Elektrodynamik TII Plan: I Tensorkalkül II Maxwellgleichungen III

Elektrodynamik TII
Plan:
I Tensorkalkül
-Tangentialraum, Vektorfelder, Koordinatentrf., Tensorfelder, metrischer Tensor, Pseudo-Tensoren
-Dierentiale, grad, div, rot, Laplace Op.
-Integralsätze, Gauÿ, Stokes
II Maxwellgleichungen
-Grundgleichungen von Elektrizität und Magnetismus
-Maxwellgleichungen im Vakuum
-Potentiale
-Energiedichte, Pointingvektor
III Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
-Spezielle Relativitätstheorie
-Kovarianz der Maxwellgleichungen
-Lorentz-Transformation der Feldstärke
-Lagrangeformalismus
IV Elektromagnetische Wellen und Strahlung
-Ebene Wellen, Kugelwellen
-Allgemeine Lösung der Maxwellgleichungen, Green'sche Funktionen
-Strahlung einer beschleunigten Punktladung, Dipolstrahlung, Multipolentwicklung
-Streuung von Licht
V ausgewählte Probleme
-Randwertprobleme, Spregelladungen, Wellenleiter
-gyromagnetisches Verhältnis
-lokalisierte Strom- und Ladungsverteilung
VI Maxwellgleichungen in Materie
-Ideales Dielektrikum, Trennächen
-Reexion und Brechung
-Wellen in leitenden Medien
-Dispersion
1
I. Tensorkalkül
gerichtete Kräfte auf geladene
Vektorfelder beschrieben.
Elektrische- und magnetische Felder bewirken
Teilchen. Diese werden durch
[Zeichnung]
Die Komponenten von
F
{x̃,ỹ} Basissind F = (F x , F y ), in der {x̃0 , ỹ 0 }
0
0
F 0 = F x , F y . Natürlich beschreiben F und F 0
in der
Basis sind die Komponenten
dasselbe geometrische Objekt, allerdings in verschiedenen Koordinaten.
{x̃, ỹ}
- i.A. wird die Basis
auch vom Ort abhängen (z.B. in Polarkoordinaten
ist das auf natürlichweise der Fall)
1.) Koordinatentransformationen
Allgemein betrachtet man eine Mannigfaltigkeit
M 3 p 7→ f (p).
Sei M nun durch
M
und eine Abb.
eines (oder mehrere überlappende Gebiete in
f
trisiert). Dann kann
f : M → M,
R3
parame-
wiederum als Koordinatentransformation interpretiert
werden, also
xi (p) 7→ f i (xj )
=
: x̃i (xj )
[Zeichnung]
- oft kann
M
mit
R3
identiziert werden, aber nicht immer, z.B. falls
M
eine
Kugeloberäche beschreibt.
- einfache Beispiele auf
R3
sind
(
f i (xj ) = δji xj + ai ,
f i (xj ) = Rji xj ,
Translationen
Rotationen
2.) Tensor 0. Stufe (Skalarfeld)
Ein Skalarfeld
ϕ(xi ) ≡ ϕ(p) ist so Denitioniniert, dass dessen numerischer Wert
nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängt, sondern nur vom Punkt
p, also
f : ϕ(xi ) 7→ ϕ̃(x̃j ) = ϕ(xi ),
i.e.
ϕ̃(x̃j ) = ϕ(xi (x̃j ))
xi (x̃j ) = f −1
i
(x̃j )
ϕ(p) = ϕ(xi ) = ϕ̃(x̃j (xi )).
P3
i j
i j
Summenkonvention Aj x :=
j=1 Aj x
oder
(*) Wir verwenden die
falls nicht aus-
drücklich anders erwähnt.
3.) Tensor 1. Stufe (Vektoren)
Wir betrachten nun die Ableitung (Änderung) von
ϕ(xi )
entlang eines geome-
trischen Vektors
[Zeichnung]
{xi } dv ϕ(p) ist gegeben durch v j ∂xi ϕ(xi ) wobei v j die
Komponente von v in der Basis {x, y, z} sind. Da dv ϕ(p) aber rein geometrisch
∂xj
i
j
ist und da ∂ x̃ =
∂ x̃i ∂x gilt muss ebenfalls gelten
Im Koordinatensystem
2
ṽ i =
∂ x̃i j
v
∂xj
oder genauer:
Denition:
Das Triplett
v(x)

v 1 (xk )
v j (xk ) =  v 2 (xk ) 
v 3 (xk )

sind die Komponenten eines Vektorfeldes
falls sie unter Koordinatentransformationen wie
ṽ i (x̃k ) =
∂ x̃i j p k
v (x (x̃ ))
∂xj
transformieren.
Beispiel:
M = R3 , x̃i = Rji xj , RT R = 1, det(R) = 1 →
ṽ j (x̃k ) = Rlj v l ((R−1 )kl xl ) = Rlj v l (Rlk xl )
i.)
ii.) Polarkoordinaten in
R3 , xi = xi (r, θ, ϕ)
x1 = r sin θ cos ϕ
x2 = r sin θ sin ϕ
x3 =
r cos θ
vx =
vy =
vz =
Rotationen in R3
≡x
≡y
≡z
sin θ cos ϕv r + r sin θ sin ϕv ϕ + r cos θ cos ϕv θ
sin θ sin ϕv r + r sin θ cos ϕv ϕ + r cos θ sin ϕv θ
cos θv r − r sin θv θ
4.) Tensoren p. Stufe
Die Komponenten
T i1 ...ip xk
eines Tensors p-ter Stufe transformieren unter
Koordinatentransformationen wie
∂ x̃i1
∂ x̃ip j1 ...jp p k T
x x̃
T̃ i1 ...ip x̃k =
.
.
.
∂xj1
∂xjp
Beispiel:
Tensorprodukt
xi ⊗ y j
von 2 Vektoren ist ein Tensor 2-ter Stufe
5.) Metrischer Tensor
Da die Länge eines Vektors
v
ebenfalls geometrisch ist muss:
2
kvk
= v·v
3
unabhängig von den Koordinaten sein. Dies ist garantiert falls ein Tensor
gij (x)
(Indizes unten!) existiert, so dass
v·v
= gij (x)v i (x)v j (x) ≡ gp (v, v)
mit Transformationsverhalten für
gij (x)
gij :
=
∂ x̃p ∂ x̃q
g̃pq (x̃)
∂xi ∂xj
Beweis:
gp (v, v) = gij (x)v i (x)v j (x)
x̃p ∂ x̃q ∂xj ∂xi
r
s
= ∂∂x
i ∂xj ∂ x̃r ∂ x̃s g̃pq (x̃)ṽ (x̃)ṽ (x̃)
p
q
= g̃pq (x̃)ṽ (x̃)ṽ (x̃) = g̃p (ṽ, ṽ)
Denition:
gij (x)
heisst
metrischer Tensor
- nicht jeder symmetrischer Tensor
gij (x)v j (x) ≡ vi (x)
x̃p
vi (x) = ∂∂x
i ṽp (x̃)
-
Denition:
vi (x)
ist der
Aij (x)
ist ein metrischer Tensor
(Index unten!) tranformiert mit der inversen Matrix:
duale Vektor zu vi (x)
- in kartesischen Koordinaten gilt
gij (x) = δij
so dass
v ∗ · v = δij v i v j
die wohl-
bekannte Formel für das Skalarprodukt (hier ist die Unterscheidung zwischen
vi redundant!)
δij ist ein invarianter
x̃i = −xi
vi
und
Tensor unter Rotationen und Paritätstransformationen
gij (r, θ, ϕ) in Polarkoordinaten
T i1 ...ip (x) ein Tensor p-ter Stufe ist, dann ist gir is T i1 ...ir ...is ...ip
der Stufe (p − z).
Übung: Berechne
Falls
von
ein Tensor
Denition:
i1 ...ip
j1 ...jq ist ein Tensor von der Stufe
v i : Stufe (1,0)
Verallgemeinerung (p, q), e.g.
gij : Stufe (0,2)
T
6.) Levi-Civita Tensor
Der Levi-Civita Tensor ist der einzige andere invariante Tensor unter Rotationen
Denition: (*)
p
|g|εijk


i, j, k gerade permutation von 1,2,3
1 :
=
−1 : i, j, k ungerade permutationvon1,2,3


0:
sonst
4
|g|
≡ det(gij )
Beweis:
Annahme:
ε̃ijk
∂ x̃i ∂ x̃j ∂ x̃k pqr
ε
r
∂xp ∂xq ∂x
1
∂ x̃i
p
det
∂xp
|g|
|
{z
}
=
=
√
|g|
=√
|g̃|
⇒
⇒
p
|g̃|ε̃ijk
∂ x̃i ∂xp sign

i 
1:
i, j, k gerade permutation von 1,2,3
∂ x̃ 
= sign p −1 : i, j, k ungerade permutationvon1,2,3
∂x 

