VL 17 und 18

9. Woche 7./8.6.11
8.
Quantentheorie des Drehimpulses
8.1
Bahndrehimpuls
Motivation: Bahndrehimpuls → Zentralfeld → H-Atom → Atomspektren, Orbitale
KM:
L = r×p
QM: Korrespondenzprinzip L → L̂ = r̂ × p̂
(
mit den kartesischen Komponenten L → L̂ = L̂ x , L̂ y , L̂ z
)
+
, z.B. L̂ z = x̂ p̂ y − ŷ p̂ x
2
und dem Betrag des Bahndrehimpulses L̂ = L̂2x + L̂2y + L̂2z .
Aus den kanonische Vertauschungsrelationen
[ x̂ , x̂ ] = 0 , [ p̂ , p̂ ] = 0 , [ x̂ , p̂ ] = ih δ
i
j
i
j
i
j
ij
folgt
[ L̂ , L̂ ] = ih ε
i
j
ijk
L̂ k
bzw.
[ L̂, L̂] = ih L̂
⎡ L̂ 2 , L̂ ⎤ = 0
i⎥
⎢⎣
⎦
und
(8.1)
Schlussfolgerung: Die Komponenten des Drehimpulsoperators L̂ sind nicht gleichzeitig
2
scharf messbar; aber jede Komponente L̂i und L̂ können gleichzeitig scharf gemessen
werden.
2
Welche Messwerte sind für L̂ und (z.B.) L̂ z zu erwarten? Um diese Frage beantworten zu
können, müssen wir die beiden EWPe
2
L̂ lm = h 2 l(l + 1) lm , l ∈ ℜ
und
L̂ z lm = hm lm , m ∈ ℜ
(8.2)
lösen.
1
8.2
Eigenwertproblem für Drehimpulsoperatoren
2
Def.: Jeder Vektoroperator Ĵ mit Ĵ = Ĵ 2x + Ĵ 2y + Ĵ 2z , dessen Komponenten der
Vertauschungsrelation
[ Ĵ , Ĵ ] = ih ε
i
j
Ĵ
ijk k
→
Drehimpulsalgebra
(8.3)
genügen, heißt Drehimpulsoperator.
•
Algebraische (darstellungsunabhängige) Lösung des EWP für
Drehimpulsoperatoren
Wir suchen reelle Zahlen j und m sowie EZ jm derart, dass
2
Ĵ jm = h 2 j( j + 1) jm
und
Ĵ z jm = h m jm
erfüllt sind und die Komponenten Ĵ i der Drehimpulsalgebra genügen.
2
(i) Da Ĵ 2x + Ĵ 2y = Ĵ − Ĵ 2z ein positiver Operator ist, folgt nach Projektion auf die EZ
h 2 j( j + 1) − h 2 m 2 ≥ 0 und es ergeben sich die Schranken
− j( j + 1) ≤ m ≤
(ii) Def.:
j( j + 1) .
(8.4)
Ĵ + := Ĵ x + i Ĵ y , Ĵ − := Ĵ x − i Ĵ y
→ Leiteroperatoren
(8.5)
Sie erfüllen die Vertauschungsrelationen (prüfen!)
[ Ĵ , Ĵ ] = 2h Ĵ , [ Ĵ , Ĵ ] = ± h Ĵ
+
−
z
z
±
±
2
, ⎡ Ĵ , Ĵ ± ⎤ = 0 .
⎢⎣
⎥⎦
(8.6)
2
(
)
( 8.6 )
Ĵ z Ĵ ± jm = Ĵ z Ĵ ± jm = ( ± h Ĵ ± + Ĵ ± Ĵ z ) jm = (m ± 1) h Ĵ ± jm
1
424
3
(iii)
(8.7)
m h jm
2
→ Ist jm EF der kommutierenden Operatoren Ĵ und Ĵ z zu den EW h 2 j( j + 1) bzw. h m ,
dann sind auch Ĵ ± jm EF dieser Operatoren, allerdings zu den EW h 2 j( j + 1) und h (m ± 1).
Deshalb werden die Leiteroperatoren auch Auf- bzw. Absteigeoperatoren genannt: Mehrfache
Anwendung von Ĵ ± auf jm lässt j konstant, ändert aber m in ganzzahligen Schritten.
(iv) Wegen m 2 ≤ j( j + 1) , (ii) , muss die Leiter in beiden Richtungen abbrechen. Also existiert
für jedes j ein mmax(j) und ein mmin(j) mit
Ĵ + jm max = 0
Ĵ − jm min = 0 .
bzw.
