Richtung, dass er der Flussänderung,
die ihn hervorruft, entgegenwirkt.
Eine gut leitende Drahtschleife versucht also, mit Hilfe des Induktionsstromes den magnetischen Fluss durch
ihren Querschnitt konstant zu halten.
Die magnetischen Feldlinien werden von einem guten Leiter, der sich bewegt, (teilweise) mitgenommen.
49 Beispiele zum Induktionsgesetz
Beispiel 49.1 (Erdmagnetfeld)
Die magnetischen Feldlinien habn nicht den Verlauf eines magneti-
schen Dipols, sondern werden durch den relativ gut leitenden Plasmastrom, der von der Sonne ausgehend die
Erde trit, besonders in groÿen Abständen von der Erde stark mitgenommen. Die Feldlinien des erdmagnetischen Feldes wehen im Sonnenwind wie lange Haare bei einer Brise.
Beispiel 49.2 (Implosionstechnik)
Kompression
Kupferzylinder mit Stromuss
Magnetfeld im Inneren
Magnetfeld wird komprimiert also stärker
Fläche verändert sich
Fluss gleich bleibt
würde zu Flussänderung führen
Induktionsstrom gegen Flussänderung, so dass
Magnetfeld verstärkt
Beispiel 49.3 (Drehstrommotor)
Die Spannung der Spulen sind um 120
phasenversetzt.
Die drei Spulen erzeugen ein Magnetfeld, die sich nach den Superpositionsprinzip vektoriell addieren.
Das heiÿt es wird in der Mitte ein Magnetfeld erzeugt. Dieses ändert sich aufgrund der Wechselströme ständig,
und somit wird im gut leitenden Rotor eine Spannung induziert, die der Änderung entgegenwirkt. Es wird
also ein Strom induziert, so dass der Fluss konstant bleibt, also indem sich der Rotor mit dem Magnetfeld
mitdreht.
Der Rotor dreht sich also mit der Netzfrequenz.
Beispiel 49.4 (Transrapid)
•
•
Schweben: Tragmagnete stoÿen den Magnet am Transrapid ab
Beschleunigen: unregelmäÿiges Magnetfeld beschleunigt wie oben beim Drehstrommotor
50
DIE SELBSTINDUKTION
41
Beispiel 49.5 (Drahtschleife im Magnetfeld)
Drahtschleife mit Widerstand
R
im Magnetfeld
wird aus dem Magnetfeld gezogen
R0
R8
völlige Mitnahme des Feldes
hoher rücktreibende Kraft
Induktionsstrom verschwindet
Bewege Leiterstück um Strecke
I
x
mit Geschwindigkeit
v,
Höhe ist
b
UR dΦR{dt B RdA{dt dx{dtv B Rb v
2
2
I B b B R b v
F
Die Bewegung der leitenden Drahtschleife erfhrt also eine der Geschwindigkeit proportionale Bremskraft.
Beispiel 49.6 (Wirbelstrombremse)
Die oben berechnete Bremskraft wird Wirbelstromdämp-
fung genannt.
Wenn man versucht eine Aluminiumscheibe zwischen den Polen eines starken Hufeisenmagneten durchzuschwingen, bleibt sie zwischen den Polen infolge der elektromagnetischen Bremskraft fast kleben, obwohl
keine Berührung stattndet.
Prinzip der Wirbelstrombremse
Beispiel 49.7 (Betatron)
Elektronen in ringförmiges evakuiertes Rohr, tangential
senkrecht dazu: zylindersymmetrisches Magnetfeld (im Mittelpunkt stärker als auÿen)
zeitliche Veränderung des Feldes
Das zeitlicher veränderliche Magnetfeld erzeugt in Richtung des umlaufenden Elektronenstrahls ein elektrisches Feld. Dieses elektrische Feld beschleunigt die Elektronen (Unterschied zu Zyklotron!)
Ui
wobei
Φ
¾
~ d~s 2πr0 E
E
dΦ
dt
der Fluss des magnetisches Feldes durch die Fläche innerhalb des Kreisbahn von Radius
F
p
d~
q E~ e E~
dt
Elektron soll sich immer am gleichen Kreis mit Sollradius
e v B0
e
1
2πr0
r0
r0
bewegen
Fm Fz mr v pr v
2
0
0
~ dp e r0 dB0
dΦ
eE
dt
dt
dt
1
0
0
e 2πr
ñ dB
12 r21 π dΦ
ñ e r0 dB
dΦ
dt
dt
dt
dt
0
0
mittleres Feld:
B
r2 π
Φ
0
ñ Wideroesche Bedingung:
B0
12 B
Damit ist homogenes Magnetfeld ausgeschlossen
50 Die Selbstinduktion
Beispiel 50.1 (Transformator)
Ein Transformator, kurz Trafo, ist ein Bauteil in der Elektrotechnik,
das elektrische Energie oder Information zwischen induktiv gekoppelten Stromkreisen verlustarm überträgt.
Zwei Spulen
Primärstrom
L1
I1
und
L2
mit Windungszahlen
durch Primärspule
L1
N1
und
N2
magn. Fluss
50
DIE SELBSTINDUKTION
Fluss durchsetzt Sekundärspule
Strom/Spannung bei
magnetischer Fluss
Φ,
L2
vollständig
L2
d.h. Strom
induzierter Spannung
42
ΦI
I,
der den Fluss erzeugt, ändert sich in eineer Stromschleife
Selbstinduktion
Das negative Vorzeichen drückt aus, dass
konstante
L
Ui
Ui
dΦ
L dI
dt
dt
(8.2)
immer einer Stromänderung entgegenwirkt. Die Proportionalitäts-
heiÿt Selbstinduktivität oder Induktivität.
Ein- und Ausschaltvorgänge
Rechnung für Ausschaltvorgang bei Spule:
L
dI
dt
RI
0ñ
Einschaltvorgang
Ausschaltvorgang
»I
I0
dI 1
I1
RI
»t
R 1
dt
L
0
ñ ln
I
I0
Spule
U0 L Kondensator
RI
dI
dt
U L dI
dt
R I L dI
dt
U
I
Beispiel 50.2 (Induktivität einer langen Spule)
µ0 I Nl
s.o.