0:
sonst
Inkompatibel mit der Denition (*)
Lösung:
ε̃
ijk
i
∂ x̃ ∂ x̃i ∂ x̃j ∂ x̃k
≡ sign p p q r εpqr
∂x ∂x ∂x ∂x
Bemerkung:
εijk
−1 ijk
= gip gjr gks εprs = |g|
ε
Denition:
Pseudotensoren sind Tensoren, die sich unter orthogonalen Transformationen,
x̃i = Rji xj , RT R = 1
(Rotationen + Parität) transformieren wie:
T̃ i1 ...ip
i
= det(R) Rji11 . . . Rjpp T j1 ...jp
Beispiel:
εijk Pseudotensor Stufe (3,0)
ii.) Bij ≡ vi wj − vj wi = 2v[i wj] ist ein Pseudotensor der
⇒ B i ≡ εijk Bjk ist ein Pseudotensor der Stufe (1,0)
iii.) Pseudoskalar: ϕ̃(x̃) = det(R)ϕ(x)
i.)
Stufe (0,2)
7.) Dierential- und Integralrechnung
(i) Die Divergenz eines Vektorfeldes div(A) = ∇ · A hat alle Indizes kontra→ Denitioniniere ∇ · A
p
|g| (x)Ai (x)
hiert, muss also ein Skalarfeld sein
Lösung:
∇·A≡ √
1
∂xi
|g|(x)
Beweis:
5
entsprechend.
direkt Verikation
p
|g| = 1 ⇒
gij = δij ⇒
- in kartesischen Koordinaten,
∇ · A(x) = ∂xi Ai (x)
- in Polarkoordinaten,
p
|g| = r2 sin θ,
∇·A=
(ii) Die
folgt
1
∂r r2 Ar + ∂θ sin θAθ + ∂ϕ Aϕ
r2
Rotation eines Vektorfeldes rot(A) ist ein antisymmetrischer 2-Tensor
= ∇×A
rot(A)
der in 3 Dimensionen mit Hilfe des Levi-Civita Tensor als Vektor dargestellt
werden kann:
i
(∇ × A) =
-
i
(rot (A))
(iii) Der
p
|g|εijk ∂xj Ak
ist eine Pseudovektor!
Laplaceoperator auf ein Skalarfeld kann mit Hilfe der Divergenz wie
folgt abgeleitet werden:
4ϕ (x)
Hier ist
g ij
= ∇ · (∇ϕ) (x)
p
1
i
= p ∂xi |g| (∇ϕ) (x)
|g|
p
1
= p ∂xi |g|g ij ∂xj ϕ (x)
|g|
die inverse Matrix zu
Beispiel:
In kartesischen Koordinaten
4ϕ (x)
gij ,
also
gij = δij ,
g ip gpj = δ i j ; g ij Aj = Ai .
p
|g| = 1 :
= δ ij ∂xi ∂xj ϕ (x) ≡ ∂i ∂ i ϕ (x)
In Polarkoordinaten
Intergalsätze:
Der Hauptsatz der Integraldierenzialrechnung besagt, dass für
dϕ = ∇ϕ · dl =
i
∂xi ϕ dx
dl dl
[Zeichnung] l: Parameter der Kurve
das Integral
R p0
dϕ = ϕ(p0 ) − ϕ(p)
p
insbesondere, dass
nicht von der Kurve abhängt. Daraus folgt
I
dϕ
=
6
0
für eine geschlossene Kurve.
Invariante
Volumenintegrale einer Skalaren Funktion (Skalarfeld)
ϕ(x)
sind
durch
Z
ϕ
Z p
=
V
Z
3
|g| (x)ϕ(x)d x =
ϕ(x)
V
1
εijk dxi dxj dxk
3!
|
{z
}
(∗)
(∗)Invariantes
p
3
|g|d x −
√
Volumenelement wegen
1
2
3
gdx dx dx
√
=
1 1
p εijk dxi dxj dxk
3! |g|
g
!
=
1
εijk dxi dxj dxk
3!
Satz von Gauÿ: Volumenintegral → Randintegral
Z
(∇ · A)
=
V
=
1
3!
Z
1 p
p
∂i |g|Ai εpqr dxp dxq dxr
|g|
V
Z p
1
1
p εpqr dxp dxq dxr
∂i |g|Ai
3! V
|g|
| {z }
=±1,0 (konstant!)
Z
=
(∗)
∂V
1
Ai εiqr dxq dxr
|2
{z
}
(∗∗)
Z
=
Ai dSi
∂V
(∗) mit i = p, q, r
∂V
und Hauptsatz,
(∗∗) ≡ dSi = Invariantes Volumenelement auf
[Zeichnung]
Beispiel:
Kugel,
B , ∂B = S 2
[Zeichnung]
Z
Z
(∇ · A)
Ai dSi
=
B
∂B
Z
Ar
=
ZS
p
|g|dθdϕ
2
=
Ar r2 sin θdθdϕ
θ,ϕ
Satz von Stokes: Flächenintegral → Kurvenintegral
[Zeichnung]
7
Z
i
(∇ × A) dSi
1
2
Z
=
S
Z
∂j Ak dxj dxk
=
(+)
εijk (∂j Ak ) εipq dxp dxq
Sk
ZS
Ak dxk
=
∂S
(+) ε
ijk
εipq = δ
i
k
pδ q
·
δ kp δ j q
Alternativer Beweis vom Satz Gauÿ / Stokes
Gauss:
Z
(∇ · A) (x)
=
p
|g|d3 x =
V
Z
V
Z
=
∂xi
p
1 p
p
∂xi |g|Ai
|g|d3 x
|g|
p
|g|Ai
V
1
d3 x
|{z}
ε123 dx1 dx2 dx3
|g|
| {z }
=1
Z
Z
Z
=
A1 ε123 dx2 dx3 + A2 ε123 dx1 dx3 + A3 ε123 dx1 dx2
p


Z
 dS1 = p|g|dx1 dx2 
=
Ai dSi ;
dS2 = p|g|dx1 dx3


∂V
dS3 = |g|dx2 dx3


p  +1 
−1
= |g|


0
=p
(∗) ε123
Stokes:
Z
i
(∇ × A) dSi
Z
εijk ∂xj Ak dSi
=
S
S
=
ε1jk ∂xj Ak ε123 dx2 dx3
+ RS ε2jk ∂xj Ak ε123 dx1 dx3
+ S ε3jk ∂xj Ak ε123 dx1 dx2
R
SR
: ∂1 A3 − ∂3 A2
: ∂3 A1 − ∂1 A3
: ∂1 A2 − ∂2 A1
| {z } | {z }
Ai dxi
I
=
Ai dxi
Ai dxi
∂S
[Zeichnung]
II. Maxwellgleichungen (MG):
Beschreiben die Wechselwirkung zwischen elektromagnetischen Feldern und geladener Materie, sowie die Dynamik von elektromagnetischen Feldern.
8
[Zeichnung]
- (bewegte) Ladung erzeugt (magnetische und) elektrische Felder
- geladene Teilchen werden durch elekelektromagnetische Felder beschleunigt
1.) Kontinuitätsgleichung:
Beschreibt die lokale Ladungserhaltung (fundamentale Annahme!)
∂t ρ (x, t) + ∇ · j = 0
Beispiel: Punktladung:
ρ (x, t)
δ 3 (x − r (t))
{z
}
|
= q
=δ 1 (x1 −r 1 (t))δ 2 (x2 −r 2 (t))δ 3 (x3 −r 3 (t))
∂t ρ (x, t)
j (x, t)
∇ · j (x, t)
∂ri ∂ρ
∂
= q ṙi i δ 3 (x − r (t))
∂t ∂ri
∂r
= ρ (x, t) ṙ (t)
∂
∂
= ∂xi j i (x, t) = q ṙi i δ 3 (x − r (t)) = −q ṙi i δ 3 (x − r (t))
∂x
∂r
=
2.) Lorentzkraft:
Bewegungsgleichung für geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld.
1
d
p = F = q E + (ṙ × B)
dt
c
3.) Gleichungen für das elektromagnetischen Feld
(natürliche Einheiten,
µ0 = ε0 = 1)
(1) ∇ · E (x, t)
(3) ∇ × E (x, t) + 1c ∂t B (x, t)
Bemerkung:R
(1) + Gauÿ:
∂V
E · dS = 4π
R
V
= 4πρ (x, t)
=0
ρ = 4πQ →
schen Feldes.
Beispiel:
Punktladung
R
Sr 2
(2)
E · dS = 4πr2 |E| ⇒ |E| =
⇒6 ∃
Q
r2 ;
E=
Q
r 2 r̂
magnetische Ladungen (e. Übung)
9
(2) ∇ · B (x, t)
=0
(4) ∇ × B (x, t) − 1c ∂t E (x, t) = 4π
c j (x, t)
Ladung ist die Quelle des elektri-
Faraday'sches Induktionsgesetz:
(3)
Zeitabhängige Magnetfelder erzeugen
elektrische Wirbel
∂t E
(4)
-
ρ
Term folgt aus Selbstkonsistenzgründen (Übung)
Skalarfeld
⇒ (1) E
Vektorfeld
⇒ (3) B
Pseudovektorfeld
⇒ (4) j
Vektor-
paritätsinvariant.
- (1) und (2) sind Zwangsbedingungen (keine Bewegungsgleichungen)
- (3) und (4) sind Bewegungsgleichungen
- Elektromagnetische Wellen im Vakuum (ρ ≡ J ≡ 0):
feld
⇒
Maxwellgleichungen sind
Wegen
1
∇ × (∇ × E) + ∂t (∇ × B) =
|
{z
}
c | {z }
= 1c ∂t E
=∇·(∇ · E) −4E
(4)
| {z }
0
=0
(1)
folgt
1
∂t E (x, t) − 4E (x, t) = 0
c2
mit Wellenphasengeschwindigkeit
c,
(∗)
ähnlich:
1
∂t B (x, t) − 4B (x, t) = 0
c2
→
Elektromagnetische Wellen sind Lösungen der homogenen Maxwellgleichun-
gen.
-
Dimension und Einheiten: Bestimmen der Koezienten von (1) - (4)
Allgemein können wir (1) - (4) wie folgt schreiben (Jackson, App A)
∇ · E = 0 4πk1 ρ
∇·B =0
∂B
∇ × E + k3 ∂t = 0 ∇ × B − kk1 k2 3 ∂t E = 4π kk23 J
k1
bestimmt die Dimension der Ladung
Wellengleichung
Beispiel:
(∗) ⇒
k1
k2
= c2
Gauÿ
k1
=
1, k2 = c−2 , k3 = c−1
k1
=
1
µ0
, k2 =
, k3 = 1
4πε0
4π
MKSA
ε0 =
Permitivität,
µ0 =
Permeabilität
10
4.) Potentiale:
Im Allgemeinen ist die Lösung der Systeme (1) - (4) nicht einfach, da es sich
um gekoppelte Gleichungen mit Zwangsbedingungen handelt. Wir werden daher versuchen (i) die Zwangsbedingungen zu lösen und (ii) die Gleichungen zu
entkoppeln
(i): Wir bemerken, dass
A
dass ein Vektorfeld
∇·B = 0
(mit
(2)
existiert, so dass
B (x, t) → 0 (x → ∞))
impliziert,
B =∇×A
B (x, t) = ∇ × A (x, t)
∇ × E + 1c ∂t A = 0 und behaupten, dass ein
1
so dass E (x, t) ± ∂t A (x, t) = −∇φ (x, t) (- ist
c
Dann benützen wir (3) also
Skalarfeld
φ (x, t)
existiert,
Konvention!) also
1
= −∇φ (x, t) − ∂t A (x, t)
c
E (x, t)
A (x, t)
und
φ (x, t)
gelöst.
Allerdings sind die
sind unbeschränkt und somit sind die Zwangsbedingungen
Potentiale A (Potentialvektor)
Eichtransformationenen:
und
φ
(Skalarpotential)
nicht eindeutig denn die
φ0 = φ − 1c ∂t χ
A0 = A + ∇χ
führen zum selben
E (x, t)
und
, χ beliebiges
Skalarfeld
B (x, t).
A und φ automatisch erfüllt während (1) zu
Die Gleichungen (2) und (4) sind mit
1
−∇φ − ∂t A =
c
4πρ
wird und (4) wegen
∇ × (∇ × A)
= ∇ · (∇ · A) − 4A
zu
Nun kann aber
1 2
1
4π
∂t A − 4A + ∇ · ∇ · A + ∂t φ
=
J
2
c
c
c
∇ · A + 1c ∂t φ durch eine geeignete Eichtransformation
schwinden gebracht werden wegen
1
∇ · A + ∂t φ0
c
0
⇒ χ ≡
1
1
= ∇ · A + ∂t φ + 4χ − 2 ∂t2 χ = 0
!
c
c
1 2
1
∂
−
4
χ = ∇ · A + ∂t φ (∗)
t
2
c
c
11
zu ver-
Falls
χ
eine Lösung von (*) ist werden (2) und (4) zu
φ (x, t) = 4πρ (x, t)
A (x, t) = 4π
c J (x, t)
Bemerkung:
A (x, t) und φ (x, t)
∇ · A + 1c ∂t φ = 0 heisst Lorentz-Eichung
eine weitere Eichfreiheit mit Skalarfeld χ̃ (x, t),
(i) Inhomogene Wellengleichungen für
(ii) Die Eichbedingung
(iii) Es besteht noch
so dass
χ̃ = 0
III. Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
Rep: Lösung der Wellengleichung für
E (x, t)
= eRe eiωt−k·x
q
ω = c |k| = c δ ij ki kj
E (x, t)
[Zeichnung]
c=
Phasengeschwindigkeit,
c4t=|4x|, e
Polarisationsvektor
Frage:
Hängt c vom Kooridnatensystem ab für zwei Koordinatensysteme, die sich gleichförmig relativ zueinander bewegen?
Experiment: (Michelson-Morley)
[Zeichnung]
t1
2l1
l1
l1
δ
v
c
+
=
; p2
=
v2
2
c−v c+v
c
1 − c2
l2 + δ
=
∗
tatsächliche Distanz l2
=
l
q 2
2
1− vc2
⇒ t2 =
◦
Nun drehen wir das Apparat um 90
t
2
2l2∗
c
:
=
1
2l2
c
2
− vc2
, ...
also:
t1 − t 2
t
1 − t2
=
=

