Eindimensionale Potentialprobleme

Kapitel 3
Eindimensionale
Potentialprobleme
3.1
Problemstellung
Fragestellung. Es soll die quantenmechanische Beschreibung eines Teilchens in einer Dimension, das ein Potential V sieht“ (Abbildung 3.1), erarbeitet werden.
”
V (x)
x
Abbildung 3.1: Beispiel für ein eindimensionales Potential.
Die quantenmechanische Beschreibung eines Teilchens in einem Potential V (x) erfolgt durch die Schrödinger–Gleichung
∂
(3.1)
i � Ψ(x, t) = H Ψ(x, t)
∂t
mit dem Hamilton–Operator
−�2 d2
+ V (x) .
(3.2)
2m dx2
Wir nehmen an, dass das Potential V (x) unabhängig von der Zeit ist. Dann stehen
wir vor der Herausforderung, die stationäre Schrödinger–Gleichung
�
�
� 2 d2
−
+ V (x) ψ(x) = E ψ(x)
(3.3)
2m dx2
H =
38
3.1. PROBLEMSTELLUNG
zu lösen. Die Lösung der Schrödinger–Gleichung ist damit, wie auf Seite 18 diskutiert,
gegeben durch
i
Ψ(x, t) = ψ(x) · e− � E t .
(3.4)
Gesucht sind die:
(1) Energie–Eigenwerte E. Die Gesamtheit {E} der Energie–Eigenwerte wird als
Spektrum bezeichnet.
(2) Eigenfunktionen ψ(x), die die Eigenwert–Gleichung
H ψ(x) = E ψ(x)
(3.5)
lösen.
Wir stellen die folgenden Anforderungen an die Wellenfunktion ψ:
(W1) ψ muss normierbar sein, d.h.
�∞
−∞
dx |ψ(x)|2 = 1 .
(3.6)
(W2) ψ(x) muss stetig sein für alle x.
Wir können uns nun überlegen, dass (W2) in vielen Fällen auch die Stetigkeit von
ψ � (x) impliziert. Betrachte
�ε
0
dξ ψ �� (x + ξ) =
�ε
0
dξ
2m
[V (x + ξ) − E] ψ(x + ξ)
�2
= ψ � (x + ε) − ψ � (x) .
Falls V eine endliche Funktion ist, so ist der Integrand in der ersten Zeile beschränkt
und es folgt, dass ψ � (x) stetig ist. Wir finden also
(W2� ) ψ � (x) muss stetig sein für alle x, solange V eine endliche Funktion ist.
39
3.2. POTENTIALE MIT SPIEGELUNGS- BZW. PARITÄTS–SYMMETRIE
Bemerkung: In der Schrödinger–Gleichung kommt die zweite Ableitung ψ �� vor.
Wie aus der Mathematik bekannt, impliziert das eigentlich, dass ψ � stetig ist. Aus
Gründen, die wir später in etwas mehr Detail diskutieren werden, lassen wir in der
Quantenmechanik auch Funktionen“ zu, die eigentlich keine sind, wie z.B. die δ–
”
Funktion“. Daher sind (W2) und (W2� ) i.A. nicht–triviale Anforderungen an die
”
Wellenfunktion.
Beispiel (δ = Θ� ). Betrachte die sog. Heaviside–Funktion oder Θ–Funktion
�
0 f ür x ≤ 0 ,
(3.7)
Θ(x) =
1 f ür x > 0 .
Die Behauptung ist nun, dass
δ(x) = Θ� (x) .
(3.8)
Offensichtlich ist Θ� (x) = 0 für x �= 0 und es gilt für eine Funktion f , die im Unendlichen verschwindet, dass
�∞
�
dx Θ (x) f (x) =
[Θ(x) f (x)]∞
−∞
−∞
−
�∞
dx Θ(x) f � (x)
−∞
�∞
= 0 − dx f � (x) = − [f (x)]∞
= f (0) .
0
0
3.2
Potentiale mit Spiegelungs- bzw. Paritäts–Symmetrie
Wir beschäftigen uns nun mit Potentialen, die die (diskrete) Spiegelungs- bzw. Paritäts–Symmetrie
V (−x) = V (x)
(3.9)
aufweisen. Die Operation der Spiegelung wirkt auf die Koordinaten und Ableitungen
in offensichtlicher Weise,
x �→ − x ,
d
d
�→ −
,
dx
dx
d2
d2
→
�
.
dx2
dx2
Wir erklären nun den Paritäts–Operator durch
P f (x) = f (−x) .
(3.10)
Die Annahme der Spiegelung-Symmetrie impliziert
V (x) ≡ V (−x)
�
H(x) ≡ H(−x) ,
(3.11)
weil sich der Hamilton–Operator H aus dem Potential und der zweiten Ortsableitung
zusammensetzt.
40
3.3. DER POTENTIALTOPF
Nun betrachten wir die Schrödinger–Gleichung
�
�
� 2 d2
+
V
(x)
ψ(x) .
H ψ(x) = E ψ(x) = −
2m dx2
Wegen der Symmetrie des Hamilton–Operators (3.11) gilt, dass
P H ψ(x)
(3.11)
=
H ψ(−x) = H P ψ(x) .
Also vertauschen der Hamilton–Operator H und der Paritäts-Operator P ,
[H, P ] = 0 .
(3.12)
Das bedeutet, wie wir in einem Moment sehen werden, dass H und P dieselben Eigenfunktionen besitzen. Betrachten wir zunächst die Eigenwerte und Eigenfunktionen
zum Paritätsoperators P . Sei ψ eine Eigenfunktion, d.h.
P ψ(x) = ψ(−x) = κ ψ(x) .
Aus
�
�
!
P 2 ψ(x) = P ψ(−x) = ψ −(−x) = ψ(x) = κ2 ψ(x)
folgt, dass κ nur die Werte ±1 annehmen kann. Man verwendet die folgende Terminologie:
κ = +1
κ = −1
gerade“ Parität
⇔
symmetrische Wellenfunktion;
”
ungerade“ Parität ⇔ antisymmetrische Wellenfunktion.
