8 Trigonometrie

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TRIGONOMETRIE
Workshops zur Aufarbeitung des Schulstoffs
Wintersemester 2013/14
Trigonometrie
Wir beschäftigen uns hier mit der ebenen Trigonometrie, dabei geht es hauptsächlich
um die geometrische Untersuchung von Dreiecken in der Ebene. Ein wichtiges
Hilfsmittel dafür sind die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus, denen wir uns
als erstes widmen wollen: Dabei handelt es sich um eine Funktion, dh. um eine
Zuordnungsvorschrift, bei der verschiedenen Winkeln reelle Zahlen zugeordnet
werden:
sin
2◦ 7→ 0, 0349
cos
10◦ 7→ 0, 9848
sin
30◦ 7→ 0, 5
cos
50◦ 7→ 0, 6428
Um eine Beziehung zwischen Cosinus und Sinus herzustellen, kann man ganz
einfach eine Gleichung mit Hilfe des Satzes von Pythagoras herleiten:
8.1
Defintion am Einheitskreis
Um die beiden Funktionen einzuführen, stellen wir uns am besten einen Uhrzeiger
der Länge 1 vor, der im Koordinatensystem im Punkt (0,0) festgemacht ist und
sich gegen den Uhrzeigersinn dreht. Wenn sich der Zeiger einmal um den Nullpunkt
dreht, entstehen alle Winkel zwischen 0 und 360 Grad.
Für jeden Winkel entsteht ein rechtwinkeliges Dreieck, in dem
Dabei ist wichtig, dass der Winkel immer gegen den Uhrzeiger gemessen wird! wir den Satz des Pythagoras anwenden können:
Wir interessieren uns nun für zwei bestimmte Strecken, die man für jeden Winkel
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
einzeichnen kann:
Neben dem Sinus und Cosinus, lässt sich nun auch der Tangens als Strecke
am Einheitskreis definieren:
Die Strecke
bezeichnen wir als Sinus und
als Cosinus.
Grundsätzlich sind diese Funktionen nicht so einfach mit der Hand auszurechnen, man verwendet dafür meist Taschenrechner oder Computer. Für manche
Werte kann man Cosinus und Sinus aber am Einheitskreis ablesen:
-1-
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8.2
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TRIGONOMETRIE
Die Winkelfunktionen in rechtwinkeligen Dreiecken
Als nächstes wollen wir rechtwinkelige Dreiecke betrachten. Nach Wahl eines
Winkels α, werden die Seiten (in Bezug auf α) folgendermaßen bezeichnet:
sin(30◦ ) =
Gegenkathete
Hypotenuse
sin(60◦ ) =
h
a
=
1
2
√
=
1
2
3
Für 45◦ kann man sich die Werte beispielsweise über die Diagonale eines
Quadrates herleiten.
√
Es gilt: sin(45◦ ) = cos(45◦ ) = 12 2
Kennt man für diese Winkel die Funktionswerte von Cosinus und Sinus kann man
damit auch gleich die des Tangens berechnen.
Weiters kann man sich noch zu diesen bekannten Werten im ersten Quadranten
überlegen, wie diese in den anderen Quadranten aussehen.
In rechtwinkeligen Dreiecken mit 0 < α < 90 gilt:
sin(α) =
Gegenkathete
Hypotenuse ,
cos(α) =
Ankathete
Hypotenuse ,
tan(α) =
Gegenkathete
Ankathete
Kennt man von einem rechtwinkeligen Dreieck nur eine Seitenlänge und einen
Winkel oder nur zwei Seitenlängen, dann kann man mit diesen Beziehungen die
restlichen Seitenlängen und Winkel berechnen.
8.2.1
Anwendungsbeispiel: Berechnung von Werten ohne TR
Neben den Werten für 0◦ , 90◦ , 180◦ und 270◦ gibt es noch einige andere Werte, die
Allgemein gilt also:
man ohne Taschenrechner berechnen kann.
sin(α) = sin(180◦ − α) = − sin(180◦ + α) = − sin(360◦ − α) = sin(α + 360◦ )
Für 30 und 60 kann man sich die Werte über ein gleichseitiges Dreieck herleiten: cos(α) = − cos(180◦ − α) = − cos(180◦ + α) = cos(360◦ − α) = cos(α + 360◦ )
tan(α) = − tan(180◦ − α) = tan(180◦ + α) = − tan(360◦ − α) = tan(α + 360◦ )
◦
◦
8.3
Nach Pythagoras gilt: a2 = ( a2 )2 + h2 ⇒ h2 = a2 −
cos(60◦ ) =
◦
cos(30 ) =
Ankathete
Hypotenuse
h
a
=
1
2
√
=
a
2
a
=
a
2a
=
a2
4
=
3a2
4
Die Winkelsätze
Um fehlende Größen auch in nicht rechtwinkeligen Dreiecken zu berechnen, kann
man Winkelsätze herleiten, die in jedem beliebigen Dreieck gelten.