Fluss durch Querschnittsäche jeder Windung:
Φ B A µ0 U0 QC
I C dU
dt
RI Q
C
L dIdt
B
RL t ñ I I0 exp L{tR
AN
I
l
C dU
dt
51
DIE ENERGIE DES MAGNETISCHEN FELDES
43
pro Windung induzierte Spannung summiert sich:
N dΦ
µ0 A lN dI
L dI
dt
dt
dt
2
Ui
L µ0 A N2
l
Induktivität einer langen Spule
Beispiel 50.3 (Induktivität eines Koaxialkabels)
µ0 I
nes Magnetfeld, für das (s.o.) gilt: B pr q 2π r
Lege Fläche zwischen x0 und x0
x zwischen die beiden Kabel:
Φ
»
A
~ dA
~
B
» x0
x
»b
a
x0
µ0 I
drdx1
2πr
(8.3)
Um Innenleiter liegt kreisförmig geschlosse-
µ0 I x
2π
»b
a
dr
r
µ0 I x
ln
2π
b
a
ñ Lpxq µ02π x x ln
b
a
51 Die Energie des magnetischen Feldes
Einschaltvorgang:
Ui I L dI
I
dt
dW L I dI
»I
1
W L I dI L I02
2
dW
dt
0
I 0
diese Energie muss an der Spule verrichtet werden, dass sie auf
I0
aufgeladen wird.
Wo steckt diese Energie nach dem Einschalten?
B
µ0 Nl I0 , L µ0 A l l N
2
B
ñ W 12 L I02 12 µ0 A l l N I02 2µ
Al
2
2
0
2
w
Energiedichte des magnetischen Feldes:
Energie
B
Volumen
2µ
(8.4)
0
Nach dem Ausschalten wird das magnetische Feld der Spule langsam abgebaut, und die dabei freiwerdende
Energie dient zur Erwärmung des Widerstandes.
52 Der elektrische Schwingkreis
Schwingkreis aus Widerstand, Spule, Kondensator
mit der Kirchhoschen Schleifenregel folgt:
UL
UC
UR
0 ñ L dI
dt
RI
q
C
0
(8.5)
(Vorzeichen: Betrachte den Kreis ohne Kondensator/Spule)
d2 I
dt2
R dI
L dt
1
I
LC
0
Bewegungsgleichung eines gedämpften, harmonischen Oszialltors
ñ I ptq I0 exppβtq cospω0 tq
β
R 2
1
2L
, ω0 LC
für
β
! ω0
(8.6)
53
ERZWUNGENE ELEKTRISCHE SCHWINGUNGEN
44
Lädt man den Kondensator beispielsweise auf, so entlädt er sich nicht sofort auf die Ladung null, sondern der
Entladungsstrom oszilliert in Form einer gedämpften Schwingung, wobei die Kondensatorplatte periodisch ihr
Vorzeichen wechselt.
periodischer Austausch zwischen der magnetischen Energie der Spule und der elektrischen Energie des Kondensators
Phasendierenz zwischen Strom und Spannung beträgt
Schwache Dämpfung
β
ω0
Starke Dämpfung
ω0
Aperiodischer Grenzfall
β
Beispiel 52.1 (Hohlraumresonator)
π
2
β
ω0
Rotiert man diesen Schwingkreis mit Rotationsachse der Kon-
densator, so entsteht der Hohlraumresonator, der keine Streufelder im Auÿenraum besitzt.
53 Erzwungene elektrische Schwingungen
Schlieÿe Wechselspannung
Kapazität
Kirchho:
C
U p tq
U0 cospωtq
an Reihenschaltung aus Induktivität
L,
WIderstand
R
und
an
L
d2 I
dt2
dI
dt
RI
R dI
L dt
q
C
U0 cospωtq
1
I
LC
U0L ω sin ωt
Bewegungsgleichung einer erzwungenen Schwingung
1
τ
1
ω
RL , ω02 LC
, α0 U0 L
ñ I ptq I0 sinpωt
φq ,
tan φ ω{τ
ω02 ω 2
(8.7)
54
GEKOPPELTE SCHWINGKREISE
45
I0
Resonanzkurve:
a 2 U0 2ω2{L 2 2
pω0 ω q ω {τ
Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom ist
maximale Amplitude bei
ω
ω0
(8.8)
π
2
pI0 qmax U0L ωω0 τ UR0
0
UL
und
UC
sind um
π
phasenverschoben, da
UL
L I und UC C1
9
³
Idt
Daher kann jede dieser beiden Teilspannungen für sich genommen die insgesamt aufgeprägte Spannung
U0
be-
deutend übertreen.
Im Resonanzfall ist die Amplitude (der Stromstärke) maximal. Der Resonanzfall tritt ein, falls die Erregerfrequenz
ferr
gleich der Eigenfrequenz der Schwingkreises
Resonatrofrequenz überein. Die Phasendierenz
ferr
ferr
ferr
f0 ñ ∆ϕ π2
f0 ñ ∆ϕ π2
¡ f0 ñ ∆ϕ ¡ π2
∆ϕ
f0
ist. In jedem Fall stimmen Erregerfrequenz und
ist jedoch unterschiedlich:
Der Erreger eilt dem Resonater immer in der Phase voraus.
54 Gekoppelte Schwingkreise
Elektromagnetische Schwingkreise lassen sich induktiv, kapazitiv oder Ohmsch miteinander koppeln, so dass ein
Teil der Schwingungsenergie des einen Kreises auf den anderen übertragen werden kann.
Als Beispiel seien zwei induktiv gekoppelte Schwingkreise gezeigt.
Zur Induktionsspanngung
erzeugte Spannung
U1
Ui L dI
dt
L12 dIdt2 für
in jedem Kreis kommt jetzt noch die durch diegegenseitige Induktion
den ersten Kreis bzw.
U2
L12 dIdt
1
für den zweiten Kreis hinzu, so
dass wir die gekoppelten Dierentialgleichungen erhalten:
2
L1
d2 I1
dt2
R1
dI1
dt
I1
C1
L12 ddtI22
L2
d2 I2
dt2
R2
dI2
dt
I2
C2
L12 ddtI21
2
55 Erzeugung ungedämpfter Schwingungen
Um ungedämpfte Schwingungen zu realisieren, muss der Energieverlust dem Schwingkreis dauernd von auÿen
ersetzt werden. Dies kann auf verschiedene Weise geschehen.
56
WECHSELSTROMLEISTUNG
46
Beispiel: Meiÿner-Rückkopplungsschaltung
Schwingkreisspule
L induziert in der Rückkopplungsspule LR
eine gleichgroÿe Spannung die auf das Gitter über-
tragen wird. Eine negative Spannung am Gitter führt zu einer Abnahme des Anodenstroms, die Energiezufuhr
f
geht zurück. Die Frequenz des Anodenstroms ist die Eigenfrequenz
2π?1LC
des Schwingkreises.
Zwischen Erregerschwingung (Anodenstrom) und Resonanzschwingung (Strom im Schwingkreis) besteht eine
Phasendierenz von
π
2 . Die Erregerfrequenz eilt voraus.
56 Wechselstromleistung
Betrachten einfachen Widerstand, der zwischen der Wechselspannung
I ptq U0 cos ωt liegt
RU0 cos ωt
U ptq
R
Die momentan vom Widerstand aufgenommene Leistung ist:
P p tq U I
2
UR0 cos cos2 ωt
Im allgemeinen interesisert man sich für die mittlere Leistung
T
2πω .
