Formelsammlung Theorie klassischer Teilchen und Felder I

Formelsammlung
Theorie klassischer Teilchen und Felder I
<[email protected]>
Stand: 25.02.2006 - Version: 1.0.0
Erhältlich unter http://privat.macrolab.de
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung 3 Hamiltonsche Formulierung der Mecha“Theorie klassischer Teilchen und Felder I” von Prof.
nik
Dr. Jochen Wambach an der Technischen Universität
3.1 Variationsproblem . . . . . . . . . . . .
Darmstadt im Wintersemester 2005/06.
3.2 Das Hamiltonische Prinzip . . . . . . . .
Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen
Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und son3.2.1 Invarianzen und Erhaltungssätze
stige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
3.2.2 Hamilton Funktion . . . . . . . .
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständig3.2.3 Legendre Transformation . . . .
keit der Inhalte übernehmen kann.
3.2.4
Inhaltsverzeichnis
1 Newtonsche Mechanik
1.1
Die Bogenlänge als Bahnparameter . . .
1.2
Kinematik,
Newtonschon
Gesetze,
Mehrteilchensysteme . . . . . . . . . . .
1.3
3.2.5
9
9
10
10
10
10
Hamiltonische Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . .
11
Poisson-Klammern . . . . . . . .
11
1
4 Elektrostatik
1
Diracsche δ-Funktion . . . . . . . . . . .
11
2
4.1.1
Eindimensional . . . . . . . . . .
11
Zweiteilchensysteme . . . . . . . . . . .
2
4.1.2
Mehrdimensional . . . . . . . . .
11
1.4
Relativbewegungen . . . . . . . . . . . .
3
4.2
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5
Stoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4.3
Feldverhalten an Grenzflächen . . . . . .
12
4.4
Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.5
Multipolentwicklung . . . . . . . . . . .
13
4.6
Wechselwirkungsenergie im externen
Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.7
Randwertprobleme in der Elektrostatik .
14
4.8
Orthogonale Funktionen . . . . . . . . .
15
4.8.1
Fourierreihe . . . . . . . . . . . .
15
4.8.2
Kugelflächenfunktionen . . . . .
15
Spärische Multipolmomente . . . . . . .
16
1.5.1
4.1
11
Elastischer Stoss eines ruhenden
Teilchens . . . . . . . . . . . . .
3
Streuung durch Potential im
Schwerpunktsystem . . . . . . .
4
1.5.3
Steuung harte Kugeln . . . . . .
4
1.5.4
Rutherford Streuung . . . . . . .
4
1.6
Tensorbegriff . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.7
Mechanik des “starren Körpers” . . . . .
5
1.7.1
Drehimpulssatz . . . . . . . . . .
5
1.7.2
Physikalisches Pendel . . . . . .
5
1.7.3
Analogie: Rotation & Translation
6
1.7.4
Kreisel . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.7.5
Dynamik des starren Körpers . .
7
1.5.2
2 Lagrange Mechanik
4.9
5 Magnetostatik
1
16
Newtonsche Mechanik
8
1.1
Die Bogenlänge als Bahnparameter
2.1
Begriffsbildung . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2
Lagrange 1. Art . . . . . . . . . . . . . .
8
Charakterisierung der “Kurvenform”
2.3
d’Alembertsches Prinzp und Lagrange
2ter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Bogenlänge s = s (t) =
1
Rt
t0
dt′ |~v (t′ )|
2
1 NEWTONSCHE MECHANIK
Geschwindigkeit ~v = ṡ~et
• ~et =
d~
x
ds
=
~
v
ṡ
=
• Festlegung:
+ Teilchen bewegt sich vom Ursprung weg
− Teilchen bewegt sich zum Ursprung hin
~
v
|~
v|
d
dt
Beschleunigung ~a =
(ṡ~et ) = s̈~et +
• Bewegungsbereich ist der Bereich in dem die Wurzel reell bleibt.
ṡ2
en
̺~
zeitlicher Mittelwert einer Funktion f (t) ist
Z
1 t0 +τ
dxf (x)
f (t) = lim
τ →∞ τ t
0
• ~e˙ t ⊥ ~et
et 1
• ~e˙ t = d~
ds ṡ = ̺ ṡ
• ~e˙ t = ̺1 ṡ~en
• ~en =
Virialsatz 2T = −F~ ~x
~
e˙ t
|~e˙t |
Krümmungsradius
Krümmung χ =
1
̺
=
• F~ ~x ist ein Virial
|~
a×~
v|
|~
v |3
Konservatives Feld T =
1
̺
Windung der Kurve
1
τ
=
~
v (~
a×~
a˙ )
(~
v ×~
a)2
Potenzgesetz
n+1
r V
→ mit n = 1 gilt T = V
→ mit n 6= −1 gilt T =
1.3
F
=

=
~et
(1 + dsF)  ~en 
~em


~et
F  ~en 
~em

1
0
̺
1
 −
0
̺
0 − τ1

~et + d~et
 ~en + d~en
~em + d~em
gebundene Systeme E < 0 sind beschränkt in der
Bewegung
0
1
τ
0




offene Systeme E ≥ 0 sind unbeschränkt in der Bewegung
m2
= V (r12 )
Kepler Problem V (~x1 , ~x2 ) = −G mr112
• r12 = |~x1 − ~x2 |
• es gelten nur innere Kräfte
• m1 = ∞, m2 = m
• (1 + dsF) ist eine Orthogonale Matrix
−1
T
(1 + dsF) = (1 + dsF) = (1 − dsF)
• ~v = ṙ~er + rϕ̇~eϕ
Hauptsatz der Kurventheorie ~x (s) =
Rs ′
ds ~et (s′ )
0
Rs
0
n+1
2 V
Zweiteilchensysteme
• (1 + dsF) beschreibt eine Rotation.
1.2
=
→ mit n = −2 gilt T = − 21 V
• ~em = ~et × ~en

dV
dr
→ mit F~ = αrn~er
begleitendes Dreibein (~et , ~en , ~em )
=
r
~
→ F~ = −∇V
• auch: Torsion der Kurve
Frenet-Matrix F