1
2
Sinussatz:
3
-2-
a
sin(α)
=
b
sin(β)
=
c
sin(γ)
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Cosinussatz:
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TRIGONOMETRIE
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos(α)
b2 = a2 + c2 − 2ac · cos(β)
2
2
cos(φ) =
2
c = a + b − 2ab · cos(γ)
p1
r ,
sin(φ) =
p2
r
⇒ p1 = r · cos(φ) und p2 = r · sin(φ)
8.4.2
8.4
Umrechnung von Cartesische- in Polarkoordinaten
Polarkoordinaten
Wieder können wir mit dem rechtwinkeligen
Dreieck arbeiten und den Satz des
p
2 + p2
Pythagoras
anwenden:
r
=
p
1
2
Neben den Cartesischen Koordinaten gibt es noch eine andere Möglichkeit, Punkte
in der Ebene zu beschreiben. Wir beschränken uns dabei auf Punkte, für die P6=0 gilt:
Weiters gilt: tan(φ) = pp12
In Cartesischen Koordinaten ist P = (p1 , p2 )
Will man den Punkt P mit Polarkoordinaten beschreiben, gibt man den Winkel φ
⇒ φ = arctan( pp21 )
und den Radius r an:
P = (r; φ)
8.5
Die Normalprojektion
Eine weitere Verwendung findet der Cosinus in der Normalprojektion.
Anschaulich leuchtet man bei der Normalprojektion von oben auf den Vektor
b und will wissen, wie lange der Schatten auf dem Vektor a ist. Dabei wird der
Schatten mit ba bezeichnet und es gilt:
8.4.1
Umrechnung von Polar- in Cartesische Koordinaten
Betrachtet man die Zeichnung, erkennt man ein rechtwinkeliges Dreieck, in dem wir
die Winkelfunktionen anwenden können:
-3-
| ba |=| b | · cos(φ)
8
8.6
TRIGONOMETRIE
Das Bogenmaß
8.7
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Einige Eigenschahften von Cosinus und Sinus
Bis jetzt hat der Uhrzeiger immer nur eine Umdrehung gemacht. Was aber passiert,
Bis jetzt haben wir den Winkel immer in Grad angegeben, es gibt allerdings noch wenn er sich weiterdreht, der Winkel also > π (360◦ ) ist?
eine andere Möglichkeit, nämlich das Bogenmaß. Dabei gibt man die Länge des
Kreisbogens an, der zum Winkel gehört, wobei dabei zu beachten ist, dass die Länge
des Kreisbogens vom Radius abhängt.
Man sieht, dass der Zeiger bei 60◦ und bei 420◦ auf der gleichen
Position steht, dh. die Funktionswerte von Cosinus und Sinus sind gleich.
b und b’ bezeichnet die Bogenlänge,
s und s’ die dazugehörige Sehnenlänge.
Aufgrund der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt:
s
s0
b
b0
r = r 0 und ebenso r = r 0 .
Man sieht, dass die zweite Gleichung unabhängig vom Radius ist und definiert daher:
Definition
Das Bogenmaß eines Winkels ist der Quotient a =
Winkelbogens mit dem Radius r ist.
b
r,
wobei b die Länge eines
Allgemein gilt für 0 ≤ α ≤ 2π:
sin(α + 2π) = sin(α)
cos(α + 2π) = cos(α)
Man spricht in diesem Fall von einer periodischen Funktion. Die Periode
bezeichnet die Länge, ab der sich der Funktionswerte wiederholen. Im Fall von
Cosinus und Sinus beträgt die Periode 2π.
Neben der Periodizität von Cosinus und Sinus kann man noch ablesen, dass gilt:
cos(−α) = cos(α) (symmetrisch)
sin(−α) = − sin(α) (antisymmetrisch)
Wenn man r = 1 wählt, gilt: a = 1b = b, dh. das Bogenmaß ist gleich der Länge
des Winkelbogens mit dem Radius 1.
Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmaß
Bezeichnet a das Bogenmaß und g das Gradmaß, dann gilt die Beziehung:
g
a
π = 180
Weiters sieht man aus der Zeichnung, dass Cosinus und Sinus nur Werte zwischen
-1
und 1 annehmen: −1 ≤ cos(α) ≤ 1 und −1 ≤ sin(α) ≤ 1
Denn wir wissen ja, dass im Einheitskreis 180◦ dem halben Kreisumfang r · π Man spricht in so einem Fall von einer beschränkten Funktion.
entspricht und daher gilt:
π
π
◦
◦
180◦ = r·π
r = π ⇒ 1 = 180 ⇒ g = 180 · g = a
Wir können uns außerdem noch überlegen, welches Vorzeichen die Winkelfunktionen in den Quadranten I - IV haben:
Somit gilt nun z.B.: cos(90◦ ) = cos( π2 ) = 0 oder sin(270◦ ) = sin( 3π
2 ) = −1
-4-
8
Für den Sinus gilt:
0≤α≤π:+
π ≤ α ≤ 2π : −
8.8
TRIGONOMETRIE
8.9
Für den Cosinus gilt:
0 ≤ α ≤ π2 und
≤ α ≤ 3π
4 :−
π
2
3π
4
≤ α ≤ 2π: +
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Die Arcusfunktionen
Wir wissen jetzt schon, dass verschiedene Winkel gleichen Sinus, Cosinus oder
Tangens haben können. Wenn man sich aber auf passende Bereiche einschränkt,
dann findet man zu einem gegebenen Wert der Winkelfunktionen einen eindeutigen
Winkel:
Die Graphen von Cosinus und Sinus
1. Für jedes x ∈ [−1, 1] gibt es einen eindeutigen Winkel α ∈ [0, π], sodass
cos(α) = x gilt. Dieser Winkel wird mit arccos(x) bezeichnet und
Arcuscosinus von x genannt.
Mit Hilfe des Bogenmaß wollen wir uns nun überlegen, wie die Funktionsgraphen
von Cosinus, Sinus und Tangens ausschauen.
Sinus und Cosinus:
2. Für jedes x ∈ [−1, 1] gibt es einen eindeutigen Winkel α ∈ [− π2 , π2 ], sodass sin(α) = x gilt. Dieser Winkel wird mit arcsin(x) bezeichnet und
Arcussinus von x genannt.
3. Für jedes x ∈ R gibt es einen eindeutigen Winkel α ∈ (− π2 , π2 ), sodass
tan(α) = x gilt. Dieser Winkel wird mit arccos(x) bezeichnet und
Arcustangens von x genannt.
Tangens:
Arcuscosinus, Arcussinus und Arcustangens können als Funktionen betrachtet
werden. Die zugehörigen Graphen sehen dann folgendermaßen aus:
-5-
8
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7. Rechne S = (1; 130◦ ) und T = (10; 300◦ ) in Cartesische Koordinaten um.
Lösungen:
1. a) 34 π b) 16 π c) 43 π
2. a) 135◦ b) 120◦ c) 126◦
3. c = 6, 67, α = 54, 16◦ , β = 35, 84◦
4. b = 7, 52, α = 44, 35◦ , β = 48, 65◦
8.10
BEISPIELE
5. e = 9, 83, f = 8, 39 (wobei mit e und f die beiden Diagonalen bezeichnet
werden), c = 6, 9, γ = 80◦ , δ = 90◦
1. Rechne das Gradmaß ins Bogenmaß um.
a) 135◦ b) 30◦ c) 240◦
6. P = (3, 16; 18, 43◦ ), Q = (4, 12; 345◦ )
2. Rechne das Bogenmaß ins Gradmaß um.
a) 3π
b) 2π
c) 7π
4
3
10
7. S = (−0, 642; 0, 766), T = (5; −8, 66)
3. Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man zwei Seiten:
a = 5, 4 und b = 3, 9. Berechne die dritte Seite und die Winkel des Dreiecks!
4. Von einem beliebigen Dreieck kennt man a = 7, c = 10 und γ = 87◦ .
Berechne die Seite b und die restlichen Winkel!
5. Von einem Viereck kennt man a = 6, b = 6, d = 7, α = 80◦ und β = 110◦ .
Berechne die übrigen Seiten und Winkel!
6. Berechne die Polarkoordinaten von P = (3, 1) und Q = (4, −1).
-6-