”
Wir überlegen uns nun, dass H und P dieselben Eigenfunktionen besitzen. Dazu
betrachte eine Eigenfunktion ψ,
�
�
Hψ = Eψ .
Damit haben wir
0 = (H − E) ψ(x)
= P (H − E) ψ(x)
= (H − E) P ψ(x) .
D.h. P ψ(x) ist ebenfalls eine Eigenfunktion zu H mit Eigenwert E. Da ψ(x) und
P ψ(x) = ψ(−x) beide Eigenfunktionen zu H sind, gilt das auch für die (nicht–
verschwindenden) Linearkombinationen
1
ψ± (x) := √ [ψ(x) ± ψ(−x)] ,
2
welche offensichtlich Eigenfunktionen von P mit Eigenwerten ±1 sind.
41
3.3. DER POTENTIALTOPF
V (x)
a
−a
x
V0
I
II
III
Abbildung 3.2: Potentialtopf.
3.3
Der Potentialtopf
Der Potentialtopf ist definiert durch das Potential
V (x) = − V0 Θ(a − |x|) ,
(3.13)
wobei Θ die Heaviside’sche Θ-Funktion (vgl. Gleichung (3.7)) bezeichnet. Die SchrödingerGleichung für diese Situation ist
�
�
� 2 d2
+ V (x) − E ψ(x) = 0 ,
(3.14)
−
2m dx2
oder
2m
[E − V (x)] ψ(x) = 0 .
�2
Wir suchen nun Lösungen, die den Randbedingungen
ψ �� (x) +
(3.15)
(W2) ψ(x) stetig bei x = ±a
und
(W2� ) ψ � (x) stetig bei x = ±a
genügen.
3.3.1
Gebundene Zustände (−V0 < E < 0)
Es erweist sich als vorteilhaft, die Schrödinger–Gleichung in zwei Gleichungen, eine
für den Innen- und eine für den Außenbereich, zu zerlegen,


 2m |E| ψ(x)
=: κ2 ψ(x)
für |x| > a ,

2
�
��
ψ (x) =

2m(E + V0 )

 −
ψ(x) =: −q 2 ψ(x)
für |x| ≤ a .
�2
Dabei sind
�
�
2m |E|
2m (E + V0 )
und q :=
.
κ :=
�
�
42
3.3. DER POTENTIALTOPF
Lösungen im Außenbereich (|x| ≥ a).
Die allgemeine Lösung ist
ψ(x) = C1 e−κ x + C2 eκ x .
Wir fordern, dass ψ normierbar ist und im Falle beliebig großer Gesamtvolumina im
Potentialtopf endlich bleibt. Daraus folgt, dass ψ(x) nicht für |x| → ∞ exponentiell
anwachsen soll, und somit
�
C1 e−κ x f ür x ≥ a ,
ψ(x) =
C2 e+κ x f ür x ≤ − a .
Lösungen im Innenbereich (|x| ≤ a).
ψ(x) = C3 ei q x + C4 e−i q x = A cos(q x) + B sin(q x) .
0
Wir haben vorausgesetzt, dass −V0 < E, so dass q ∈ . Für −V0 > E existieren keine
Lösungen, die den Randbedingungen genügen, d.h. keine gebundenen Zustände.
Gerade und ungerade Lösungen. Wegen der Spiegelsymmetrie können wir die
Lösungen in gerade und ungerade Lösungen zerlegen:
(g) gerade Lösungen (P ψ(x) = +1 · ψ(x)):

 A cos(q x) f ür |x| ≤ a ,
C e−κ x
f ür x ≥ a ,
ψ(x) =

κ
x
f ür x ≤ − a .
Ce
(u) ungerade Lösungen (P ψ(x) = −1 · ψ(x)):

 B sin(q x) f ür |x| ≤ a ,
C � e−κ x
f ür x ≥ a ,
ψ(x) =

�
κ
x
f ür x ≤ − a .
−C e
Anschlussbedingungen bei |x| = a. Die Anschlussbedingungen erlauben es uns,
Relationen zwischen den Koeffizienten A, B, C und C � zu bestimmen. Aufgrund der
Symmetrie genügt es, die Anschlussbedingungen bei x = a zu diskutieren. Wir betrachten die zwei Fälle gerade Lösung“ und ungerade Lösung“ getrennt.
”
”
Anschlussbedingungen bei x = a für gerade Symmetrie.
ψ(x) stetig bei
ψ � (x) stetig bei
x = a � A cos(q a) = C e−κ a ,
x = a � q A sin(q a) = κ C e−κ a .
Teilt man die zweite Bedingung durch die erste, so erhält man
�
κ
|E|
tan(q a) =
=
q
E + V0
43
3.3. DER POTENTIALTOPF
oder
q a tan(q a) = κ a =
�
2m |E|
a.
�2
(3.16)
Um diese transzendente Gleichung zu lösen, führt man dimensionslose Variablen ein,
√
2m V0
z := q a und ξ0 :=
a.
�
Diese erfüllen die Relationen
2m V0 a2
,
�2
2m (E + V0 ) a2
= q 2 a2 =
,
�2
2m E a2
=
.
�2
ξ02 =
z2
ξ02 − z 2
Nun kann man die Gleichung (3.16) durch die neuen Variablen ausdrücken,
�
�
2m |E|
2
2
a.
z tan z =
ξ0 − z =
�
(3.17)
Diese Gleichung kann numerisch gelöst werden, man erhält einen Satz an diskreten
Werten zn (Abbildung 3.3). Die Energie kann durch ξ0 und z ausgedrückt werden,
tan z
�
ξ02 − z 2
z
z1
z2
π/2
3π/2
z3
5π/2
Abbildung 3.3: Graphische Lösung der Gleichung (3.17).
�2 q 2
E =
− V0 = − V 0
2m
�
�
z2
1− 2 .
ξ0
Die diskreten Lösungen zn führen auf diskrete Energie-Eigenwerte
�
�
zn2
En = − V0 1 − 2 ,
ξ0
44
(3.18)
3.3. DER POTENTIALTOPF
V
x
Abbildung 3.4: Gerade Lösungen im Potentialtopf.
insbesondere weisen die gebundenen Zustände ein diskretes Spektrum auf. Wir sehen
auch, dass z 2 nicht größer werden kann als ξ02 , d.h. es gibt nur endlich viele gebundene
Zustände. Einige gerade Lösungen sind in Abbildung 3.4 dargestellt.
