Physik Formelsammlung - et

Physik
Formelsammlung
et-juergen
Seite 1
Inhaltsverzeichnis
1 Kinematik..................................................................................................6
1.1 Translation..............................................................................................................6
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
1.1.6
1.1.7
Formelzeichen..............................................................................................................................6
Gleichförmige Bewegung............................................................................................................6
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung.....................................................................................6
Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung.................................................................................6
Translation allgemein..................................................................................................................7
2D-Translation..............................................................................................................................7
3D-Translation..............................................................................................................................8
1.2 Rotation...................................................................................................................8
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
Formelzeichen..............................................................................................................................8
Gleichförmige Rotation...............................................................................................................8
Gleichmäßig beschleunigte Rotation........................................................................................9
Rotation allgemein.......................................................................................................................9
1.3 Zusammenhang Translation-Rotation..................................................................9
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
1.3.5
1.3.6
Formelzeichen..............................................................................................................................9
Übersicht.....................................................................................................................................10
Zentripetalbeschleunigung, Radialbeschleunigung..............................................................10
Zentrifugalbeschleunigung.......................................................................................................10
Tangentialbeschleunigung.......................................................................................................10
Coriolisbeschleunigung............................................................................................................11
2 Dynamik..................................................................................................12
2.1 Newtonsche Axiome............................................................................................12
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
Formelzeichen............................................................................................................................12
Trägheitsprinzip.........................................................................................................................12
Aktionsprinzip............................................................................................................................12
Reaktionsprinzip........................................................................................................................12
2.2 Dynamik der Translation.....................................................................................13
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
Formelzeichen............................................................................................................................13
Kraft.............................................................................................................................................13
Impuls..........................................................................................................................................13
Kraftstoß.....................................................................................................................................13
Impulserhaltungssatz................................................................................................................14
2.3 Kraft.......................................................................................................................14
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
Formelzeichen............................................................................................................................14
Zusammengesetzte Kräfte........................................................................................................15
Geneigte Ebene..........................................................................................................................15
Festkörperreibung.....................................................................................................................15
Kraftarten....................................................................................................................................16
2.4 Dynamik der Rotation..........................................................................................17
2.4.1 Formelzeichen............................................................................................................................17
2.4.2 Drehung um Schwerpunktachse..............................................................................................18
Seite 2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
2.4.6
2.4.7
Drehung um Achse parallel zur Schwerpunktachse..............................................................18
Drehmoment...............................................................................................................................18
Drehimpuls.................................................................................................................................19
Drehkraftstoß..............................................................................................................................19
Drehimpulserhaltungssatz........................................................................................................19
2.5 Spezielle Massenträgheitsmomente..................................................................20
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.5.4
2.5.5
2.5.6
2.5.7
2.5.8
2.5.9
Formelzeichen............................................................................................................................20
Kreisring, dünn...........................................................................................................................20
Kreisscheibe, dünn....................................................................................................................20
Kugel...........................................................................................................................................21
Zylinder.......................................................................................................................................21
Hohlzylinder................................................................................................................................21
Stab, lang und dünn..................................................................................................................22
Quader.........................................................................................................................................22
Kegel............................................................................................................................................22
2.6 Schwerpunktberechnung....................................................................................23
2.6.1 Formelzeichen............................................................................................................................23
2.6.2 Schwerpunkt eines kontinuierlichen Körpers........................................................................23
2.6.3 Schwerpunkt für n Punktmassen.............................................................................................23
3 Arbeit und Energie.................................................................................24
3.1 Arbeit.....................................................................................................................24
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
3.1.6
3.1.7
3.1.8
Formelzeichen............................................................................................................................24
Allgemein....................................................................................................................................24
Hubarbeit....................................................................................................................................25
Beschleunigungsarbeit.............................................................................................................25
Reibungsarbeit...........................................................................................................................25
Federspannarbeit.......................................................................................................................26
Rotationsarbeit...........................................................................................................................26
Gravitationsarbeit......................................................................................................................26
3.2 Energie..................................................................................................................27
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.2.5
3.2.6
3.2.7
Formelzeichen............................................................................................................................27
Potentielle Energie.....................................................................................................................27
Kinetische Energie.....................................................................................................................27
Spannungsenergie.....................................................................................................................27
Rotationsenergie........................................................................................................................28
Energieerhaltungssatz..............................................................................................................28
Mechanische Stöße...................................................................................................................28
3.3 Leistung................................................................................................................29
3.3.1 Formelzeichen............................................................................................................................29
3.3.2 Leistung......................................................................................................................................29
3.3.3 Wirkungsgrad.............................................................................................................................29
3.4 Gravitation............................................................................................................30
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
Formelzeichen............................................................................................................................30
Keplersche Gesetze...................................................................................................................30
Newtonsches Gravitationsgesetz............................................................................................31
Hubarbeit und potentielle Energie...........................................................................................31
Seite 3
4 Mechanik und Schwingung...................................................................32
4.1 Mechanik deformierbarer Körper.......................................................................32
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
4.1.5
4.1.6
Formelzeichen............................................................................................................................32
Dehnung......................................................................................................................................33
Querdehnung..............................................................................................................................33
Allseitige Kompression.............................................................................................................34
Scherung.....................................................................................................................................34
Torsion........................................................................................................................................34
4.2 Mechanische Schwingung..................................................................................35
4.2.1
4.2.2
4.2.3
4.2.4
4.2.5
Formelzeichen............................................................................................................................35
Federschwinger..........................................................................................................................36
Mathematisches Pendel............................................................................................................37
Physisches Pendel.....................................................................................................................38
Torsionspendel..........................................................................................................................39
4.3 Elektromagnetische Schwingung.......................................................................40
4.3.1
4.3.2
4.3.3
4.3.4
Formelzeichen............................................................................................................................40
Ungedämpfte elektromagnetische Schwingung....................................................................40
Gedämpfte elektromagnetische Schwingung.........................................................................41
Zusammenhang mechanische – elektromagnetische Schwingung.....................................41
4.4 Schwingungsarten...............................................................................................43
4.4.1
4.4.2
4.4.3
4.4.4
4.4.5
4.4.6
4.4.7
4.4.8
Formelzeichen............................................................................................................................43
Freie gedämpfte Schwingung...................................................................................................44
Schwingfall.................................................................................................................................44
Aperiodischer Grenzfall.............................................................................................................45
Kriechfall.....................................................................................................................................45
Erzwungene Schwingung.........................................................................................................46
Resonanz....................................................................................................................................46
Überlagerung..............................................................................................................................47
5 Fluiddynamik..........................................................................................48
5.1 Ruhendes Fluid....................................................................................................48
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
5.1.5
5.1.6
Formelzeichen............................................................................................................................48
Kolbendruck...............................................................................................................................48
Druckarbeit.................................................................................................................................49
Schweredruck.............................................................................................................................49
Volumen-Druck-Gesetz.............................................................................................................49
Auftrieb........................................................................................................................................49
5.2 Molekularkräfte.....................................................................................................50
5.2.1 Formelzeichen............................................................................................................................50
5.2.2 Oberflächenspannung...............................................................................................................50
5.2.3 Kapillarität...................................................................................................................................51
5.3 Bewegtes Fluid.....................................................................................................52
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.3.5
Formelzeichen............................................................................................................................52
Massenstrom und Massenstromdichte...................................................................................53
Laminare Strömung, innere Reibung.......................................................................................54
Laminare Strömung zwischen 2 Platten..................................................................................54
Laminare Strömung im Rohr....................................................................................................55
Seite 4
5.3.6
5.3.7
5.3.8
5.3.9
Laminare Umströmung einer Kugel.........................................................................................55
Drehung in der Strömung.........................................................................................................55
Druck im bewegten Fluid..........................................................................................................56
Torricellisches Ausflussgesetz................................................................................................56
Seite 5
1
Kinematik
1.1
Translation
1.1.1
Formelzeichen
s
m
v
m/s
Weg, zurückgelegter
Geschwindigkeit
2
a
m/s
t
s
Zeit
s0
m
Anfangsweg
v0
m/s
a0
m/s
Beschleunigung
Anfangsgeschwindigkeit
2
Anfangsbeschleunigung
e
1.1.2
Einheitsvektor
Gleichförmige Bewegung
Bedingung:
a=0
;
v ≠ 0= const.
v = ∫ a dt= v 0 = const.
v=
ds
dt
s = ∫ v dt= v 0 ⋅t  s 0
1.1.3
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Bedingung:
a= a 0 0 = const.
v = ∫ a 0 dt= a 0 ⋅t  v 0
s = ∫ v dt= ∫ a0 ⋅t  v 0  dt=
1.1.4
a0
2
⋅t 2  v 0 ⋅t  s 0
Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
Bedingung:
a= a  t≠ const.
v = ∫ a t dt= a t⋅t  v 0
Seite 6
s = ∫ v dt= ∫  a⋅ t  v 0  dt=
1.1.5
a  t 2
⋅t  v 0 ⋅t  s 0
2
Translation allgemein
t2
s = ∫ v t dt
t1
t2
v = ∫ a t dt
v=
t1
a=
dv
= v '  t
dt
Beschleunigung
s=
d s
dt
2
''
= s  t
v ⋅t
2
v = a⋅t
v = 2⋅a⋅s
v = a⋅t  v 0
v = 2⋅ a⋅ s  v 0
v 0 ≠0
a
s = ⋅t 2  v 0 ⋅t
2
Durchschnittsgeschwindigkeit:
1.1.6
2
a=
v 0 =0
a 2
s = ⋅t
2
Beschleunigung
ds
'
= s  t
dt
s=
v  v0
2
⋅t
 s
v=
t
Durchschnittsbeschleunigung:
2
 v
a=
t
2D-Translation
getrennt berechnen:

s  t= x  t = x
y
y  t
Y
Vy
x  t= v x t⋅t  x 0
Vx
y  t= v y  t⋅t  y 0
X
Seite 7
1.1.7
3D-Translation




s  t= x  t⋅ ex  y  t⋅ e y  z  t⋅ e z




v t= v x t⋅ ex  v y  t⋅ e y  v z  t⋅ e z




a t= ax  t⋅ ex  a y  t⋅ e y  a z  t⋅ e z
1.2
Rotation
o α
S
n
r
V
1.2.1
Formelzeichen
r
m
Radius
φ
rad
Winkel in Bogenmaß
ω
s
-1
α
s
-2
T
s
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Dauer eines Umlaufes
-1
f
s , Hz
Umlauffrequenz, Drehfrequenz
v
m/s
Bahngeschwindigkeit
n
-1
1.2.2
s
Drehzahl
Gleichförmige Rotation
Bedingung:
= const.
 = ⋅t   0
=
2⋅
= 2⋅⋅ f
T
n=
1
T
Seite 8
1.2.3
Gleichmäßig beschleunigte Rotation
 = const.
Bedingung:
=
 2
⋅t  0 ⋅ t   0
2
1.2.4
Rotation allgemein
t2
 = ∫  t dt
t1
t2
= ∫   t dt
=
t1
d
'
=
=  t
dt
1.3
1.3.1
d
'
=   t
dt
2
=
d 
dt
2
=   t' '
Zusammenhang Translation-Rotation
Formelzeichen
r
m
Radius
φ
rad
Winkel in Bogenmaß
ω
s
-1
Winkelgeschwindigkeit
α
s
-2
s
m
Länge des vom Winkel eingeschlossenen Kreisbogens
v
m/s
Bahngeschwindigkeit
vE
m/s
a
m/s
2
aZP
m/s
2
aZF
m/s
2
aR
m/s
2
aT
m/s2
Tangentialbeschleunigung
aC
m/s
Coriolisbeschleunigung
Winkelbeschleunigung
Eigengeschwindigkeit auf dem Rotationskörper
2
Beschleunigung
Zentripetalbeschleunigung
Zentrifugalbeschleunigung
Radialbeschleunigung
Seite 9
1.3.2
Übersicht
s = ⋅r

 
s = ⋅ e × r
v = ⋅r


v = × r
a= ⋅r


a=  × r
v aT
aZF
aC
Coriolisbeschleunigung
1.3.3
aZP aR
vE r
Zentripetalbeschleunigung, Radialbeschleunigung
Nach innen gerichtete Beschleunigung:
 

aZP = × v
a Z P = aR =− 2 ⋅r

− v2
aZ P =
r
gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung
1.3.4
Zentripetal- und
Tangentialbeschleunigung
a ZP = r ⋅[ 0   0 ⋅ t − t 0 ] 2
Zentrifugalbeschleunigung
a ZF = − a ZP
1.3.5
Tangentialbeschleunigung
Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung:
aT =  0 ⋅r
Gleichförmige Kreisbewegung
aT = 0
Seite 10
1.3.6
Coriolisbeschleunigung
 
aC =−2⋅ × v E 
aC =−2⋅⋅v E
Seite 11
2
Dynamik
2.1
Newtonsche Axiome
2.1.1
Formelzeichen
F
N
Kraft
v
m/s
Geschwindigkeit
m
kg
a
m/s
t
s
2.1.2
Masse
2
Beschleunigung
Zeit
Trägheitsprinzip
n
∑ Fi =0
Bedingung: solange keine Kraft wirkt
i =1
v =0
2.1.3
v = const.
Aktionsprinzip
Die Kraft F auf eine Masse bewirkt deren Beschleunigung a.
Bedingung:
m = const.
F = m⋅a
Bedingung:
F=
m = m t≠ const.
d
 m⋅v 
dt
F=
d
d
m⋅v  m⋅v 
dt
dt
ú
F = m⋅v  m⋅a
2.1.4
Reaktionsprinzip
actio = reactio