~e
d  t 
~en
ds
~em
1 dV
2 dr
d~
x
ds′ ds
′ =
Kinematik, Newtonschon Gesetze,
Mehrteilchensysteme
Siehe mein Skript: “Einführung in die Theoretische
Physik”
Bewegungsgleichung im 1-dimensionalen
Z x
1
dx q
t − t0 = ±
2
x0
m (E − V (x))
• F~12 = −G mr12m2 ~er
12
1
2m
ṙ + r2 ϕ̇2
R r(t)
• t − t0 = ± r(t0 ) dr′ √ 2
• T =
2
1
m (E−Vef f (r
0
• ∆ϕ = 2 √l2m
R r(t)
r(t0 )
dr′ √ 2
′ ))
1
m (E−Vef f (r
′ ))
→ geschlossene Bahn für n∆ϕ = m2π mit
n, m ∈ N
• Vef f (r) = V (r) +
l20
2mr 2
→ E kann nicht kleiner werden als Vef f . Für den
Fall der Gleichheit beschreibt die Bahn einen
Kreis.
3
1.5 Stoss
• l~0 = mr2 ϕ̇~ez = lo~ez
1.5
Impulserhaltung ~p1 = −~
p2 , ~p′1 = −~
p′2
Kepler mit newtonscher Gravitation
• gilt im Schwerpunktsystem
• V (r) = − Gmr1 m2 = − χr
Energieerhaltung
•
cos (ϕ − ϕ0 ) =
1
r
q
P
r
=
• p=
−
m2 χ2
l40
mχ
l20
+
2mE
l20
−1
ε
p
~1
2m1
+
p
~2
2m2
=
p
~′1
2m1
+
p
~′2
2m2
+Q
• Q ist die im Stossprozess “verlorene” Energie
• gilt sowohl im Schwerpunkt als auch im Laborsystem mit dem selben Q
•
l20
mχ
q
• ε= 1+
2l20 E
mχ2
~21
p
2µ
=
2
p~′ 1
+Q
2µ
~22
p
2µ
=
2
p~′ 2
+Q
2µ
2
mχ
min
• Vef
f = − 2l2
0
Elastisch Q = 0
• Kegelschnittgleichung r =
P
1+ε·cos(ϕ−ϕ0 )
Inelastisch Q > 0
→ ε = 0 Kreis mit E = Vef f
Umwandlung von Energie Q < 0
→ ε > 1 E > 0 Hyperbel
Richtung ist im Schwerpunktsystem nur soweit festgelegt, als das sie sowol vor, als auch nach dem
Stoss entgegengesetzt sind.
→ ε = 1 E = 0 Parabel
→ ε < 1 E < 0 Ellipse
∗ Halbachsen a, b
χ
∗ a = |E|
1.5.1
∗ b=
Begebenheiten ~p1 = P~ , p~2 = ~0, Q = 0
l20
2|E|m
∗ drittes Kepplersches
Gesetz
q
3
1
T = 2πa 2 GM
1.4
Stoss
Relativbewegungen
~ =
Schwerpunkt R
• γ=
sin θ̃
cos θ̃+γ
m1
m2
• θ Winkel um den der Impulsvektor p~1 im Laborsystem verdreht wurde durch den Stoss
Gesamtmasse M = m1 + m2
1
m1
Streuwinkel tan θ =
• θ̃ Winkel um den der Impulsvektor p~1 im Schwerpunktsystem verdreht wurde durch den Stoss
m1 x
~ 1 +m2 ~
x2
m1 +m2
reduzierte Masse µ =
Elastischer Stoss eines ruhenden Teilchens
1
+ m1
2
Vorwärtsstreuung m1 > m2 , γ > 1
geschlossenes System µ~r¨ = F~21
• sin (θmax ) =
• ~r Vektor von Teilchen 2 nach 1
•
(i)
Fex
=0
~˙ = const
• P~ = M R
~ (t) = R
~0 +
• R
~˙ 2
• TR = 21 M R
• Tr =
1 ˙2
r
2 µ~
~
P
Mt
m2
m1
=
1
γ
<1
• θmax ist der maximale Winkel um den der Vektor
p~1 im Laborsystem verdreht werden kann
• Streuung erfolgt in einem Kegel mit diesem Öffnungswinkel
Beliebige Streuung m2 > m1 , γ < 1
• alle Winkel sind möglich
• z.B. auch Reflexion
4
1 NEWTONSCHE MECHANIK
Identische Massen m1 = m2 , γ = 1
• Winkel zwischen p~′1 und p~′2 ist nach dem Stoss immer 90◦
• Ausnahmen:
dσ
dΩ
Wirkungsquerschnitt
l dl 2µE dθ > 0
• dσ =
dN
n
(θ)
• Raumwinkel dΩ = 2π sin θ dθ
Rπ
R
R
dσ
= 2π 0 dθ sin θ dσ
• σtotal = dσ = dΩ dΩ
dθ (θ)
R∞
rmin
1
l2
2mr2
• θmax = ±180◦
T2′
T1
µ
1 m2
= 4 (mm+m
= 4M
)2
1
dr rb2 q
1
2
(r)
1− rb2 − V E
=
−V (r)
• Ablenkwinkel des Strahls von negativ zu positiv
unendlich (in der Zeit t) gemessen.
2
√
Drehimpuls l = b 2µE
• T1 kinetische Energie von Teilchen 1 vor dem Stoss
Energie E =
T2′
kinetische Energie von Teilchen 2 nach dem
Stoss
• m1 = m2 → η = 1
1.5.2
=
= 2πb db
→ Teilchen 1 wechselwirkt einfach nicht und es Ablenkwinkel θ = π − 2
R∞
fliegt ungestört weiter / kein stoss / kein Rolπ − √2l2µ rmin dr q
lentausch
r 2 E−
•
db
− sinb θ dθ
• Hängt für V (~r) = V (r) nur von θ ab!
→ Teilchen Tauschen die Rollen, d.h. Teilchen
1 bleibt liegen und Teilchen 2 fliegt in die
gleiche Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit weiter
Energietransfer η =
=
Streuung durch Potential im Schwerpunktsystem
Streuzentrum ist Ausgangspunkt eines Potentialfeldes V (~r) = V (r) das nur vom Abstand abhängt.
Dieses verursacht die Ablenkung des annahenden
Teilchens
Stossparameter b
µ 2
2 v∞
1.5.3
Steuung harte Kugeln
(
0 r>R
Potential V (r) =
∞ r≤R
isotrope Streuung
dσ
dΩ
(θ) =
R2
4
• isotrop ⇔ hängt nicht mehr von θ ab
• σtotal = πR2
1.5.4
Rutherford Streuung
• gibt an, um welche Distanz das Teilchen bei un- Potential V (r) = − κr
abgelenkter Bahn am Streuzentrum vorbeifliegen
würde
• z.B. Gravitation oder Coulomb
• db ist eine Infinitesimale Änderung von b
•
Stossparameter b (θ) =
κ
2E
cot
θ
2
→ dies bewirkt eine Änderung dΩ im Raumwindσ
Wirkungsquerschnitt dΩ
=
kel Ω der vom Strahl durchflogen wird
κ 2
1
→ es bewirkt eine Vergrößerung der Eintreffflä2E
sin4 ( θ2 )
che um dσ (=Kreis mit dem Radius b + db Kreis mit dem Radius b)
• gilt im Schwerpunktsystem
db
dθ
=
dl
√1
2µE dθ
• Alle haben gleiche Masse µ
• Alle haben gleiche kinetische Energie ⇒ p~ ist gleich
Zahl der einlaufenden Teilchen
Flächenelement·Zeit
Gestreute Teilchen dN
Zahl der gestreuten Teilchen in dΩ
Zeit
b
sin θ
db dθ
=
• σtotal = ∞ ist ein Problem, tritt aber in der Realität nicht auf, da Ladungen immer abgeschirmt
sind
κe−αr
V (r) =
r
Strahl von Teilchen
Strahlintensität n =
=
• Im Laborsystem
dσ
sin θs dθs
dσ
(θL ) =
(θs )
dΩL
dΩs
sin θL dθL
• Transformation der Winkel siehe 1.5.1 auf der vorherigen Seite.
5
1.7 Mechanik des “starren Körpers”
Rotator
Spezialfall m1 < m2
• 1 Rotationsfreiheitsgrad
• tan θL ∼ tan θs ⇒ θL ≈ θS
• Achse ist fest
Spezialfall m1 = m2
• tan θL =
•
1.6
dσ
dΩL
sin θs
cos θs +1
• o.B.d.A um die z Achse: ~ω = ω~ez
= tan
θs
2
⇒ θL =
P mi ˙ 2
Rotationsenergie
T
=
xi
i 2 ~
P
1
1
2
2
2
2
ω
=
Jω
x
+
y
i
i
i
2
2
P
Trägheitsmoment J = i mi x2i + yi2
1
2 θS
dσ
(θL ) = 4 cos θL dΩ
(2θL )
s
=
→ Kontinuierlich:
Z
dx dy dz ̺ (x, y, z) x2 + y 2
J=
Tensorbegriff
V
• Erweiterung des Vektorbegriffs ~x ∈ R
n
Drehimpuls L = Jω
Rϕ
Lösung t − t0 = ϕ0 dϕ √ 2
• ~x = (x1 , . . . , xn ) n-tupel von Zahlen
• nk : Tupel von Zahlen
J
1.7.1
1
(E−V (ϕ))
Drehimpulssatz
~ eω = P mi (~eω × ~xi )2 ω =
Drehimpuls Lω = L~
i
Jω = J ϕ̇
→ n0 : Skalar
→ n1 : Vektor
x′i =
X
Dij xj
i
∗ Drehungen
~ ist i.a. nicht in Richtung von ~ω
• L
• ~eω =
ω
~
|~
ω|
Trägheitsmoment J =
→ n2 : Matrix
Fij′ =
X
Dil Djm Flm
l,m
∗ Basistransformation einer Matrix
• Fi1 ,...,ik mit ij = 1, . . . , n
• Dieser Satz von Zahlen ist ein Tensor k-ter Stufe
falls
→ jeder der k-Indizes sich unter Drehung im Rn
wie ein Vektor verhält
P
i
2
mi (~eω × ~xi )
• Kontinuierlich
Z
dx dy dz ̺ (~x) (~eω × ~x)2
J=
V
~ =
Drehmoment N
•
dLω
dt
1.7.2
~
dL
dt
= J ϕ̈ = Nω =
=
P
i
~xi × F~iext
P ~ ext ~eω
~
x
×
F
i
i
i
Physikalisches Pendel
Aufbau
1.7
Mechanik des “starren Körpers”
Freiheitsgerade 6
• 3 für Translation
• 3 für Rotationen
Kreisel
• 3 Rotationsfreiheitsgrade
• Körper mit Schwerpunkt S
• Externe Kraft zeigt in x Richtung