Ĵ − angewendet auf die linke Relation ergibt m max = j , denn
0 = Ĵ − Ĵ + jm max = ( Ĵ x − i Ĵ y ) ( Ĵ x + i Ĵ y ) jm max
2
=(
Ĵ − Ĵ 2z − h Ĵ z
[
⎡
⎤
2
2
⎢
= J x + J y + i ( Ĵ x Ĵ y − Ĵ y Ĵ x ) ⎥ jm max =
⎢
142
4 43
4 ⎥
⎢⎣
⎥⎦
i h Ĵ z
]
) jm max = h 2 j( j + 1) − m 2max − m max jm max .
Analog führt Ĵ + Ĵ − jm min = 0 auf m min = − j .
Da m sich in ganzzahligen Schritten ändert, muss m max − m min = 2 j eine ganze Zahl sein, d.h.
1 3
j = 0, ,1, , ....
2 2
(8.8)
ist ganz- oder halbzahlig und m nimmt die Werte
m = − j, − j + 1, ... , 0 , ... , j − 1, j
(8.9)
3
an.
Fazit: Drehimpulsoperatoren besitzen diskrete EW. Die Beträge der Drehimpulse sind
1 3
h j( j + 1) mit j = 0, ,1, , .... , ihre Komponenten ganzzahlige Vielfache von h mit
2 2
2
m = 0, ± 1 / 2, ± 1, ... , ± ( j − 1), ± j . Damit ist jeder Zustand mit gegebenem Ĵ genau 2 j +1 – fach
entartet → Richtungsentartung.
Anschauliche Darstellung:
(halbklassisches Vektormodell mit "raumfestem" Vektor als Hilfskonstruktion)
Anschaulich "präzediert J um die z-Achse" auf einem Kegelmantel,
da mit gegebenem Ĵ z die Komponenten Ĵ x und Ĵ y
nicht gleichzeitig scharf messbar sind.
- Höhe des Kegels: h m ,
- Mantellinie: h j( j + 1) ,
- Kegelradius: h j( j + 1) − m 2 .
8.3
Matrixdarstellung der Drehimpulsoperatoren
Die gesuchten Matrixelemente der Operatoren sind
2
jm´ Ĵ jm = h 2 j ( j + 1) δ m´ m ,
(8.10)
jm´ Ĵ z jm = h m δ m´ m .
Außerdem gilt
jm´ Ĵ ± jm = h j( j + 1) − m(m ± 1) δ m´ m ±1 .
(8.11)
4
Um das zu beweisen, normieren wir zunächst die EF Ĵ ± jm
Ĵ + jm = C + j , m + 1 ,
Ĵ − jm = C − j , m − 1
2
( Ĵ und Ĵ z bilden einen vollständigen Satz von Operatoren, deshalb keine Entartung !).
C + : jm Ĵ − Ĵ + jm
•••••••
Ĵ +− = Ĵ +
= Ĵ + jm Ĵ + jm = C 2+ j, m + 1 j, m + 1 = C 2+
1442443
seien normiert
2
[
]
C 2+ = jm Ĵ − Ĵ 2z − h Ĵ z jm = h 2 j( j + 1) − m 2 − m ,
•••••••••••••••••••
C+ = h
.
j( j + 1) − m − m = h ( j − m) ( j + m + 1)
2
Die analoge Berechnung von jm Ĵ + Ĵ − jm führt auf C − = h ( j + m) ( j − m + 1) .
Also ist
Ĵ ± jm = h j( j + 1) − m(m ± 1) j , m + 1
und wir erhalten (8.11).
Beachte: Tatsächlich folgt nur für m = m max = j wie in (iv) verwendet Ĵ + j m = 0 , denn
Ĵ + j j = h j( j + 1) − j( j + 1) j , j + 1 = 0 , sowie nur für m = m min = − j auch Ĵ − j m = 0 , da
Ĵ − j ,− j = h j( j + 1) + j(− j − 1) j , j − 1 = 0 .
Aus Ĵ x =
1
1
( Ĵ + + J − ) und Ĵ y = ( Ĵ + − J − ) ergeben sich die Matrixelemente für die x- und
2i
2
die y- Komponente des Drehimpulsoperators.
5
Übungsaufgabe: Normieren Sie die Zustände Ĵ ± jm und geben Sie die Matrixdarstellung
2
der Operatoren Ĵ , Ĵ z , Ĵ x , Ĵ y , Ĵ + und Ĵ − zur Basis jm an.
Wichtiges Beispiel: j =
■
1
2
Dann ist 2 j + 1 = 2 und die Drehimpulsoperatoren sind 2 x 2 Matrizen. Die möglichen m –
Werte (ganzzahlige Schritte!) sind m = ±
1
.