P
1
T
»T
P ptq dt 0
U02
RT
»T
0
P
gemittelt über eine oder mehrere Perioden
cos2 ωt dt . . .
2
P
12 UR0
Mittlere elektrische Leistung eines Ohmschen Widerstandes
Bei komplizierteren Netzwerken, betrachte beliebige Phasenverschiebung
(8.9)
ψ:
U ptq U0 cos ωt
I ptq I0 cos cospωt
Nach einiger Rechnung:
P
T1
P
ψ
Kondensator an Steckdose
»T
0
P ptq dt 1
T
»T
0
ψq
I ptqU ptq dt . . .
?U0 ?I0 cos ψ Uef f Ief f cos ψ
90
2
2
(8.10)
Trotz eines groÿen Ladungs-und Entladungsstromes, der in und aus dem Kondensator ieÿt, wird im MIttel
keine elektrische Leistung
P
abgegeben.
47
Teil IX
Wechselstromlehre
57 Komplexe Widerstände
Wechselstromkreis mit Induktivität
von auÿen angelegte Eingangspannung:
U0 cos ωt
dI
0
U0 cos ωt L dt
Ue
ñ I UL0
»
cos ωt dt U0
sin ωt
looωL
moon
I0
Strom und Spannung sind nicht mehr in Phase. Der Wechselstrom wird durch eine Spule um
90
gegenüber der Wechselspannung verzöert.
induktiver Widerstand:
|RL | : UI 0 ω L
0
RL
ω L eiϕ ω L eiϕ i ω L
π
2
(9.1)
Wechselstromkreis mit Induktivität
Q
C
U
C1 dQ
C1 I
dt
Ue U0 cos ωt
ñ I ω C U0 sin ωt ω C U0 cospωt
dU
dt
Der Strom eilt der Spannung um 90
sich daher mit
I0
ω C U0 zu
Z
90 q
voraus. Der komplexe Widerstand der Kapazität
UI ei
π
2
U0
I0
1
1
iωC
i ωC
C
ergibt
(9.2)
Allgemeiner Fall
R, Induktivität L, Kapazität C
Wechselstromkreis, in dem Ohmscher Widerstand
sind
äuÿere Wechselspannung
in Serie geschaltet
Ue ptq U0 cos ωt
Ue
dUe
dt
Lösung:
L dI
dt
2
L ddt2I
Q
C
1
I
C
R
iωR
1
C
iωU
Lω
Denieren wir den komplexen Widerstand
Z
2
I R
dI
dt
I
durch
Z :
U
I
(9.3)
58
HOCH- UND TIEFPÄSSE
48
so erhalten wir:
Z
R
Der Betrag
i ωL d
|Z | 1
ωC
ωL R2
(9.4)
1
ωC
2
wird Impedanz genannt.
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung:
ImpZ q
RepZ q
tan ϕ Der Tangens der Phasenverschiebung
ωL R ωC
1
1
ωL ñ Z P
ωC
ϕ zwischen Strom
R
und Spannung ist gleich dem Verhältnis
von Imaginärteil zu Realteil des komplexen Widerstandes
Z
einer Schaltung.
Lineare Netzwerke sind dadurch gekennzeichnet, dass zwischen Strom
Beziehung
U
I
und Spannung
U
immer eine lineare
Z I
besteht, die die komplexe Schreibweise des Ohmschen Gesetzes darstellt.
58 Hoch- und Tiefpässe
Hochpass
Ein elektrischer Hochpass ist eine Schaltung, die hohe Frequenzen
ω
praktisch ungedämpft durch-
lässt, tiefe Frequenzen aber unterdrückt.
Beispiel einer Realisierung:
Ue ptq U0 cos ωt
Kirchho:
ñ Ua R
2
R
1
iωC
Ue R 1ω
2
|Ua | ? ω R2 C2
1
C 2 iRωC
Ue
ω 2 R2 C 2
ω R C2
|Ue |
Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangsspannung:
tan ϕ 1
RωC
49
Tiefpass
Ein elektrischer Tiefpass ist eine Schaltung, die tiefe Frequenzen
ω
praktisch ungedämpft durchlässt,
tiefe Frequenzen aber unterdückt.
Realisierung:
R
und
C
vertauschen in Hochpass-Schaltung
1
Ua
R iωC 1 Ue 1
1
Ue
iωRC
iωC
|Ua | ?
0 ñ ||UU || 1
|
ω Ñ 8 ñ ||U
U | Ñ0
• ω
•
1
1 ω 2 R2 C 2
tan ϕ ωRC
|U2 |
a
e
a
e
Teil X
Materie im Magnetfeld
Wasserstoatom besitzt magnetisches Dipolmoment:
Entsteht durch Spinbewegung(Eigendrehimpuls) des Elektrons (der des Protons/Kerns ist viel kleiner, zu vernachlässigen)
Bahnbewegung des Elektrons liefert zumindest im Grundzustand keinen Beitrag zum magnetischen Moment
nicht alle Atome besitzen magnetisches Moment (Bsp.: Helium, die magnetischen Momente der zwei Elektronen
kompensieren sich gerade)
59 Die Magnetisierung der Materie
Bringen wir Atome mit einem magnetischen Dipolmoment
m
~ in ein homogenes Magnetfeld, so tritt eine partielle
~ orientiert ist, besitzt
B
Ausrichtung der Dipolachsen parallel zu Feld auf. Denn ein Dipol, der parallel zum Feld
die geringste potentielle Energie.
L mit N Windungen, die vom Strom
N
im Vakuum ein Magnetfeld
L
Im Inneren einer Spule der Länge
der Windungsdichte
n
B0
I
durchossen wird, existiert bei
µ0 n I
Füllt man den Innenraum der Spule mit Materie, so stellt man fest, dass der magentische Kraftuss
Φ
sich um einen Faktor
da
A const.:
µ
Die Materialkonstanten
»
B dA
verändert hat.
BM aterie
µ
µBV akuum
(10.1)
heiÿt die relative Permeabilität.
Erklärung: Im Magnetfeld erfolgt magnetische Polarisierung der Materie. Sie entsteht durch atomare magn.
Momente
pm ,
die entweder durch das äuÿere Magnetfeld erzeugt werden oder die bereits vorhanden sind aber
durch das äuÿere Magnetfeld ausgerichtet werden.
Man beschreibt sich makroskopisch durch die Magnetisierung
M
M
Moment
magnetisches
Volumen
(analoge Denition zur elektr. Polarisation)
B
µ0 pH0
M q µ0 µ H0
(10.2)
59
DIE MAGNETISIERUNG DER MATERIE
M
nicht zu groÿe Temperaturen:
Der Proportionalitätsfaktor
χ
H
50
M
χ H0
(10.3)
heiÿt magnetische Suszeptibilität. Sein Wert nimmt im Allgemeinen mit wach-
sender Temperatur ab.