mi g
F~ ext =  0 
0
Drehmoment Nω = J ϕ̈ = −
~
Schwerpunkt R
=
(R cos ϕ, R sin ϕ, 0)
Ansatz J ϕ̈ + RM g sin ϕ = 0
P
i
mi yi g = −M gRy
(Rx , Ry , Rz )
=
6
1 NEWTONSCHE MECHANIK
• |~ω × ~x′n |2 = |~ω|2 |~x′n |2 − (~
ω~x′n )2
• Vergleich mit Mathematischem Pendel
g
ϕ̈ + sin ϕ = 0
l
• l=
• Trot = 12 ~ω T J~ω = const beschreibt einen Ellipsoiden, den Energieellipsoiden
J
MR
~ ω (Trot ) = J ω
~
• ∇
P
Energiesatz V
=
−M gR cos ϕ
i
=
Vi
−g
P
i
mi xi
=
• mit Vi = −mgxi
Trägheitstensor
J
JT
X
=
=
• Summe über die potentiellen Energien
• E=
1
2
2 J ϕ̇
n
− M gR cos ϕ = const
X
=
n
• Ableitung ergibt J ϕ̈ + M Rg sin ϕ = 0
1.7.3
Analogie: Rotation & Translation
Siehe Tabelle 1 auf der nächsten Seite.

=
(
mn |~xn | 1 − ~xn ~xTn
yn2 + zn2
mn  −xn yn
−xn zn

R
r) y2 +z 2
V dV ̺(~
−
−
R
V
R
V
dV ̺(~
r )xy
dV ̺(~
r )xz
)
−
R
−
R
V
−xn yn
x2n + zn2
−yn zn
dV ̺(~
r )xy
(
R
r ) x2 +z 2
V dV ̺(~
V
dV ̺(~
r )yz
)
−
−

−xn zn
−yn zn 
x2n + yn2
R
V
R
dV ̺(~
r )xz
dV ̺(~
r )yz
V
R
r) x2 +y2
V dV ̺(~
(
)


• 1 ist hier die Einheitsmatrix
1.7.4
Kreisel
Eigenschaften 1 Punkt fest, 3 Freiheitsgerade
Koordinatensysteme
• Ortsfestes System K
→ ~e1 , ~e2 , ~e3
→ ~vn = ~ω × ~x′n
→ ~an = ~ω˙ × ~x′n + ~
ω × (~
ω × ~x′n )
• Im Schwerpunkt verankertes am Körper festes System K ′ (Körperfest )
→ ~e′1 , ~e′2 , ~e′3
→ Versatz dieses Koordinatensystem ~r0 gegenüber K
∗ konstant, da dieser Punkt verankert
→ Rotation dieses Kooridinatensystem ω
~ gegenüber K
→ ~vn′ = 0
→ ~a′n = 0
Kinetische Energie
1X
2
mn |~vn |
T =
2
1X
2
=
mn (~
ω × ~x′n )
2 n
1X
2
2
2
ω| |~x′n | − (~
ω~x′n )
mn |~
=
2 n
=
=
=
1
2
1
2
P3
α,β=1
3
X
α,β=1
1 T
~
ω
~ Jω
2
“P
N
n=1
mn
Jαβ ωα ωβ
“
2
|x′n |
”
”
δαβ −x′nα x′nβ ωα ωβ
• x, y, z sind Koordinaten bzgl. Drehpunkt!!
PN
′ 2
′
′
ist eine
• Jαβ =
n=1 mn |xn | δαβ − xnα xnβ
Matrix.
• J lässt sich Diagonalisieren:

J˜11
0
˜

J=
0 J˜22
0
0

0
0 
˜
J33
→ die Einträge auf der Diagonalen sind die Eigenwerte von J.
→ die Eigenvektoren von J bilden eine Basis.
Die Eigenwerte sind das jeweilige Trägheitsmoment um die Richtung der Eigenvektoren.
→ Die Eigenvektoren sind die Hauptträgheitsachen
• Trot = 12 J˜11 ωa2 + J˜22 ωb2 + J˜33 ωc2
• 1 = J1e ~eT J~e beschreibt den Trägheitsellipsoiden.
Dies entspricht einem normierten Energieellipsoiden. (Je ist Trägheitsmoment in Richtung Je mit
|~e| = 1)
• Jαβ = 0 (mit α 6= β) falls ̺ Symmetrisch bezüglich
der α oder β Achse
∗
Steinerscher-Satz Jik = M R2 δik − Ri Rk + Jik
~R
~ T + J∗
~ 21 − R
• J =M R
∗
• Jik
ist Trägheitstensor im Schwerpunkt
~ = J~ω
Drehimpuls L
~ ∦ ~ω
• i.a. L
• Falls ~ω ′ in Richtung der Hauptträgheitsachsen (Ei~ ω′.
genvektoren von J) zeigt ist L||~
7
1.7 Mechanik des “starren Körpers”
Tabelle 1: Analogie Rotation & Translation
Teilchen
Rotator
Ort
x
ϕ
Winkel
Masse
m
J
Trägheitsmoment
Geschwindigkeit
v = ẋ
ω = ϕ̇
Winkelgeschwindigkeit
Impuls
mẋ = mv
Lω = Jω = J ϕ̇
Drehimpuls
Kraft
mẍ = F
Nωext
Drehmoment
Kinetische Energie T = 21 mv 2
T = 12 mω 2
Kinetische Energie
1.7.5
Dynamik des starren Körpers
symmetrischer Kreisel A = B 6= C
Aω̇1 + (C − A) ω2 ω3
• Bewegung des Bezugspunktes.
Aω̇1 + (C − A) ω1 ω3
Cω3
→ Ortsfest.
→ Im Ursprung des Koordinatensystems
• Körperfestes Koordinatensystem K ′
• Koordinatenachsen in Richtung der Hauptträgheitsachsen


A 0 0
• L= 0 B 0 
0 0 C
=
=
0
0
• die ~e′z Ache um die dieser Körper symmetrisch ist,
wird Figurenachse genannt. analog für eine andere
Achse.
p
• ω⊥ = ω12 + ω21 = const
• γ=
C−A
A ω3
•
Eulerschen Kreiselgleichungen
C ω̇3 + Bω2 ω1 − Aω2 ω1
0
• ω3 = const
• Rotation um Bezugspunkt
Aω̇1 + Cω2 ω3 − Bω2 ω3
B ω̇2 + Aω1 ω3 − Cω1 ω3
=
ω1 (t)
= a cos (γt) + b sin (γt)
= a sin (γt) − b cos (γt)
= c
=
=
N1′
N2′
ω2 (t)
ω3 (t)
=
N3′
mit a, b, c ∈ R konstant
→ Dies beschreibt einen Kegel. Den Gangpolkegel.
• äquivalent zu
~′
dL
~′ = N
~′
+ω
~′ × L
dt
~ =0
Kräftefreier Kreisel N
ω = const
• 2E = 2Trot = ~
ω T J~
→ Energieellipsoid
~′ · L
~ ′ = P3 L′ 2 = const
• L
i=1 i
• mit Anfangsbedingungen t = 0 ⇒ ω1 6= 0, ω2 = 0
a = ω⊥ , b = 0


ω⊥ cos (γt)
~ω (t) =  ω⊥ sin (γt) 
ω3
•
~′
L
=
→ Kugel mit Drehimpulserhaltung
• Diese beiden Bedingungen müssen erhalten sein.
D.h. die Lösung liegt im Schnitt von Kugel mit
Ellipsoid
• Schnittlinien sind Kurven die die Hauptträgheitsachsen umschließen, allerdings nur für Achsen mit
größten und kleinsten Trägheitsmoment
→ Rotation von ~
ω um diese Achsen ist Stabil
(beschränkte Reaktion) bei kleinen Störungen.
• Rotation um Achse mit mittleren Trägheitsmoment: Bahn führt beliebig weit weg
=
=