2
1
folgt
2
2
Ĵ und Ĵ z sind in dieser Basis diagonal, für j =
2
⎛ 1 0⎞ 3 2⎛ 1 0⎞
⎟⎟ ,
⎟⎟ = h ⎜⎜
Ĵ = h 2 j( j + 1) ⎜⎜
⎝0 1⎠ 4 ⎝0 1⎠
Die EW von Ĵ z sind ±
h
; explizit ist
2
Ĵ z =
h
2
⎛1 0⎞
⎟⎟ .
⎜⎜
⎝0 1⎠
h
1 1
1 1
, Ĵ z , = und
2 2
2 2
2
h
1 1
1 1
=− .
, − Ĵ z , −
2 2
2 2
2
⎛0 1⎞
⎟⎟ ,
Ĵ + = h ⎜⎜
⎝0 0⎠
denn wegen δ m´, m+1 ist von den vier möglichen Matrixelementen
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
, Ĵ + , ,
, Ĵ + , − ,
, − Ĵ + , ,
, − Ĵ + , −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
nur
1 1
1 1
1⎛1 ⎞ 1⎛ 1 ⎞
= h j( j + 1) − m(m + 1) δ m´ m + 1 =
+1 + − +1
, Ĵ + , −
h
1
424
3 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
2 2
2 2
1
1
j= ,m = −
2
2
δ m´ m + 1
123
m´ =
=h
1
1
1
m +1= − +1=
2
2
2
verschieden von Null. Analog finden wir
6
⎛0 0⎞
⎟⎟ ,
Ĵ − = h ⎜⎜
⎝1 0⎠
Ĵ x =
h⎛ 0 1⎞
1
⎟,
( Ĵ + + J − ) = ⎜⎜
2
2 ⎝ 1 0 ⎟⎠
Ĵ y =
h ⎛ 0 −i ⎞
1
⎟.
( Ĵ + − J − ) = ⎜⎜
2i
2 ⎝ i 0 ⎟⎠
Ĵ x , Ĵ y und Ĵ z hängen mit den Pauli´schen Spinmatrizen zusammen:
Def.: s =
8.4
⎛ 0 1⎞
⎛0 − i⎞
⎛1 0 ⎞
h
⎟⎟ , σ y := ⎜⎜
⎟⎟ , σ z := ⎜⎜
⎟⎟ , vgl. Kap 8.5, Spin.
σ , σ x := ⎜⎜
2
⎝ 1 0⎠
⎝i 0 ⎠
⎝ 0 − 1⎠
Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses
Nolting, 3.253: Der formale Übergang in die Ortsdarstellung erfolgt durch skalare
Multiplikation der EWGen (8.2) mit dem Bra-Ortseigenzustand r : r lm := ψ lm (r ) . Die EW
sind darstellungsunabhängig:
2
L̂ ψ lm (r ) lm = h 2 l(l + 1) ψ lm (r ) ,
L̂ z ψ lm (r ) = hm ψ lm (r )
2
Die Ortsdarstellung der Operatoren L̂ und L̂ z verschaffen wir uns am einfachsten über die
Korrepondenzregel
2
L̂ = ( − ih) 2 ( r × ∇) 2 ,
⎛ ∂
∂ ⎞
L̂ z = −ih (r × ∇) z = −ih ⎜⎜ x − y ⎟⎟ .
∂x ⎠
⎝ ∂y
Nützlich (→ z.B. im Hinblick auf die Behandlung der Bewegung im Zentralfeld) ist vor allem
die Ortsdarstellung von L̂ in Kugelkoordinaten r, ϑ, ϕ entsprechend
7
x = r sin ϑ cos ϕ , y = r sin ϑ sin ϕ , z = r cos ϕ (also mit z-Achse als „Drehachse“). Unter
⎛ ∂ 1 ∂
1 ∂
Verwendung von ∇ = ⎜⎜ ,
,
⎝ ∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ
⎞
⎟⎟ folgt nach einfacher Rechnung
⎠
⎧ ⎛ − sin ϕ ⎞
⎛ ctgϑ cos ϕ ⎞ ⎫
⎟ ∂ ⎪
⎟ ∂ ⎜
⎛ 1 ∂
1 ∂ ⎞
⎪⎜
⎟⎟ = −ih ⎨ ⎜ cos ϕ ⎟
L̂ = −ih r (e r × ∇) = −ih r ⎜⎜ e r
− ⎜ ctgϑ sin ϕ ⎟ ⎬ (8.12)
− eϑ
r sin ϑ ∂ϕ ⎠
∂ϕ
⎝ r ∂ϑ
⎪ ⎜ 0 ⎟ ∂ϑ ⎜
− 1 ⎟⎠ ⎪⎭
⎠
⎝
⎩⎝
. Daran anknüpfend finden wir
⎛ ∂
∂
+ i ctgϑ
L̂ ± = L̂ x ± iL̂ y = h e ± i ϕ ⎜⎜ ±
∂ϕ
⎝ ∂ϑ
⎞
⎟⎟
⎠
(8.13)
und schließlich
∂ ⎛
∂ ⎞ ∂2 ⎤
h2 ⎡
L̂ = L̂ + L̂ − + L̂ − h L̂ z = ... = − 2 ⎢ sin ϑ ⎜ sin ϑ ⎟ + 2 ⎥ .