B
µ0 µ H0 µ0 p1
χq H0
ñµ1
χ
(10.4)
Unterteilung verschiedener Stoe bzgl. ihres magn. Verhaltens:
• |χ| ! 1
χ 0: Diamagnetische Stoe
χ ¡ 0: Paramagnetische Stoe
• |χ| " 1
χ ¡ 0: Ferromagnete
χ 0 Antiferromagnete
Diamagnetismus
Diamagnetische Stoe bestehen aus Atomen oder Molekülen, die kein permanentes magnetisches
Dipolmoment besitzen. Bringt man solche Stoe jedoch in ein Magnetfeld, so entstehen induzierte
Dipole, die so gerichtet sind, dass ihr Magnetfeld dem induzierten äuÿeren Feld entgegengerichtet
ist, so dass das Feld im Inneren der Proble kleiner als das äuÿere Feld wird.
M
χ H ist daher ebenfalls dem äuÿeren Feld entgegengerichtet, das heiÿt χ 0
Die Proportionalität gilt bis zu solchen Werten des äuÿeren Feldes, die immer noch klein sind gegen
die inneratomaren Felder, welche durch die Bewegung der Elektronen in den Atomhüllen erzeugt
werden.
Im Allgemeinen sind die Erscheinungen vernachlässigbar - wichtig dagegen in Supraleitern
Beispiel 59.1 (Meiÿner-Effekt)
Unter dem Meiÿner-Eekt versteht man die Eigen-
schaft von Supraleitern in der Meiÿner-Phase, ein von auÿen angelegtes magnetisches Feld
vollständig aus ihrem Inneren zu verdrängen.
Paramagnetismus
Die Atome paramagnetischer Stoe besitzen permanente magnetische Dipole, deren Orientierung
aber ohne äuÿeres Magnetfeld infolge der thermischen Bewegung in alle Raumrichtungen verteilt
sind, so dass für den Mittelwert der Vektorsumme gilt
M
V1
¸
pm
0
Im äuÿeren Magnetfeld werden die Dipole teilweise ausgerichtet.
(Curie-Gesetz)
Für
pm B
!kT
gilt:
χ
χ
unabhängig von
1
T
B
Ferromagnetismus
Beispiel 59.2
Eisen, Nickel, Kobalt
Bei ferromagnetischen Materialien ist
χ
sehr groÿ, und die Magnetisierung kann um viele Gröÿen-
ordnungen höher sein als bei paramagnetischen Stoen.
Bringt man eine ferromagnetische Probe in ein äuÿeres Magnetfeld
M pB q,
so ndet man, dass
der Probe abhängt.
M pB q
B
und misst die Magnetisierung
keine eindeutige Funktion ist, sondern von der Vorbehandlung
60
FELDGLEICHUNGEN IN MATERIE
51
Kurve a: jungfräuliche Kurve
Kurve b+c: Hytereseschleife
MR : Remanenz
BK : Koerzitivkraft
Erhitzt man einen Ferromagneten über eine bestimmte Temperatur
TC
(Curie-Temperatur), so ver-
schwindet der Ferromagnetismus. Der Festkörper bleibt aber paramagnetisch für alle
T
¡ TC .
Verdampft man einen ferromagnetischen Festkörper, so sind die Atome bzw. Moleküle in der Gasphase paramagnetisch. Ein ferromagnetischer Festkörper besteht also aus paramagnetischen Atomen
oder Molekülen. Der Ferromagnetismus muss deshalb durch eine spezielle Ordnung der atomaren
magnetischen Moment im Festkörper entstehen.
Weiÿsche Bezirke
Als Weiÿsche Bezirke bezeichnet man beim Magnetismus mikroskopisch kleine magnetisierte Domänen in den Kristallen eines ferromagnetischen Stoes. Weiss erkannte,
dass die magnetischen Momente der Atome der Ferromagnetika auch ohne Einwirkung eines äuÿeren Feldes in begrenzten Bezirken parallel ausgerichtet sind. Die
Magnetisierung der Weiÿschen Bezirke sind in einer nicht magnetisierten Eisenprobe statistisch gerade so orientiert, dass die makroskopische Gesamtmagnetisierung
verschwindet. Erst bei Anlegen eines äuÿeren Magnetfeldes ist eine makroskopische
Magnetisierung der Eisenprobe zu beobachten, da die Weiÿschen Bezirke, deren
spontane Magnetisierung parallel zum äuÿeren Feld liegt, wachsen. Bei genügend
hohem äuÿeren Feld nähert sich die Magnetisierung der Probe der Sättigungsmagnetisierung an, in diesem Fall sind alle atomaren magnetischen Moment der Probe
parallel ausgerichtet.
Misst man die Magnetisierungskurve eines Ferromagneten sehr genau, dann stellt man
fest, dass sie nicht glatt verläuft, sondern aus lauter kleinen Treppenstufen besteht,
d. h. die Ausrichtung der atomaren Dipolmomente geschieht nicht kontinuierlich,
sondern sprungweise. Der ferromagnetische Festkörper besteht aus mikroskopischen
Bereichen, in denen jeweils alle atomaren Momente durch eine starke Wechselwirkung zwischen den atomaren Momenten parallel ausgerichtet sind (spontane Magnetisierung). Ohne äuÿeres Feld sind die resultierenden magnetischen Momente
dieser so genannten Weiÿschen Bezirke in ihrer Richtung statistisch verteilt, sodass
nur ein geringes Gesamtmoment des Festkörpers übrig bleibt (Remanenz).
Antiferromagnete
Bei Antiferromagnetischen Substanzen kann man die Struktur des Kristallgitters beschreiben durch
zwei ineinandergestelle Untergitter, wobei ohne äuÿeres Magnetfeld die magnetischen Moment
der Atome
A
eines Gitters alle antiparallel zu denen der Atome
B
der anderen Gitters stehen,
aber gleichen Betrag haben, so dass die Magnetisierung insgesamt null ist.