Aω1
 Bω3 
Cω3


Aω⊥ cos (γt)
 Bω⊥ sin (γt) 
Cω3
A~
ω + (C − A) ω3~ez
~ ′ , ~ω , ~e3 liegen immer in einer Ebene!
→ L
∗ für A > C liegt der Gangpolkegel inner~ Kegels
halb des L
∗ für A < C liegt der Gangpolkegel außer~ Kegels
halb des L
~′ =
→ L
6 0 weil wir uns nicht in ortsfesten Ko~ = 0
ordinaten befinden. In diesen würde L
gelten
8
2
LAGRANGE MECHANIK
• diese Beschreibungen gelten so nur im Körper- nicht-holonom nennen sich Zwangsbedingungen die
sich nicht als ein solches f schreiben lassen
festen System mit den Hauptträgheitsachsen als
Korrdinatenachsen
• z.B. Beschränkungen des Ortes mit ≤
in Raumfesten Koordinaten sehen
diese
Gebilde
anders
aus.
Hierzu
siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Präzession.
• Der Gangpolkegel rollt auf einem sogenannten
~
Rastpolkegel mit der Kreisfrequenz −γ um die L
Achse ab. Dabei bewegt sich der ~
ω Vektor auf dem
sogenannten Nutationskegel. Für A = B > C wird
von aussen, für A = B < C von innen abgerollt.
• ω
~ 3 C−A
A = γ
2
generalisierte Koordinaten qi
• Anzahl = s = 3N − k
• N anzahl der Teilchen
• k anzahl der Zwangsbedingungen
• s Anzahl der noch wirklich frei wählbaren Koordinaten, den generalisierten Koordinaten
2.2
Lagrange Mechanik
Lagrange 1. Art
¨i = F~ i +
m~x
k
X
j=1
2.1
Begriffsbildung
• Neue Formulierung der Mechanik
• besonders effizient für eingeschränkte Bewegung
→ Fläche
~ i fj
λj ∇
• fi ~x1 , . . . , ~xN , t = 0 mit i = 1, . . . .k den Zwangsbedingungen
• so erhält man 3N + k Bestimmungsgleichungen
und kann somit dies für die 3N + k Unbekannten
lösen.
• λi sind die zusätzlichen k Unbekannten.
→ Kurve
• Im Allgemeinen muss man für N Massenpunkte
3N gekoppelte DGL’s lösen
Zwangsbedingungen Bedingungen die die Bewegung der Teilchen einschränken
• geometrische Betrachtungen
~ i Ableitungen nach den Koordinaten des i-ten
• ∇
Teilchens
¨ = F~ + F~ ′ = F~ + λ∇f
~
Bewegungsgleichung m~x
~ ist die einschränkende Zwangskraft die
• F~ ′ = λ∇f
aus der Zwangsbedingung f folgt
• λ ist der zugehörige Lagrange Multiplikator
Zwangskräfte Sind Kräfte die die Zwangsbedingun- skleronom entspricht einer ruhenden Fläche
1 ~
gen bewirken
~
~ + ~x˙ ∇
~ ∇f
~ · ~x˙
0=
F + λ∇f
∇f
m
• z.B. Auflage Kraft, Faden Spannung, ...
Arbeit wird von Zwangskräften nicht verrichtet
• auch verlorene Kräfte genannt
holonome Zwangsbedingungen lassen sich schreiben als Gleichung der Form
f (~x, . . . , ~xN , t) = 0
• man kann maximal 3N unabhängige fi haben
dW = F ′ d~x = 0
• falls F~ konservativ gilt weiterhin der Energiesatz!
Virtuelle Arbeit δW = F~ · δ~x
Gleichgewicht befindet sich ein Massenpunkt falls
für alle δ~x, die kompatipel mit Zwangsbedingungen sind, gilt
δW = 0
skleronom nennt sich f falls
∂f
=0
∂t
• Im Gleichgewicht hat V (Pot. Energie) ein Extremum
virtuelle Verrückung δ~x ist instantane Verschiebung im Zeitraum δt = 0
→ skleronom = hart
rheonom anderenfalls, also
∂f
6= 0
∂t
• nicht notwendigerweise mit Bewegungsablauf verbunden, aber unter Berücksichtigung der Zwangsbedingungen
9
2.3
d’Alembertsches Prinzp und Lagrange 2ter Art
• Falls ein Potential V existiert reduziert sich dies
auf
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ q̇j
∂qj
Identitäten
∂~
x˙ i
∂ q̇j
mit j = 1, . . . , s
=
∂~
xi
∂qj
• δ~xi =
Ps
•
•
xi
d ∂~
dt ∂qj
Vorgehen im Allgemeinen
∂~
xi
j=1 ∂qj δqj
=
1. Bestimme die Anzahl der Freiheitsgerade s =
3N − k
∂~
x˙ i
∂qj
2. Wähle die qi
Generalisierte Kraft Qj =
δWF =
PN
s
X
~ ∂~xi
i=1 Fi ∂qj
3. Bestimme T und V in qi und q̇i ⇒ L = T − V
Qj δqj
4. Bestimme Langrange Gleichung 2.ter Art und löse
sie
j=1
Verallgemeinerter Impuls pi =
• Q hat nicht unbedingt die Dimension einer Kraft
•
• Falls ein Potential V existiert gilt:
Qj = −
3
N
X
¨i δ~xi
mi ~x
=
i=1
=
PN
PS
mi
i=1
j=1 2
„
• Kinetische Energie T =
PN
mi
i=1 2
Langrange Funktion L = T − V
Hamiltonsche
der Mechanik
«
d ∂ x
~˙ 2 − ∂ |x
~˙ i |2 δqj
dt ∂ q̇j | i |
∂qj
N X
d ∂T
∂T
δqj
−
dt ∂ q̇j
∂qj
i=1
2
˙ ~xi • T Kinetische Energie
• V Potentielle Energie
¨ − F~ =
d’Alembertsches Prinzip δW = F~ ′ δ~x = m~x
0
PN ¨
~
•
m
~
x
−
F
xi = 0 für alle möglichen δ~xi
i i
i δ~
i=1
• Insgesamt
N X
∂T
d ∂T
−
− Qj δqj = 0
dt ∂ q̇j
∂qj
i=1
• da alle δqj voneinander unabhängig sind und diese
Gleichung für alle δqj (innerhalb der Bedingungen) gelten soll folgt daraus, dass für alle j =
1, . . . , s gilt:
∂T
d ∂T
−
= Qj
dt ∂ q̇j
∂qj
= 0 ⇒ pi = const
→ Die qi für die diese Gleichung gilt heißen zyklische Variablen
∂V
∂qj
•
∂L
∂qi
∂L
∂ q̇i
Formulierung
• Mathematische Struktur
• Grundlage der Quantenmechanik
• Bewegungen sind 1. Ordnung (numerisch besser)
• Benötigt: Variationsrechnung
3.1
Variationsproblem
Ziel mache das folgende Integral
Z x2
dx f (x, y1 , . . . , yn , y1′ , . . . , yn′ )
I=
x1
extremal mit Hilfe eines optimalen Weges machen
~y (x) = (y1 (x) , . . . , yn (x))
Euler-Gleichung Die Lösung der folgenden DGL’s
ist ein äquivalentes Ziel:
d
∂f
∂f
∀i :
−
=0
′
dx ∂yi
∂yi
• Spezialfall mit n = 1, und f ist nicht explizit von
x abhängig ( ∂f
∂x = 0), gilt:
f−
∂f ′
y = const
∂y ′
falls y die Euler-Gleichung löst.
• Lagrange-Gleichungen können als Lösung eines
Variationsproblems interpretiert werden.
10
3
3.2
HAMILTONSCHE FORMULIERUNG DER MECHANIK
Das Hamiltonische Prinzip
• Prinzip der kleinsten Wirkung
• auch Noether Theorem genannt
• Hierraus folgt aus:
Translationsinvarianz freie Ursprungswahl im
Raum die Impulserhaltung
Wirkungsintegral
s=
Z
t2
t1
dt L t, ~
q, ~
q˙
• L = T − V in abhängigkeit von den Verallgemeinerten Koordinaten ~
q = {q1 , . . . , qn }
• Wirkung s
Rotationsinvarianz isotropie
des
Raumes
(Richtungsunabhängigkeit) die Drehimpulserhaltung
Zeitverschiebung Energieerhaltung
Gallileiinvarianz Schwerpunktsimpulserhaltung
~ (t) = R
~ 0 + 1 P~ t
R
M
• Die
Bahn
eines durch die Lagrangefunktion
#
Erhaltungsgröße
Transformation
˙
L t, ~q, ~q beschriebenen Systems ist gegeben
P~ = const
3
~x′i = ~xi + ~a
durch Extremum der Wirkung s
~ = const
L
3
~x′i = D~xi
d ∂L
∂L
1
E = const
t′ = t + τ
−
= 0
~
~
dt ∂ q̇i
∂qi
3 M R − P t = const
~x′i = ~xi + ~v t
⇔
Z t2
dt L t, ~
q , ~q˙ = 0
δs = δ
allgemeines Noether Theorem
t1
q (t) → q (t, γ)
Eichfreiheit L nur bestimmt bis auf eine totale Zeitableitung einer Funktion G (~
q , t).
L̃ = L +
L (q (t, γ) , q̇ (t, γ) , t)
d
G (~
q , t)
dt
L, L̃ führen auf die gleichen Bewegungsgleichungen.
Vorteile des Hamiltonischen Prinzips
• es ist kompakt + elegant
• Invariant ist damit
s
X
∂L ∂qi ∂
G
(q,
t)
= const
−
∂ q̇i ∂γ γ=0
∂γ
γ=0
i=1