∂ϑ ⎠ ∂ϕ ⎦
∂ϑ ⎝
sin ϑ ⎣
2
2
z
(8.14)
Beachte, dass L̂ ↔ Drehungen wie zu erwarten in Kugelkoordinaten nur von den beiden
Winkeln ϑ und ϕ abhängt; insbesondere gelten die beiden sehr nützlichen Relationen für die
z-Komponente des Drehimpulsoperators und den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
∂
und
L̂ z = −ih
∂ϕ
2
1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ L̂
∇ = Δ = 2 ⎜ r2 ⎟ − 2 2 .
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r h
2
(8.15)
Aus der darstellungsunabhängigen EWG L̂ z lm = hm lm wird
− ih
∂
Ylm (ϑ, ϕ) = h m Ylm (ϑ, ϕ) mit der Lösung Ylm (ϑ, ϕ) = e i m ϕ Θ(ϑ) . Da für uns nur
∂ϕ
eindeutige WF physikalisch sinnvoll sind, fordern wir
Ylm (ϑ, ϕ) = Ylm (ϑ, ϕ + 2π) .
Daraus ergibt sich e i m 2 π = 1 , d.h., m und (wegen − l ≤ m ≤ l ) auch l müssen ganzzahlig sein.
8
FAZIT:
(i) Bahndrehimpulse werden durch ganzzahlige Quantenzahlen l und m
l = 0,1, 2, 3, ... ,
m = 0, ± 1, ± 2, ..., ± l
(8.16)
charakterisiert.
2
(ii) Die Operatoren L̂ und L̂ z sind in der Ortsdarstellung Differentialoperatoren.
•
Eigenfunktionen der Bahndrehimpulsoperatoren in Ortsdarstellung
Den ϑ - Anteil der Wellenfunktion Θlm (ϑ) bestimmen wir wie im Fall des HO rekursiv:
Ortsdarstellung
⎛ ∂
∂ ⎞
⎞
⎛ d
L̂ + ll = 0 −−−−−−→ ⎜⎜ +
+ i ctgϑ ⎟⎟ e i l ϕ Θ ll (ϑ) = 0 , bzw. ⎜
− l ctgϑ ⎟ Θ ll (ϑ) = 0 .
∂ϕ ⎠
⎝ dϑ
⎠
⎝ ∂ϑ
Die Lösung dieser Gleichung ist Θ ll (ϑ) = C l sin l ϑ mit der Konstanten Cl. Durch Anwendung
von L̂ − auf Θ ll (ϑ) berechnen wir Θ l,l −1 (ϑ) usw. Im Ergebnis erhalten wir für die EF
(−1) l
Ylm (ϑ, ϕ) = l
2 l!
2l + 1 (l − m)! e i m ϕ ⎛ d ⎞
⎜
⎟
4π (l + m)! sin m ϑ ⎝ d cos ϑ ⎠
l−m
⎧ l = 0,1, 2, 3, ...
sin 2 l ϑ , mit ⎨
.
⎩m = 0, ± 1, ± 2, ..., ± l
Eine äquivalente, häufig verwendete Darstellung dieser → Kugelflächenfunktionen
Ylm (ϑ, ϕ) =
2l + 1 (l − m)! m
Pl (cos ϑ) e i m ϕ
4π (l + m)!
(8.17)
m
l+ m
(−1) m
2 2 d
( x 2 − 1) l .
basiert auf den zugeordneten Legendre-Polynomen P ( x ) := l (1 − x )
2 l!
dx l + m
m
l
9
Die Kugelflächenfunktionen sind entsprechend
∫ dΩ Y
*
lm
(ϑ, ϕ) Yl 'm ' (ϑ, ϕ) = δ ll' δ mm '
(8.18)
normiert; dabei ist dΩ = sin ϑ dϑ dϕ das Raumwinkelelement.
