Blatt 5
Werbung
TP2: Elektrodynamik Arbeitsblatt 5 Wintersemester 2014/15 13/14.11.2014 Dynamische Eigenschaften des Elektromagnetischen Feldes II Das Elektromagnetische Feld besitzt, genauso wie Teilchen in der Mechanik, Energie, Impuls und Drehimpuls. Wir betrachten nun weitere Aspekte. Aufgabe 1: Maxwell’scher Stresstensor Während für viele einfache Situationen die Kraft die auf ein System wirkt direkt über die Lorentz-Kraft bestimmt werden kann, kann es in komplizierteren Fällen nahezu unmöglich sein diese Kraft zu bestimmen. In diesem Fall lässt sich die Kraft häufig über den Stresstensor einfacher bestimmen, welcher die Kräfte mit Flächenelementen verknüpft. Dies soll nun hier an einem einfachen Beispiel durchgeführt werden. Betrachten Sie einen elektrischen Dipol, d.h. zwei entgegengesetzte elektrische Punktladungen die sich im Abstand 2d zu einander befinden. a) Bestimmen Sie zunächst das elektrische Feld des Dipols. b) Mit dem Ergebnis können Sie nun den Maxwell’schen Stresstensor bestimmen. c) Bestimmen sie nun die Kraft die zwischen beiden Ladungen wirkt mit Hilfe des Stresstensors. Benutzen Sie als Integrationsoberfläche eine geschlossene Halbkugel wie in der Abbildung dargestellt, in dem Limes das der Radius der Kugel gegen unendlich geht. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Coulomb bzw. Lorentz-Kraft. Hinweis: Das Integral teilt sich auf einmal die Halbkugeloberfläche und die Ebene die Senkrecht zur Verbindungsline der beiden Ladungen verläuft auf. Für den ersten Teil stellen Sie das Integral in Kugelkoordinaten auf. In weiter Entfernung ist der Abstand der Ladungen zu vernachlässigen. Wie hängt der Integrand von r ab? Schließen sie darauf basierend auf das Ergebnis der Integration. Für das zweite Integral beachten Sie, welche Komponenten des Stresstensors verschwinden. Aufgabe 2: Dualität und Dyonen Bis zum heutigen Tag sind noch keine massiven magnetischen Monopole nachgewiesen worden. Es gibt jedoch physikalische Systeme in denen es Quasi-Teilchen gibt, die Eigenschaften solcher Monopole aufweisen. Tatsächlich weisen die Maxwell-Gleichungen durch die Abwesenheit der magnetischen Monopole eine auffällige Assymmetrie zwischen den magnetischen und elektrischen Feldern auf. Wir betrachten nun den Fall es gebe magnetische Monopole als Elementarteilchen. Diese Annahme führt auf die symmetrisierten Maxwellgleichungen. ~ = ρe ∇·E 0 ~ ~ + ∂ B = −µ0~jm ∇×E ∂t ~ = µ0 ρ m ∇·B ~ ~ − µ0 0 ∂ E = µ0~je ∇×B ∂t (1) Hierbei sollen e und m zur Unterscheidung zwischen elektrischen und magnetischen Strömen und Ladungsdichten dienen. Gehen Sie für den Rest dieser Aufgabe von diesen Gleichungen aus. a) Wir führen die Dualitätstransformation ~0 = E ~ cos θ + cB ~ sin θ E ~ 0 = −E ~ sin θ + cB ~ cos θ cB cρ0e = cρe cos θ + ρm sin θ ρ0m = −cρe sin θ + ρm cos θ cj~0 e = c~je cos θ + ~jm sin θ j~0 m = −c~je sin θ + ~jm cos θ (2) ein. Zeigen Sie das die symmetrisierten Maxwellgleichungen invariant unter dieser Transformation sind. b) Leiten Sie die Kontinuitätsgleichung für die magnetische Ladungsdichte her. c) Zeigen Sie, dass auch die Lorentzgleichung invariant unter der Dualitätstransformation ist. d) Zeigen Sie, dass für einen festen Winkel θ die transformierten, symmetrischen Maxwellgleichungen ihrer üblichen Form genügen unter der Annahme, dass das Verhältnis der elektrischen und magnetischen Ladungen und Ströme das gleiche ist für alle Teilchen. Solche Teilchen nennt man Dyonen. Gibt es eine Restriktion bezüglich der Zahl der Magnetischen Monopole, damit dies gilt? Aufgabe 3: Elektromagnetischer Drehimpuls einer Ladung in einem zweidimensionalen Magnetfeld ~ r) = B(x, y)~z Eine Punktladung befindet sich am Koordinatenursprung. Zusätzlich ist ein Magnetfeld B(~ ~ vorhanden. Zeigen Sie, dass der elektromagnetische Drehimpuls gegeben ist durch LEM = −(q/2π)ΦB ẑ, ~ durch die Ebene bei z = 0 ist. Gehen Sie dazu wie folgt vor. wobei ΦB der Fluss von B ~ EM allgemein auf. Verwenden Sie die Vektor Indentität für das doppelte a) Stellen Sie die Formel für L Kreuzprodukt an. Verwenden Sie das elektrische Feld in kartesischen Koordinaten. b) Vereinfachen Sie das Integral soweit wie möglich. Sie treffen auf ein Integral der Form Z ∞ z 2 = 2 3 x + y2 −∞ r c) Schließlich verwenden Sie die Definition des Magnetischen Flusses um das gewünschte Resultat zu erhalten.