Ein wesentliches Axiom der Quantenmechanik impliziert, dass eine Messung der
Energie des Teilchens immer einen Eigenwert des Hamilton-Operators H liefert.1 Das
bedeutet insbesondere, dass man für gebundene Zustände nur diskrete Energien findet!
Anschlussbedingungen bei x = a für ungerade Symmetrie.
ψ(x) stetig bei
ψ � (x) stetig bei
x=a �
B sin(q a) = C � e−κ a ,
x = a � q B cos(q a) = −κ C � e−κ a .
Teilt man hier ebenfalls die zweite durch die erste Bedingung, so erhält man
�
|E|
κ
cot(q a) = −
.
= −
q
E + V0
(3.19)
Setzt man die in Punkt (a) definierten, dimensionslosen Variablen z und ξ0 ein, so
folgt
�
�
�
2m |E|
|E|
2
2
−z cot(z) =
=
a.
(3.20)
ξ0 − z = −
E + V0
�
Diese Gleichung kann ebenfalls numerisch gelöst werden (Abbildung 3.5). Dies führt
auf die Lösungen z̄n . Betrachtet man nun beide Lösungsmengen, zn und z̄n , so erhält
man das Gesamtspektrum aus geraden und ungeraden Wellenfunktionen. Wir sehen,
dass die ungeraden Lösungen systematisch höhere Energieeigenwerte haben. Einige
ungerade Lösungen sind in Abbildung 3.6 dargestellt.
1
Wir werden die Axiome der Quantenmechanik ausführlicher in Kapitel 4 diskutieren.
45
3.3. DER POTENTIALTOPF
− cot z
√
ξ0 −z 2
z
z̄1
z̄3
z̄2
π
2π
Abbildung 3.5: Graphische Lösung der Gleichung (3.17).
V
x
Abbildung 3.6: Ungerade Lösungen im Potentialtopf.
V (x)
−a
V (x)
a
−a
x
E2
E1
a
x
E0
(a) Quantenmechanik.
(b) Klassische Mechanik.
Abbildung 3.7: Potentialtopf. (a) illustriert die Situation in der Quantenmechanik; die Energien der gebundenen Zustände sind gestrichelt eingetragen. (b) zeigt die Situation in der
klassischen Physik, in der ein Objekt, das sich in dem Potential bewegt (und an den Wänden
reflektiert wird) beliebige (kinetische) Energie haben Ekin < |V0 | kann.
46
3.3. DER POTENTIALTOPF
Fazit. Wir finden eine endliche Menge an Lösungen, die gebundenen Zuständen entsprechen und die diskrete Energien besitzen. Dieses Ergebnis ist qualitativ verschieden
von dem klassischen Verhalten eines Körpers, der in einem Potential eingesperrt“ ist
”
(Abbildung 3.7).
Bemerkung: Sowohl für gerade als auch ungerade Symmetrie geht die Zahl der
Lösungen ungefähr mit ξ0 , d.h.
√
2m V0 a2
.
Zahl der Lösungen ∼
�
Die Zahl der Lösungen wird also von der Tiefe des Potentials V0 und der Breite a
kontolliert.
3.3.2
Ungebundene Zustände (E > 0)
Die ungebundenen Zustände werden in der Zentralübung (Zentralübungs–Aufgabe 3)
diskutiert.
Wir betrachten nun ungebundene Zustände, d.h. E > 0.
Außenbereich (|x| ≥ a).
Im Außenbereich ist die Schrödinger–Gleichung
2m E
ψ(x)
2
��
�� �
ψ �� (x) = −
2
=:kaussen
mit
kaussen =
�
2m E
.
�2
Damit hat die Lösung im Außenbereich die Form
ψaussen (x) = A1 ei kaussen x + A2 e−i kaussen x .
Innenbereich (|x| ≤ a).
ψ �� (x) = −
Im Innenbereich |x| ≤ a ist die Schrödinger–Gleichung
2m (E + V0 )
ψ(x)
2
�
�
��
�
2
=:kinnen
mit
kinnen =
�
2m (E + V0 )
.
�2
Damit hat die Lösung im Innenbereich die Form
ψinnen (x) = B1 ei kinnen x + B2 e−i kinnen x .
47
3.3. DER POTENTIALTOPF
Um die Normierbarkeit der Wellenfunktion ψ zu erreichen, kann man das System
in einen großen Kasten sperren, d.h. man fordert, dass ψ(x) für |x| > L (L � a)
verschwindet.2
In allen Bereichen ist die Lösung der Schrödingergleichung eine ebene Welle,
ψ(x) = A ei k x + B e−i k x ,
(3.21)
wobei A ei k x bzw. B e−i k x als nach rechts bzw. links laufende Welle aufgefasst werden
kann. Dies kann man folgendermaßen einsehen: Für eine Welle ψ(x) = A ei k x finden
wir eine Stromdichte
j =
�k
�
(ψ ∗ (x) ∂x ψ(x) − (∂x ψ(x))∗ ψ(x)) =
|A|2 ,
2m i
m
(3.22)
die in positive x–Richtung, d.h. nach rechts“ zeigt.
”
Im Bereich I finden wir für den Wellenvektor
�2 k 2
= E
2m
�
k =
1√
2mE ,
�
(3.23)
und folglich für die Wellenfunktion
ψI (x) = AI ei k x + BI e−i k x .
(3.24)
Analog schließt man
�2 q 2
= E + V0
2m
�
q =
die Wellenfunktion
1�
2 m (E + V0 )
�
ψII (x) = AII ei q x + BII e−i q x
(3.25)
(3.26)
und schließlich in III
ψIII (x) = AIII ei k x + BIII e−i k x .
(3.27)
Für eine von links einlaufende Welle finden wir, dass es in Bereich III keine nach
links einlaufende Welle geben kann, d.h.
BIII = 0 .