∣ F 1 ∣= ∣− F 2 ∣
Seite 12
2.2
Dynamik der Translation
2.2.1
Formelzeichen
F
N
Kraft
v
m/s
Geschwindigkeit
m
kg
Masse
2
a
m/s
p
Ns
Impuls
I
Ns
Kraftstoß
2.2.2
Kraft
Beschleunigung
F = m⋅a
a=
t


∫ F dt= ∫ m⋅ a dt
t2
2
t1
t1
F dv
=
m dt
dv=
F
dt
m

t

dv
∫ F dt= ∫ m⋅ dt dt
t
t
t2
2
1
1
v


 
∫ F dt= m⋅∫ d v = m⋅ v 2 − v 1 
t2
2
t1
v1
2.2.3
Impuls
p= m⋅v


p= ∫ d p= m⋅v
2.2.4
dp= m⋅dv
Kraftstoß
Kraftstoß bewirkt Impuls:
I = F ⋅ t = m⋅ v = p
Kraft ist die zeitliche Impulsänderung:
F=
m⋅dv dp
=
dt
dt
Seite 13
2.2.5
Impulserhaltungssatz
n
 



p1  p2  p 3  = pges = ∑ pi = const.
i =1



m 1 ⋅ v 1  ∫ F dt= m 2 ⋅ v 2
t2
t1
2.3
2.3.1


m1 ⋅ v 1 = m 2 ⋅ v 2
Kraft
Formelzeichen
F
N, kg m/s2
Kraft
FG
N
Gewichtskraft
FH
N
Hangabtriebskraft
FN
N
Normalkraft, senkrecht zur Ebene
FR
N
Reibungskraft
µGR
Gleitreibungszahl
µHR
Haftreibungszahl
µRR
Rollreibungszahl
v
m/s
m
kg
Geschwindigkeit
Masse
2
g
m/s
ω
s-1
Winkelgeschwindigkeit
r
m
Radius
M
Nm
Drehmoment
Erdbeschleunigung
Seite 14
2.3.2
Zusammengesetzte Kräfte
 
 =∢  F 1 , F 2 
F
2
γ
F1
F1= F 2
Bedingung:
F
2⋅1 cos 
F1 = F 2 =
2.3.3
2
F = F 1  F 2 2⋅F 1 ⋅F 2 ⋅cos 
F2
Geneigte Ebene
sin  =
FH
γ
γ
FN
FG
2.3.4
cos =
tan  =
FH
FG
FN
FG
FH
FN
Festkörperreibung
FR
FH
γ
FG
Gleitreibung (Bewegung)
F R =  GR ⋅F N
FN
Bedingung:
FH FR
F R = GR ⋅F G ⋅cos 
Seite 15
Haftreibung (Ruhelage)
Bedingung:
FH ≤FR
F R =  HR ⋅F N
Rollreibung (Drehbewegung)
F R =  RR ⋅
2.3.5
FN
2⋅r
Kraftarten
Gewichtskraft
F G = m ⋅g
Normalkraft
F N = F G ⋅cos 
Reibungskraft
F R = GR ⋅F N
Hangabtriebskraft
F H = F G ⋅sin 
Zentripetalkraft


2
F ZP = − m⋅ ⋅ r
Corioliskraft

 
F C =−2⋅m⋅ × v
Tangentialkraft
 

FT = M × r
Seite 16
2.4
2.4.1
M
J
JS
Dynamik der Rotation
Formelzeichen
Nm
Drehmoment
2
kg m
2
kg m
2
Massenträgheitsmoment
Massenträgheitsmoment bzg. Drehachse durch Scheibenmittelpunkt
JA
kg m
Massenträgheitsmoment bzgl. Drehachse um A
m
kg
Masse
ρ
kg/m3
Dichte
3
V
m
Volumen
r
m
Radius
F
N
Kraft
2
L
kg m /s
Drehimpuls
p
kg m/s
Impßuls
ID
2
kg m /s
Drehkraftstoß
s
-2
ω
s
-1
v
m/s
Geschwindigkeit
t
s
Zeit
α
Winkelbeschleunigung
Winkelgeschwindigkeit
Seite 17
2.4.2
Drehung um Schwerpunktachse
V ges
m
J =  ∫ r 2 dV
0
r
s
m ges
n
J = ∑ r i ⋅ m i
J = ∫ r dm
2
2
i =1
0
speziell:
2.4.3
2
J = r ⋅ m
J S = r 2 ⋅m
Drehung um Achse parallel zur Schwerpunktachse
Satz von Steiner:
A
J A = J S  m⋅s 2
s
J =  ∫ ∫ ∫ r 2  x , y , z dx dy dz
S
v
2.4.4
Drehmoment
M = J ⋅
Angriffspunkt
der Kraft
F
r
M = ∫ r dm⋅
2
 
M =r×F
Drehpunkt



 

M =∣ F ∣⋅∣ r ∣⋅sin ∢  r , F = ∣ F tan ∣⋅∣ r ∣
Seite 18
2.4.5
Drehimpuls
L= J ⋅
 
L= r × p
 
L= m⋅ r × v 

 
L= m⋅ r × × r 
 
  
L= m⋅ r 2 ⋅ −  r ⋅ ⋅ r
M=
 
d  r × p
M=
dt
dL
dt
2.4.6


  dp
dr
M=
× m⋅ v  r ×
dt
dt
Drehkraftstoß
Drehkraftstoß bewirkt Drehimpulsänderung:
I D = ∫ M dt
t2
ID=∫ J ⋅
t1
2.4.7
d
dt
dt
ID= L
t2
t2
t1
t1
I D = ∫ M dt= ∫ J ⋅ dt
I D = J ⋅ 2 − 1 = J ⋅ 
Drehimpulserhaltungssatz
 t 