60 Feldgleichungen in Materie
¾
A
~ dA
~0
B
(10.5)
52
¾
~ d~s µ0 pI
B
iq
(10.6)
C
I : äuÿere Ströme
i: innere Ringströme,
die durch die Fläche ieÿen, die von
i
¾
C
umrandet wird
m
~ d~s
(10.7)
C
¾
pB~ µ0 M~ q d~s µ0 I
(10.8)
C
Teil XI
Elektromagnetische Wellen
61 Erweiterung des Ampèreschen Gesetzes für zeitlich veränderliche
Felder: der Verschiebungsstrom
Bisher:
¶
C
~ d~s µ0 I
B
Problem: Wechselstromkreise
Ladung
q
keine eindeutigen Werte von
auf Plattenkondesator der Fläche
A
erzeugt
E,
mit
~
B
q A 0 E
dE
A 0 ñ I dq
dt
dt
Allgemein:
I
¾
Also:
Ampersches Gesetz:
C
0 dtd
~ d~s B
»
A
~ dA
~
E
»
d
~ dA
~
µ0 0 E
dt
A
loooooooooooomoooooooooooon
µo0mooIn
lo
Leitungsstrom
(11.1)
Verschiebungsstrom
z.B. Feld einer freien elektromagnetischen Welle rührt nur vom Verschiebungsstrom
62 Die Maxwellschen Gleichungen
Wir wissen bisher:
Maxwellschen Gleichungen in Integralform
¾
Gauÿscher Satz für das elektrische Feld: s.(2.20)
~ dA
~ Q
E
0
1
0
»
ρdV
¾
Gauÿscher Satz für das magnetische Feld: s.(6.3)
¾
Faradaysches Induktionsgesetz: s.(8.1)
~ d~s d
E
dt
C
¾
Ampére-Maxwellsches Gesetz: s.(11.1)
C
~ dA
~0
B
A
~ d~s µ0
B
» ~j
A
»
A
(11.3)
~ dA
~
B
~
dE
0
dt
(11.2)
V
A
(11.4)
~
dA
(11.5)
63
DIE WELLENAUSBREITUNG IM VAKUUM
53
Herleitung der dierentiellen Form
¾
~
F~ dA
A
ñ
»
V
»
div pF~ q dV
V
~ q dV
div pE
dV
V
F~ d~s ~
rot E
A
~
rot F
A
¾
dA~ ~ dA
~0
B
dA~
(11.8)
Satz von Stokes
~ d~s d
E
dt
»
C
~ dA
~
rot B
¾
(11.9)
~ dA
~
B
~
~ d~s µ0
B
(11.10)
» ~
dE
0
dt
~j
A
C
~
rot B
A
∇~ E~ ddtB
~
rot E
A
¾
∇~ B~ 0
»
C
»
(11.7)
0
A
~
div B
»
ρdV
V
∇~ E~ ρ
»
~
div B
(11.6)
»
~ dA
~ 1
E
0
A
~
div E
¾
¾
Gauÿscher Integralsatz
∇~ B~ µ0~j
µ0 0
~
dA
~
dE
dt
(11.11)
Die ersten beiden Gleichungen drücken aus, dass die Ladungen Quellen des elektrischen Feldes sind, während
das magnetische Feld quellenfrei ist. Der wesentliche Inhalt der beiden letzten Maxwellschen Gleichungen ist
andererseits, dass die zeitliche Änderung des magnetischen Feldes ein elektrisches, und umgekehrt ein zeitlich
sich änderndes elektrisches Feld ein magnetisches (Wirbel-)Feld hervorruft. Daneben ist in der 4.Maxwellschen
Gleichung zusätzlich die Aussage des Ampèreschen Gesetzes enthalten, dass nämlich auch ein elektrischer Strom
ein magnetisches Wirbelfeld erzeugt.
63 Die Wellenausbreitung im Vakuum
63.1
Wellengleichungen
Maxwellschen Gleichungen des Vakuums:
¾
A
~ dA
~ 0,
E
¾
~ dA
~ 0,
B
A
¾
~ d~s d
E
dt
»
A
C
~ dA,
~
B
¾
~ d~s µ0 0
B
»
C
A
~
dE
dA~
dt
2
∇∇E
d
d E
∇ dB
p
∇ B q 0 µ0 2
dt
dt
dt
∇ ∇ E ∇p∇ E q ∇ p∇E q gradplo
div
omoE
onq divpgrad E q
0
2
∆E
0 µ0 ddtE2
Nachdem eine ebene Welle nach Physik 1 allgemein die Form hat
2
∆ξ
v12 ddt2ξ
(11.12)
63
DIE WELLENAUSBREITUNG IM VAKUUM
folgt
Für die
54
c
Ex -Komponente
?1 µ
(11.13)
0 0
ergibt sich z.B.:
Bx2 Ex By2 Ex Bz2 Ex c12 Bt2 Ex
Wellengleichung für das magnetische Feld:
∇∇B
2
∇ 0 µ0 dE
0 µ0 dtd p∇ E q 0 µ0 ddtB2
dt
∇∇B
∇plo∇omo
Bonq ∇ p∇B q ∇ p∇B q
0
2
∆B
63.2
E
0 µ0 ddtB2
(11.14)
Ebene elektrische Welle
hängt nur von einer Komponente, z.B. der
z -Komponente
ab. Dann:
Bx E By E 0
Bz2 E c12 Bt2 E
div E 0 ñ Bz E 0 ñ Ez konst.
Wähle die Randbedingungen so, dass a 0, dann:
Ex
E Ey 0
Allgemeine Lösung:
Ex pz, tq fx pz ctq
Ey pz, tq fy pz ctq
Das sind ebene transversale Wellen
Der elektrische Feldvektor
63.3
ctq
senkrecht auf der Ausbreitungsrichtugn
ez
Periodischer Wellen
λ ctq f pz ctq
Wellenlänge; räumliche Periode, nach der die Funktion
Ansatz:
E
k:
gy pz
ctq
Ex
E Ey steht
0
f pz
λ:
gx pz
Wellenzahl
f
wieder den gleichen Wert hat.
E0 f pz ctq E0 sin kpz ctq
ñ k λ 2π ñ k 2π
λ
cνλñE
E0 sin
kz 2πc
t
λ
E0 sinpkz ωtq
Breitet sich eine ebene Welle in einer beliebigen Richtung aus, so können wir den Ausbreitugnsvektor
pkx , ky , kz q denieren, den wir Wellenvektor nennen und für dessen Betrag gilt |k| 2πλ
Die komplexe Darstellung solcher Wellen in Kurzform ist dann:
E
A0 eipkrωtq
k
64
DIE ENERGIEDICHTE EINER ELEKTROMAGNETISCHEN WELLE UND DER POYNTING-VEKTOR55
63.4
Eine in
Das Magnetfeld elektromagnetischer Wellen
x-Richtung
linear polarisierte Welle
E:
p∇ E qx 0
p∇ E qz 0
p∇ E qy Bz Ex
Bt B p∇ E q ñ Bt Bx Bt Bz 0
ñ Bx ptq const, Bz ptq const
Wähle Randbedingungn so, dass
B -Feld
der Welle nur
y -Komponenten
Bt By Bz Ex ikEx ñ By ikE0
»
hat:
eipωtkzq dt k
E0 eipωtkq
ω
ñ |B | 1c |E |
Ex
E 0 , B
0
0
By ñ B KE
0
k:
Beide Vektoren stehen senkrecht auf die Ausbreitungsrichtung
B
ω1 pk E q
64 Die Energiedichte einer elektromagnetischen Welle und der PoyntingVektor
Energiedichte einer Welle setzt sich aus elektrichen und magnetischen Anteil zusammen:
w
c2 B 2
we
wm
12 0 E 2
E 2 ñ w 12 0 E 2
B2
2µ0
1
0 E 2
2
(11.15)
0 E 2
Das heiÿt, elektrische und magnetische Energiedichte einer elektromagnetischen Welle sind gleich groÿ.