2
c
q
1−
v2
c2
2
c
q
1−
v2
c2
12
 q l1
1−


v2
c2
− l2 

l1 − q
l2
1−
v2
c2

oder:
4t − 4t
=
q
1−
→
→

2
c
v2
c2

q 1
1−
v2
c2
− 1 '
l 1 + l 2 v 2
c
c
Verschiebung im Interferenzbild nicht beobachtet!!
Experiment kann nicht zwischen unbewegtem und bewegtem Koordinaten-
system unterscheiden.
1.) Einsteins Postulate:
(i) In zwei sich gleichförmig relativ zueinander bewegenden Koordinatensystemen sind alle Naturgesetze identisch.
(ii) Die Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig von der Bewegung der Quelle.
2.) Herleitung der Lorentztransformationen:
(i) ⇒ Raum und Zeit sind isotrop und homogen. Somit muss die Transformation zwischen zwei Koordinatensystemen
K
und
K̃
linear sein, i. e. sei
x0 ≡ ct
(Dimension Länge), dann gilt

x̃0
 x̃1 
 2  ≡ x̃µ = Λµν xν
 x̃ 
x̃3

µ, ν = 0, . . . , 3; Λµν :
Transformationsmatrix zu bestimmmen.
(ii) Universalität der Lichtgeschwindigkeit
4x̃0
2
− 4x̃1
2
− 4x̃2
2
− 4x̃3
⇒
2
λ (v) :
− 4x1
2
Funktion abhängig von der Relativgeschwindigkeit zwischen
K
= λ (v)
Andereseits muss gelten, für
4x0
2
− 4x2
und
2
K̃ .
P : xi 7→ −xi , i = 1, 2, 3
P ◦ Λ (v) ◦ P ◦Λ (v)
|
{z
}
=
1
=Λ(−v)
und somit
λ (v) ≡ 1.
Wir werden nun
2
x
und
3
x
Λ (v)
für einen Boost in der
x1 -Richtung
in diesem Fall nicht involviert sind gilt


x̃0
Ax0 + Bx1
1
0
1
 x̃ 

 2  =  Cx +2 Dx
 x̃ 

x
x̃3
x3

13


 ; x̃ = Λ (v) x

bestimmen.
Da
− 4x3
2 −1
Λ (v)
= Λ (−v) = P ◦ Λ (v) ◦ P .
7→ −B
−1
, während Λ (v)
durch
7→ −C
Nun gilt
(
B
C




1
AD−BC
−B
A
D
−C
0
Letzere Form ist äquivalent zu

0 


1
1
gegeben ist.
Daraus schliessen wir dass
(
AD − BC
A=D
=1


AB − CD
A2 − C 2

 2
D − B2
. Weiterhin impliziert
(∗)
dass
=0
=1
=1
(wobei die beiden letzten Gleichungen nicht unabhängig voneinander sind) und
somit
B = C.
Die allgmeinste Lösung ist dann
D
Um
die
K
1
= A =: γ, B = C = −γβ; γ = p
1 − β2
β zu bestimmen benützen wir, dass falls K̃ sich mit Geschwindigkeit v
x1 -Richtung bewegt, ein Punkt der in K̃ ruht sich mit Geschwindigkeit v
in
in
bewegt. Somit gilt
konst. = x̃1
also
β=
= α x1 − vt ; α = konst.
c = D x1 + x0
D
v
c
Bemerkung:
Falls
K̃
v bewegt in K , dann gilt allgemeiner
β
= γ x0 − β · x = vc
γ−1
= x + β 2 β · x β − γβ · x; β · x = δij β i xj
sich mit Geschwindigkeit
x̃0
x̃
Wie transformieren sich die Basisvektoren unter dieser Transformation? Dafür
benützen wir, dass
x̃1 = 0 ⇒ x1 − βx0 = 0
während
x̃0 = 0 ⇒ x0 − βx1 = 0
oder graphisch:
[Zeichnung]
Dieses Diagramm beschreibt die wesentlichen Aspekte der SRT geometrisch,
z.B. Simultanität, Längenkontraktion e.t.c.
Eigenzeit:
Wir haben schon gesehen, dass die Zeit
14
t
unter Lorentztransformationen nicht
invariant ist.
Frage:
Existiert in der SRT eine invariante Grösse?
Antwort:
Ja, die
Eigenzeit τ
deniert durch
2
(4τ ) =
1
c
4x0
2
2
− (4x)
Beweis:
Per Konstruktion von
Λ (v).
Bemerkung:
(i) In einem Koordinaten (Inertial-) system, in welchem zwei Geschehenisse am
selben Ort stattnden, ist die Eigenzeit
τ.
(ii) Die Invarianz der Eigenzeit impliziert, dass der Kegel
2
2
x0 = |x|
unter
Lorentztransformationen in sich selbst abgebildet wird.
Denition:n
2
2
x0 = |x|
Der Kegel
o
heisst
Lichtkegel.
Zwei Ereigniss, welche durch Licht-
strahlen verbunden sind, benden sich auf dem Lichtkegel.
(iii) Falls
τ 2 < 0,
dann
6 ∃ Λ,
so dass
|4x̃| = 0
aber
∃Λ
so dass
4t̃ = 0.
In diesem Fall gilt:
Denition:
√
σ≡
−c2 τ 2
heisst
Eigendistanz zwischen den 2 Ereignissen.
Denition:
Das Intervall zwischen 2 Ereignissen mit
τ2


