¨Ubungsblatt 2

Abteilung Empirische
Wirtschaftsforschung
Dr. Markus Haas
Mathematik WS 2010/11
Übungsblatt 2
Elastizität
Aufgabe 1:
Finden Sie die Elastizitäten der durch die folgenden Formeln gegebenen Funktionen:(Sydsaeter/Hammond
[S/H], Aufgabe 7.7.1)
a)
3x−3
b)
−100x100
c)
√
x
d)
A
√
x x
(A ist eine Konstante)
Aufgabe 2:
Für den Zeitraum 1927 bis 1941 wurde die Nachfrage D nach Äpfeln in den USA als Funktion des
Einkommens r geschätzt als D = Ar1.23 , wobei A eine Konstante ist. Finden und interpretieren Sie die
Elastizität von D bezüglich r. (Diese Elastizität heißt die Einkommenselastizität der Nachfrage oder die
Engel-Elastizität.)
(Sydsaeter/Hammond [S/H], Aufgabe 7.7.6)
Aufgabe 3:
Bestimmen Sie Elx Af (x) und Elx [A+f (x)] in Abhängigkeit von Elx f (x). (A ist eine positive Konstante)
(Sydsaeter/Hammond [S/H], Aufgabe 7.7.9)
Univariate Optimierung
Aufgabe 4:
Bezeichne y die durchschnittliche wöchentliche Menge an Schweinefleisch, die 1948 (in Millionen Pfund)
in Chicago hergestellt wurde und sei x der gesamte wöchentliche Arbeitsaufwand (in Tausend Stunden).
Nichols schätzte den Zusammenhang
y = −2.05 + 1.06x − 0.04x2
Bestimmen Sie den Wert von x, der y maximiert, indem Sie die Variation des Vorzeichens von y0 untersuchen. (Sydsaeter/Hammond [S/H], Aufgabe 8.2.1)
Aufgabe 5:
a) Der Preis, den ein Unternehmen aus der Produktion und dem Verkauf von Q Einheiten eines Gutes
1
erzielt, ist P = 102 − 2Q pro Einheit, während die Kosten C = 2Q + Q2 sind. Bestimmen Sie die
2
Gewinnfunktion und den Wert von Q, der den Gewinn maximiert.
1
Abteilung Empirische
Wirtschaftsforschung
Dr. Markus Haas
Mathematik WS 2010/11
b) Es wird eine Steuer der Höhe t pro produzierter Einheit erhoben. Welcher Wert von Q maximiert
jetzt den Gewinn, wenn t < 100 ? Welches Ergebnis erhalten Sie, wenn Sie in ihrer Antwort t = 0
setzen ?
(Sydsaeter/Hammond [S/H], Aufgabe 8.3.2)
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum von jeder Funktion über dem angegebenen Intervall:
(Sydsaeter/Hammond [S/H], Aufgabe 8.4.2)
a)
f (x) = −2x − 1
c)
f (x) =
e)
f (x) = x3 − 4500x2 + 6 · 106 x
x2 + 1
x
[0, 3]
1
[ , 2]
2
b)
f (x) = x3 − 3x + 8
d)
f (x) = x5 − 5x3
[−1, 2]
√
[−1, 5]
[0, 3000]
Lokale Extrempunkte
Aufgabe 7:
Bestimmen Sie mögliche lokale Extrempunkte und Extremwerte für die folgenden Funktionen: (Sydsaeter/Hammond [S/H], Aufgabe 8.6.2)
a)
f (x) = −2x − 1
b)
f (x) = x3 − 3x + 8
d)
f (x) = x5 − 5x3
e)
f (x) =
1 2
x − 3x + 5
2
1
x
c)
f (x) = x +
f)
f (x) = x3 + 3x2 − 2
Wendepunkte
Aufgabe 8:
Bestimmen Sie lokale Extrempunkte und Wendepunkte für die durch die folgenden Formeln definierten
Funktionen: (Sydsaeter/Hammond [S/H], Aufgabe 8.7.3)
a)
y = (x + 2)e−x
b)
y = ln x + 1/x
c)
y = x3 e−x
d)
y = (ln x)/x2
e)
y = e2x − 2ex
f)
y = (x2 + 2x)e−x
2