Wir nennen die Energie, die pro Zeit durch die Flächeneinheit senkrecht zu k transportiert wird, die Intensität
oder auch Energiestromdichte:
S
Wir können
~
S
w c 0 E 2 c
(11.16)
als einen Vektor auassen, der parallel zur Ausbreitungsrichtung ist.
~
S
µ1 pE~ B~ q
Poynting-Vektor
(11.17)
0
Hier nur für ebene Welle hergeleitet, aber allgemein gültig.
Der Poynting-Vketor gibt den Energiestrom im elektromagnetischen Feld wieder.
65 Geführte elektrische Wellen
Von groÿer praktischer Bedeutung in der Nachrichtentechnik ist die Möglichkeit, elektromagnetische Wellen über
groÿe Entfernungen in abschirmenden Metallrohren fortzuleiten. Rohrleitungen mit isoliertem Zentralleiter, kurz
Koaxialkabel genannt, eigenen sich zur Fortleitung von Wellen beliebiger Frequenzen unterhalb von
1010 Hz ,
während Rohrleitungen ohne Zentralleiter (mit rundem oder rechteckigem Querschnitt), die sog.Hohlleiter, nur
zur Fortleitung elektrischer Wellen höherer Frequenzen und kleinerer Wellenlängen verwendet werden können.
66
STRAHLUNG VON EINEM OSZILLIERENDEN ELEKTISCHEN DIPOL (HERTZSCHER DIPOL) 56
65.1
Das Koaxialkabel
Wir wollen nur Wellen betrachten, die sich im Raum zwischen Innen- und Auÿenleiter ausbreiten. Der Auÿenraum soll also feldrei bleiben: Das verlangt, dass der Strom auf dem Innenleiter durch einen gleich starken
antiparallel Strom auf dem Auÿenleiter kompensiert wird.
Wird der Auÿenleiter geerdet, so ist das elektrische Feld radial, wobei Richtung und Betrag von
E
vom Potential
des Innenleiters abhängen. Die Magnetfeldlinien sind konzentrische Kreise um den Innenleiter, wobei sich ihr
Drehsinn als Funktion von z periodisch mit der Wellenlänge als Periode ändert.
Elektrische Signale panzen sich in einer Koaxialleitung ohne Dielektrikum unabhägig von den Dimensionen
a
und
b
der Leitung mit Lichtgeschwindigkeit aus. Besonders wichtig ist die Tatsache, dass die Geschwindig-
keit nicht von der Frequenz abhängt, so dass alle Fourierkomponenten eines beliebigen Signals ihre Phasenlage
zueinaner bewahren: Daher bleibt die Form eines beliebigen Signals bei der Übertragung erhalten.
65.2
Der Rechteck-Hohlleiter
Physikalischer Hintergrund:
Trit eine elektromagnetische Welle senkrecht auf eine gut leitende Grenzäche, wird sie in sich selbst
reektiert. Bei geeignetem Abstand einer parallelen zweiten Grenzäche kann es zur Ausbildung
einer stehenden Welle kommen.
In einem Hohlleiter bewegt sich dagegen das elektrische und magnetische Wechselfeld fort: Man
stelle sich ein langes Rohr mit rechteckigem Querschnitt vor, in dem eine Welle zwischen den
Schmalseiten hin und her reektiert wird. Wird nun eine Welle mit kleinerer Frequenz verwendet,
passen die (etwas gröÿeren) Wellenlängen nur zwischen die Rohrwände, indem man sie sich im
Zick-Zack in Rohrrichtung verlaufend vorstellt. Auf diese Weise ndet eine Wellenausbreitung
statt. Die Mindestbreite eines Rechteckhohlleiters entspricht etwa der halben Wellenlänge der
übertragenen Frequenz - genau dann passt nur ein einziger Schwingungsbauch in Querrichtung
hinein.
Die Phasengeschwindigkeit in
x-Richtung
hängt jetzt empndlich von der Frequenz der Welle ab. Signalformen
bleiben daher während der Übertragung im Hohlleiter nicht unverzerrt wie im Koaxialkabel.
Feldverteilung s. Dransfeld/Kinle
66 Strahlung von einem oszillierenden elektischen Dipol (Hertzscher
Dipol)
Der entscheidende Unterschied zwischen dem geschlossenen Schwingkreis und dem geraden Draht, in dem Ladungen periodischen zwischen den Enden des Drahtes schwingen: Im geschlossenen Schwingkreis sind elektrisches
Feld und magnetisches Feld räumlich lokalisiert. Beim geraden Draht, in dem ein Wechselstrom ieÿt, reichen
sowohl das magnetische als auch das elektrische Feld weit in den Raum hinaus. Bei zeitlicher Änderung von
Strom- und Ladungsdichte ändern sich die magnetischen und elektrischen Felder. Diese Änderung breitet sich
mit Lichtgeschwindigkeit im Raum aus und führt zu einer Energieabstrahlung in Form von elektromagnetischen
Wellen.
66
STRAHLUNG VON EINEM OSZILLIERENDEN ELEKTISCHEN DIPOL (HERTZSCHER DIPOL) 57
Anregung der Schwingung
Zur Anregung elektromagnetischer Schwingung in einem oenen Schwingkreis kann man die induktive, kapazitive oder galvanische Kopplung an einem rückgekoppelten geschlossenen Schwingkreis
verwenden, dem die Kopplungsenergie von auÿen wieder zugeführt werden muss.
Induktive Kopplung: Man hält den Stab in Nähe eines anderen Dipols, der jedoch an Spannungsquelle
geschlossen ist. Dieser regt nun die Schwingung an.
Nach der Zeit
T {2
haben sich die elektrischen Feldlinien von den Ladungen des Dipols gelöst. Das entstandene
elektrische Wirbelfeld mit den charakteristischen nierenförmigen Feldlinien entfernt sich mit Lichtgeschwindigkeit vom Sender.
Dipolmoment:
p p0 sin ωt
(lineare Antenne eines Rundfunksenders, viele strahlende Atome)
Nahfeld
Das elektrische Feld hat die gleiche Form wie das eines statischen Dipols mit dem jeweiligen momentanen Dipolmoment eines oszillierenden Dipols.
Maximales Magnetfeld entspricht den Phasen maximalen Stromes im Oszillator, die um
π {2
ge-
gen die Phasen maximalen Dipolmomentes, also maximalen elektrischen Feldes verschoben sind.