L1  ∫ M dt= L 2
2
L = L1  L 2   L n = const.
t1
Seite 19
2.5
2.5.1
J
Spezielle Massenträgheitsmomente
Formelzeichen
kg m2
Massenträgheitsmoment
2
JS
kg m
Massenträgheitsmoment bzg. Drehachse durch Scheibenmittelpunkt
m
kg
Masse
r
m
Radius
h
m
Höhe, Länge
2.5.2
Kreisring, dünn
x: JS =r
x
2.5.3
2
y: JS =
m 2
⋅r
2
x: JS =
m 2
⋅r
2
y: JS =
m 2
⋅r
4
y
Kreisscheibe, dünn
x
y
Seite 20
2.5.4
Kugel
Vollkugel:
2
2
J S = ⋅m⋅r
5
Hohlkugel:
r 5a − r 5r
2
J S = ⋅m ⋅ 3
3
5
r −r
a
Hohlkugel, dünnwandig:
2.5.5
r
2
J S = ⋅m⋅r 2
3
Zylinder
x
r
x: JS =
m 2
⋅r
2
y: JS =
m
⋅3⋅r 2  h2 
12
x: JS =
m
⋅ r 2i  r 2a 
2
y: JS =
m
h
⋅ r 2i  r 2a  
4
3
y
2.5.6
Hohlzylinder
ri
2
x
ra
dünnwandig:
y
ri ≈ ra
x : J S = m⋅r
2
y: JS =
m
h2
2
⋅2⋅r  
4
3
Seite 21
2.5.7
Stab, lang und dünn
JS =
2.5.8
m 2
⋅l
12
Quader
x: JS =
m
⋅ b 2  c2 
12
y: JS =
m
2
2
⋅ a  c 
12
z: JS =
m
⋅ a2  b2 
12
a
x
b
c
y
2.5.9
z
Kegel
x: JS =
3
⋅m⋅r 2
10
x: JS =
3
h
⋅ m⋅ r 2  
20
4
y
x
r
h
2
Seite 22
2.6
Schwerpunktberechnung
2.6.1
Formelzeichen
rSP
m
Schwerpunktvektor
m
kg
Masse
V
3
m
Volumen
3
ρ
kg/m
Dichte
d
m
Richtungsvektor
2.6.2
Schwerpunkt eines kontinuierlichen Körpers

∫ d dm
m
m

r SP =
0
m
∫ dm
=
∫ x dm
 
x SP
y SP
z SP
x SP =
0
m
∫ dm
0
0
Für homogene Körper gilt:
2.6.3
y SP = 
z SP = 
dm= dV ⋅
Schwerpunkt für n Punktmassen
n
∑ m i ⋅d i

i =1
r SP = n
=
∑ mi
i =1
n
 
x SP
y SP
z SP
∑ m i ⋅x i
x SP =
i =1
n
∑ mi
y SP = 
z SP = 
i=1
Seite 23
3
Arbeit und Energie
3.1
Arbeit
3.1.1
Formelzeichen
W
J, kg m2/s2
Arbeit
F
N
Kraft
FG
N
Gewichtskraft
FB
N
Beschleunigungskraft
FN
N
Normalraft
FR
N
Reibungskraft
FA
N
Äußere Kraft
s
m
Weg
h
m
Höhe
γ
rad, °
Winkel
m
kg
Masse
a
m/s2
Beschleunigung
g
m/s2
Erdbeschleunigung
v
m/s
Geschwindigkeit
k
N /m
Federkonstante
φ
rad, °
Drehwinkel
ω
s-1
Winkelgeschwindigkeit
α
s-2
Winkelbeschleunigung
r
m
Abstand zum Massenmittelpunkt
2
f
N m / kg
3.1.2
Allgemein
2
Gravitationskonstante
W = F ⋅s⋅cos 
F
γ
S2
W = ∫ F ⋅cos  ds
S1
s
speziell:
W = F ⋅s


W = ∫ F  s d s
S2
S1
Seite 24
3.1.3
Hubarbeit
h, s
W HUB =− ∫ F G ds
FG, g
W HUB = F G ⋅ s⋅cos 
W HUB = − m⋅g ⋅ s⋅cos 
= 180°
Bedingung:
W HUB = m⋅g ⋅ h
3.1.4
Beschleunigungsarbeit
m 2
⋅v
2
W B = m⋅a⋅s
WB=

W B =− ∫ F B ds

W B = F B ⋅s
W B = ∫ m⋅a ds

dv
ds
W B = ∫ m⋅
dt
W B=
m
⋅ v 2 − v 20 
2
W B = m⋅ ∫

ds 
dv
dt
 
W B = m⋅ ∫ v d v
3.1.5
Reibungsarbeit
F
FR
γ
FG
FN
W R = F R ⋅s
W R = ⋅F N ⋅s
W R = ⋅F G ⋅s⋅cos 


W R=∫ FR d s
Bedingung:
=0 °
W R = ⋅m⋅g ⋅s
Seite 25
3.1.6
Federspannarbeit
1
2
W F = ⋅k ⋅s
2
Rotation, Torsion
3.1.7
S MAX

W F = ∫ F ⋅ ds
WF=
1
W F = ⋅k ⋅ 2
2
1
2
2
W F = ⋅k ⋅ 2 − 1 
2
∫
k ⋅s ds
S MIN
Rotationsarbeit
1
W ROT = ∫ M  d 
0
d
ds
dt
W ROT = ∫ J ⋅ ds
W ROT = ∫ J ⋅
W ROT = J ⋅ ∫  d 
1
W ROT = ⋅J ⋅2
2
3.1.8
W ROT = J ⋅ ∫
ds
d
dt
1
W ROT = ⋅J ⋅ 12 − 20 
2
Gravitationsarbeit
Arbeit, die verrichtet wird, um die kleinere Masse m1 von A
B
nach B zu heben (Hubarbeit).
FA
FG
A
r2
W AB = ∫ F A dr
m2
r1
m1
r2
W AB =− ∫ F G dr
r1
r2
W AB = ∫ f ⋅m 1 ⋅m 2 ⋅
r1
Gravitationskonstante:
1
r
2
dr
W AB = f ⋅m1 ⋅m 2 ⋅
f = 6,673⋅10
−11
1
1
− 
r1 r 2
N ⋅m 2
kg 2
Seite 26
3.2
Energie
3.2.1
Formelzeichen
E
J
Energie
EV
J
Verlustenergie
h
m
Höhe
s
m
Weg
v
m /s
Geschwindigkeit
m
kg
Masse
k
N /m
Federkonstante
2
J
Kg m
ω
s
3.2.2
Massenträgheitsmoment
-1
Winkelgeschwindigkeit
Potentielle Energie
h2
g(h)
E POT = m⋅ ∫ g dh
EPOT
h1
h1
Bedingung:
h2
h
g = const.
E POT = m⋅g ⋅h
3.2.3
E KIN =
3.2.4
Kinetische Energie
m 2
⋅v
2
E KIN =
m
⋅ v 12 − v 20 
2
Spannungsenergie
Potentielle Energie
1
E P = ⋅k ⋅s 2
2
Seite 27
3.2.5
Rotationsenergie
1
E ROT = ⋅J ⋅2
2
Rollendes Rad:
3.2.6
E KIN = E ROT  E TRANS
E TRANS =
m 2
⋅v
2
Energieerhaltungssatz
n
E = ∑ E i = const.
i =1
Bedingung: konservative Kräfte (verlustlos)
∑ E POT  ∑ E KIN = const.
Bedingung: dissipative Kräfte (verlustbehaftet durch Reibung)
∑ E POT ∣ vor  ∑ E KIN ∣ vor = ∑ E POT ∣ nach  ∑ E KIN ∣ nach  E V
3.2.7
Mechanische Stöße
Elastischer Stoß
E KIN 1  E KIN 2 = E KIN 1 nach  E KIN 2 nach
m1
2
2
⋅v 1 
m2
2
2
⋅v 2 =
m1
2
2
⋅v ' 1 
m2
2
2
⋅v ' 2
Unelastischer Stoß
m1
E KIN 1  E KIN 2 = E KIN nach  E V
EV = E1 − E 2
EV =
2
m 1 ⋅m 2
2⋅ m 1  m 2 
⋅ v 1 − v 2 
2
⋅v 1 
m2
2
2
⋅v 2 =
m1  m 2
2
2
⋅v  E V
2
Seite 28
3.3
Leistung
3.3.1
Formelzeichen
P
W
Leistung
η
Wirkungsgrad
W
J
Arbeit
E
J
Energie
F
N
Kraft
v
m /s
Geschwindigkeit
s
m
Weg
t
s
Zeit
3.3.2
Leistung