• läßt sich relativistisch verallgemeinern, anwendbar
in Quantenmechanik
• anwendbar in Kontinuumsmechanik, Elektrodynamik (funktioniert auch für Felder!)
Invarianzen und Erhaltungssätze
Verallgemeinerte Koordinaten werden Transformiert von qi (t) 7→ qi (t, γ) mit γ ∈ R.
• Wir erhalten also eine Geradenschaar
L (q (t) , q̇ (t) , t)
d
+ G (q (t, γ) , t)
dt
• siehe 3.2 (Eichfreiheit ).
• es ist immer von gleicher Form, unabhängig von 3.2.2
der Wahl eines Koordinatensystems
3.2.1
=
Hamilton Funktion
H (q, p, t) =
s
X
i=1
• pi =
∂L
∂ q̇i
q̇i pi − L = ~q̇~
p−L
verallgemeinerter Impuls
• L = ~q̇~
p−H
• H ist die negative Legendre Transformierte von L
3.2.3
Legendre Transformation
• q (t, γ) muss so beschaffen sein, das die Lagrange- gegeben f (x, y)
gleichung für alle γ ∈ R erfüllt ist
gesucht g (u, y) mit u = ∂f
∂x wobei u, y unabhängig
sind
Invariant unter der Transformation von qi (t) 7→
qi (t, γ) ist
g = f − ux
s
X
∂L ∂qi = const
dg
∂ q̇i ∂γ γ=0
Rücktransformation f = g − u du
i=1
11
4.1 Diracsche δ-Funktion
3.2.4
Hamiltonische Bewegungsgleichungen
∂H
∂qi
∂H
∂pi
ṗi
= −
q̇i
=
•
=
∂H
∂t
=
δ (x − a) = lim
η→o+
− ∂L
∂t
Phasenraum Γ = (q, p) 2s Dimensional
Energie H (q, p, t) = E = Gesamtenergie
• Falls E = const ⇒ Ḣ = 0 ist die Lösung eine
2s − 1 dimensionale Hyperfläche in Γ
3.2.5
α
(
1
dx Lη (x) =
0
a ∈ (α, β)
sonst
Diracsche δ-Funktion
• die ersten beiden Gleichungen ergeben 2s DGL.
1.Ordnung. Dies sind doppelt so viele wie bei Lagrange 2, allerdings dafür nur von der “halben”
Ordnung. Dies ist numerisch günstiger
dH
dt
• limη→0+
Rβ
Poisson-Klammern
•
Rβ
α
dx δ (x − a) =
(
1
0
1
η
π η 2 + (x − a)2
a ∈ (α, β)
sonst
• Achtung! Reihenfolge des Grenzwertbildung beachten
• ist eigentlich keine Funktion, da für x = a nicht
definiert, sondern eine Distribution
• f (x) sei stetige Funktion
(
Rβ
f (a) a ∈ (α, β)
α dx f (x) δ (x − a) =
0
sonst
Pn
1
δ (x − xi )
• δ [f (x)] = i=1 |f ′ (x
i )|
′
mit f (xi ) = 0 und f (xi ) 6= 0
• g (x) δ (x − a) = g (a) δ (x − a)
Man definiert für ein physikalisches System mit s verRβ
allgemeinerten Koordinaten qk und s verallgemeiner′
Ableitung
α dx f (x) δ (x − a)
(
ten Impulsen pk , k = 1, . . . , s, für zwei Funktionen
−f ′ (a) a ∈ (α, β)
f (~q, p~, t) , g (~q, p~, t) die Poisson-Klammer
0
sonst
s X
∂g ∂f
∂f ∂g
−
{f, g} =
∂qk ∂pk
∂qk ∂pk
• f (x) δ ′ (x − a) = −f ′ (a) δ (x − a)
=
k=1
•
df
dt
= {f, H} +
• δ (x − a) =
∂f
∂t
d
dx Θ (x
− a)
• Heavyside vs. Dirac
Z β
d
dx Θ (x − a) =
dx
α
• q̇k = {qk , H} und ṗk = {pk , H}
• {qi , pj } = δij
• {a, b} = − {b, a}
• Gilt Ȧ = Ḃ = 0, dann auch
d
dt
• Gilt Ḟ = Ḣ = 0, dann auch
d ∂F
dt ∂t
=
4.1.1
Θ (x) =
Eindimensional
• Höhe des Maximums
x
′
′
dx δ (x ) =
4.1.2
1
πη
• Stelle des Maximums a
• Breite (Halbwertsbreite) 2η
• ∀x 6= 0 : limη→o+ Lη (x − a) = 0
(
1 x>0
0 x≤0
• auch Stufenfunktion genannt
Diracsche δ-Funktion
Lorentzfunktion Lη (x) =
Z
−∞
η
1
π η 2 +(x−a)2
β
Heavyside Funktion
Elektrostatik
4.1
dx δ (x − a)
Θ (x − a)|α
(
1 a ∈ (α, β)
0 sonst
{A, B} = 0
=0
β
α
=
• {a, {b, c}} + {b, {c, a}} + {c, {a, b}} = 0
4
Z
mit η > 0
Mehrdimensional
• δ (~x − ~x0 ) = 0 für ~x 6= ~x0
(
R 3
1 ~x0 ∈ V
• V d ~x δ (~x − ~x0 ) =
0 sonst
Kartesisch
δ (~x − ~x0 ) = δ (x − x0 ) · δ (y − y0 ) · δ (z − z0 )
12
4
Orthogonal Krummliniege Koordinaten
0 )·δ(y−y0 )·δ(z−z0 )
δ (~x − ~x0 ) = δ(x−x
h1 (~
x0 )·h2 (~
x0 )·h3 (~
x0 )
∂~x • hi = ∂u
Maßzahl
i
Feldgleichungen der Elektrostatik / Maxwell
Gleichungen der Elektrostatik Gelten wie im Folgenden im Vakuum
• Differenzielle Form
• Kugelkoordinaten
~ ·E
~ (~x)
∇
δ (r − r0 ) · δ (ϕ − ϕ0 ) · δ (θ − θ0 )
r02 sin θ0
δ (~x − ~x0 ) =
~ ×E
~ (~x)
∇
Interessantes indem δ vorkommt
•
4.2
I
′
= 4πδ (~x − ~x )
I∂V
Grundlagen
Ladung Q =
• n∈Z
P
i qi
∂S
=n·e=
R
V
d3 ~x̺ (~x)
• e = 1, 602 · 10−19 C
Elektron n = −1
Proton n = +1
Ladungsdichte von Punktladung ̺ (~x) = qδ (~x − ~x0 )
Stromdichte ~j =
I
ej
A~
−~
x2
Coulombgesetz F~12 = kq1 q2 |~x~x1−~
x |3
1
2
• Kräfte unterliegen dem Superpositonsprinzip
• im SI-System gilt
→ 1C = 1As
→ 1V = 1 NAsm
→ k = 10−7 c2 AN2 =
~ = limq→0
E-Feld E
~ (~x) =
• E
1
4πǫ0
1
4πε0
V
~
d~σ · E
=
1
Q
ε0
~
d~x · E
=
0
• Singularitäten in ̺ werden hiermit auf 0 abgebildet! An diesen stellen muss mittels Gausschem
Satz die Ladungsverteilung seperat ermittelt werden.
• Inhomogene, lineare, partielle DGL 2. Ordnung
• Probleme der Lösung: “Grundproblem der Elektrostatik”
• allgemeine Lösung der Poisson-Gleichung ist eine
Summe aus einer Speziellen Lösung der PoissonGleichung plus allgemeine Lösung der LaplaceGleichung
Laplace-Gleichung gilt wenn im Raum keine Ladungen vorhanden sind
~
F
q
′
R
= 0
Poisson-Gleichung fasst die Maxwellgleichungen zusammen
1
△φ (~x) = − ̺ (~x)
ε0
△φ (~x) = 0
• Kraft am Ort ~x auf die Probeladung q
~
• F~ = q E
1
̺ (~x)
ε0
=
• Integralform
1
• △x |~x−~
x′ )
x′ | = −4πδ (x − ~
−~
x′
∇~x |~x~x−~
x′ |3
ELEKTROSTATIK
−~
x
d3 ~x′ ̺ (~x′ ) |~x~x−~
x′ |3
4.3
Feldverhalten an Grenzflächen
~
ist stetig beim
→ für Kontinueriliche Ladungsverteilung geht Tangentialkomponente des E-Feldes
Durchgang durch Grenzfläche, auch mit Ladung
dies ebenfalls
mit
PN
auf der Fläche.
̺ (~x) = i=1 qi δ (~x − ~xi )
~ ist Wirbelfrei ⇔ ∇
~ ×E
~ =0
• E
~ (~x) = −∇φ
~ (~x)
el. Potential E
R 3 ′
1
1
d ~x ̺ (~x′ ) |~x−~
• φ (~x) = 4πε
x′ |
V
0
• Pot. Energie V (~x) = q · φ (~x)
d|~
p| Polarisierbarkeit α = dE
0
E0 =0
Spannung
U (~x, ~x0 ) =
Z
~
x
~
x0
~ (~x′ ) = − (φ (~x) − φ (~x0 ))
d~x′ E
~
• auf leitender Oberfläche hat das E-Feld
keine Normalkomponente.
~
Normalkomponente des E-Feldes
kann beim
Durchgang durch Grenzfläche (Normalenvektor
~n) unstetig sein, Betrag ist durch Flächenladungsdichte σ gegeben.
~a − E
~i = 1 σ
~n E
ε0
• ist also nicht stetig, falls Ladungen vorhanden
13
4.5 Multipolentwicklung
4.4
Feldenergie
Die Energie einer auf einem endlichen Raumbereich
begrenzten Ladungskonfiguration ̺ (~x) entspricht genau der Arbeit, die nötig ist, um Ladungen aus dem
unendlichen (R → ∞) zu dieser Konfiguration zusammenzuführen. Konvention φ (R → ∞) → 0
Punktladung
W =
N
1 X
qi qj
8πε0 i,j=1 |~xi − ~xj |
i6=j
Kontinuum
W
=
=
=
=
=
Z
Z
̺ (~x′ ) ̺ (~x)
1
d3 ~x′ d3 ~x
8πε0
|~x′ − ~x|
Z
1
d3 ~x̺ (~x) φ (~x)
2
Z
ε0
−
d3 ~xφ (~x) (△φ (~x))
2
Z
2
ε0
~
d3 ~x E
(~x)
2
Z
d3 ~x w (~x)
• gilt nur für stetige Ladungsverteilung
→ naja, aber Stufenfunktion & Punktladung
geht trotzdem
• nur wenn Ladung nur auf endliches Gebiet verteilt
ist
Multipolmomente sind Koeffizienten aus der Tailorentwicklung von φ


