Lösungen zu Übungsblatt 5 1. RL-Stromkreis

Physik Department, Technische Universität München, PD Dr. W. Schindler
ÜBUNGEN ZU EXPERIMENTALPHYSIK 2 - SS 13
Lösungen zu Übungsblatt 5
1. RL-Stromkreis
Eine Zylinderspule (Durchmesser d = 3.2 cm, Länge l = 15 cm, Windungszahl N = 1200) wird über einen Reihenwiderstand R = 120 ⌦ zur Zeit t0 = 0 durch Schließen des Schalters S mit einer Gleichspannungsquelle U0 = 7.6 V
verbunden.
(a) Berechnen Sie die Induktivität L der Spule.
(b) Stellen Sie eine Differentialgleichung für den zeitlichen Verlauf des Stromes I(t) auf.
(c) Die Differentialgleichung wird gelöst durch eine Funktion vom Typ
I(t) = I0 (1
exp (
t)) .
Bestimmen Sie die Parameter I0 und mit Hilfe der Randbedingungen für t ! 1 und t = 0, um die Lösung I(t) der
Differentialgleichung zu erhalten.
Tipp: Setzen Sie obigen Ansatz und dessen Ableitung in die Differentialgleichung aus (b) ein und überlegen Sie, was für
t ! 1 bzw. t = 0 passiert.
(d) Berechnen Sie das Magnetfeld in der Spule für t ! 1.
(e) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf von I(t).
(a): Die Induktivität kann aus der gegebenen Spulengeometrie berechnet werden:
✓
◆2
N2
Vs 12002
0.032 m
Vs
L = µ0
A = 4⇡ · 10 7
·
⇡·
= 9.7 · 10 3
= 9.7 · 10
l
Am 0.15 m
2
A
3
H
(b): Anwendung der Maschenregel liefert einen Zusammenhang für die Spannungen:
U0 = UL + UR
Diese können über den Strom ausgedrückt werden über den Spannungsabfall UR am Widerstand und der induzierten Spannung UL in der Spule:
UR = RI
UL =
Einsetzen liefert die DGL:
I+
Uind = L
L dI
R dt
dI
dt
U0
=0
R
1
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2
(c): Ansatz:
I(t) = I0 (1
exp (
t))
dI
(t) = I0 exp ( t)
dt
Einsetzen in die Differentialgleichung aus (b):
L
U0
I0 (1 exp ( t)) +
I0 exp ( t)
=0
R
R
Nutzung der Randbedingungen (siehe Skript Seite 118):
Für t ! 1:: (d. h. nach langer Zeit) ist der Einschaltvorgang abgeschlossen und I (t) wird stationär, d. h.
dI
dt = 0. Damit reduziert sich die DGL zu:
I0
U0
=0
R
U0
I0 =
= 63.3 mA
R
Für t = 0:: (d. h. in dem Moment, in dem der Schalter geschlossen wird) fließt kein Strom, d. h. I (0) = 0.
Die induzierte Spannung ist gleich der Batteriespannung. Eingesetzt in die DGL:
L
U0
I0
=0
R
R
U0
R
=
=
I0 L
L
Mit den Ergebnissen aus beiden Randbedingungen ergibt die Abhängigkeit des Stroms von der Zeit:
✓
✓
◆◆
U0
R
I (t) =
1 exp
t
R
L
(d):
B (t ! 1) = µ0
N
I0 = 6.36 · 10
l
4
T
(e):
Die y-Achse ist dabei in Einheiten von I0 , die x-Achse in Einheiten von
1
.
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3
2. RC-Stromkreis
a)
b)
Am Eingang der beiden oben gezeigten Stromkreise ist eine Wechselspannung Uin (t) = Û cos(!t) angelegt. Berechnen
Sie für beide Fälle die Ausgangsspannung Uout ! Bei welcher Schaltung handelt es sich um einen Hoch- bzw. um einen
Tiefpass?
1
PS: Da der Widerstand eines Kondensators eigentlich eine komplexe Zahl ist (XC = i!C
), ist die Summe eines Ohmschen
p
2.
und eines kapazitiven Widerstandes: |R + XC | = R2 + RC
Diese einfachen Frequenzfilter (1. Ordnung) kann man
auch als frequenzabhängige Spannungsteiler betrachten.
Ein Spannungsteiler ist eine Reihenschaltung von minRi
Ui
destens zwei Widerständen, die verwendet wird, um eine
Eingangsspannung Uin aufzuteilen. Der Strom, der durch Uin
die Reihenschaltung fließt, ist überall gleich groß, nämlich
in
I = RUGes
. Die Spannung, die an einem einzelnen Widerstand abfällt, ist dann dementsprechend Ui = Ri ⇤ I.
Setzt man hier die Gleichung von oben ein, sieht man, dass
Ui
Uin
Ri = RGes .
Beim Frequenzfilter ersetzt man einen der Widerstände durch einen frequenzabhängigen komplexen Widerstand, z.B.
einen Kondensator.
Schaut man sich die Schaltbilder aus der Aufgabe an, sieht man, dass es sich eigentlich um den gleichen Spannungsteiler handelt. Einmal wird jedoch die Ausgangsspannung Uout am Kondensator abgegriffen und einmal am Ohmschen
Widerstand.
Für Teilaufgabe a) ergibt sich:
Ui
Ri
=
Uin
RGes
Ûout
|ZC |
=
Û
|ZGes |
Ûout
RC
=p
Ûout =
Û
2 +R2
RC
r Û
2
1+ R2
R
Ûout = p
C
Û
1+(!RC)2
Für b) erhält man analog:
Ûout =
q
Û
1+
1
(!RC)2
Bei a) wird der Nenner mit steigender Frequenz größer und die Ausgangsspannung kleiner, es handelt sich also um einen
Tiefpass. Bei b) wird der Nenner mit steigender Frequenz kleiner und die Ausgangsspannung größer, es handelt sich also
um einen Hochpass.
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3. Netzwerk
Gegeben sei eine Brückenschaltung wie in nebenstehender
Abbildung. Es gilt L = 10 mH, RL = 1 k⌦, RC = 10 k⌦.
Am Eingang der Brücke liege die Wechselspannung Uin
an. Die Widerstände RL und RC sind so gewählt, dass die
Spannung UB zu Null abgeglichen ist.
(a) Berechnen Sie die unbekannte Kapazität C.
(b) Warum ist es unmöglich die Induktivität L durch eine beliebige Kapazität C2 in gleicher Position zu ersetzen,
wenn die Brücke weiterhin für Wechselspannung abgeglichen bleiben soll.
(a) Brücke abgeglichen ! UB = 0
=) beide parallele Spannungsteiler müssen gleich sein
RL
i!L
=
RL RC =
C=
L
RL R C
1
i!C
RC
i!L
i!C
=
= 10
L
C
9F
1
i!C
(b) R1L = R 1
C
i!C
2
RL RC =
1
i!C1 i!C2
=
1
! 2 C 1 C2
!! RL RC kann nicht negativ werden. Ersetzt man L durch C2 hat die Phasendrehung
in beiden Ästen der Brücke unterschiedliches Vorzeichen.