F ⋅d s
P=
dt
dW
P=
dt
mittlere Leistung:
3.3.3
=
Pm =
 
P = F ⋅v
W ges
t ges
Wirkungsgrad
W ab
=
W zu
E ab
E zu
=
P ab
P zu
t ZU
∫ P ab dt
= t
0
ZU
∫ P zu
dt
n
= ∏ i =1 ⋅2 ⋅3 ⋅
i =1
0
Seite 29
3.4
3.4.1
Gravitation
Formelzeichen
A
m2
überstrichene Fläche
t
s
Zeit
T
s
Umlaufzeit
a
m
Halbachse des Planeten
FG
N
Gewichtskraft
m
kg
Masse
mE
kg
Masse der Erde
3
f
m /kg s
r
m
2
Gravitationskonstante
Radius, Entfernung zwischen den Punktmassen
e
Richtungsvektor
g
m /s2
Φ
2
m /s
W
J
Arbeit bei der Bewegung im Schwerefeld
E
J
Energie
3.4.2
Gravitationsbeschleunigung
2
Gravitationspotential
Keplersche Gesetze
2. Keplersches Gesetz
Planet
Perihel
Aphel
M
∆t
∆A
∆A
∆t
A
= const.
t
3. Keplersches Gesetz
a
a
2
3
T1
a1
T2
a2
=
2
3
Seite 30
3.4.3
Newtonsches Gravitationsgesetz

m ⋅m 
F G = − f ⋅ 1 2 2 ⋅ er
r
r
m2
m1
f = 6,673⋅10−11
3.4.4
kg ⋅s
2
r ≥ rE
Bedingung:
g =− f ⋅
m3
mE 
⋅ er
2
r
Hubarbeit und potentielle Energie
W = − f ⋅m E ⋅m K ⋅
W = ⋅m
1
1
− 
r 2 r1
=− f ⋅
W M =− f ⋅
mE
r
⋅m
mE
r
W = m ⋅ 2 −  1 
r


 =− ∫ g r⋅d r
∞

∇  =− E
∇ W =− FG
Seite 31
4
Mechanik und Schwingung
4.1
4.1.1
σ
Mechanik deformierbarer Körper
Formelzeichen
N /m2
Spannung, Normalspannung
ε
Dehnung
εq
Querdehnung
2
E
N /m
Elastizitätsmodul (Materialwert)
FZUG
N
Zugkraft, Normalkraft
FT
N
Schubkraft (tangential)
A
m2
Fläche
V
m3
Volumen
l
m
Anfangslänge, Länge des Körpers
l'
m
Endlänge
d
m
Anfangsdicke
d'
m
Enddicke
µ
Poissonzahl
ν
Querdehnungszahl
2
K
N /m
Kompressionsmodul
κ
1/Pa
Kompressibilität
∆p
N / m2
Druckänderung
G
N /m2
Schubmodul, Torsionsmodul
2
τ
N /m
Schubspannung
γ
rad
Schiebung, Scherung, Schubwinkel
φ
rad
Drillwinkel, Torsionswinkel
r
m
Radius
M
Nm
Drehmoment
MT
Nm
Drehmoment bei Torsion
D
Nm /rad
IPOL
4
rad / m
Richtmoment (Winkelrichtgröße), Federkonstante für Torsion
Polares Flächenträgheitsmoment
Seite 32
4.1.2
Dehnung
 l = ∣l − l ' ∣
∆l
FZUG
=
l
l
l
l'
d FZUG
=
dA
=
F ZUG
A
dF ZUG
dA
Hookesches Gesetz:
 = E ⋅
Bedingung: nur für elastischen Bereich
E  , t=
4.1.3
d
d
E = ⋅
l
l
E=
F ZUG
A
⋅
l
l
Querdehnung
Längenänderung und Änderung der Dicke
d=d−d'
∆l
d d'
FZUG
l
l'
=
d
d
=−
l
l
1

q =
−1
⋅

relative Volumenänderung:
q = − ⋅
V
= ⋅1− 2⋅
V
q =
d
d
q = − ⋅

E
V  l 2⋅ d
=

V
l
d
Seite 33
4.1.4
Allseitige Kompression
V 
=
V
K
FZ , p
σ
V
p
=−
V
K
FY
FY
FX
dV = −
FZ
1

K=
1

=
K=
=
4.1.5
V
= 3⋅⋅1− 2⋅
V
E
3⋅1− 2⋅

E
 =− p
Scherung
FT
A
b
γ
a
G  , t=
=G ⋅
=
- FT
4.1.6
1
⋅V ⋅dp
K
=
d
d
G=
FT
A
G ⋅a
d
E
2⋅1 
Torsion
M
l
r
=
φ
2⋅l⋅M
⋅G ⋅r 4
F
D=
⋅G ⋅r 4
2⋅l
Seite 34
M = D⋅


M = D⋅⋅ e
¨ D
  ⋅ = 0
J
T =2⋅⋅
=
D
J
M T ⋅l
G ⋅I POL
Zylinder:
=
MT
0,196⋅d
4.2
3
=
l⋅M T
0,089⋅G ⋅d
4
Mechanische Schwingung
4.2.1
Formelzeichen
FI
N
Innere Kräfte
FRÜCK
N
Rücktreibende Kraft
FG
N
Gewichtskraft
m
kg
Masse
2
a
m /s
k
N /m
Federkonstante
x
m
Auslenkung, Elongation
sh
m
Horizontale Auslenkung
φ
rad, °
Auslenkungswinkel
-1
Beschleunigung
ω0
s
f
Hz
Eigenfrequenz
T
s
Periodendauer
l
m
g
m /s
MRÜCK
Nm
Eigenkreisfrequenz
Fadenlänge
2
Fallbeschleunigung
Rücktreibendes Drehmoment
2
JA
kg m
Massenträgheitsmoment bezogen auf Drehpunkt
JS
kg m2
Massenträgheitsmoment bezogen auf Schwerpunkt
r
m
Abstand zwischen Drehpunkt und Schwerpunkt
α
s
-2
D
Nm /rad
Winkelbeschleunigung
Richtmoment, Winkelrichtgröße, Federkonstante für Torsion
Seite 35
4.2.2
Federschwinger
1-D geradlinige, freie, ungedämpfte Schwingung
Bedingung:
∑ äußere Kräfte= ∑ F A =0
∑ F I = m⋅a
m
F RÜCK =− k ⋅x
FRÜCK
x(t)
F RÜCK = m⋅a
x
¨
m⋅ x  k ⋅x = 0
m⋅a k ⋅x = 0
¨ k
x  ⋅x =0
m
Differentialgleichung:
0 =
k
m
T = 2⋅⋅
¨
2
x  0 ⋅x = 0
m
k
f=
1
k
⋅
2⋅
m
x
ω0 t
Phasenverschobene Schwingung
x

