W.86 Im Dreieck ABC schneide die Winkelhalbierende von ¿CAB

W.86 Im Dreieck ABC schneide die Winkelhalbierende von ]CAB die Seite BC im
Punkt D. Weiterhin sei AB + AD = CD und AC + AD = BC. Man bestimme
die Winkel ]ABC und ]BCA.
(Crux Mathematicorum 2302, Februar 1998)
W.86 (Bild) 4ABC sei das gesuchte Dreieck. Wir spiegeln
B 0.
4ABC an der Seite AC; es entsteht zusätzlich der Punkt
Weiterhin wird 4ABD an AB umgeklappt, und wir erhalten dadurch D 0 als spiegelbildlichen Punkt zu D. Dann ist offensichtlich
AB = AB 0 und somit die erste Bedingung
C
γ γ
D
4γ
CD = AB + AD = AB 0 + AD = B 0 D
4CDB 0
genau dann erfüllt, wenn
gleichschenklig ist. Ferner ist
AD = AD 0 ; also die zweite Bedingung
β
β
A
2γ
B
2β
D′
BC = AC + AD = AC + AD 0 = CD 0
B′
dann zutreffend, wenn B,
(und
auf einem Kreisbogen mit C als Mittelpunkt liegen. Da nun
AD nach Voraussetzung die Winkelhalbierende von ]CAB ist, also ]CAD = ]DAB = ]BAD 0
gilt, und deren Summe 180 ◦ beträgt, folgt hieraus: ]CAB ≡ α = 120 ◦. Die Summe der beiden
anderen Innenwinkel ]ABC ≡ β und ]BCA ≡ γ ist daher
D0
B 0)
β + γ = 180 ◦ − α = 60 ◦.
(W.123)
Aus der Innenwinkelsumme im Dreieck CBD 0 folgt die Gleichung
4β + γ = 180 ◦.
Aus (W.123) und (W.124) folgen die gesuchten Winkel β = 40 ◦ sowie γ = 20 ◦.
(W.124)