 > 0 
= 0
=


< 0
heisst


Zeitartig

Raumartig
Lichtartig



[Zeichnung]
3) Vierer-Vektoren:
Die Denition eines Vektors in
Minkowski-Raumzeit = R3 × |{z}
R ist genau
Zeit
analog zu unserer vorhergehenden Denition, nämlich:
Denition:
Aµ x0 , xi ≡ Aµ (x)
ist ein (4-) Vektor
i = 1, 2, 3; µ = 0, 1, 2, 3
falls
Aµ (x)
unter Koordinatentransformationen wie
õ (x̃) =
transformiert. Speziell für
∂ x̃µ ν
A (x)
∂xν
x̃µ = Λµν (v) xν , mit Λµν (v) eine Lorentztransforma15
tion, gilt dann
õ (x̃) = Λµν (v) Aν (x)
Die Denition eines Tensors p-ter Stufe
Die
T µ1 ...µp (x)
ist ebenfalls wie zuvor.
invariante Länge zum quadrat, kAk ist wiederum mit Hilfe des metrischen Tensors
gµν (x)
deniert, also
kAk ≡ gµν (x) Aµ (x) Aν (x)
Allerdings ist
gµν (x) jetzt durch Konvention für kartesische Koordinaten deniert,
wie


1 0
0
0
 0 −1 0
0 

= 
 0 0 −1 0 
0 0
0 −1
gµν (x)
also
g00 (x) = 1, gij (x) = −δij ; i, j = 1, 2, 3.
Das globale Vorzeichen ist Konvention während, das relative Vorzeichen zwischen
g00
und
gij
durch die Invarianzbedingung festgelegt ist.
Somit gilt in kartesischen Koordinaten:
kAk
≡ (A, A) = A0
2
−
3
X
Ai
2
= A0
2
− A · A.
i=1
Beispiel:
(i) Elektromagnetische Welle
E (x)
= e |ei(ωt−k·x)
{z }
Phase
µ ν
⇒ Phase unabhängig
( vom Inertialsystem ⇒ gµν x x
0
x = ct
.
⇒ k ν 4-Vektor, wobei
k ν = k 0 = ωc , k
Micheslon-Morley Experiment
unabhängig vom System
(ii) 4-Geschwindigkeit eines Teilchen
Vektor und
τ=
uµ ≡
dxµ
dτ ist ein 4-Vektor, da
Skalar (invariant) ist.
Denition:
Aµ (x) heisst kontravariantes Vektorfeld
Aµ (x) = gµν Aν (x) heisst kovariantes Vektorfeld.
Nebenbedingungen:
A0 = A0 ; Ai = −Ai wegen gij = −δij
x · y ist nach wie vor durch x · y = δij xi y j
deniert!
4) Kovarianz der Maxwellgleichungen
Wir beginnen mit der Formel für die Lorentzkraft:
dp
dt
v
= q E+ ×B
c
16
xµ =
4-
die wir nun relativistisch
bemerken wir, dass
pi
kovariant (≡ Forminvariant) schreiben wollen.
die Raumartigen Komponenten eines 4-Vetkors
Zuerst
dxµ
µ
dt = p
sind. Dies motiviert die folgende Ergänzung
dpi
dτ
dp0
dτ
(∗)
=
i
dt dp
dτ dt
=
q
i j
c δij u E
= q(u0 E i + εijk uj Bk )
|{z}
=
(∗)
q i j
− c u E gij
; p0 =
E
c
zweimal runterziehen (verjüngen) erhält das Vorzeichen
Nun ersetzen wir
pµ
pµ = gµν pν , was dann
dpi
q 0
u Ei + εi jk uj Bk
=
dτ
c
durch
und
dpi
dτ
q
= − u i Ei
c
liefert.
Als nächstes drücken wir
dpi
dτ
Ei
und
Bj
durch
Ai
und
φ
aus, also
q
∂Ai
∂φ
(−u0 0 + u0 i + εi jk uj εklm ∂l Am )
c
∂x |{z} ∂x
| {z }
=
(∗∗)
=−Ei
∂φ
∂
l
(∗∗) wegen E i =- ∂x
i − ∂x0 A = −Ei
jk
lm
= gi l g im − gi m g jl und somit
Nun gilt wegen εi uj εk
dpi
dτ
q
∂Ai
∂φ
−u0 0 + u0 i + uj ∂i Aj − uj ∂j Ai
c
∂x
∂x
q
∂φ
∂Aj
uj 0 + uj j
c
∂x
∂x
=
=
φ ≡: A0
(∂j A0 − ∂0 Aj ) also
Mit Denition
− qc uj
erhalten wir
dpi
dτ
= − qc uν (∂ν Ai − ∂i Aν )
dpµ
q
= − uν (∂ν Aµ − ∂µ Aν )
dτ
c
Da aber
pµ
und
uν
4-Vektoren sind impliziert
und
dp0
dτ
=
(∗∗)
(∗∗) dass auch Aµ
ein 4-Vektor
ist.
Im folgenden werden wir einen
kovarianten Tensor 2-ter Stufe,
führen, und zwar durch
Fµν := ∂µ Aν − ∂ν Aµ
Die Komponenten von
Fµν
sind dann

Fµν
0
 −E 1
= 
 −E 2
−E 3
E1
0
B3
−B 2
17
E2
−B 3
0
B1

E3
B2 

−B 1 
0
Fµν
ein-
Denition:
Fµν heisst Feldstärketensor.
Bemerkung:

0
 E1
= 
 E2
E3
F µν = g µλ g νρ Fλρ
Fµν
−E 1
0
B3
−B 2
−E 2
−B 3
0
B1
E1
0
−B 3
B2
 
0
−E 3
 −E 1
B2 
=
−B 1   −E 2
−E 3
0
E2
B3
0
−B 1

E3
−B 2 

B1 
0
ist trivialerweise Eichinvariant, da dessen Einträge nur von den Feldstärken,
also nicht von den Potentialen abhängt.
Ausgedrückt durch
Fµν
wird
(∗∗)
zu
dpµ
q
q
= − uν Fν µ = F µν uν
dτ
c
c
Damit ist die Kovarianz sowie die Eichinvarianz der Lorentzkraft in dieser Kompakten Form explizit.
Als nächstes wollen wir die Kovarianz der Maxwellgleichungen zeigen.
Zuer-
ste betrachten wir die inhomogenen Gleichungen:
φ (x) = 4πρ (x) ; x = x, t
A (x) = 4π
c J (x)
welche in der Lorentzgleichung
1
∂t φ + ∇ · A =
c
0
gültig sind.
Letztere Gleichung wird mit
1
c ∂t
= ∂x0
und
∂0 A0 + ∂i Ai
automatisch kovariant. Die
Eichbedingung.
A0 = φ
zu
∂0 A0 −
P3
i=1
∂i Ai
also
= ∂µ Aµ
Lorentzbedingung ist also eine kovariante
Die ersten beiden Gleichungen können dann kovariant geschrieben
werden, i. e.
Aµ
4π µ
J
c
J µ (x) ist, also als
1 2
µν
solche transformiert (Der d'Alembertoperator = 2 ∂t − 4 = g
∂µ ∂ν ist
c
invariant unter Lorentztransformationen, also ein skalarer Operator)
R
Um dies zu zeigen benützen wir das Q =
ρd3 x eine lorentzinvariante Gröÿe
R
ist (experimentelle Tatsache).
4
0 3
0 3
4
Desweiteren ist d x̃ = dx̃ d x̃ = det (Λ) dx d x = det (Λ) d x eine invariante
falls
J 0 (x) = cρ (x)
=
unter
die Null-Komponente eines 4-Vektors
eigentlichen Lorentztransformation
18
(i.
e.
ohne Parität).
Wegen
dx0 = cdt = cγdτ
γd3 x
folgt dann, dass
invariant ist. Also ist auch
dt
ργ −1 = ρ dτ
invariant. Daraus wiederum folgt, dass