3
X
1
1  q ~r · p~
xi xj Qij + . . .
+ 3 + 5
φ (~r) =
4πε0 r
r
2r i,j=1
1
1 T
q ~r · p~
=
+ 3 + 5 ~r Q~r + . . .
4πε0 r
r
2r
• Aus Entwicklung um 0 von
Z
1
̺ (~r′ )
ϕ (~r) =
d3~r′
4πε0
|~r − ~r′ |
• Entwicklung des Potentials für Abstände groß genug gegenüber der Ausdehnung
der
Ladungsverteilung (R) ⇒ höhere Therme
4.5
2
~
E (~x)
Multipolentwicklung
Problem Berechnen des Potentials einer Komplizierten, aber räumlich begrenzten Ladungsverteilung
(im unbegrenzten Raum)
• ̺ (~r) 6= 0 für |~r| < R
̺ (~r) = 0 für |~r| ≥ R
• keine Randbedingungen
• Gesucht ist Potential φ (~r) für |~r| ≫ R
ExpNabla ist nur eine abkürzende Schreibweise. Sie
wird für mehrdimensionales Taylern benötigt.
• Taylern mit Nabla
• Bsp
~ f (~x)
f (~x + ~a) = exp ~a∇
1
~r 1
= exp −~r′ ∇
′
|~r − ~r |
r
unterdrückt
• Für große Entfernung: erstes von Null verschiedenes Multipolmoment dominiert
Monopolmoment q =
R
d3 r̺ (~r)
• q ist genau die Gesamtlaung
• q 6= 0 ⇒ Momopol dominiert in der Fernzone
• φ∼
1
r
• Potential einer Punktlagung
φ (~r) =
ε0
2
n
• höhere Terme sind nur wichtig nahe an der Ladungsverteilung.
~
• F~ = −∇W
Energiedichte w (~x) =
R
|~
r|
Dipolmoment ~p =
R
1 q
4πε0 r
d3 r̺ (~r) ~r
• Falls Ladungsverteilung Punktsymetrisch ist, gilt
p~ = 0
• φ∼
1
r2
• falls q = 0 dominiert der Dipoltherm
φ (~r) =
1 ~rp~
4πε0 r3
Quadrupolmoment
Z
Qij = d3 r 3xi xj − r2 δij ̺ (r)
• φ∼
1
r3
• Falls q = 0 und ~p = 0, dann dominiert der Quadropol
φ (~r)
=
=
3
X
1
xi xj Qij
8πε0 r5 i,j=1
1
~rT Q~r
8πε0 r5
14
4
• Qij hat nur 5 unabhängige Elemente
P
•
i Qii = 0
ELEKTROSTATIK
• Die obere Gleichung ist überbestimmt. Es genügt
∂φ
zu kennen. Dies nennt sich
entweder φ oder ∂n
Cauchy-Randbedingungen.
• Qij = Qji
Q = QT
Dirichlet Randbedingungen: φ gegeben auf ∂V
• Qij = 0 falls ̺ (~x) auf der xi oder xj Achse symmetrisch ist
• Falls die Laungsverteilung Rotationssymmetrisch
/ Kugelsymmetrisch ist, gilt Qij = 0
Oktopol wäre der nächste Term in der Taylorentwicklung
→ Eindeutiges φ
Neumann Randbedungungen:
∂V
∂φ
∂n
gegeben auf
→ Eindeutiges φ bis auf konstanten additiven
Therm: φ1 , φ2 Lösungen ⇒ φ1 − φ2 = konst
Physikalische Realisierung geht mit Hilfe von
4.6
Wechselwirkungsenergie im externen Potential
Problem Gesucht ist die Wechselwirkungsenergie einer räumlich beschränkten Ladungsverteilung mit
einem externen Potential
Wechselwirkungsenergie W =
qφext (~r0 ) −
P3
∂Ei 1
~
+ ...
p~Eext (~r0 ) − 6 i,j=1 Qij ∂xj ~
r=~
r0
• ~r0 ist der Entwicklungspunkt / Ursprung, bzg.
dem q, p~, Qij der Ladungsverteilung berechnet
werden.
~
• F~ = −∇W
ist die Kraft auf die Ladungsverteilung
→ beim Dipol
~ E
~ (~r)
F~ (~r) = ~
p∇
4.7
Randwertprobleme in der Elektrostatik
1
φ(~
x)= 4πε
0
R
3
V
d x
′
̺(~
x)
1
+ 4π
~ −~
x′ |
|x
R
∂V
df
„
∂φ
1
x−~
x′ | ∂n′
|~
∂
−φ ∂n
′
„
1
x−~
x′ |
|~
««
• df ist das infinitesimale Flächenelement
•
∂
∂n′
∂ψ
∂n′
• Lösung dieser DGL ließert das Potential in V
∂φ
• ̺ in V und φ bzw. ∂n
auf ∂V bestimmen φ vollständig ⇔ Ladungen außerhalb V tragen wenn
überhaupt nur noch indirekt durch die Randbedingungen zu φ bei.
• Falls im Volumen V keine Ladungen liegen
R
∂V
df
„
1
x−~
x′ |
|~
∂φ
∂n′
∂
−φ ∂n
′
„
1
~ −~
x′ |
|x
Leiter (Metalle) freie Ladungsträger
Greensche Funktion
G (~x, ~x′ ) =
1
+ f (~x, ~x′ )
4πε0 |~x − ~x′ |
• mit f ~a, ~b = f ~b, ~a und G ~a, ~b = G ~b, ~a
• falls △x f (~x, ~x′ ) = 0 für alle ~x, ~x′ ∈ V
• △x G (~x, ~x′ ) = − ε10 δ (~x − ~x′ )
Neumann
∂GN
∂n′
(~x, ~x′ ) = − ǫ0 1∂V für alle ~x′ ∈ ∂V
R 3 ′
x, ~x′ ) ̺ (~x) +
→ φ (~x′ ) − φ0 =
V d x GN (~
R
∂φ
ε0 ∂V df ′ GN (~x, ~x′ ) ∂n
′
Dirichlet GD (~x, ~x′ ) = 0 für alle ~x′ ∈ ∂V
R 3 ′
d ~x GD (~x, ~x′ ) ̺ (~x′ )
→ φ (~x)
=
V
H
D
ε0 ∂V df ′ φ (~x) ∂G
∂n′
−
Methode der Bildladung
leitet
nach
dem Flächennormalenvektor ab
~
= ∇ψ ~en′
1
φ(~
x)= 4π
Nichtleiter (Isolatoren) Ladungsträger fest, gilt
auch für zusätzliche Ladungen
««
• Ist V der Gesamtraum R3 dann hat man Randbedingungen im Unendlichen und erhält das normale
Poisson Integral
• Ist eine Geometrische Konstruktion
• Es wir eine Ladungsanordnung (Bildladung) außerhalb vom Volumen gesucht die so beschaffen
ist, das die Randbedingungen erfüllt sind
• Mit dieser Gesamtanordnung (Ladung im Volumen + Bildladung) kann man nun die Randbedingungen fallen lassen und das Potentail ohne sie