(3.28)
Weiterhin ergeben sich vier Anschlussbedingungen, zwei aus der Stetigkeit von ψ,
AI e−i k a + BI ei k a = AII e−i q a + BII ei q a ,
AII e
iqa
+ BII e
−i q a
= AIII e
ika
,
(3.29)
(3.30)
2
Das hätten wir im Prinzip auch vorher bei den gebundenen Lösungen mit den falschen“ κs
”
machen können, die für |x| → ∞ exponentiell anwachsen. Tatsächlich werden wir bei der Diskussion
des unendlich hohen Kastens sehen, dass solche Lösungen die Anschluss–Bedingungen am Rand des
grossen, unendlich hohen Kastens nicht erfüllen können.
48
3.3. DER POTENTIALTOPF
und zwei aus der Stetigkeit von ψ � ,
�
�
�
�
k AI e−ik a − BI ei k a
= q AII e−i q a − BII ei q a ,
�
�
q AII ei q a − BII e−i q a = k AIII eika .
(3.31)
(3.32)
Wir erhalten durch Addition der Gleichungen
q × (3.30) + (3.32) � 2q AII ei q a = (q + k) AIII ei k a
q + k i (k−q) a
AIII ,
(3.33)
e
� AII =
2q
q × (3.30) − (3.32) � 2q BII e−i q a = (q − k) AIII ei k a
q − k i (k+q) a
e
AIII ,
(3.34)
� BII =
2q
k × (3.29) + (3.31) � 2k AI e−i k a = (k + q) AII e−i q a + (k − q) BII ei q a
�
�
(k + q)2 i (k−2q) a (q − k)2 i (k+2q) a
=
−
e
e
AIII
2q
2q
� 2
�
k + q2
ika
= e
−
i sin(2qa) + 2k cos(2q a) AIII
q
�
�
k2 + q2
2i k a
� AI = e
−i
sin(2q a) + cos(2q a) AIII ,
2k q
(3.35)
k × (3.29) − (3.31) � 2k BI ei k a = (k − q) AII e−i q a + (k + q) BII ei q a
� 2
�
q − k 2 i (k−2q) a q 2 − k 2 i (k+2q) a
= −
+
e
e
AIII
2q
2q
q2 − k2
i sin(2q a) AIII
= ei k a
q
q2 − k2
(3.36)
sin(2qa) AIII .
� BI = i
2k q
Eine zusammengesetzte Welle hat beispielsweise die in Abbildung 3.8 skizzierte Gestalt.
Der Transmissionskoeffizient ist erklärt über
�
�
�k
2
2
� jtransmittiert �
� = m |AIII | = |ψtransmittiert | ,
�
T = �
�k
2
jeinlaufend �
|ψeinlaufend |2
m |AI |
im betrachteten Fall also
T =
|AIII |2
=
|AI |2
1
cos2 (2q a) +
�
k2 +q 2
2kq
�2
=
sin2 (2q a)
Der Reflexionskoeffizient ist definiert als
�
�
�k
2
2
� jreflektiert �
�
� = m |BI | = |ψreflektiert | ,
R = �
�k
2
jeinlaufend �
|ψeinlaufend |2
m |AI |
49
1+
�
q 2 −k2
2k q
1
�2
.(3.37)
sin2 (2q a)
3.4. POTENTIALKASTEN MIT UNENDLICH HOHEN WÄNDEN
und ergibt sich hier zu
|2
|BI
R =
=
|AI |2
�
q 2 −k2
2k q
�2
sin2 (2q a)
.
� 2 2 �2
sin2 (2q a)
1 + q 2k−kq
(3.38)
Bemerkungen:
(1) Es gilt T → 1 für q → k ⇔ V0 → 0, d.h. ohne Graben gibt es keine Reflexion.
(2) Wir finden R + T = 1. Dies ist immer gültig.
(3) Es handelt sich um einen Quanteneffekt, d.h. klassisch erwarten wir bei diesem
Problem keine Reflexion!
a
−a
I
II
x
III
Abbildung 3.8: Ungebundende Zustände im Potentialtopf.
3.4
Potentialkasten mit unendlich hohen Wänden
Wir betrachten nun einen Potentialkasten mit unendlich hohen Wänden (Abbildung 3.9).3
Das Potential ist
�
0 für |x| ≤ a ,
(3.39)
V (x) =
∞ für |x| > a .
3
Dieses Beispiel wird in der Zentralübung diskutiert.
50
3.4. POTENTIALKASTEN MIT UNENDLICH HOHEN WÄNDEN
V (x)
x
−a
I
a
II
III
Abbildung 3.9: Unendlich hoher Potentialtopf.
Randbedingungen:
ψ(x) = 0
für
Die Randbedingungen bei x = ±a sind
|x| ≥ a .
Man beachte, dass wir keine Randbedingungen für ψ � bei x = ±a fordern. Das liegt
daran, dass die Regel (W2� ), wie diskutiert, nicht für Potentiale mit Unendlichkeiten
gilt (vgl. die Diskussion der Regel (W2� ) auf Seite 39).
Wie zuvor unterteilen wir die Lösungen in
(g) gerade Lösungen ψ(x) = A cos(q x)
und
(u) ungerade Lösungen ψ(x) = B sin(q x).
Die möglichen Werte für q sind durch die Randbedingungen eingeschränkt. Man erhält
�
�
(g) q a = m + 21 π mit m = 0, 1, 2, 3, . . .
oder �
�
q a = n2 + 12 π mit n = 0, 2, 4, . . . ;
(u) q a = m π mit m = 1, 2, 3, . . .
oder �
�
q a = n2 + 12 π mit n = 1, 3, 5, . . . .
Dies führt auf die Lösungen
�
An · cos(qn x) für n = 0, 2, 4, . . . ,
ψn (x) =
Bn · sin(qn x) für n = 1, 3, 5, . . . ,
(3.40)
wobei
qn =
�
n+1
2
�
π
a
(3.41)
und
1
An = Bn = √ .
a
51
3.5. POTENTIALSCHWELLEN UND TUNNELEFFEKT
Die Energieeigenwerte sind entsprechend
�
�
�2
n + 1 2 π2
�2 qn2
.