ργ −1

cρ
 ρ dx1
 dt
2
=  dx
 ρ dt
3
ρ dx
dt
dxµ
dτ
 cρ

=
J

wie ein 4-Vektor transformiert, was dann die Kovarianz der Maxwellgleichungen
etabliert.
Schlussendlich wollen wir die kovarianten Maxwellgleichungen noch explizit eichinvariant formulieren. Dazu benützen wir, dass
∂ µ Fµν
= g µλ ∂λ Fµλ
= g µλ ∂λ (∂µ Aν − ∂ν Aµ )
= Aν − ∂ν ∂ ν Aµ
| {z }
=∂µ Aµ
Der letzte Term veschwindet in der Lorentzeichung. D. h. in dieser Eichung ist
die Gleichung
∂ µ Fµ ν =
1
mit den Maxwellgleichungen
ist, gilt
(∗) in jeder Eichung.
4π ν
J
c
(∗)
identisch. Da diese Gleichung aber eichinvariant
Also ist
kovarianten Maxwellgleichung.
(∗) die explizit eichinvariante
Form der
5.) Lagrangeformalismus für das elektromagnetische Feld
(i) Motivation:
Für nicht-relativistische Teilchen mit z.B. harmonischen Wechselwirkungs-Potential
(Federkette) schreibt sich die Lagrangefunktion als
L
qαi , q̇αi
3
X
=
i=1,α=1,...,N
2
2
q̇ i
i
m
− k qαi − qα+1
, qN +1 ≡ q1
2
Die Bewegungsgleichungen folgen dann aus dem Extremalprinzip
t1
Z
δS
=
dtL qαi + δqαi , q˙αi + δqαi = 0
!
t0
für alle Variationen
δqαi (t)
die für
t = {t0 , t1 }
verschwinden. Im Kontinuum-
slimes, wo die Ruhepositionen der Teilchen beliebig nahe aneinander liegen,
kann
qαi (t)
durch das Feld
q i (t, x)
ersetzt werden mit der Lagrangefunktion
(siehe Übung)
L q̇ i (t, x) , q i (t, x)
Z
=
d3 x
3 n
X
m
i=1
1
inhomogenen
19
2
2
o
q̇ i (t, x) − k̃ ∇q i (t, x)
wobei
k̃
die reskalierte Federkonstante bezeichnet.
Das Extremalprinzip
S q i (x, t) + δq i (x, t) = S q i (t, x)
führt dann zu der
Bewegungsgleichung
m 2 i
∂ q (t, x) − k̃4q i (t, x)
2 t
=
0
(ii) Lagrangefunktion für das elektromagnetische Feld
Wir wollen nun diesen Formalismus auf das elektromagnetische Feld anwenden,
d. h. wir wollen eine Lagrangefunktion für das elektromagnetische Feld nden,
so dass
L (Aµ (x) , ∂ν Aµ ) lorentzinvariant ist
µ
µ
b) L (A (x) , ∂ν A ) eichinvariant ist
µ
µ
µ
µ
c) L (A (x) , ∂ν A ) quadratisch in A und Ȧ ist
R 4
µ
d) das Extremalprinzip auf S [A ] =
d xL (Aµ (x) , ∂ν Aµ )
a)
angewandt die
Maxwellgleichungen reproduziert
Die einzige Funktion die a) - c) erfüllt ist (bis auf totale Ableitungen) gegeben
durch
Lµ (Aµ (x) , ∂ν Aµ )
1
Fµν (x) Fρλ (x) g µρ g νλ
4 (4π)
1
= −
Fµν (x) F µν (x)
4 (4π)
= −
1
4(4π) im Moment noch durch Konvention festgelegt ist.
µ
eine kleine, dierenzierbare Variation von A (x), welche für
wobei der Faktor µ
δA (x)
t → ∞ verschwindet.
Sei nun
oder
δ (Fµν F µν )
|x|
Dann gilt wegen
= δFµν F µν + Fµν δF µν = 2F µν (∂µ δAν − ∂ν δAµ )
und dann nach partieller Integration
Z
1
δS [Aµ ] =
d4 xF µν (x) (∂µ δAν − ∂ν δAµ )
2 · 4π
Z
1
= −
d4 x (∂µ F µν (x)) δAν (x) = 0 (∗)
!
2 · 4π
µ
Also werden die quellenfreien Maxwellgleichungen reproduziert. Man bemerke,
dass
(∗)
die Form einer Euler-Lagrange Gleichung
die Quellen
ρ (x)
S µ [Aµ , J]
∂µ
∂L
∂(∂µ Aν )
=0
hat. Falls
J (x) nicht verschwinden, dann liefert
Z
1
1 µ
4
µν
= − d x
Fµν (x) F (x) + A (x) Jµ (x)
16π
c
und
die korrekten Bewegungsgleichungen (hier kommt das
1
16π ins Spiel).
Die Eichinvarianz ist in diesem Fall durch die
Kontinuitätsgleichung
0
= ∂µ J µ (x) = ∂t ρ (x) + ∇J (x)
20
garantiert wegen
φ0
A0
= φ − 1c ∂t χ
= A + ∇χ
0
A1
A2
A3
B
A=B
@
Wir sehen also, dass die
gleichung
|{z}
1
0
C
B
C=−B
A
@
A1
A2
A3
1
A00
A0i
= A0 − ∂0 χ
= Ai − ∂i χ
C
C
A
Eichinvarianz der Wirkung direkt mit der KontinuitätsLadungserhaltung zusammenhängt. Dies ist
und somit mit der
ein Beispiel einer allgemeinen Tatsache, welche auch in der Energieerhaltung
(Dieomorphismeninvarianz), oder der Erhaltung von Baryonen- und Leptonenzahl eine zentrale Rolle spielt.
Schlussendlich wollen wir noch die Lorentzkraft aus dem Variationsprinzip her-
Punktteilchen der Masse m lautet die relativistische
Lagrangefunktion in der Abwesenheit des elektromagnetischen Feldes
leiten. Für ein geladenes
Lm
Hier ist
rµ (τ ),
also auch
p
drµ
= −mc gµν ṙµ ṙν ; ṙµ ≡
dτ
r0 (τ )
noch beliebige Funktionen von
τ,
welche dann
nach dem Variationsprinzip festgelegt werden.
Die Koppplung an das elektromagnetische Feld wird dann aus
Lj
für ein Punk-
tteilchen durch den Wechselwirkungsterm
Lj
drµ
q
= − Aµ (r)
c
dτ
beschrieben. Wegen
∂Lm+j
∂ ṙµ
=
−mcgµν ṙν
1
p
− Aµ (r)
µ
ν
c
gµν ṙ ṙ
liefert die Euler-Lagrange Gleichung
d
dτ
∂Lm+j
∂ ṙµ
=
∂Lm+j
∂rµ
die Bewegungsgleichung
−mcgµν r̈ν
mcgµν ṙν gαβ r̈α ṙβ
q
q
p
+
− ṙν ∂ν Aµ (r) = − (∂µ Aα ) ṙα
3
α
β
c
c
α
β
2
gαβ ṙ ṙ
(gαβ ṙ ṙ )
p
Wenn die Bewegungsgleichung erfüllt ist, gilt
gαβ ṙα ṙβ = cdτ
dτ = r und
ist auch der 2-te Term Null (Warum?). Also erhalten wir
d 2 rµ
dτ 2
q
= − ṙν Fνµ
c
also unsere frühere relativistische Formel für die Lorentzkraft.
21
somit
Somit haben wir gezeigt, dass
Lµ + Lm + Lj
sowohl die Maxwellgleichungen für
das elektromagnetische Feld, als auch die Bewegungsgleichungen für geladene
Teilchen im elektromagnetische Feld reproduziert.
(iii) Energie-Impulstensor des elektromagnetischen Felddes
Aus der Lagrangemechanik sind wir uns gewohnt die Energie mit Hilfe der Leg-
L
endretransformation aus
zu erhalten, i. e.
H pi , q i
= δij pi q̇ i − L q i , q̇ i (∗)
∂L
i
δ q̇ i der kanonisch konjugierte Impuls zu q̇ ist. Dieses Konzept
verallgemeinert sich ebenos auf das elektromagnetische Feld mit
wobei
pi j =
pµ (x)
∂L (Aµ , ∂ν Aµ )
∂ (∂0 Aµ (x))
1
1
= − F 0µ (x) 00=
F0µ (x)
4π
g =1 4π
(
;µ=0
1 0
=
i
4π −E (x) ; µ = i
=
D. h. das elektromagnetische Feld ist der
∂0 Aµ !
Das Analog zu
(∗)
kanonisch konjugierte Impuls zu
Hamiltonfunktional für das
deniert dann ein
elektromagnetische Feld als
H E i , Aµ , ∂i Aµ
∂L
(∂0 Aµ ) − L (Aµ , ∂ν Aµ )
∂ (∂0 Aµ )
1
= − F 0µ ∂0 Aµ − L (Aµ , ∂ν Aµ )
4π
=
Wie in der Hamilton'schen Mechanik ist
H2
eine erhaltene Gröÿe, also unab-
hängig von der Zeit entlang einer Trajektorie. Unschön ist, dass
H E i , Aµ , ∂i Aµ
oenbar nicht eichinvariant ist, wie man das für eine Energie erwarten würde.
Intgrale der BeLagrangedichte
Bevor wir dieses Problem angehen, wollen wir aber weitere
wegung identizieren. Tatsächlich hängt die
L (Aµ , ∂ν Aµ )
nicht nur
nicht
= −
1
Fµν F µν
4 (4π)
explizt von der Zeit ab, sondern ist ebenfalls invariant unter
Transformationen im Raum also
xµ 7→ xµ + aµ
⇒ L (Aµ , ∂ν Aµ ) 7→ L (Aµ , ∂ν Aµ )
xν −abhängige Funktion aµ (x),
µ
dann können in der Lagrangedichte L (A , ∂ν A ) nur Terme die Ableitungen
µ
µ
von A enthalten (also ∂ν A -Terme) zur Variation von L beitragen, denn nur
λ
solche produzieren Ableitungen von a , i. e.
δ (∂µ Aν ) = ∂µ aλ ∂λ Aν = ∂µ aλ ∂λ Aν + aλ ∂µ ∂λ Aν (∗)
Nehmen wir nun an
aµ
sei klein, aber eine von
µ
2
für ein abgeschlossenes System
22
d4 x nicht invariant unter solchen x−abhängigen Trans
2
x̃µ = xµ + aµ (x) gilt d4 x = d4 x̃ 1 − ∂λ aλ + O (a)
. Somit nden wir
gleichzeitig ist das Mass
lationen.
Für
∂L
ν
λ
δ
(∂
A
)
−
∂
a
L
µ
λ
∂ (∂µ Aµ )
Z
∂L
d4 x∂λ aλ {
∂λ Aν − g µλ L}
∂ (∂µ Aµ )
{z
}
|
Z
δS [Aµ ]
=
=
(∗)
d4 x
=:T µλ
Z
=
d4 x∂µ aλ T µλ
Andererseits gilt aber
∂µ T µλ
∂L
µ
ν
= ∂µ
∂λ A − g λ L
∂ (∂µ Aµ )
∂L
∂L
∂L
∂L
∂λ Aν +
∂µ ∂λ Aν −
∂µ ∂α Aν −
∂λ Aν
= ∂µ
∂ (∂µ Aµ )
∂ (∂µ Aµ )
∂ (∂α Aµ )
∂Aν
= 0
sofern die Euler-Lagrange Gleichung für
Aµ
erfüllt sind, denn dann heben sich
die ersten beiden Terme gegen die letzten beiden Terme.
gezeigt, dass 4
Erhaltungssätze erfüllt sind:
∂µ T µλ
=
Wir haben somit
0; λ = 0, 1, 2, 3
Diese werden wir in Kürze mit der Energieerhaltung
und Impulserhaltung in
Verbindung bringen.
Bemerkung:
Bei Kopplung an einen
äusseren Strom J µ (x) ist die Translationsinvarianz i.A.