8.5
Spin
Motivation: H-Atom (z.B.) im äußeren B-Feld
•
Aus der Elektrodynamik wissen wir, dass eine rotierende Ladungsverteilung
(„Kreisstrom“) ein magnetisches Moment erzeugt. Kreist eine Ladung q mit v = |v| = const
auf einer Kreisbahn vom Radius r ist der Strom I =
das magnetische Moment μ = I A =
qv
; mit der Fläche A = πr 2 ergibt sich
2πr
q
v r . Unter Verwendung des Bahndrehimpulses
2
L = r × p → L = m r v haben wir insgesamt
μ=
q
L .
2m
(8.19)
↑
gyromagnetisches Verhältnis
Die Energie des magnetischen Moments/Dipols im äußeren B-Feld ist V = − μ ⋅ B .
Für ein Elektron (m = me, q = e) tritt daher im Fall von B || e z der Zusatzterm
V=−
e
B L z in der Hamilton-Funktion des Systems H-Atom + B-Feld auf. Nach dem
2m e
Korrespondenzprinzip wird dann aus dem Hamiltonoperator Ĥ 0 des Wasserstoffatoms
Ĥ = Ĥ 0 + V̂ .
10
Da V̂ mit Ĥ 0 , also auch mit Ĥ und vertauschbar ist, ändert der Zusatzterm die EF nicht. Die
EW (Energieniveaus) werden jedoch beeinflusst, denn
E n( B ≠ 0 ) = E n( B = 0 ) − μ B m B mit μ B =
eV
eh
= 0,579 ⋅10 − 4
→ Bohr´sches Magneton
T
2m e
(8.20)
FAZIT: Jedes Energieniveau des H-Atoms spaltet im Magnetfeld in 2l + 1 äquidistante
Unterniveaus auf. Das äußere Feld hebt die Entartung bzgl. m auf. Bei Feldstärken von 1T
beträgt die Aufspaltung ΔE ~ 0.610−4 eV .
Experimentell bestätigt sich die Vorhersage (8.20) → (normaler) Zeeman-Effekt.
Interessanterweise wird aber zusätzlich (bei Atomen mit ungerader Ordnungszahl/Elektronenzahl) eine
magnetfeldbedingte Aufspaltung in eine gerade Anzahl von Unterniveaus beobachtet.
Beispielsweise spaltet der Grundzustand 100 (1s – Zustand) des H-Atoms trotz l = 0 in zwei
Unterniveaus auf.
Vermutung/Hypothese: Neben dem Bahndrehimpuls gibt es in der QM halbzahlige
Drehimpulse → Spin
Diese Vermutung passt zu den Ergebnissen von Kap. 8.2 und wird durch weitere
experimentelle Befunde gestützt:
(i) Stern-Gerlach Versuch: Ag-Atome durchlaufen inhomogenes B-Feld.
(ii) Ferromagnetismus
→ Einstein-de Haas-Experiment: Drehmoment auf ferromagnetische Probe bei Umkehr der
Richtung des Magnetfeldes.
(iii) Spin-Bahn-Wechselwirkung → Feinstruktur der Spektren
(iv) Wechselwirkung mit dem Kernspin → Hyperfeinstruktur der Spektren
11
Dirac verdanken wir die Einsicht, dass der Spin ein relativistischer Effekt ist: In einer
relativistisch invarianten Bewegungsgleichung des Elektrons → Dirac-Gleichung (vgl. ThPh
V, Quantenmechanik II) besitzt das e- neben seiner Masse me und seiner Ladung q eine
weitere intrinsische Eigenschaft "mit Drehimpulscharakter", den Spin.
6. Postulat: In der QM können Teilchen einen intrinsischen Drehimpuls, den Spin besitzen.
Der Spin wird durch einen Vektoroperator Ŝ beschrieben. Ŝ genügt der Drehimpulsalgebra
[
]
Ŝ = (Ŝx , Ŝy , Ŝz ) , Ŝi , Ŝ j = ih ε ijk Ŝk .
Ŝ wirkt nicht im Ortsraum, sondern im Spinzustandsraum:
Tensorprodukt
H
=
H-Raum der
Teilchenzustände
↓
HOrt
Ortszustandsraum
⊗
HSpin
d.h.
⎛ ψs ⎞
⎜
⎟
ψ →⎜ M ⎟
⎜ψ ⎟
⎝ −s ⎠
Spinzustandsraum
(aufgespannt von 2s+1 gemeinsamen EZ
2
von Ŝ und Ŝz )
12