=
En =
2m
2m
2
a2
(3.42)
Fazit:
(1) Das Spektrum ist diskret.
(2) Der tiefste Zustand hat E0 > 0 (und nicht E0 = 0).
3.5
Potentialschwellen und Tunneleffekt
Wir betrachten nun die quantenmechanische Beschreibung eines Potentialwalls (Abbildung 3.10). Das Potential einer Schwelle der Breite 2a und der Höhe V0 ist gegeben
V (x)
V0
I
−a
II
a
x
III
Abbildung 3.10: Potentialwall.
durch:
V (x) = V0 Θ(a − |x|) .
Damit ist die Schrödinger-Gleichung
d2
2m
ψ(x) + 2 (E − V (x)) ψ(x) = 0 .
2
dx
�
(3.43)
Wir sind an den Lösungen mit 0 ≤ E ≤ V0 interessiert.
Wie zuvor betrachten wir die Bereiche mit konstantem V separat:
I. x ≤ − a
ψ(x) = ψI (x) = A ei k x + B e−i k x
mit k :=
�
2m E
,
�2
52
(3.44a)
3.5. POTENTIALSCHWELLEN UND TUNNELEFFEKT
II. |x| ≤ a
ψ(x) = ψII (x) = C e−κ x + D eκ x
mit κ :=
III. x ≥ a
�
(3.44b)
2m (V0 −E)
,
�2
ψ(x) = ψIII (x) = F ei k x + G e−i k x .
(3.44c)
An der Stelle x = −a hat man die Anschlussbedingungen
ψ stetig :
A e−i k a + B ei k �a = C eκ a + D e−κ a ,
�
ψ � stetig : i k A e−i k a − B ei k a = −κ (C eκ a − D e−κ a ) .
Es erweist sich als vorteilhaft, die zweite Gleichung durch i k zu teilen und das Gleichungssystem in Matrixnotation zu bringen,
��
��
�
� κa
� −i k a
�
e
e−κ a
ei k a
e
A
C
=
,
iκ κa
B
D
e−i k a −ei k a
e
− i κ e−κ a
�
��
�
� k
�� k
�
=:M1 (a)
=:M2 (a)
d.h.
M1 (a)
�
A
B
�
= M2 (a)
�
C
D
�
.
Multiplikation von links mit M1−1 (a) liefert
�
�
�
�
A
C
−1
= M1 (a) · M2 (a)
.
B
D
�
��
�
(3.45)
=M (a)
Unter Verwendung von
�
�
�
�−1
1
v −y
x y
=
−u x
u v
xv − yu
�
�
x y
für beliebige invertierbare 2 × 2-Matrizen
vereinfacht sich die Matrix M (a)
u v
zu
M (a) = M1−1 (a) M2 (a)
�
� ika
1
ei k a
e
=
e−i k a −e−i k a
2
� �
�
1 + ikκ eκ a+i k a
1
=
�
�
2
1 − i κ eκ a−i k a
k
�
�
e−κ a
eκ a
iκ κa
e
− ikκ e−κ a
�
� k i κ � −κ a+i
ka
1− k e
.
�
�
1 + ikκ e−κ a−i k a
53
3.5. POTENTIALSCHWELLEN UND TUNNELEFFEKT
Die Anschlussbedingungen bei x = a führen auf
�
�
�
�
F
C
= M (−a)
.
(3.46)
G
D
�
�
C
Nun eliminiert man
, indem man die Gleichung (3.46) von links mit M −1 (−a)
D
multipliziert und sie anschliessend in die Gleichung (3.45) einsetzt,
�
�
�
�
F
A
.
(3.47)
= M (a) M −1 (−a)
B
��
� G
�
=:M(a)
Daraus erhalten wir nach Rechnung
�
�
f (a) g(a)
M(a) =
g ∗ (a) f ∗ (a)
mit
f (a) =
g(a) =
ε =
η =
�
iε
sinh(2κ a) e2i k a ,
cosh(2κ a) +
2
�
�
iη
sinh(2κ a) ·
,
2
κ k
− ,
k κ
κ k
+ .
k κ
�
Beispiel: Wir untersuchen nun den Fall einer von links einlaufende Welle, die auf
einen Potentialwall trifft. Die Aussage, dass die Welle von links (und nicht von rechts)
einläuft bedeutet, dass G = 0 in (3.44c) (Abbildung 3.11).
V (x)
A
B
F
G=0
a
−a
x
Abbildung 3.11: Potentialwall mit von links einlaufender Welle.
Gleichung (3.47) liefert dann
�
�
iε
sinh(2κ a) e2i k a ,
A = F cosh(2κ a) +
2
�
�
iη
B = F −
sinh(2κ a) .
2
54
3.5. POTENTIALSCHWELLEN UND TUNNELEFFEKT
Transmissionskoeffizient.
� �2
�F �
T := �� �� .
A
Der Transmissionskoeffizient T ist erklärt als
(3.48)
T beschreibt, wieviel von der einlaufenden Welle durch die Potentialschwelle durch”
kommt“. Im obigen Beispiel haben wir
F
exp(−2i k a)
.
=
A
cosh(2κ a) + i2ε sinh(2κ a)
Unter Verwendung von cosh2 (x) − sinh2 (x) erhalten wir für den Transmissonskoeffizienten
�
�−1
�
� 2
ε
2
,
(3.49)
+ 1 sinh (2κ a)
T = 1+
4
wobei wie zuvor
�
2m (V0 − E)
κ =
�2
und
ε =
κ k
− .
k κ
Im Grenzfall einer sehr hohen und breiten Barriere, d.h. V0 � E und κ a � 1,
vereinfachen sich einige Ausdrücke,
�
�−1
1 4κ a
ε2
2
sinh (2κ a) ≈ e
� 1
�
T ≈ 4 1+
e−4κ a .
4
4
�
V0
κ
Für V0 � E ist κ � k und damit ist ε ≈ k ≈
E � 1. Also kann man den
Transmissionskoeffizienten dann näherungsweise schreiben als
� �
a�
E
.
exp −4 2m (V0 − E)
T ≈ 16
V0
�
Wir sehen also, dass die Tunnelwahrscheinlichkeit geht wie
� �
a�
.