gebrochen und somit ist auch der Erhaltungssatz nicht mehr erfüllt.
Vorerst wollen wir jedoch die Eichinvarianz von
plizite Rechnung erhalten wir aus dem Ausdruck
T µλ
=
=
(∗)
T µλ diskutieren.
µ
für T λ
Durch ex-
1 µ αβ
1 µ
F ∂λ Aα +
g F Fαβ
4π α
16π λ
1
1 µ αβ
1 µα
µα
F Fαλ + g λ F Fαβ −
F ∂α Aλ
4π
4
4π
|
{z
}
−
T̂ µν
(∗) (∂λ Aα = −F αλ + ∂ α Aλ )
In der Abwesenheit von Quellen können wir
gen
∂β F
βγ
=0
T̂ µν
mit Hilfe der Maxwellgleichun-
noch umschreiben:
T̂ µν
=
=
1
F αµ ∂α Aλ + Aλ ∂β F βµ
4π
1
∂β F βµ Aλ
4π
23
Bemerkung:
∂µ T̂ µν ≡ 0 (wegen antisymmetrie von F βµ )
µ
(ii) T̂ ν ist eine Divergenz → für örtlich lokalisierte
(i)
Felder gitl
Im folgenden werden wir den eichinvarianten Term
T̂ µν
R
d3 xT̂ 0µ = 0
weglassen also den
Energie-Impulstensor druch die eichinvariante Kombination
1 µα
1 µ αβ
F Fαλ +
g F Fαβ
4π
16π λ
Θµν =
denieren. Wegen
Θ00
identizieren wir
∂L
∂0 Aν − L
∂ (∂0 Aν )
= H (mod. Divergenz)
=
Θ00 = Θ00 = Θ00
mit der
Energiedichte
des elektromag-
netischen Feldes. Durch einsetzen erhalten wir
Z
d3 xH =
E=
V
1
8π
Z
d3 x E 2 − B 2
V
für die Totalenerige des elektromagnetischen Feldes.
Damit erhält man den
∂µ Θµ0 = 0 die physikalische Interpretation (u ≡
Z
Z
1
1
3
∂t E =
d x∂t u = −
d3 x∂i Θi 0
c
c V
V
Z
= −
Θi 0
dσi
|{z}
∂V
Erhaltungssatz
inf. Flächenel. auf
Somit beschreibt
der sogenannte
Θi 0 =
1
4π
0
(E × B) ≡
Poyntingvektor und
Energiedichte)
∂V
1 i
c s den Energieuss durch
∂V . si
ist
1
(∂t u + ∇ · s) = 0
c
ist das
Poyntingtheorem, das wie wir gesehen haben wiederum eine KonseTranslationsinvarianz ist.
quenz zur
Falls Quellen vorhanden sind, kann die 4-er Divergenz
∂µ Θµν
=
1
4π
1
µα
µα
αβ
(∂µ F ) Fαλ + F (∂µ Fαλ ) + Fαβ ∂λ F
2
mit Hilfe der inhomogenen Maxwellgleichung
∂µ F µα =
4π α
umgeschrieben
c J
werden zu
1
∂µ Θµν + Fλα J α
c
=
1 αβ
F {∂α Fβλ + ∂α Fβλ + ∂λ Fαβ }
8π
|
{z
}
=∂β Fαλ
=
1 αβ
F (∂α Fβλ + ∂β Fαλ ) = 0
8π
24
Also
∂µ Θµν
λ = 0:
Speziell für
1
c
und für
1
= − Fλα J α (∗)
c
1
∂u
1
+ ∇ · s = − F0i J i = − E · J
∂t
c
c
λ = j ∈ {1, 2, 3}
liefert
(∗)
mit
∂g j
1
1 ∂
1
j
= − sj − 2 sj + ∂i Θi j = δE j + (J × B) =:
c
c ∂t
c{z
∂t
|
}
Θ0j
Materie-Impulsdichte
also
∂
∂t
1 j
s + gj
c2
1 j
c2 s mit der
Feldes zu identizieren, während
Diese Gleichung suggeriert
i
Θ
j
(∗∗)
Impulsdichte des elektromagnetischen
1
1
2
2
i j
i j
=
E E + B B − δij E + B
4π
2
(µ)
Tij
=:
= ∂i Θi j
in analogie mit der Kontinuumsmechanik als (Maxwellscher)
Spannungstensor
(µ)
deniert wird. Tij beschreibt den Fluss der j-ten Komponente von Gesamtimpuls (Feld plus Materie) durch das Oberächenelement dσi . Die
Kontinuitätsgleichung (∗∗) beschreibt somit die Erhaltung des Gesamtimplus
(Feld,
si
plus Materie,
Bemerkung:
Der Impuls
si =
c
4π
g i ).
i
(E × B)
des elektromagnetischen Feldes hat nichts mit dem
kanonisch konjugierten Impuls, pi = − 4π1 E i zu ∂0 Ai zu tun!!!
Ähnlich bekommen wir für
λ = 0 die Erhaltung der Energiedichte
∂
(u + εmaterie ) = −∇ · s
∂t
Zusammenfassung:
Maxwellgleichungen (MG):
∇ · E = 4πρ
∇ × E + 1c ∂t B = 0
; ∇·B =0
; ∇ × B − 1c ∂t E =
elektromagnetische Potentiale: (löst homogene)
B = ∇ × A ; E = −∇φ − 1c ∂t A
−A, φ unphysikalisch, Eichfreiheit
25
4π
c J
∂
∂t εmaterie
=E·J
→
Spezielle Relativität:
Aµ =
4-Vektoren
φ
−Ai
=
φ
Ai
; Jµ =
ρc
J
Feldstärketensor:
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ; ∂µ F µν =
4π ν
J
c
Lagrangefunktion:
L=−
1
1
Fµν F µν − Aµ J µ + Lmaterie
16π
c
Bemerkung:
(i) Kopplung elektromagnetisches Feld
(ii)Extremal / Variationsprinzip
⇔
⇔
Materie benötigt
Materie benötigt
Aµ
Aµ
(freie Variation)
Energie-Impuls Tensor:
Θµν
0
Θ 0
1 i
cΘ 0
Θi j
∂µ Θµλ
(∗)
1
µα
Fαλ
4π (F
=
+
1
4
g µλ F αβ Fαβ )
|{z}
=δ µν
:
:
:
Energiedichte
Impulsdichte
Spannungstensor
=
|{z}
(∗)
translationsinvarianz von
0
Energieerhaltung
Impulserhaltung
L
IV. Elektromagnetische Wellen und Strahlung
Ebene Wellen:
Maxwellgleichungen ohne Qullen implizieren die Wellengleichungen:
1 2
c2 ∂t
− 4 E (x, t) = E (x, t) = 0
B (x, t) = 0
Lösung:
ω = c |k|, ω
E (x, t)
B (x, t)
Kreisfrequenz,
∇·E
∇·B
∇ × E + 1c ∂t B
k
⇒
⇒
⇒
⇒
= E 0 ei(k·x−ωt)
= B 0 ei(k·x−ωt)
Wellenvektor
k · E0 = 0
k · B0 = 0
k × E 0 − |k| B 0 = 0
k
× E 0 =: n × E 0 ; |n| = 1
B 0 = |k|
26
[Zeichnung]
{B 0 , n, E 0 }
orthogonales rechtshändiges System.
Physikalische Felder sind
Re (E (x, t))
Re (B (x, t))
.
Energiedichte:
u
1
1 2 E cos2 (k · x − ωt)
E2 + B2 =
8π
4π 0
=
Poyntingvektor:
c
(E (x, t) × B (x, t))
4π
= s=
c 2 E cos2 (k · x − ωt) n
4π 0
Nach Zeitmittelung über eine volle Periode erhalten wir mit
cos2 (x)
hui
hsi
mit
v = cn
=
=
=
1
2π
1
8π
c
8π
R 2π
2
0 2 dx cos (x)
E 0 2
E 0 n =: µ · v
also die Lichtgeschwindigkeit.
Polarisation:
Sei
e1 , e2 , e3 = n
inste
3
ein Orthonormalsystem in
dann können wir die allgeme-
ebene Welle schreiben als:
E (x, t)
mit
R3 ,
E 1 , E 2 ∈ C.
E1 = E0 eiδ , E01 δ ∈ R
Falls
(E1 e1 + E2 e2 ) ei(k·x−ωt)
=
und
E2 = 0
= E0 e1 cos (k · x − ωt + δ)
Re (E (x, t))
wiederum eine
dann erhalten wir mit
linear polarisierte elektromagnetische Welle.
Andererseits mit
E1 = E0 , E2 = ±E0
Re (E (x, t))
=
E0
|{z}
ergibt sich mit
(e1 cos (k · x − ωt) ∓ e2 sin (k · x − ωt))
Amplitude
(E0 ist die Amplitude)
[Zeichnung]
eine links (rechts) polarisierte Welle mit positiver (negativer) Helizität.
Mit der alternativen Basiswahl
e± :=
√1
2
(e1 + ie2 ) schreibt sich eine allgemeine
Lösung als
E
=
E1 ∓ E 2
√
E+ e+ + E− e− ei(k·x−ωt) ; E± =
2
Für den allgemeinen Fall mit
E−
E+
= reiα
Polarisation mit Halbachsenverhältniss
3
monochromatische
27
erhalten wir dann eine
1−r 1+r also
elliptische
[Zeichnung]
welche für
E− = 0 oder E+ = 0 zur zirkular polarisierten Welle und für
E−
E+
=1
die linear polarisierte Welle übergeht.
Wellenpakete:
Bis jetzt haben wir nur
monochromatische Wellen betrachtet.
In realistischen
Situationen tritt allerdings immer eine gewisse Unschärfe in der Frequenz auf.
Wegen der Linearität der Maxwellgleichungen können solche Wellenpakete als
lineare Superposition
von monochromatischen Wellen beschrieben werden.
Hier betrachten wir den Ansatz:
1
= E0 √
2π
E (x, t)
wobei
A (k)
Z
∞
dkei(kn·x−ω(k)t) A (k)
−∞
A (k) die Amplitude der Komponente mit Wellenvektor k = kn beschreibt.
t=0
Z ∞
1 E
dxE (xn, 0) eikx
A (k) = √ 02 2π E 0 −∞
ist dann durch die Fouriertransformation zur Zeit
bestimmt. Bildlich:
[Zeichnung]
[Zeichnung]
Das Wellenpaket
E (x, t)
unschärfe 4k ist.
ist umso mehr ausgedehnt, je kleiner die
Allgemein gilt für die
4x4k
Die
rms
≥
Schwankungen
Frequenz-
4x, 4k :
1
2
Gruppengeschwindigkeit des Wellenpaketes ist in diesem Fall c.
In dis-
pergierenden Medien kann sie jedoch auch von der Lichtgeschwindigkeit abweichen (siehe Übungen).
Wellenleiter:
Als Beispiel für Wellen auf einem endlichen Gebiet mit Randbedingungen wollen
wir einen zylindrischen Hohlraum mit beliebigen Querschnitt betrachten, dessen
Wand aus einem idealen Leiter besteht.
[Zeichnung]
E |Wand ≡ 0 und somit wegen Maxwellgleichungen auch ∂t B |Wand =
B (t = 0) = 0 gilt dann B ≡ 0.
Randbedingungen für E (x, t) und B (x, t) im Inneren des Hohlleiters sind
Wir haben also
0.
Mit der Anfangsbedingung
Die
dann
Ek
=
0 und B ⊥ = 0 (warum?)
und ansonsten gelten die Maxwellgleichungen im Vakuum.
Gesucht ist eine
monochromatische Welle in der z-Richtung, d. h.
E (x, t)
= E (x, y) ei(kz−ωt) ; B (x, t) = B (x, y) ei(kz−ωt)
mit
∂x2
+
∂y2
ω2
+ 2 − k2
c
28
E (x, t)
B (x, t)
=
0 (∗)
Andereseits folgt mit den beiden dynamischen Maxwellgleichungen:
i ωc Bx
= ∂y Ez − ikEy
.
.
.
i ωc By
= ikEx − ∂x Ez
.
.
.
und dann nach auösen nach
und analog für
Bz (x, y)

