5.6. Beispiele zum Erwartungswert und zur Varianz.

5.6 Beispiele zum Erwartungswert und zur Varianz.
(a) Exponentialverteilung. Sei X eine exponentiell verteilte Zufallsvariable 1,
d.h., für ein λ > 0 besitze PX die Dichte
f (x) = I[0,∞) (x)λ exp(−λx),
x ∈ R.
Dann gilt 2:
3
E[X] =
λ
Z
∞
dx x exp(−λx)
∞
Z ∞
−y exp(−λy)
+
dx exp(−λx)
0
y=0
{z
}
|
{z
} |
= 1/λ
=0
0
=
4
=
1
,
λ
2
E[X ] =
5
Z
∞
dx x2 exp(−λx)
∞
Z ∞
2
−y exp(−λy)
+2
dx x exp(−λx)
0
y=0
{z
}
|
|
{z
}
= E[X]/λ = 1/λ2
=0
λ
=
6
=
2
.
λ2
0
Folglich ist
Var(X) = E[X 2 ] − E[X]2 =
1
.
λ2
(b) Cauchy-Verteilung. Die Verteilung PX besitze für ein a > 0 die Dichte
a
, x ∈ R.
f (x) =
2
π(a + x2 )
Da
Z
0
∞
dx xf (x) =
a
π
Z
0
∞
dx
a2
7
x
= ∞,
+ x2
8
ist E[X+ ] = ∞. Ebenso ist E[X− ] = ∞. Folglich besitzt X keinen Erwartungswert 9.
1Vgl. Abschnitt 2.6. Dort wurden solche Zufallsvariablen zur Modellierung des Zeitpunktes
eines ersten Telefonanrufs verwendet.
2Als positive Zufallsvariable besitzt X auf jeden Fall einen Erwartungswert, der zunächst allerdings gleich ∞ sein könnte, vgl. Bemerkung (iv) in Abschnitt 5.3.
3Nach Abschnitt 5.4.
4Mit Hilfe partieller Integration.
5Nach der Bemerkung in Abschnitt 5.4, wobei H(x) = x2 benutzt wird.
6
Mit Hilfe partieller Integration.
7Es wird hier nicht bewiesen, daß diese Funktion f eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf R ist,
R∞
d.h., daß −∞
dx f (x) = 1 gilt.
8X = max{X, 0}, bzw. X = max{−X, 0}, ist der Positivteil, bzw. der Negativteil, einer
+
−
Zufallsvariablen X. Da X+ und X− nichtnegative Zufallsvariablen sind, sind E[X+ ] und E[X− ]
nach Bemerkung (iv) in Abschnitt 5.3 wohldefiniert.
9Als Ergänzung zu Bemerkung (iv) in Abschnitt 5.3 sei erwähnt, daß eine Zufallsvariable X
einen Erwartungswert besitzt, wenn der Positivteil X+ oder der Negativteil X− integrabel ist, vgl.
Fußnote 8. In diesem Fall ist E[X] := E[X+ ] − E[X− ] wohldefiniert. Allerdings kann nun E[X]
auch die Werte +∞ oder −∞ annehmen.
1
2
an
Zur Beschreibung eines typischen, mittleren Werts“ bietet sich hier der Medi”
10
an, d.h. eine Zahl m ∈ R mit
Z m
Z ∞
1
dx f (x) =
dx f (x) = .
2
−∞
m
Hier ist m eindeutig bestimmt und wegen der Symmetrie von f gilt m = 0.
(c) Normalverteilung. Die Verteilung PX der Zufallsvariablen X besitze die
Dichte
(x − µ)2 1
, x ∈ R,
f (x) = √
exp −
2σ 2
2πσ 2
wobei µ ∈ R und σ 2 > 0.
(i) Existenz der Momente der Normalverteilung. Für alle r ≥ 1 gilt:
xµ x2 |x|r f (x) ≤ C|x|r exp − 2 exp 2
2σ
| {zσ }
1 x2
+ µ2
≤ 11 C1 exp 2
σ
4
x2 x2 ≤ C2 |x|r exp − 2 exp − 2
8σ
{z 8σ }
|
≤ C3 , gleichmäßig in x ∈ R
x2 ≤ C4 exp − 2 , x ∈ R,
8σ
wobei
C,
C
,
.
.
.
von
r,
µ
und
σ 2 abhängige positive Konstanten sind. Da
1
R∞
2
dx exp(−βx ) < ∞ für alle β > 0, existieren alle Momente der Normal−∞
verteilung.
(ii) Erwartungswert der Normalverteilung.
Z ∞
dx xf (x)
E[X] =
−∞
Z
(x − µ)2 dx (x − µ) exp −
2σ 2
−∞
|
{z
}
= 12 0
Z ∞
(x − µ)2 1
dx exp −
+µ √
2σ 2
2πσ 2 −∞
{z
}
|
13
=
1
= µ.
1
= √
2πσ 2
∞
(iii) Varianz der Normalverteilung.
Var(X) = E (X − E[X])2
10
Vgl. Abschnitt 2.3.4.
11Beachte, daß
|ab| ≤
”
1 “ a2
+ αb2 ,
2 α
a, b ∈ R, α > 0,
was aus der Beziehung
„
«2
√
|a|
a2
0 ≤ √ − α|b|
=
+ αb2 − 2|ab|,
α
α
a, b ∈ R, α > 0,
folgt. Hier wird a = x, b = µ und α = 2 benutzt.
12Da der Integrand antisymmetrisch bzgl. µ ist.
13
Hier wird eine Wahrscheinlichkeitsdichte über den ganzen Raum R integriert.
21. Dezember 2007
3
Z ∞
(x − µ)2 1
√
dx (x − µ)2 exp −
2σ 2
2πσ 2 −∞
Z
∞
z2
σ2
dz z 2 exp −
= 15 √
2
2π −∞
Z ∞
z2 2 ∞
2
y 1
σ
2
√
dz exp −
+σ
= − √ y exp −
2 y=−∞
2
2π
2π −∞
{z
}
|
{z
}
|
=0
= 16 1
= σ2 .
=
14
Die Parameter µ und σ 2 der Normalverteilung sind nun als Erwartungswert,
bzw. Varianz identifiziert worden.
Weiterhin ist das zweite Moment der Normalverteilung durch
E[X 2 ] = Var(X) + E[X]2 = σ 2 + µ2
gegeben.
14Nach (ii) und der Bemerkung in Abschnitt 5.4. Hier wird H mit H(x) = (x − µ)2 benutzt.
√
Mit der Substitution z = (x − µ)/ σ2 .
16
Hier wird eine Wahrscheinlichkeitsdichte über den ganzen Raum integriert.
15
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