T ∼ exp −4 2m (V0 − E)
�
Das Argument der Exponentialfunktion haben wir bereits beim endlichen Kasten
gesehen (mit dem Unterschied, dass dort V (0) = −V0 < 0 war). Dort war es ein Maß
für die Zahl der gebundenen Lösungen.
Reflexionskoeffizient.
� �2
�B �
R := �� �� .
A
Der Reflexionskoeffizient R ist erklärt durch
(3.50)
Nun betrachten wir die Stromdichte
�
�
�
dψ ∗
∗ dψ
j(x) =
−
ψ .
ψ
2m i
dx
dx
55
3.6. EINDIMENSIONALER HARMONISCHER OSZILLATOR
Im Bereich I (x ≤ −a) ist die Lösung der Schrödinger–Gleichung
ψ(x) = A ei k x + B e−i k x .
Damit ist die Stromdichte
��
�
� �� ∗ −i k x
A e
+ B ∗ ei k x
A i k ei k x − i B k e−i k x
j(x) =
2m i
�
��
��
− A∗ (−i k) e−i k x + B ∗ i k ei k x
A ei k x + B e−i k x
=
�
�k � 2
|A| − |B|2 .
m
Im Bereich III (x ≥ a) ist die Stromdichte
j(x) =
�k
|F |2 .
m
Wir finden für den Potentialwall durch Rechnung, dass
|A|2 − |B|2 = |F |2 .
Dies bringt zum Ausdruck, dass die Stromdichten rechts und links vom Potentialwall
übereinstimmen müssen, ist also eine Konsequenz der Wahrscheinlichkeitserhaltung.
Dies impliziert
1 =
|B|2 |F |2
+
,
|A|2
|A|2
d.h.
R+T = 1.
(3.51)
Diese Relation ist intuitiv: Was von links eingestrahlt wird, wird entweder transmittiert oder reflektiert.
3.6
Eindimensionaler harmonischer Oszillator
3.6.1
Analytische Behandlung
Wir betrachten nun das quadratische Potential (Abbildung 3.12)
V (x) =
1 2
kx .
2
(3.52)
Es erweist sich als sinnvoll, eine Hilfsgröße
�
k
ω :=
m
einzuführen, die wir als Oszillatorfrequenz bezeichnen. Diese entspricht der Frequenz,
mit der ein klassisches Teilchen in dem Potential oszilliert. m ist dabei die Masse des
Teilchens.
56
3.6. EINDIMENSIONALER HARMONISCHER OSZILLATOR
V (x)
x
Abbildung 3.12: Parabel–Potential.
Die Schrödinger–Gleichung ist
� 2 2
�
−� d
1 2
+
ψ(x) = E ψ(x) .
k
x
2m dx2 2
(3.53)
Nun definiert man Hilfsvariablen
�
mω
2E
und y :=
x.
ε :=
�ω
�
Damit kann die Schrödinger–Gleichung (3.53) umgeschrieben werden in
d2
ψ(y) + (ε − y 2 ) ψ(y) = 0 .
dy 2
(3.54)
Nun gilt es, diese Differentialgleichung zu lösen. Dazu untersucht man das asymptotische Verhalten für y → ∞. In dem Fall kann man die Gleichung (3.54) vereinfachen
und erhält
d2
ψ(y) − y 2 ψ(y) = 0 .
dy 2
Eine asymptotische Lösung dieser Gleichung ist bekannt,
y → ∞
ψ(x) −−−−−→ e−
y2
2
.
Diese Asymptotik motiviert den Lösungsansatz
ψ(y) = h(y) · e−
y2
2
.
Diesen Ansatz wollen wir in (3.54) einsetzen. Dazu berechnen wir die Ableitungen
dψ
dy
d2 ψ
dy 2
=
=
y2
dh − y2
e 2 + h (−y) e− 2 ,
dy
2
2
2
2
d2 h − y 2
dh
dh
− y2
− y2
− y2
2 − y2
2 +
(−y)
e
(−y)
e
e
+
−
h
e
+
h
(−y)
e
dy 2
dy
dy
57
3.6. EINDIMENSIONALER HARMONISCHER OSZILLATOR
=
�
d2 h
dh
− 2y
− h + h y2
dy 2
dy
�
e−
y2
2
.
Damit liefert die Schrödinger–Gleichung
� 2
�
2
d h
dh
��
2
2
2
− y2
.
ψ + (ε − y ) ψ = 0 =
−
2y
+
(ε
−
y
)
h
e
−
h
+
h
y
dy 2
dy
Wir haben also die Schrödinger–Gleichung gegen eine Differentialgleichung für h getauscht,
d2 h
dh
− 2y
+ (ε − 1) h = 0 .
2
dy
dy
(3.55)
Um h zu bestimmen, machen wir den Potenzreihenansatz
h(y) =
∞
�
am y m .
m=0
Setzt man den Ansatz in die Differentialgleichung (3.55) ein, so ergibt sich
∞
�
m=2
am m (m − 1) y m−2 −
∞
�
(2m − ε + 1) am y m = 0
m=0
bzw. nach der Redefinition des Summationsindex m → m + 2 in der ersten Summe
∞
�
m=0
am+2 (m + 1) (m + 2) y m −
∞
�
m=0
(2m − ε + 1) am y m = 0 .
Koeffizientenvergleich liefert
(m + 1) (m + 2) am+2 = (2m − ε + 1) am .
D.h. für vorgegebenes a0 erhalten wir eine Rekursionsformel für a2 , a4 . . . (gerade
Parität) und für vorgegebenes a1 erhalten wir eine Rekursionsformel für a3 , a5 . . .
(ungerade Parität).
Wesentliche Einschränkungen an die Koeffizienten ergeben sich aus der Forderung
nach Normierbarkeit,
�∞
−∞
!
dx |ψ(x)|2 = 1 .
Daraus leiten wir ab, dass die Potenzreihe für h(y) bei einer endlichen Position abbrechen muss,
h(y) =
m
max
�
am y m .
m=0
58
3.6. EINDIMENSIONALER HARMONISCHER OSZILLATOR
Um zu sehen, dass dies so ist, nehmen wir an, h(y) sei eine unendliche Potenzreihe.