Berechnen
Seperationsansatz ist der Versuch φ (x, y, z) =
f (x) · g (y) · h (z) als Ansatz zur Lösung der DGL
zu wählen
• Hier zum Bsp. mit Fourier Funktionen
15
4.8 Orthogonale Funktionen
4.8.1
Seperationsansatz in Polarkoordinaten
U (r)
P (θ) Q (ϕ)
r
φ (r, θ, ϕ) =
ist ein spezielles Orthonormalsystem mit
f (t) =
• mit Q = const und Al , Bl aus Randbedingungen
φ (r, θ) =
∞ X
l=0
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ)
• mit Alm , Blm aus Randbedingungen
φ(r,θ,ϕ)=
4.8
P∞ Pl
l=0
m=−l
Fourierreihe
an
=
bn
=
∞
a0 X
+
(an · cos(nωt) + bn · sin(nωt))
2
n=1
Z b
2
dt f (t) · cos(nωt)
(b − a) a
Z b
2
dt f (t) · sin(nωt)
(b − a) a
(Alm rl +Blm r−(l+1) )Ylm (θ,ϕ)
4.8.2
Orthogonale Funktionen
Kugelflächenfunktionen
Legendre’sche DGL
Betrachte im folgenden stetige Funktionen einer Variablen auf [a, b] ⊆ R.
∂
∂x
quadratisch integrabel heißt eine Funktion f
[a, b] → C, falls das folgende Integral exisitiert
Z b
2
dx |f (x)|
• mit l ∈ Z und m ∈ N
:
a
• |x|2 = x∗ x mit x∗ das komplex Konjungierte zu x
1 − x2
∂P
∂x
Darstellung einer Funktion f (x) mit orthonormalen
Funktionen {Un (x)} als Basis (so gut es mit dieser
Basis eben geht)
minimal =
b
a
fN (x)
cn
=
=
N
X
n=1
Z b
a
2
dx |f (x) − fN (x)|
=
dx Un∗ (x) · f (x)
n=1
l
1 ∂l
x2 − 1
2l l! ∂xl
Pl (x) =
• P0 (x) = 1
P1 (x) = x
P2 (x) = 12 3x2 − 1 P3 (x) = 21 5x3 − 3x
• Dieser Bilden ein vollständiges Funktionensystem
(aber nicht orthogonal)
Z 1
2
δll′
dx Pl′ (x) Pl (x) =
2l + 1
−1
∞
X
f (x) =
Al Pl (x)
l=0
2l + 1
l
=
Al
Z
1
dx f (x) Pl (x)
−1
Zugeorndnete Legendre Polynome Plm (x)
sung von Legendre DGL
m
Plm (x)
=
1 − x2
m
• dieses gilt für m ≥ 0
• für m beliebig gilt
−|m|
Pl
Lö-
m2 ∂ l+m
Pl (x)
∂xl+m
m
m ∂
Pl (x)
1 − x2 2
∂xm
(−1)
2l l!
= (−1)
lim fN (x)
Un∗ (y) Un (x) = δ (x − y)
P =0
Legendre Polynome mit berechnung nach Rodriges
N →∞
Vollständigkeitsrelation ist äquivalent dazu, das
{Un (x)} vollständig ist
∞
X
• P (x) ist auf [−1, +1] definiert
cn Un (x)
Vollständig heißt ein Funktionensystem {Un (x)}
falls gilt
f (x)
m2
1 − x2
• Pl (x) Lösung von Legendre DGL mit m = 0
Orthonormal heißt ein Funktionensystem {Un (x)}
falls gilt
(
Z b
1 m=n
∗
dx Un (x) · Um (x) = δnm =
0 sonst
a
Z
+ l (l + 1) −
• es gilt −l ≤ m ≤ l
Funktionensystem ist eine Familie von Funktionen
{Un (x)} := {Un (x)}n∈N
|m|
= (−1)
(l − |m|)! |m|
P
(l + |m|)! l
16
5
Kugelflächenfunktion
s
r
2l
+
1
(l − m)! m
Ylm (θ, ϕ) =
P (cos θ) eimϕ
4π
(l + m)! l
• Orthogonalität
Z 2π
Z π
′
∗
dϕ
dθ sin ϕYlm
(θ, ϕ) Ylm (θ, ϕ) = δll′ δmm′
′
0
• r< = min (r, r′ )
r> = max (r, r′ )
Sphärische Multipolmomente
Z
l
qlm = d3 x′ ̺ (~x′ ) (r′ ) Ylm∗ (θ′ , ϕ′ )
m
∗
• qlm
= (−1) ql,−m
0
• Hiermit gilt für das Potential
• Vollständigkeitsrelation
P∞ Pl
m′ ∗
(θ, ϕ) Ylm (θ, ϕ)
m=−l Yl′
l=0
= δ (cos θ′ − cos θ) δ (ϕ′ − ϕ)
• Diese Funktionen bilden also ein Orthogonales und
Vollständiges Funktionensystem
•
Y00
(θ, ϕ) =
Y10
(θ, ϕ) =
√1
q4π
3
4π
q
3
Y11 (θ, ϕ) = − 8π
sin θeiϕ
q
5
Y20 (θ, ϕ) = 12 4π
3 cos2 θ − 1
q
15
Y21 (θ, ϕ) = − 21 8π
sin θ cos θeiϕ
q
15
Y22 (θ, ϕ) = 41 2π
sin2 θe2iϕ
• Koordinaten bzgl. Kugelflächenbasis
f (θ, ϕ)
=
φ (~x) =
l
∞
1 X 4π
1 X m
Yl (θ, ϕ) · qlm
4πε0
2l + 1 rl+1
∞ X
l
X
alm Ylm (θ, ϕ)
m=−l
l=0
5
Magnetostatik
Stromdichte ~j =
cos θ
Strom
Fläche
Alm
=
dΩ
=
m
• Ylm∗ = (−1)
dΩ Ylm∗
(θ, ϕ) · f (θ, ϕ)
dϕ sin θdθ
• ~v ist die Driftgeschwindigkeit der Elektronen
Magnetostatik
∂̺
∂t
=0
~ ~j = 0
• ∇
Pl (cos α) =
m=−l
4π
Y m∗ (θ′ , ϕ′ ) Ylm (θ, ϕ)
2l + 1 l
1
|~
x−~
x′ |
′
mit α∡ (~x, ~x )
1
1
=
|~x − ~x′ |
r
∞
X
l=0
′ l
r
Pl (cos α)
r
• Für Näherungen wähle r′ < r, als entwickele so,
das kürzerer Vektor auf dem Bruch steht
Allgemein mit ~x → (r, θ, ϕ) und x~′ → (r′ , θ′ , ϕ′ )
1
x−~
x′ |
|~
=
P∞ P+l
l=0
V
Konstanten ε0 µ0 c2 = 1
1
4π
m=−l 2l+1 r>
“
r<
r>
~ (~x) = µ0
B
4π
µ0
x′
4π Id~
Z
V
H
×
∂V
df~ · ~j
~
x−~
x′
|~
x−~
x′ |3
d3 x′ ~j (~x′ ) ×
~x − ~x′
3
|~x − ~x′ |
• Unendlich langer Draht auf z-Achse
mit ρ Anstand von der z Achse
Spärische Multipolmomente
Entwickeln von
~ ~j =
d3 x ∇
R
~ (~x) = µ0 I ~eϕ
B
2πρ
• mit α∡ ((r, θ, ϕ) , (r′ , θ′ , ϕ′ ))
4.9
Knotenregel 0 =
~ (~x) =
Biot-Savart dB
+l
X
~ ~j = 0
+∇
∂̺
∂t
Ladungserhaltung
Yl−m
Additionstheorem für Kugelflächenfunktion
= ̺ (~x, t) ~v (~x, t)
• ̺ ist die Ladungsdichte
l=0 m=−l
Z
MAGNETOSTATIK
”l