Räumlich liegen also die Bündel der Magnetfeldlinien immer zwischen zwei elektrischen Bündeln.
Jede Änderung des Feldes aufgrund der Änderung der Ladungsverteilung braucht die Zeit
∆t
bis sie in
P
kommt. (Retardierung)
Fernfeld r " λ
E
1r
magnetische und elektrische Feldstärke stehen senkrecht aufeinander und auÿerdem senkrecht
zum Abstandsvektor
E
und
B
~r.
sind in Phase (elektrisches und Magnetfeld speisen sich durch gegenseitige Induktion)
an-
67
DIE STREUUNG ELEKTROMAGNETISCHER STRAHLUNG AN ATOMEN
58
Abstrahlcharakteristik
Strahlung am stärksten in Äquatorebene
keine Strahlung in Richtung der Dipolachse
Auch ein in einem Atom schwingendes Elektron kann als ein oszillierender Dipol betrachtet werden, wobei jedoch
die elektromagnetische Strahlung nicht kontinuierlich, sondern in Quanten abgegeben wird. Diese Quanten
werden Photonen genannt.
Beispiel 66.1 (Bremsstrahlung)
Bremsstrahlung ist die elektromagnetische Strahlung, die entsteht,
wenn ein geladenes Teilchen, zum Beispiel ein Elektron, beschleunigt wird. Jede Geschwindigkeitsänderung
eines geladenen Teilchens erzeugt Strahlung. Von Bremsstrahlung im engeren Sinne spricht man, wenn Teilchen in Materie gebremst werden.
Das Elektron wird vom Feld des positiven Atomkerns abgelenkt und gibt Energie frei.
Es entsteht ein kontinuierliches Spektrum.
Beispiel 66.2 (Synchrotronstrahlung)
Synchrotronstrahlung entsteht, wenn ein (meist relativis-
tisch) schnelles geladenens Teilchen durch ein Magnetfeld abgelenkt und somit seitlich beschleunigt wird. Die
Teilchen geben Energie ab, indem sie elektromagnetische Strahlung tangential zur Teilchenbahn aussenden.
Es entsteht ein kontiunierliches Spektrum.
67 Die Streuung elektromagnetischer Strahlung an Atomen
Wenn eine elektromagnetische Welle an einem Atom verbeiläuft, erwingt ihr elektrisches Feld eine periodische
Bewegung der Elektronen des Atoms.
Das elektrische Feld
~
E
der einfallenden Welle führt zu einer erzwungenen Schwingung der gebundenen Elektro-
nen. Dadurch entsteht ein induziertes Dipolmoment im Atom:
p p0 sin ωt 0 α E0 sin ωt
α: atomare Polarisierbarkeit
E E0 : Feld der einfallenden
Welle
Das oszillierende Dipolmoment strahl Energie ab in Form einer elektromagnetischen Welle der gleichen Frequenz
wie ein Hertzscher Dipol. Diesen Prozess nennt man Streuung, und zwar elastische Streuung, da die Frequenz
des gestreuten Lichtes genau der des einfallenden entspricht.
α
ist für kleine Frequenzen frequenzunabhägig. Also:
Wabgestrahl
ω4
Das erklärt den groÿen Anteil von blauem Licht im Spektrum des in der Erdatmosphäre gestreuten Sonnenlichtes,
also den blauen Himmel, bzw. Morgen- und Abendrot.
59
Teil XII
Einige Anwendungen
68 Drehspulinstrument
Sowohl zum Strom messen als auch zum Spannung messen verwendet man das Drehspulinstrument
Das Drehmoment:
~
D
da
AK B
M~ m B~ N I A B N I A B
bei dieser Anordnung
Die Spule stellt sich so ein, dass die rückttreibende Kraft des Drahtes gleich
dann würde sich die Spule einfach um 90
D
ist. Wäre keine Feder vorhanden,
drehen. Also:
N I AB
D ∆L
Der Messbereich ist dadurch eingeschränkt, dass nur Ströme bis zu einer Auslenkung bis zu 90
gemessen
werden können, denn weiter dreht sich die Spule nicht. Der Nordpol wenn am Südpol angelangt ist wirkt keine
magnetische Kraft mehr.
Strommessgerät
Verwendet man das Drehspulinstrument als Strommessgerät, so muss es in Reihe geschaltet werden,
denn der Strom ist dann am Drehspulinstrument der gleich wie am zu messenden Punkt.
Der Widerstand muss gering sein, denn dann ieÿt am meisten Strom.
Messbereichserweiterung: Schaltet man parallel zum Drehspulinstrument noch einen Widerstand
dann landet im Strommessgerät statt den einfallenden Strom
I
I0
ein Strom
R,
I
I0 UR0
Will man also Ströme messen, die zu groÿ sind, dann verwendet man einen kleinen Widerstand
parallel geschalten. Dadurch wird der zu messende Strom kleiner.
Schaltet man ein Strommessgerät aus Versehen parallel statt in Reihe, dann kommt es zu einem
Kurzschluss, denn ein Strommesgerät ist ja niedrigohmig.
69
OSZILLOSKOP
60
Spannungsmessgerät
Verwendet man das Drehspulinstrument als Spannungsmessgerät, wird es in Reihe kombiniert mit
einem hochomigen Widerstand. Diese Kombination ist dann das Spannungsmessgerät und wird
parallel zur Spannungsquelle geschaltet. Der hochohmige Widerstand ist also nötig, dass es zu
keinem Kurzschluss kommt.
Schaltet man direkt an das Drehspulinstrument parallel noch einen Widerstand, dann kann man
auch hierwie oben den Messbereich erweitern.
Schaltet man das Spannungsmessgerät aus Versehen in Reihe, so wird kein Strom angezeigt, da
aufgrund des hochohmigen Widerstandes fast kein Strom ieÿt.
69 Oszilloskop
K : Glühkathode, aus der Elektronen austreten
UA : Beschleunigungsspannung, Anodenspannung
Loch in A mit passender Formgebung (Wehnelt-Zylinder W)
Die zu analysierende Spannung Uy wird an den Kondensator C
gelegt
Will man den zeitlichen Verlauf beobachten, dann legt man an den hinter
Kondensator
Cx
eine sägezahnförmige Kippspannung
Ux .
C
angebrachten, um 90
gedrehten
Sie allein bewirkt auf dem Schirm eine horizontale
Ablenkung.
Wehnelt-Zylinder
Der Wehneltzylinder ist eine Steuerelektrode zum Fokussieren von Elektronenstrahlen und zum
Regeln der Helligkeit in Kathodenstrahlröhren. Der Wehneltzylinder wird in unmittelbarer Nähe
zu einer Glühkathode angebracht und mit einem negativen elektrischen Potenzial gegenüber
der Kathode versehen. Elektronen, deren Flugrichtung sehr weit von der Strahlachse abweicht,
werden durch das negative Potenzial der Zylinderwand gleichmäÿig von dieser abgestoÿen und
somit zur Strahlachse hin gelenkt. Der Elektronenstrahl wird somit gebündelt.