Dann folgt aus der Asymptotik für m → ∞, dass
m2 am+2 ≈ 2m am
�
2
am+2
≈
.
am
m
2
Nun wollen wir zeigen, dass h(y) → ey für y → ∞. Es ist
h(y) = · · · + am y m + · · · + am+2 y m+2 + . . .
2
= · · · + am y m + · · · + am y m+2 + . . .
m
und
e
y2
=
∞
�
(y 2 )ν
= 1 + ··· +
ν!
ν=0
y 2ν
y 2ν+2
+
+ ... ,
ν!
(ν + 1)!
wobei offensichtlich (ν + 1)! = (ν + 1) ν! gilt. Wir identifizieren nun 2 ν ≡ m und aus
dem Vergleich ergibt sich, dass
2
h(y) ≈ ey .
Damit wäre asymptotisch
2
ψ(y) → ey e−
y2
2
= e
y2
2
für y → ∞. M.a.W., ψ wäre nicht normierbar. Da wir das ausschließen, muss mmax
endlich sein. Also gibt es ein n, so dass
2n − ε + 1 = 0
bzw.
ε = 2n + 1 =
2En
.
�ω
Die Energiewerte sind folglich diskret, und es gilt (Abbildung 3.13)
En =
�
�
1
n+
�ω
2
mit n = 0, 1, 2, 3, . . . .
59
(3.56)
3.6. EINDIMENSIONALER HARMONISCHER OSZILLATOR
V (x)
E2
�ω
E1
�ω
E0
1
2 �ω
x
Abbildung 3.13: Harmonischer Oszillator mit Energieeigenwerten.
Bemerkung: Die ganze Zahl n in der Abbruchbedingung kann entweder gerade
oder ungerade sein. Das bedeutet, dass die entweder die am mit geraden oder die mit
ungeradem m komplett verschwinden und die jeweils anderen erst ab n. Dies kann
auch als Konsequenz der Spiegelungssymmetrie des Problems aufgefasst werden (vgl.
die Diskussion in Abschitt 3.2).
Es gibt insbesondere einen diskreten Satz an Eigenfunktionen,
� �
�
�
2
x
x2
− y2
ψn (x) = hn (y) e
= hn
exp − 2 .
x0
2x0
Der Zusammenhang zwischen x und der Hilfsvariablen y ist
�
mω
x
=
x.
y =
x0
�
Die Differentialgleichung für die hn (y) lautet
d2 hn
dhn
d2 hn
dhn
−
2y
=
− 2y
+
(ε
−
1)
h
+ 2n hn = 0 .
n
2
2
dy
dy
dy
dy
Dies führt auf die Hermitesche Differentialgleichung
dHn
d2 H n
− 2y
+ 2n Hn = 0 .
2
dy
dy
(3.57)
Diese wird durch die Hermite–Polynome Hn (vergleiche Aufgabe 7) gelöst. Sie stehen
mit den Polynomen hn in Beziehung über4
��
�−1
√
n
hn (y) =
· Hn (y) .
(3.58)
2 · n! · π x0
4
Die hn sind jetzt bzgl. x normiert und nicht mehr bzgl. y = x/x0 . Ich danke Herrn Kathan für
diese Korrektur.
60
3.6. EINDIMENSIONALER HARMONISCHER OSZILLATOR
Man kann zeigen, dass die Hermite–Polynome durch die Bestimmungs-Gleichung
n
2
2 d
e−y
(3.59)
Hn (y) = (−1)n ey
n
dy
ermittelt werden können. Die 6 ersten Hermite–Polynome sind
H0 (y) = 1 ,
(3.60a)
H1 (y) = 2 y ,
(3.60b)
2
(3.60c)
H2 (y) = 4 y − 2 ,
3
H3 (y) = 8 y − 12 y ,
4
(3.60d)
2
H4 (y) = 16 y − 48 y + 12 ,
5
(3.60e)
3
H5 (y) = 32 y − 160 y + 120 y .
(3.60f)
Orthogonalität der Hermite–Polynome. Die Hermite–Polynome erfüllen die
Orthogonalitätsrelation
�∞
√
2
dy e−y Hn (y) Hm (y) = π · 2n · n! · δnm .
(3.61)
−∞
Eigenschaften der Lösungen des harmonischen Oszillators.
(1) (3.61) impliziert
�∞
dx ψn∗ (x) ψm (x) = δnm .
(3.62)
−∞
(2) Wie man zeigen kann, gilt die Vollständigkeitsrelation
∞
�
n=0
ψn (x) ψn (x� ) = δ(x − x� ) .
(3.63)
(3) Die ersten zwei Momente der Wahrscheinlichkeitsdichten ρn = |ψn (x)|2 sind
�x�n =
2
�x �n =
�∞
−∞
�∞
−∞
dx x |ψn (x)|2 = 0 ,
2
dx x |ψn (x)|
2
= ... =
x20
�
�
1
n+
.
2
Daraus folgt eine Ortsunschärfe von
�
�
�
1
2
�x2 �n − �x�n =
�x2 �n = x0 n + .
Δx :=
2
Diese kann als Maß für die Breite“ des Wellenpakets aufgefasst werden.
”
61
3.6. EINDIMENSIONALER HARMONISCHER OSZILLATOR
(4) Die Impulsverteilung ist gegeben durch
ϕn (p) =
�∞
−∞
�
i
dx exp − p x ψn (x) .
�
�
Durch Rechnung findet man, dass
�p�n = 0 .
Diese Relation drückt nichts anderes aus als dass die Teilchen im Parabel–
Potential gefangen“ sind. Das zweite Moment der Impulsverteilung verschwin”
det jedoch nicht,
2
�p �n =
�∞
−∞
dp 2
�2
p |Φn (p)|2 = . . . = 2
2π �
x0
�
�
1
n+
.
2
Das impliziert eine Impulsunschärfe von
�
�
�
�
1
2
�p2 � − �p� =
�p2 � =
n+ .
Δp :=
x0
2
Insgesamt finden wir die Unschärferelation
�
�
1
�
Δx · Δp = � n +
.