Ylm∗ (θ ′ ,ϕ′ )Ylm (θ,ϕ)
Verallgemeinerung I d~x = ~j (~x) d3 x
Kraft auf Strom
dF~
=
F~
=
~ (~x)
Id~x × B
Z
~ (~x)
d3 x ~j (~x) × B
V
• Kraft von einem Leiter auf einen anderen, wenn
einer der Leiter geschlossen ist.
I
I
~x1 − ~x2
µ0
d~x2
d~x1 ·
F~12 = − I1 I2
3
4π
|~x1 − ~x2 |
C2
C1
17
• mit ~j (~x) = q~v δ (~x − ~x0 ) folgt die Lorentz-Kraft
~ (~x)
F~ (~x) = q~v × B
Vektorpotential
~ (~x) = µ0
A
4π
Z
~j (~x′ )
|~x − ~x′ |
d3 x′
~
• Hiermit lässt sich das B-Feld
auch schreiben als
~ (~x) = ∇
~ ×A
~ (~x)
B
• analog zum Potential in der Elektrostatik
Grundgleichung der Magnetostatik
~ (~x) = −µ0~j (~x)
△x A
• gilt nur für Räumlich beschränkte Ladungsverteilung
• dies sind 3 poisson DGL’s, für jede Raumkoordinate eine
Maxwell’sche Gleichungen in Differentialform im
Vakuum
~ ·E
~ = −̺
∇
ε0
~
~
∇×E = 0
~ ·B
~
∇
~
~
∇×B
=
0
=
µ0~j
~ ·B
~ = 0 bedeutet das es keine magnetischen La• ∇
dungen gibt
~ nicht Eindeutig durch B
~ = ∇
~ ×A
~ beEichung A
stimmt
~′ = A
~ + ∇ψ
~
A
ist ebenfalls eine Lösung. Diese Transformation
nennt sich Eichtransformation.
• Coulomb-Eichung: △ψ = 0
→ insbesondere ψ = 0
magnetisches Moment m
~ =
~ ≈
A
~ (~x) ≈
B
1
2
R
V
d3 x ~x × ~j
µ0 m
~ × ~x
4π r3
µ0 3 (m~
~ x) ~x m
~
− 3
4π
r5
r
• Näherung gilt für ~x mit |~x| ≫ R mit der Ausdehnung der Stromverteilung R
• m
~ ist zweiter Koeffizient der Taylornäherung von
~
A
• Gleichung gilt mit der Eichung ψ = 0
Index
Additionstheorem, 16
Arbeit, 8
Beschleunigung, 2
Bildladung, 14
Biot-Savart, 16
Bogenlänge, 1
Cauchy-Randbedingungen, 14
Coulomb-Eichung, 17
Coulombgesetz, 12
d’Alembertsches Prinzip, 9
Dipolmoment, 13
Diracsche δ-Funktion, 11
Dirichlet, 14
Drehimpuls, 5, 6
Drehimpulserhaltung, 10
Drehimpulssatz, 5
Drehmoment, 5
Dreibein, 2
E-Feld, 12
Eichfreiheit, 10
Eichtransformation, 17
el. Potential, 12
Elastisch, 3
Elektron, 12
Elektrostatik, 11
Ellipse, 3
Energiedichte, 13
Energieellipsoiden, 6
Energietransfer, 4
Euler-Gleichung, 9
Eulersche Kreiselgleichungen, 7
ExpNabla, 13
Feldenergie, 13
Fourierreihe, 15
Frenet-Matrix, 2
Funktionensystem, 15
Gallileiinvarianz, 10
Gangpolkegel, 7
gebundene Systeme, 2
generalisierte Koordinaten, 8
Geschwindigkeit, 2
Gleichgewicht, 8
Grenzfläche, 12
Grundgleichung der Magnetostatik, 17
Halbachsen, 3
Hamiltonische Prinzip, 10
Hamiltonsiche Bewegungsgleichungen, 11
Hauptträgheitsachen, 6
Heavyside Funktion, 11
holonome Zwangsbedingungen, 8
Hyperbel, 3
Impuls, 9
Impulserhaltung, 10
Inelastisch, 3
isotropie, 10
Körperfest, 6
Kegelschnittgleichung, 3
Kepler, 3
Knotenregel, 16
Krümmung, 2
Krümmungsradius, 2
Kraft auf Strom, 16
Kreisel, 6, 7
Kugelflächenfunktion, 16
Kugelflächenfunktionen, 15
Kurventheorie
Hauptsatz, 2
Ladung, 12
Ladungsdichte, 12, 16
Ladungserhaltung, 16
Lagrange 1. Art, 8
Lagrange 2ter Art, 9
Lagrange Mechanik, 8
Lagrange Multiplikator, 8
Laplace-Gleichung, 12
Legendre Polynome, 15
Legendre Transformation, 10
Legendre’sche DGL, 15
Lorentz-Kraft, 17
magnetisches Moment, 17
Magnetostatik, 16
Maxwell, 12
Mittelwert, 2
Moment, 17
Monopolmoment, 13
Multipolentwicklung, 13
Multipolmoment, 16
Multipolmomente, 13
Neumann, 14
nicht-holonom, 8
Noether Theorem, 10
Nutationskegel, 8
offene Systeme, 2
Oktopol, 14
Orthogonale Funktionen, 15
Orthonormal, 15
Parabel, 3
Phasenraum, 11
Poisson-Gleichung, 12
Poisson-Klammern, 11
Polarisierbarkeit, 12
Potential
elektrisch, 12
Proton, 12
Punktladung, 13
18
INDEX
quadrarisch integrabel, 15
Quadrupolmoment, 13
Randwertprobleme, 14
Rastpolkegel, 8
reduzierte Masse, 3
Relativbewegungen, 3
rheonom, 8
Rodriges, 15
Rotation, 2
Rotationsinvarianz, 10
Scheinerscher-Satz, 6
Seperationsansatz, 14
skleronom, 8
Spannung, 12
Stoss, 3
Streuung, 3
Streuwinkel, 3
Stromdichte, 12, 16
Stufenfunktion, 11
Tensorbegriff, 5
Trägheitsellipsoiden, 6
Trägheitsmoment, 5
Trägheitstensor, 6
Translationsinvarianz, 10
Variationsproblem, 9
Vektorpotential, 17
Verallgemeinerter Impuls, 9
verlorene Kräfte, 8
Verrückung, 8
Virial, 2
Virialsatz, 2
virtuelle Arbeit, 8
virtuelle Verrückung, 8
Vollständig, 15
Vollständigkeitsrelation, 15
Vorwärtsstreuung, 3
Wechselwirkungsenergie, 14
Windung, 2
Wirkung, 10
Wirkungsintegral, 10
Zeitverschiebung, 10
Zugeorndnete Legendre Polynome, 15
Zwangsbedingungen, 8
Zwangskräfte, 8
Zweiteilchensysteme, 2
zyklische Variablen, 9
19