Beim Fernsehen wird der Wehnelt-Zylinder nicht nur zum fokussieren benutzt, sondern auch um Helligkeit zu
kontrollieren. Je höher die Spannung ist, desto weniger Elektronen können das Potential überwinden.
Die Schirminnenseite wird beim Fernsehen mit einer luminiszierenden Substanz überzogen.
70 Magnetisch gespeicherte Information
In der Datenverarbeitung eingesetzt Speicher sind Magnetbänder, -karten,- platten,- trommeln und Disketten.
Allen gemeinsam ist eine dünne magnetisierbare Schicht aus einer magnetisch harten Eisenlegierung auf einem
Trägermaterial. Diese Information wird als Folge von elektrisch übertragbaren magnetischen Impulsen (mit der
Bedeutung 0 oder 1) in schmalen parallelen Spuren auf die magnetisierbare Schicht eingeschrieen. Dazu wird die
Speichertschicht berührungslos an einem Magnetkopf vorbeigeführt. Die Impule folgen in gleichem Abstand. Es
bilden sich in der Magnetschicht Zellen, die in der einen oder anderen Richtung magnetisiert sind. Der Lesekopf
hat den gleichen Aufbau: In ihm werden beim Abtasten der magnetisierten Schicht durch Induktion elektrische
Impulse unterschiedlicher Polung (Bedeutung 0 oder 1) erzeugt.
71
INFORMATIONSÜBERTRAGUNG/RUNDFUNKTECHNIK
61
71 Informationsübertragung/Rundfunktechnik
1. Sprache, Musik werden mittels Mikrophon in elektrische Schwingungen umgesetzt
f
20Hz 20kHz
niederfrequenzte Schwingung
Bemerkung 71.1
l
λ
c
500km
2
f2
direkte Abstrahlung mittels Dipol nicht möglich
Dipol:
2. Niederfrequenzt Schwingung wird einer hochfrequenzten Schwingung aufgepräft, das heiÿt die Hochfrequente Schwingung wird als Transportmittel verwendet.
Zum Beispiel indem man einen hochfrequentigen LC-Schwingkreis mit der niederfrequenten-Schwingung
rückkoppelt.
3. Demodulation beim Empfänger
Die HF-Schwingung wird mit einer Diode gleichgerichtet.
Anschlieÿend wird die HF-Schwingung unterdrückt. Dazu wird ein Kondensator und ein WIderstand
verwendet. Der Kondensator wird durch die HF-Spannung aufgeladen, über
R entladen. Falls die Kapazität
ñ an R tritt fast
ausreichend groÿ ist, ist der Kondesnator zu träge um der HF-Schwingung zu folgen.
nur noch die NF-Schwingung auf.
4. Ein NF-Verstärker verstärkt nur das NF-Signal und leitet es an einen Lautsprecher weiter.
Diese Amplitudenmodulation (AM) verwendet man bei Kurz-, Mittel- und Langwellen sowie bei der Bildübertragung des Fernsehens an. UKW-Sender werden dagegen frequenzmoduliert. Bei der Frequenzmodulation (FM)
wird die Frequenz der Trägerwelle im Takt der Tonschwingung vergröÿert oder verkleinert.
72 Transformator
Unbelasteter Transformator
73
WHEATSTONSCHE BRÜCKENSCHALTUNG
Im Sekundärstromkreis ieÿt kein Strom
I2
62
0
U0 cos ωt
dI1
dΦm
Ui L1 N1 dt
dt
U1 Ui 0 ñ Ui U2
U1
vernachlässige ohmschen Widerstand der Spule gegenüber Induktiven Widerstand
Annahme: Gesamter Fluss
Φm
geht durch
U2
ωL
L2
N2 dΦdtm N2 NU1
1
N2
ñ UU2 N
1
gleiche Wicklung der Spulen:
U1
P
und
U2
um
π
1
phasenverschoben
12 U1 I1 cos ϕ 0
daϕ
π{2
Belasteter Transformator
Belastet man die Sekundärseite durch einen Verbraucherwiderstand
I2 UR2 , der selbst einen
π {2 phasenverschoben ist.
Strom
um
P
0
magnetischen Fluss
Φ2
R,
so ieÿt in der Spule ein
erzeugt, welcher gegenüber den von
I1
Allgemeines zum Transformator
1. Man verwendet Eisen, da dieser Magnetfeld gut überträgt und hohe Magnetisierung besitzt,
denn Eisen ist ferromagnetisch. Das Magnetfeld wird im Eisen geführt.
2. Man kann einen runden Eisenkern verwenden, dann sind die Magnetfeldverluste an den
Rändern nicht so hoch
3. Man verwendet Stoe mit geringer Hysterese, denn: Die Fläche, die von der Hystereseschleife
umrandet wird, gibt gerade die bei einem Magnetisierungszyklus aufzuwendende Energie an,
die in Wärmeenergie der Probe umgewandelt wird.
4. Man lackiert den Eisenkern, das kein Strom ieÿt, denn ansonsten würde ein Gegenmagnetfeld entstehen, und es würden Verluste auftreten
5. geringe Remanenz des Eisenkerns wichtig, da ansonsten ja Magnetfeld vorhanden wäre im
Eisenkern
73 Wheatstonsche Brückenschaltung
Die Wheatstonesche Messbrücke ist eine Messeinrichtung zur Messung von elektrischen Widerständen ohmscher
Art (Gleichstromwiderstand) und kleinen ohmschen Widerstandsänderungen.
Zunächst müssen die drei bekannten Widerstände solange variiert werden, bis die Diagonalsspannung null beträgt. Anschlieÿend lässt sich aus deren Widerstandswerten der vierte, unbekannte Wert errechnen.
74
TRIODE/DIODE
63
74 Triode/Diode
Diode
Von der geheizten Kathode
K
werden Elektronen emittiert, die bei positiver Spannung
Anode und Mathode auf die Anode zu beschleunigt werden. Wird
UA
UA
zwischen
negativ, so können die aus
der Kathode austretenden Elektronen die Anode nicht erreichen. Es ieÿt kein Anodenstrom.
Die Vakuum-Diode kann daher als Gleichrichter verwendet werden.
Triode
Fügt man auÿer Kathode und Anode noch eine dritte Elektrode, das Steuergitter, ein, so erhält
man eine Triode. Die Elektronen müssen auf ihrem Weg von der Kathode zur Anode durch die
Maschen des Steuergitters iegen. Durch geringe Änderung der Spannugn
und Kathode kann der Elektronenstrom
IA
UG
zwischen Gitter
von der Kathode zur Anode stark beeinusst werden.