x t= x ⋅sin 0 ⋅t  0 
φ
φ0
t
T
Seite 36
4.2.3
Mathematisches Pendel
Horizontale Auslenkung
s h = l⋅sin 
φ
h
l
sh
F RÜCK = F G ⋅sin 
m
FG
FRÜCK
Differentialgleichung:
Bedingung:
¨ g
  ⋅sin  = 0
l
sin  ≈ 0
Vereinfachung:
 5 °
¨ g
  ⋅ = 0
l

  t= ⋅cos  0 ⋅t
0 =
k=
k
m

  t= ⋅cos  0 ⋅t  0 
T = 2⋅⋅
F RÜCK
m
k
k=
sh
m⋅g
l
Schwingfrequenz und Schwingungsdauer sind massunabhängig
0 =
g
l
T = 2⋅⋅
l
g
Seite 37
4.2.4
Physisches Pendel
A
 
M RÜCK = r × F G
φ
M RÜCK = r⋅ m ⋅g ⋅sin 
r
∑ M = J ⋅
sh
S
FG
r ⋅ m ⋅ g ⋅sin   J A ⋅ = 0
2
Steinerscher Satz:
J A = J S  m⋅r
Differentialgleichung:
¨ m⋅g ⋅r
⋅sin  = 0

JA
Bedingung:
sin  ≈ 0
 5 °
¨ m⋅g ⋅r
⋅ =0

JA
Vereinfachung:

  t= ⋅cos  0 ⋅t
0 =
m⋅g ⋅r
JA
T = 2⋅⋅

  t= ⋅cos  0 ⋅t  0 
0 =
g
r
JA
=
m⋅g ⋅r
Massenträgheitsmoment
J S = m⋅ r ⋅
r⋅m⋅g
⋅
JA
g ⋅T 20
4⋅ 2
− r
Seite 38
4.2.5
Torsionspendel


M RÜCK = r × F RÜCK
φ
M RÜCK = J ⋅
MRÜCK
∑ M = J ⋅

J = − D⋅

Differentialgleichung:
0 =
D
J
M RÜCK = − D⋅
¨
=
2
J=
T0
4⋅
2
⋅D
¨ D
  ⋅sin  = 0
J
T =2⋅⋅
J
D
Seite 39
4.3
Elektromagnetische Schwingung
4.3.1
Formelzeichen
UC
V
Spannung am Kondensator
UL
V
Spannung an der Induktivität
I
A
Strom
L
H, Vs /A
Induktivität
C
F, As /V
Kapazität
Q
As
Ladung
q
As
Momentanladung
u
V
Momentanspannung
i
A
Momentanstrom
φ
rad, °
Phasenwinkel
ω0
s-1
Eigenkreisfrequenz
f
Hz
Eigenfrequenz
T
s
Periodendauer
R
Ω
δ
s
-1
ω
s-1
Ohmscher Widerstand
Abklingkoeffizient
Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung
Q
Güte
D
Dämpfungsgrad
4.3.2
Ungedämpfte elektromagnetische Schwingung
UC=
+
-
−
C
U, Q
Q
C
L
U L = − L⋅
dI
dt
Q
dI
− L⋅ = 0
C
dt
Differentialgleichung:
¨
q
q
=0
L⋅C
Seite 40

q  t= q⋅sin  0 ⋅t   0 

q  t= q⋅sin 

u  t= u⋅sin  0 ⋅t   0 

u  t= u⋅sin 


it= i⋅sin 0 ⋅t  0 − 
2


i t= i⋅sin  − 
2
T = 2⋅⋅ L⋅C
I=
dQ
dt
4.3.3
L⋅
¨
d dQ

= L⋅ Q
dt dt
Gedämpfte elektromagnetische Schwingung
Differentialgleichung:
R
+
-
C
U, Q
¨ R ú
1
q ⋅ q
⋅ q= 0
L
L⋅C
L
 −⋅ t
q  t= q⋅e
⋅sin  0 ⋅t   0 
2
= 0 − 
2
=
1
R 2
−

L⋅C
2⋅L
=
Q=
1
L
⋅
R
C
Q=
1
2⋅D
D=
R
C
⋅
2
L
D=

0
4.3.4
R
2⋅L
Zusammenhang mechanische – elektromagnetische Schwingung
Mech:
Auslenkung, Elongation
x
El:
Ladung des Kondensators
q
Seite 41
Mech:
Geschwindigkeit
ú
v=x
El:
Stromstärke
ú
i= q
Mech:
Masse
m
El:
Induktivität
L
Mech:
Federkonstante
k
El:
1/ Kapazität
1/C
Mech:
Dämpfungskonstante
b
El:
Widerstand
R
Potentielle Energie
Mech:
k 2
E POT = ⋅x
2
El:
E EL =

k ⋅x2
E POT =
⋅sin 2 
2
2
q
2⋅C
Kinetische Energie
m 2
⋅v
2
Mech:
E KIN =
El:
L⋅i2
E MAG =
2

m⋅ v 2
⋅cos2 
E KIN =
2
Ungedämpfte Schwingung
Mech:

x = x ⋅sin  0 ⋅t  0 
0 =
k
m
El:

q= q⋅sin  0 ⋅t  0 
0 =
1
L⋅C
Gedämpfte Schwingung
2
2
=
b
2⋅m
2
2
=
R
2⋅L
Mech:

x = x ⋅e−  ⋅ t ⋅sin ⋅t  0 
= 0 − 
El:
 −⋅ t
q= q⋅e
⋅sin  ⋅t  0 
= 0 − 
Seite 42
4.4
4.4.1
Schwingungsarten
Formelzeichen
FRÜCK
N
Rücktreibende Kraft
FR
N
Reibungskraft, Dämpfungskraft
FERR
N
Erregerkraft
m
kg
Masse
2
a
m /s
v
m /s
Geschwindigkeit
k
N /m
Federkonstante
x
m
Auslenkung, Elongation
φ
rad, °
Auslenkungswinkel
-1
ω0
s
ωd
s-1
ωE
s
-1
Td
s
µ
Beschleunigung
Eigenkreisfrequenz
Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung
Erregerkreisfrequenz, Kreisfrequenz in eingeschwungenem Zustand
Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung
Reibungszahl
b
kg /s
Dämpfungskonstante
δ
s-1
Abklingkoeffizient
D
Dämpfungsgrad
d
Verlustfaktor
Q
Güte, Resonanzüberhöhung
Λ
Logarithmisches Dekrement
α
rad, °
Phasenverzögerung des Resonators gegenüber dem Erreger
xRES
m
Resonanzamplitude
xR
m
Resultierende Schwingung
xSTAT
m
Statische Auslenkung bei konstanter Kraft
fS
Hz
Schwebungsfrequenz
Seite 43
4.4.2
Freie gedämpfte Schwingung
F RÜCK = m⋅a
F RÜCK = − k ⋅x − F R
Geschwindigkeitsunabhängige Reibung
F R =⋅F N
¨
m⋅ x ⋅F N  k ⋅x =0
Differentialgleichung:

x = x  x 0 ⋅cos 0 ⋅t  0 − x 0
Geschwindigkeitsabhängige Reibung, viskose Reibung
F R = b⋅v
ú
¨
2
x 2⋅⋅ x  0 ⋅x =0
¨
ú
m⋅ x  b⋅ x  k ⋅x = 0
Differentialgleichung:
ú
¨
2
x  2⋅D⋅0 ⋅ x  0 ⋅x = 0
k
m
=
b
2⋅m
D=
d =2⋅D
d=
b
m⋅0
d=
0 =
4.4.3

0
Q=
1
d
b
m ⋅k
Schwingfall
Schwache Dämpfung
Bedingung:
0  
D1
x
xi
xi+1
t
TD
Seite 44

x t= x 0 ⋅e−  ⋅ t ⋅cos  d ⋅t  0 
k
b2
d =
−
m 4⋅m 2

xi

=e
⋅T d
2
d = 0 − 
 = ln
d = 0 ⋅ 1− D

xi
2
 =⋅T d

xi 1
xi1
4.4.4
2
Aperiodischer Grenzfall
Mittlere Dämpfung
x
t
Bedingung:
= 0
D=1


x  t=  x 0  x 1 ⋅t⋅e−  ⋅ t

x  t= x 0 ⋅1 ⋅t⋅e−  ⋅ t
b= 2⋅ m⋅k
4.4.5
Kriechfall
Starke Dämpfung
x
t
Bedingung:
 0
D1

x  t= x 0 ⋅e−  ⋅ t ⋅cosh  d ' ⋅t
Eigenkreisfrequenz wird imaginär:
2
2
d ' = j  −  
b 2⋅ m⋅k
Seite 45
4.4.6
Erzwungene Schwingung
∑ äußere Kräfte=0
Bedingung:
¨
F ERR  F RÜCK  F R = m⋅ x

F ERR = F ERR ⋅cos  E ⋅t
ú
F R =− b⋅ x
F RÜCK =− k ⋅x
F R = − b⋅v
¨
ú
m⋅ x  b⋅ x  k ⋅x = F ERR  t
Differentialgleichung:
ú
¨
2
x =2⋅⋅ x  0 ⋅x

¨ FE
x=
⋅cos E ⋅t
m

x t= x ⋅cos  E ⋅t − 

x=
 = arctan
E ⋅ b
m 2 ⋅ 20 − 2E  2  b 2 ⋅ 2E
 = arctan
2
E
2
0

FE
m⋅  −  
2⋅E ⋅
20 − 2E

x  t= x ⋅E ⋅sin E ⋅t  0 ⋅E 
  E = arctan
4.4.7

x=

FE
2
 m⋅0 − k  2  b2 ⋅2E
b⋅ E
2
m⋅ E − k
Resonanz
b
2
RES = 0 −

x RES =
2
2⋅m

F ERR
2
b⋅ 0 −  2
2
RES = 0 − 2⋅2
2

x RES =

F ERR
2
b⋅d

x RES =

F ERR
2⋅⋅m⋅d
Seite 46
ú ⋅2
0
Q=
2
⋅d

x



2
=
x STAT
4.4.8
Q≈
0
2
2 2
 0 − E   2⋅⋅E 
2
Überlagerung
x
Gleiche Richtung und gleiche Frequenz
xR
x1
x2
0R =arctan



 
2
x R = x 1  x 22  2⋅ x 1 ⋅ x 2 ⋅cos 01 −  02 
t


x 1 ⋅sin  01  x 2 ⋅sin  02


x 1 ⋅cos  01  x 2 ⋅cos 02
Bedingung:
 
x1 = x 2
Bedingung:
 = 
 −  02


x R = 2⋅ x 1 ⋅cos 01
2
Auslöschung, Subtraktion der Auslenkungen
Gleiche Richtung, ungleiche Frequenz
Schwebung, geringe Frequenzunterschiede
 − 2
  2

x R  t= 2⋅ x ⋅cos  1
⋅t⋅sin  1
⋅t
2
2
Schwebungsfrequenz
f S = f 1− f 2
Seite 47
5
Fluiddynamik
5.1
Ruhendes Fluid
5.1.1
Formelzeichen
p
Pa
Druck
pS
Pa
Schweredruck
pH
Pa
Luftdruck in der Höhe h
p0
Pa
Luftdruck an Erdoberfläche
F
N
Kraft, die auf die Fläche wirkt
FA
N
Auftriebskraft
FG
N
Gewichtskraft
FHUB
N
Hubkraft
2
A
m
Fläche
V
m3
Volumen
∆V
m3
Volumenabnahme bei Drucksteigerung
WP
J
Druckarbeit
s
m
Weg
h
m
Höhe
3
ρ
kg /m
Dichte
3
ρF
kg /m
Dichte des Fluids
ρK
kg /m3
Dichte des Körpers im Fluid
g
m /s2
Fallbeschleunigung
5.1.2
Kolbendruck
F1
A1
A2
p=
F2
p=
p=
F
A
F1
A1
=
F2
A2
dF
dA
Seite 48
5.1.3
Druckarbeit
V2

