Zahlen und elementares Rechnen

Natürliche Zahlen
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Reelle Zahlen
Grundlegende Rechenregeln
Zahlen und elementares Rechnen
Dr. Christian Serpé
4. September 2006
Natürliche Zahlen
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Gliederung
1
Natürliche Zahlen
2
Ganze Zahlen
3
Rationale Zahlen
4
Reelle Zahlen
5
Grundlegende Rechenregeln
Reelle Zahlen
Grundlegende Rechenregeln
Natürliche Zahlen
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Reelle Zahlen
Grundlegende Rechenregeln
Natürliche Zahlen
Die natürlichen Zahlen
{1, 2, 3, 4, . . . }
benutzt man zum Zählen. Die Menge der natürlichen Zahlen
bezeichnen wir mit
N := {1, 2, 3, . . . }.
Soll die 0 auch dabei sein, so schreiben wir
N0 := {0, 1, 2, 3, . . . }.
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Grundlegende Rechenregeln
Leopold Kronecker
Leopold Kronecker (1823-1891):
”Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles
andere ist Menschenwerk.”
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Addition und Multiplikation von natürlichen Zahlen
Zwei natürliche Zahlen kann man addieren.
Zum Beispiel:
4 + 7 = 11
8 + 13 = 21
Ebenso kann man zwei natürlich Zahlen multiplizieren.
Zum Beispiel:
3 · 4 = 12
7 · 9 = 63
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Die Ordnung natürlicher Zahlen
Zwei natürlich Zahlen kann man miteinander vergleichen.
Zum Beispiel:
4 < 7
8 < 11
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Eigenschaften natürlicher Zahlen
Zusammengefasst hat die Menge N folgende Strukturen:
Addition
Multiplikation
Totale Ordnung
Natürliche Zahlen
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Grundlegende Rechenregeln
Problem der natürlichen Zahlen
Die Subtraktion ist innerhalb der natürlichen Zahlen im
Allgemeinen nicht ausführbar.
Zum Beispiel:
5 − 7 ist keine natürliche Zahl.
Dies führt uns zu den ganzen Zahlen.
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Ganze Zahlen
Die Menge der ganzen Zahlen bezeichnen wir mit
Z := {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }.
Wie auch für die natürlichen Zahlen kann man zwei ganze
Zahlen
addieren,
multiplizieren
und vergleichen.
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Existenz vom additiven Inversen
Zusätzlich gilt für die ganzen Zahlen das Folgende:
Zu jeder ganzen Zahl a ∈ Z gibt es eine (eindeutig
bestimmte) ganze Zahl b ∈ Z, so dass a + b = 0 gilt.
b nennt man dann das additive Inverse von a und es wird
auch einfach mit −a bezeichnet.
Zum Beispiel:
5 + (−5) = 0
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Subtraktion
Die Subtraktion ist nun einfach die Addition mit dem additiven
Inversen:
a − b := a + (−b)
Zum Beispiel:
5 − 7 = 5 + (−7) = −2
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Eigenschaften ganzen Zahlen
Zusammengefasst hat die Menge Z folgende Strukturen und
Eigenschaften:
Addition
Existenz von additiven Inversen
Multiplikation
Totale Ordnung
Natürliche Zahlen
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Reelle Zahlen
Grundlegende Rechenregeln
Problem der ganzen Zahlen
Die Division ist innerhalb der ganzen Zahlen im Allgemeinen
nicht ausführbar.
Zum Beispiel:
5 : 7 ist keine ganze Zahl.
Dies führt uns zu den rationalen Zahlen.
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Rationale Zahlen
Wir bezeichnen mit
Q := Menge aller Brüche
die Menge der rationalen Zahlen.
Jede rationale Zahl ist von der Form
a
mit a, b ∈ Z und b 6= 0,
b
dabei heißt a der Zähler und b der Nenner.
Zum Beispiel:
3 7
, , ...
4 5
Grundlegende Rechenregeln
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Vorsicht
Vorsicht! Die Darstellung einer rationalen Zahl als Bruch ist
nicht eindeutig.
Zum Beispiel:
2
4
−1
1
= = =
4
8
−2
2
Mit anderen Worten: Man kann Brüche kürzen und erweitern
ohne ihren Wert zu verändern.
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Addition von rationalen Zahlen
Das Rechnen mit rationalen Zahlen ist etwas komplizierter:
Addition:
Brüche mit gleichem Nenner werden addiert, indem die Zähler
addiert werden:
Zum Beispiel:
4 7
11
+ =
5 5
5
Brüche mit verschiedenen Nennern bringt man erst durch
Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner und addiert sie
dann.