≥
2
2
3.6.2
Algebraische Behandlung des harmonischen Oszillators
Ausgangspunkt ist der Hamilton–Operator
H =
1
p2
+ k x2 .
2m 2
Wir benutzen wieder die Variablen
�
�
k
�
ω =
, x0 =
und
m
mω
p0 =
√
�
= �mω .
x0
Weiterhin führen wir dimensionslose Variablen X und P ein mit
p
x
und P =
.
X =
x0
p0
Damit erhalten wir neue Operatoren
�
mω
X =
x,
�
(3.64a)
62
3.6. EINDIMENSIONALER HARMONISCHER OSZILLATOR
P
=
1
1
√
p =
i
�mω
�
� d
.
m ω dx
(3.64b)
Damit kann man den Kommutator aus dem Orts- und dem Impulsoperator schreiben
in der Form
[x, p] = i � = x0 p0 [X, P ] .
Setzt man nun die Definitionen von x0 und p0 ein, so erhält man für den Kommutator
[X, P ] = i .
Auf- und Absteiger.
(3.65)
Wir definieren
1
a± := √ (X ∓ i P ) ,
2
(3.66)
so dass
X =
P
=
1
x
= √ (a+ + a− ) ,
x0
2
i
p
= √ (a+ − a− ) .
p0
2
(3.67a)
(3.67b)
Die Nomenklatur Auf-“ bzw. Absteiger“ wird sich nachträglich rechtfertigen.
”
”
Der Kommutator aus Ab- und Aufsteiger ist
[a− , a+ ] = a− a+ − a+ a−
1
1
(X + i P ) (X − i P ) − (X − i P ) (X + i P )
=
2
2
= i [P , X]
= 1.
Es gilt weiter
1
1
(a+ + a− ) (a+ + a− ) = (a+ a+ + a− a+ + a+ a− + a− a− ) ,
2
2
1
1
= − (a+ − a− ) (a+ − a− ) = − (a+ a+ − a− a+ − a+ a− + a− a− ) .
2
2
X2 =
P2
Addieren beider Gleichungen liefert
1
(2 a− a+ + 2 a+ a− )
2
= 2 a+ a− + a− a+ − a + a−
�
��
�
P 2 + X2 =
=[a− ,a+ ]
= 2 a+ a− + 1 .
63
3.6. EINDIMENSIONALER HARMONISCHER OSZILLATOR
Der Hamilton–Operator lässt sich also schreiben als
�
�
1
� ω P 2 + X2
2 �
�
1
= � ω a+ a − +
2
�
�
1
,
= �ω N +
2
H =
(3.68)
wobei wir den Besetzungszahl–Operator
(3.69)
N := a+ a−
eingeführt haben. Wir werden später sehen, dass N hermitesch ist.
Betrachte nun Eigenvektoren vom N . Man schreibt
N |ν� = ν |ν�
(3.70)
wobei |ν� ein abstrakter Eigenvektor und ν der entsprechende Eigenwert ist. Ein
Vektor der Form |·� wird Ket–Vektor genannt.
Auf- bzw. Absteige–Operator. Behauptung: Ist |ν� Eigenvektor zu N mit Eigenwert ν, so ist a+ |ν� Eigenvektor zu N mit Eigenwert ν +1 und a− |ν� Eigenvektor
zu N mit Eigenwert ν − 1.
Beweis.
(a+ a− ) a+ |ν� = a+ (a− a+ ) |ν�
= a+ (a+ a− + [a− , a+ ]) |ν�
= a+ (N + 1) |ν�
= a+ (ν + 1) |ν� = (ν + 1) (a+ |ν�) .
Völlig analog zeigt man, dass a− den Eigenwert um 1 erniedrigt,
(a+ a− ) a− |ν� = (a− a+ − [a− , a+ ]) a− |ν�
= (a− a+ − 1) a− |ν�
= a− (a+ a− − 1) |ν�
= a− (N − 1) |ν�
= a− (ν − 1) |ν� = (ν − 1) (a− |ν�) .
Diese Relationen zeigen, dass (vgl. Abbildung 3.14)
�
�
a+
erhöht.
den Eigenwert ν um 1
a−
erniedrigt.
64
3.6. EINDIMENSIONALER HARMONISCHER OSZILLATOR
ν=3
a+
a−
ν=2
a+
a−
ν=1
a+
a−
ν=0
Abbildung 3.14: Auf- und Absteigeoperatoren.
Allerdings gibt es ein potentielles Problem: Im Prinzip könnte man sich vorstellen,
dass man ν beliebig erniedrigen kann, so dass aufgrund (3.68),
�
�
1
H = �ω N +
,
2
Zustände mit beliebig negativer Energie entstehen könnten. Andererseits zeigen obige
Argument nur, dass man mit a± Zustände |ν ± 1� erreicht, falls diese existieren (und
normierbar sind). Aus unserer vorangegangenen Diskussion wissen wir bereits, dass
es keinen Zustand mit negativer Energie gibt; entsprechend können wir ansetzen
a− |0� = 0 .
(3.71)
Durch Zurückübersetzen in die Ortsdarstellung erhalten wir die Bestimmungsgleichung für die zugehörige Wellenfunktion ψ0
�
��
�
mω
� d
(3.72)
ψ0 (x) = 0
x+
�
m ω dx
bzw.
�
dψ0
(x) = − m ω x ψ0 (x) .
dx
(3.73)
Diese Gleichung kann man lösen durch Trennung der Variablen,
�
�
mω
mω 2
dψ0
dx x
�
ln ψ0 = −
x + const. ,
= −
ψ0
�
2�
d.h.
� mω �
ψ0 (x) = A0 exp −
x2 .
2�
(3.74)
Insbesondere können wir nun alle Lösungen mit ν > 1 durch sukzessives Anwenden
von a+ konstruieren,
65
3.6. EINDIMENSIONALER HARMONISCHER OSZILLATOR
ψn (x) = An
��
mω
x−
�
�
� d
m ω dx
�n
� mω �
x2 ;
exp −
2�
diese entsprechen den Lösungen mit Energieeigenwerten
�
�
1
�ω .
n+
En =
2
66
(3.75)
(3.76)