W P =− ∫ p dV


W P = − ∫ F  s d s
5.1.4

W P =− p dV
V1
Schweredruck
p
p~h
h
p S = ⋅g ⋅h
pS =
⋅g ⋅V
A
Schweredruck von Gasen, bariometrische Höhenformel
−
0⋅ g ⋅ f
pH = p 0 ⋅e
5.1.5
p0
Volumen-Druck-Gesetz
p1 ⋅V 1 = p 2 ⋅V 2
=−
1 dV
⋅
V dp
GAS =
5.1.6
p⋅V = const.
V =−⋅ p⋅V
1
p
Auftrieb
FA
p1
h
FHUB
F A = F ⋅V K ⋅g
F A = m F ⋅g = F G
F A=
p2
F
K
⋅F G
F
K
FG
Seite 49
 p = p 2 − p1
 p⋅ A = A⋅⋅g ⋅ h
F HUB = F A − F G
F HUB = F ⋅g ⋅V − K ⋅g ⋅V
5.2
Molekularkräfte
5.2.1
Formelzeichen
σ
N /m
Oberflächenspannung der Flüssigkeit
W
J
Arbeit
A
m2
Fläche
s
m
Weg
l
m
Länge, Durchmesser
F
N
Kraft, senkrecht zur Oberfläche
FA
N
Adhäsionskraft (Kraft zwischen verschiedenen Stoffen)
FK
N
Kohäsionskraft (Zusammenhangskraft)
p
Pa
Druck
r
m
Radius des Röhrchens
rK
m
Radius der kugelförmigen Flüssigkeitsoberfläche
α
rad, °
Randwinkel
ρ
kg / m3
Dichte
g
5.2.2
m /s
2
Fallbeschleunigung
Oberflächenspannung
F
∆s
=
F ⋅ s
2⋅l⋅ s
l
=
=
W
A
=
dW
dA
F
2⋅l
Seite 50
Oberflächendruck einer Flüssigkeitskugel
5.2.3
p=
2⋅
r
Kapillarität
Benetzende Flüssigkeit
α
FA
Gasförmig G
F A FK
FK
F
 90 °
Flüssig F
Fest W
Kapillaraszension
h
α
FA
Gasförmig G
Flüssig F
F
Fest W
FK
Nicht benetzende Flüssigkeit
 90 °
F A FK
Kapillardepression
h
 GF ⋅cos  =  G W −  F W
h=
2⋅ ⋅cos 
⋅g ⋅r
Seite 51
Kapillarer Unterdruck
α
rK
α
r
 p=
2⋅
rK
cos  =
5.3
Bewegtes Fluid
5.3.1
Formelzeichen
j
kg /m2 s
Massenstromdichte
IM
kg /s
Massenstrom
3
r
rK
ρ
kg / m
Dichte
v
m /s
Fließgeschwindigkeit
vM
m /s
Mittlere Fließgeschwindigkeit
t
s
Zeit
2
A
m
Querschnittsfläche
s
m
Weg
m
kg
Masse
V
m3
Volumen
FZ
N
Zugkraft
FR
N
Reibungskraft
FA
N
Auftriebskraft
FG
N
Gewichtskraft
FN
N
Normalkraft, senkrecht zur Oberfläche
η
Pa s
υ
2
m /s
Kinematische Viskosität
h
m
Abstand, Höhe
φ
Pa-1 s-1
Fluidität
Dynamische Viskosität
Re
L
Reynoldszahl
m
Charakteristische Länge für den jeweiligen Körper
2
τ
N /m
Schubspannung
γ
rad
Schergeschwindigkeitsgefälle
R
m
Innenradius des Rohres
r
m
Radius des bewegten Zylinders
Seite 52
a
m
Halber Plattenabstand
2
a
m /s
b
m
Breite
l
m
Länge
x
m
Abstand zur Platte
3
VK
m
Beschleunigung
Volumen der Kugel
2
g
m /s
ωZ
s-1
Drehung in z-Richtung
p
Pa
Druck
pges
Pa
Druck gesamt
pSTAT
Pa
Statischer Druck, Luftdruck
pDYN
Pa
Dynamischer Druck, Staudruck
pGEOD
Pa
Geotätischer Höhendruck, Schweredruck
5.3.2
Fallbeschleunigung
Massenstrom und Massenstromdichte
j = ⋅v
j=
⋅dA⋅ds
dA⋅dt
j=
dQ
dA⋅ dt
dQ = ⋅dA⋅ds
IM =
dm
dt
I M = ⋅v ⋅ A
ú
I M =m
I M = ∮ ⋅v dA
0

I M = ∫ ∫ j dA
A
ú mú
V = = A⋅v = const.

Seite 53
5.3.3
Laminare Strömung, innere Reibung
FR
h

dv
F Z =⋅ A⋅
dh
FZ
v
dh

dv
F R =−⋅ A⋅
dh
dv
v=0
=
1

R e=
⋅L⋅v

R e=
L⋅v

FR τ
=
=
γ



FR
A
ú
=−⋅ 
5.3.4
Laminare Strömung zwischen 2 Platten
l
b
v  x=
p1 − p2
2⋅⋅l
⋅a2 − x 2 
2a
vMAX
FR =
x
p1
Volumenstrom
Massenstrom
v=0
p2
vM =
dV 2⋅b⋅ p1 − p 2 ⋅a
=
dt
3⋅⋅l
IM=
a
dV / dt
2⋅a⋅b
3
2⋅b⋅ p1 − p2 ⋅a3
3⋅⋅l
6⋅⋅l⋅b⋅v M
⋅
Seite 54
5.3.5
Laminare Strömung im Rohr
r
v  r=
v=0
v(r)
R
vM =
4
dV ⋅R ⋅ p1 − p 2 
=
dt
8⋅⋅l
IM =
8⋅⋅l
laminarer Druckverlust
 p=
kritische Reynoldszahl
R e KRIT = 2320
⋅R2
dV / dt
⋅R2
4
⋅R ⋅ p1 − p2 
8⋅⋅l
⋅
⋅v
(darüber turbulente Viskosität im Rohr)
Laminare Umströmung einer Kugel
FA
FR
Stokesches Gesetz
v(t)
F R = 6⋅⋅⋅R e⋅v
v = const.
FG
F A = FLUID ⋅V K ⋅g
1.
v = v  t
m ⋅a= F G − F A − F R
2.
v = const.
0= FG− F A − FR
5.3.7
4⋅⋅l
⋅ R 2 − r 2 
F R = 8⋅⋅⋅l⋅v M
l
5.3.6
p1 − p 2
Drehung in der Strömung
ω
Plättchen
dreht sich
y
Z =
∂ vY
∂x
−
∂vX
∂y
x
Seite 55
v Y =0
Bedingung:
Z =−
∂vX
∂y


= rot v
3-Dimensional
5.3.8


= ∇ × v
Druck im bewegten Fluid
p ges = p STAT  p DYN  pGEOD = const.
Bernoulli-Gleichung
pSTAT =
FN
(nicht immer so einfach möglich)
A

p DYN = ⋅v 2
2
pGEOD = ⋅g ⋅h
h= const.
Bedingung:
p ges = p DYN  p STAT
Verlustbehaftet:
p ges = pSTAT  p DYN  pGEOD  pV
Kontinuität
I M = const.
Bedingung:
v 1 ⋅ A1 = v 2 ⋅ A 2
5.3.9
Torricellisches Ausflussgesetz
Bedingung:
v1
v1 ≈ 0
v 2 = 2⋅ g ⋅h
h
v2
I M = ⋅ A⋅ 2⋅g ⋅h
Seite 56