Zum Beispiel:
26
12 14
4 2
+
=
+ =
21 21
21
7 3
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Multiplikation von rationalen Zahlen
Multiplikation:
Die Multiplikation geht nach der Regel: ” Zähler mal Zähler und
Nenner mal Nenner”
Zum Beispiel:
3·2
6
1
3 2
=
=
· =
4·3
12
2
4 3
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Die Ordnungsrelation auf den rationalen Zahlen
Zwei rationale Zahlen kann man auch miteinander vergleichen.
Dazu bringt man sie auf einen gemeinsamen positiven Nenner
und vergleicht dann ihre Zähler.
Zum Beispiel:
Wir wollen 57 und 68 vergleichen:
5
7
6
8
40
5
=
7
56
=
=
<
40
56
42
56
42
6
=
56
8
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Existenz vom multiplikativen Inversen
Die rationalen Zahlen haben zusätzlich folgende Eigenschaft:
Zu jeder rationalen Zahl a 6= 0 gibt es eine (eindeutig
bestimmte) rationale Zahl b, so dass a · b = 1 gilt.
b heißt das multiplikative Inverse zu a und wird häufig auch
mit a−1 oder auch mit a1 bezeichnet.
7
Ist zum Beispiel a = 11
so ist a−1 = 11
7 .
Denn:
77
7 11
·
=
=1
11 7
77
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Division in den rationalen Zahlen
Die Division ist nun einfach die Multiplikation mit dem
multiplikativen Inversen,
a : b := a · b−1 ,
und ist immer ausführbar falls b 6= 0 ist.
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Eigenschaften rationaler Zahlen
Zusammengefasst hat die Menge Q folgende Strukturen und
Eigenschaften:
Addition
Existenz von additiven Inversen
Multiplikation
Existenz von multiplikativen Inversen
Totale Ordnung
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Rationale Zahlen und der Zahlenstrahl
Man kann rationale Zahlen als Punkte auf dem Zahlenstrahl
auffassen:
...
-2
-1
0
1
2
...
Man stellt nun fest, dass es Punkte auf dem Zahlenstrahl gibt,
die keiner rationalen Zahl entsprechen:
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Eine nicht rationale Zahl auf dem Zahlenstrahl
Wir betrachten folgendes rechtwinklige gleichschenklige
Dreieck auf dem Zahlenstrahl:
...
-2
-1
0
1
√
2
...
Nach dem
√ Satz von Pythagoras ist die Länge der Hypotenuse
gerade 2.
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√
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2 ist nicht rational
Man kann nun durch eine kleine Überlegung zeigen, dass es
keine √
rationale Zahl gibt, deren Quadrat 2 ist.
Also: 2 ist nicht rational.
Die führt uns zu den reellen Zahlen.
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Platon
Platon (427-348 vor Chr.) schreibt in einem Brief an Kleinias,
dass ein Mensch,
√ der nicht im Innersten erschüttert ist, wenn er
erfährt, dass 2 nicht rational ist, gefühlsmässig einem
Rindvieh gleiche.
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Reelle Zahlen
Die reellen Zahlen mathematisch korrekt zu definieren ist etwas
komplizierter (und auch nur für Mathematiker wichtig).
Wir begnügen uns hier mit einer naiveren Sichtweise.
Wir bezeichnen mit
R := Menge aller Punkte auf dem Zahlenstrahl
die Menge der reellen Zahlen.
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Unendliche Dezimalbrüche
Es gilt:
Jede reelle Zahl lässt sich als unendlicher
Dezimalbruch darstellen und jeder unendliche
Dezimalbruch definiert eine reelle Zahl.
Dabei entsprechen den rationalen Zahlen gerade die
endlichen und die periodischen Dezimalbrüche.
Zum Beispiel:
√
2 = 1, 41421356 . . .
Eine solche Darstellung ist aber nicht eindeutig, und es ist
schwierig mit unendlichen Dezimalbrüchen zu rechnen.
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Eigenschaften reeller Zahlen
Auf der Menge R hat man die gleichen Strukturen und
Eigenschaften wie auf den rationalen Zahlen:
Addition
Existenz von additiven Inversen
Multiplikation
Existenz von multiplikativen Inversen
Totale Ordnung
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Eigenschaften reeller Zahlen
Zusätzlich hat man folgende Eigenschaft:
”R ist vollständig.”
Die ”Vollständigkeit” kann zum Beispiel so formuliert werden:
Jede nach oben beschränkte Teilmenge von R hat
eine kleinste obere Schanke.
Was das genau bedeutet, soll hier jetzt aber nicht näher
erläutert werden.
Diese zusätzliche Eigenschaft ist vor allem wichtig, wenn man
Analysis betreiben will.
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Existenz von Quadratwurzeln in R
Eine Konsequenz der ”Vollständigkeit” ist:
Jede positive reelle Zahl hat eine positive
Quadratwurzel, d.h. zu jeder positiven reellen Zahl
a ∈ R gibt es eine eindeutig bestimmte positive Zahl
b ∈ R mit der Eigenschaft,
dass b2 = a gilt. Diese wird
√
abkürzend mit a bezeichnet.
Dies ist nicht klar, sondern ein kleiner mathematischer Satz,
der bewiesen werden muss. Aber nicht hier.
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Quadratwurzeln in R
Ist b ∈ R mit b2 = a folgt natürlich auch:
(−b) · (−b) = (−1) · (−1) · b2 = b2 = a.
Andererseits gibt es für ein negatives a ∈ R keine Zahl b ∈ R
mit b2 = a, da (wegen (−1) · (−1) = 1) jedes Quadrat einer
reellen Zahl positiv oder 0 ist.
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Existenz von n-ten Wurzeln
Ist n ∈ N eine beliebige natürliche Zahl, so kann man
allgemeiner Folgendes beweisen:
Jede positive reelle Zahl hat eine eindeutig bestimmte
positive n-te Wurzel, d.h. zu jeder positiven reellen
Zahl a ∈ R gibt es eine eindeutig bestimmte positive
Zahl b ∈ R mit der Eigenschaft, √
dass bn = a gilt. Diese
wird abkürzend einfach mit b = n a bezeichnet.
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Komplexe Zahlen
Will man auch Quadratwurzeln aus negativen Zahlen haben, so
muss man die reellen Zahlen abermals erweitern und eine
neue Zahl i mit der Eigenschaft i 2 = −1 einführen . Dies führt
zur Menge der komplexen Zahlen C.
Dies soll aber hier nicht näher erläutert werden.
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Zusammenfassung
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
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Rechenregeln
Für die reellen Zahlen a, b, c ∈ R (und genauso für die ganzen,
natürlichen, rationalen und sogar für die komplexen Zahlen)
gelten die folgenden Rechenregeln:
Kommutativgesetz der Addition
a+b =b+a
Assoziativgesetz der Addition
(a + b) + c = a + (b + c)
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Kommutativgesetz der Multiplikation
a·b =b·a
Assoziativgesetz der Multiplikation
(a · b) · c = a · (b · c)
Distributivgesetz
(a + b) · c = a · c + b · c
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Beispiel
Zum Beispiel kann man folgende Rechnung mit diesen Regeln
durchführen:
(1 − a) · (1 + a + a2 + a3 ) = (1 + a + a2 + a3 ) − a(1 + a + a2 + a3 )
= (1 + a + a2 + a3 ) − (a + a2 + a3 + a4 )
= 1 − a4
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Potenzen mit natürlichen Zahlen
Die Potenzrechnung bereitet vielen Studienanfängern
schwierigkeiten. Deshalb hier eine kleine Wiederholung.
Dazu sei y eine positive reelle Zahl. Ist n eine natürliche Zahl
so definiert man:
y n := y · y · · · · · y
|
{z
}
n−mal
Also zum Beipiel:
y3 = y · y · y
y5 = y · y · y · y · y
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Potenzen mit natürlichen Zahlen II
Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden
Potenzgesetzte für natürliche Zahlen n und m:
y n+m = y n · y m
(y n )m = y n·m
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Potenzen mit ganzen Zahlen
Ist n = 0, so definiert man
y n = y 0 := 1,
und ist n ∈ Z negativ, so definiert man
y n :=
1
y −n
.
Beachten Sie, dass die Definition gerade so gemacht ist, dass
die obigen Potenzgesetzte erhalten bleiben.
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Potenzen mit rationalen Zahlen
Damit obige Gesetze auch für rationale Exponenten erhalten
bleiben, muss man es wie folgt machen:
√
m
y n := ( n y )m
Hierbei ist es wichtig, dass y eine positive (!) reellen Zahl ist
und dass m
n eine Darstellung des rationalen Exponenten ist,
indem n eine natürliche Zahl ist.
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Potenzen mit reellen Zahlen
Ist nun x eine reelle Zahl, so ist es ein wenig schwieriger y x zu
definieren. Es geht ungefähr so:
Dazu nähert man x durch eine rationale Folge ak ∈ Q und
betrachtet dann die Folge y ak . Der sogenannte Grenzwert
dieser Folge wir als y x definiert.
Dies mathematisch präzise und korrekt zu machen ist ein
bisschen schwieriger und soll hier jetzt nicht diskutiert werden.
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Potenzgesetze
Hier sind noch mal zusammengefasst die wichigsten Regeln für
das Rechnen mit Potenzen:
Sind x, y ∈ R positive reelle Zahlen und a, b ∈ R beliebige
reelle Zahlen so gilt:
(xy )a = x a · y a
(x a+b ) = x a · x b
(x a )b = x ab
x0 = 1
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Potenzgesetze
x −a =
1
x2 =
1
n
x =
√
n
1
xa
√
x
x, für ein n ∈ N
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