Ex
=
Ey
=
−i ωc Ex
= ∂y Bz − ikBy
−i ωc Ey
= ikBx − ∂x Bz
Ex , Ey
ω
c ∂y Bz
+ k∂x Ez
−k2
k∂y Ez − ωc ∂x Bz
−k2
i
2
( ωc )
i
2
( )
ω
c
Bx,y = Bx,y [Bz , Ez ].
Ez und Bz
die Lösung fest.
Somit legen die Funktionen
Ez (x, y)
(∗).
und
wiederrum sind Lösungen von
Denition:
Ez ≡ 0 heisst die elektromagnestische Welle transverselektrisch (TE)
Bz ≡ 0 heisst die elektromagnestische Welle transversmagnetisch (TM)
Falls Ez ≡ Bz ≡ 0 heisst die elektromagnestische Welle transverselektromagnetsich
Falls
Falls
(TEM)
Beispiel:
TE-Wellen in einem rechteckigen Leiter
[Zeichnung]
Randbedingungen:
Bx |x=0,a
By |y=0,b
=0
=0
⇒ ∂x Bz |x=0,a
⇒ ∂y Bz |y=0,b
=0
=0
Bz = B0 cos mπx
cos nπy
; m, n ∈ N, m + n > 0
a
b
mπ
nπ
mit Wellenzahlen kx =
;
k
=
.
y
a
b
q
p
m2
2
Einsetzen in (∗) ergibt dann ck = ± ω 2 − ωmn
mit ωmn = cπ
a3 +
⇒
Ansatz:
n2
a2 die
ist unterhalb welcher keine Ausbreitung stattnden kann, da
Grenzfrequenz
k dann imaginär ist.
Bemerkung:
Die Phasengeschwindigkeit
v=
ω
k
=
q
c
2
1−( ωmn
ω )
ist hier grösser als
c, jedoch die
q
= c 1−
ωmn 2
dk −1
ist kleiner c und vg ist
dω
ω
die Geschindwindigkeit mit welcher Energie (und Signale) transportiert werden.
Gruppengeschwindigkeit
vg =
V. Lösungen der Maxwellgleichungen mit Quelltermen
Im allgemeinen Fall sind die Gleichungen
Aµ (x, t)
=
zu lösen für beliebige Ladungsverteilung
29
4π µ
J (x, t)
c
ρ (x, t)
und Stromverteilung
j (x, t).
Elektrostatik (also ohne
Magnetostatik (ρ ≡ 0) und keine
Zuerst wollen wir jedoch den einfacheren Fall der
Zeitabhängigkeit und ohne Ströme) und der
Zeitabhängigkeit) betrachten.
1.) Elektrostatik:
In diesem Fall können wir O. b. d. A.
A (x, t) = 0
−4φ (x) = 4πρ (x)
Das elektrische Feld ist dann durch
setzen und lösen
(∗)
E = −∇φ
bestimmt während
B
ver-
schwindet.
(∗)
Die Poissongleichung
(ρ
≡ 0)
wird bis auf eine Lösung der homogenen Gleichung
mit Hilfe der Green'schen Funktion gelöst, also
Z
φ (x)
wobei
G0 (x, x0 )
=
die Gleichung
−4G0 (x, x0 )
und
φA (x) = 0
d3 x0 G0 (x, x0 ) ρ (x0 ) + φA (x)
=
4πδ (x − x0 )
(siehe Übung)
ist eine Lösung der homogenen Gleichung mit deren Hilfe die
φ (x) |∂V = φ0 (x) (oder
∂n φ (x) |∂V = −4πξ(x), ∂n = n · ∇, |n| = 1, n ⊥ ∂V ) die Lösung φ (x) eindeutig
Randbedingungen festgelegt werden. Umgekehrt ist mit
!
(oder bis auf eine Konstante) festgelegt denn, falls
sind, die die Randbedingungen erfüllen, dann ist
4ψ = 0
mit
φ1 und φ2 beide Lösungen
ψ = φ1 − φ2 Lösung von
ψ |∂V = 0 (oder ∂n ψ |∂V ≡ 0) wegen der Green'schen
Z
Z
2
ψ∂n ψdσ
d3 x(ψ4ψ + (∇ψ) ) =
| {z }
∂V
|
{z
}
=0
Identität
=0
muss dann
∇ψ
identisch verschwinden und somit ist
identisch Null falls
ψ |∂V = 0.
Eine nützliche Konsequenz dieses
ψ (x) = konst.
und sogar
Eindeutigkeitssatzes ist der Faraday'sche
Käg:
[Zeichnung]
Hier gilt
4φ = 0
mit
φ = konst.
auf
∂V ⇒ φ = konst.
in V
⇒E=0
in V.
Ebenfalls wichtig in Anwendung zur Signalübertragung ist eine Variante des
Eindeutigkeitssatzes wo das Potential auf
∂V
nicht festgelegt ist, z.B.
[Zeichnung]
mit dem gegebenem
Q
und
Q0 .
(1)
φ2 Lösungen
R ψ = konst. auf ∂V
R von 4ψ = 0 und
und somit
ψ∂n ψdσ = ψ ∂V (1) ∂n ψdσ = ψ ∂V (1) (∂n φ1 − ∂n φ2 ) dσ =
∂V (1)
(M G)ψ4π Q(1) − Q(1) = 0 ⇒ ∇ψ = 0 in V.
Für beliebige Randbedingungen φ0 (x) gilt dass Lösungen der Laplace-Gleichung
4φ = 0 keine lokalen Extrema in V haben,
denn falls bei x = x0 φ (x) ein
Maximum oder Minimum hat, also ∇φ x0 = 0 und mij = ∂xi ∂xj φ |x=x0 eine
positive (negative) denite Matrix hat, dann gilt auch SP (mij ) = 4φ 6= 0.
R φ1
Sei wiederum
und
Bevor wir Methoden entwickeln, um das Potential
30
φ (x) für gegebene Ladungsverteilung
zu approximieren, betrachten wir die
Feldenergie:
Wir betrachten zuerst n
diskrete raumfeste Punktladungen
[Zeichnung]
und berechnen die
Potentielle Energie dieser Konguration.
alleine hat keine potentielle Energie:
tladung
q2
E1 = 0.
Die erste Ladung
Nun bringen wir eine zweite Punk-
q1 . Dies ergibt die Energie
x2 )
Z
Z
= −q2
E1 · ds = q2
∇φ1 ds = q2 (φ1 x2 − φ1 (∞))
| {z }
C
C
vom Unendlichen in die Nähe von
ein Pfad von
E2
∞
(C sei
nach
=0
wobei
E1 (φ1 )
das E-Feld (Potential) ist, welcher von
E2 =
erzeugt wird:
q1
= −∇φ1 ; φ1 (x) = q1 G0 x, x1 = x − x2 E1
Somit gilt
q1
q1 q2
|x−x2 |
. Nun wiederholen wir den Prozess mit der Ladung
q3 .
Dies liefert
E3
q1 q3
q2 q3
q1 q2
+
+
; rij = xi − xj r12
r13
r23
=
usw.
Pn
qi qj
qi qj
1
j>i rij = 2
i,j=i,i6=j rij .
Wir gehen nun zu einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ρ (x) über und er-
Schlussendlich erhalten wir
E = En =
Pn
i=1
P
halten
E
=
1
2
Z
d3 xd3 x0
ρ (x) ρ (x0 )
(∗)
|x − x0 |
(*)
Bemerkung:
(i) Falls
ρ (x)
eine reguläre Funktion ist, so ist die Singularität bei
integrabel, denn mit y ≡ x − x
0
1
2
Z
wird
(∗)
d3 yd3 x0
zu
ρ (x)
| {z }
'ρ(x0 )
1
ρ (x0 ) |y|
x = x0
für
y'0
R
1
d3 y |y|
= 4π drr2 1r < ∞; r = |y|.
Pn
3
Falls jedoch ρ (x) diskrete Punktladungen enthält, also ρ (x) =
i=1 qi δ (x − xi )
Pn
qi2
dann muss die Selbstenergie ES =
i=1 |xi −x0 | abgezogen werden.
i
und
R
Die Selbstenergie ist die Energie, die zum Aufbau von Punktladungen aufgebraucht werden muss.
Sie kann in der relavtivistischen Quantenfeldtheorie
mathematisch sinnvoll berechnet werden.
R
R
R
ρ(x)ρ(x0 )
1
E = 12 V d3 xd3 x0 |x−x0 | = (M G) 12 V d3 x0 ρ (x) φ (x) = (P.I.) 8π
φE ·
∂V
R 3
R 3 2
1
1
ds − 8π V d xE · ∇φ = 8π V d xE
(ii)
2.) Multipolentwicklung
31
Als Vorbereitung für die Multipolentwicklung betrachten wir zuerst die Laplacegleichung in Polar (Kugel) koordinaten. Aus Kapitel I erinnern wir uns, dass in
dem Laplaceoperator in beliebigen Koordinaten
gegeben ist, wobei
g ij
p
i
x durch 4 = √1 ∂i |g|g ij ∂j
|g|
die inverse Matrix zur Metrik ist.
In Polarkoordinaten:

gij
und
|g| ≡ det (gij ).
Somit wird
4φ =

0
r
 ϑ
0
ϕ
r2 sin2 ϑ
1 0
=  0 r2
0 0
4φ
zu
1
1
1
2
2
∂
sin
ϑ∂
+
∂
∂
r
∂
+
ϑ
ϑ
r
r
ϕ φ
r2
sin2 ϑ
sin2 ϑ
Wegen Rotationsinvarianz der runden 2-Sphäre in der
allgemeinste Lösung von
4φ = 0 durch
ϑ- und φ-Richtung ist die
Linearkombinationen von Lösungen der
Form
φ (r, ϑ, ϕ)
= R (r) P (ϑ) Q (ϕ)
[4, ∂ϕ ] ≡ 4∂ϕ − ∂ϕ 4 = 0 und deshalb sind
∂ϕ auf Eigenfunktionen von 4, also ∂ϕ Qm (ϕ) =
mQm (ϕ) ⇒ 4Qm (ϕ) = λ (m) Qm (ϕ). Wegen Qm (ϕ + 2π) = Qm (ϕ) sind
die Qm (ϕ) gegeben durch
gegeben.
Des weiteren gilt
die Eigenfunktionen von
Qm (ϕ) = ceimϕ ; c = konst, m = 0, ±1, ±2, .. .
Weiter gilt nach Multiplikation mit
r2 sin2 ϑ
4φ =
R (r) P (ϑ) Qm (ϕ)
sin ϑ
sin2 ϑ
∂r r2 ∂r R +
∂ϑ (sin ϑ∂ϑ P ) − m2 = 0
R
P
.
∂
cos ϑ = x; ∂x
= − sin1 ϑ ∂ϑ ; 1 − x2 ∂x = − sin ϑ∂ϑ
2
Division durch sin ϑ:
Mit
1
1
∂r r2 ∂r R + ∂x
|R
{z
} |P
λ
mit
m2
1 − x2 ∂x P −
=
1 − x2
{z
}
⇐unabh.
λ = konst. also
(
∂r r2 ∂r R = λR
1 − x2 P 00 − 2xP 0 + λ −
Bemerkung:
Für
erhalten wir dann, nach
v.
0
x=:−λ
(a)
m2
1−x2
P = 0 (b)
m = 0 ist (b) die denierende Dierentialgleichung der Legendre-Polynome,
32
Pl (x).
P (x) den Potenzreihenansatz:
k
a
x
;
−1
≤ x ≤ 1. Dann impliziert (b), dass
k=0 k
Dazu machen wir für
P (x) =
P∞
∞
X
((k + 2) (k + 1) ak+2 − k (k − 1) ak − 2kak + λak ) xk
=
0
k=0
⇒
ak+2 =
k (k + 1) − λ
ak
(k + 2) (k + 1)
Rekursionsformel für ak .
Also ist die
ak
a0
durch
und
a1
eindeutig bestimmt, wie wir das von einer
Allerdings gilt für k → ∞
ak+2
→
1
d. h. die Reihe P (x) divergiert für x → 1 ausser die Reihe für
ak
ak bricht bei endlichem kmax =: l ab, mit l (l ± 1) = λ. Wir erhalten dann ein
2-ten Ordnungs Dierentialgleichung erwarten.
Polynom von Grad l, also
(
a0 + a2 x2 + a4 x4 + . . .
=
a1 + a3 x3 + a5 x5 + . . .
Pl (x)
Beispiel:
P2 (x) = a0 1 − 3x2
nativ können wir die
oder normiert mit
Pl (x)
mit Hilfe der
Pl (x) =
; l : gerade
; l : ungerade
P2 (1) =!1 P2 (x) =
1
2
3x2 − 1
Rodriguez-Formel
alter-
l
1 dl
x2 − 1
l
l
2 l! dx
{Pl (x)} , l = 0, 1, . . . bilden
−1 ≤ x ≤ 1, mit Orthogonalitätsrelation
als l-te Ableitung dargestellt werden. Die Polynome
eine Basis der Funktionen auf dem Intervall
Z
1
Pl (x) Pl0 (x) =
−1
sowie
2
δll0
2l + 1
Vollständigkeit
∞
X
2l + 1
l=0
Allgemeiner, für
m 6= 0
2
Pl (x) Pl (x0 ) = δ (x − x0 ) .
machen wir die Substitution
T (X) liefert
; l = 0, 1, 2, . . .
was dann eine Rekursionsformel für
(
λ = l (l + 1)
m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l
Die Lösungen
Plm (x) =
(−1)m
2l l!
P (x) = 1 − x2
m
2
T (x)
die konvergent falls
erfüllt ist.
1 − x2
dl+m
2 dxl+m
m
33
x2 − 1
l
m
= (−1)
1 − x2
dm
2 dxm Pl
m
(x)
heissen assozierte Legendrefunktionen. Sie erfüllen die Orthogonalitätsrelation
R1
2 (l+m)!
0
P m (x) Plm
0 (x) =
2l+1 (l−m)! δll für jedes m. Nehmen wir nun noch die
−1 l
Abhängigkeit Qm (ϕ) dazu, erhalten wir die
Kugelfunktionen:
s
ylm (ϑ, ϕ) =
mit entsprechender
Z
2l + 1 (l + m)! m
P (cos ϑ) eimϕ
4π (l − m)! l
Orthogonalitätrelation:
2π
π
Z
∗
dϑ sin ϑylm
(ϑ, ϕ) yl0 m0 (ϑ, ϕ)
dϕ
0
und
ϕ-
= δll0 δmm0
0
Vollständigkeitsrelation:
∞ X
l
X
∗
ylm
(ϑ, ϕ) ylm (ϑ0 , ϕ0 )
= δ (ϕ − ϕ0 ) δ (cos ϑ − cos ϑ0 )
l=0 m=−l
Die Kugelfunktionen bilden also eine Basis im Raum der Funktionen auf der
Einheitssphäre.
Beispiel:
√1
4π
q
y00
=
y11
3
= − 8π
sin ϑeiϕ
q
3
=
4π cos ϑ
q
15
= 14 2π
sin2 ϑe2iϕ
q
15
= − 8π
sin ϑeiϕ cos ϑ
q
5
3
1
2
=
4π 2 cos ϑ − 2
m ∗
= (−1) ylm
y10
y22
y21
y22
yl−m
Für uns ebenfalls wichtig ist das
Pl (cos γ)
=
Additionstheorem der Kugelfunktionen:
l
4π X ∗
ylm (ϑ0 , ϕ0 ) ylm (ϑ, ϕ)
2l + 1
m=−l
[Zeichnung]
cos γ
=
cos ϑ cos ϑ0 + sin ϑ sin ϑ0 cos (ϕ − ϕ0 )
Zum Schluss lösen wir noch die Radialgleichung
34
∂r r2 ∂r R = l (l − 1) R
also
R (r) = Al rl + Bl r−(l−1) .
4φ = 0:
Somit ist die allgemeinste Lösung von
φ (r, ϑ, ϕ)
∞ X
l
h
X
=
i
Alm rl + Blm r−(l+1) ylm (ϑ, ϕ)
l=0 m=−l
wobei
Alm
und
Blm
unbestimmte Konstanten sind.
Multipolentwicklung:
Wir haben nun die Vorarbeit geleistet um das Potential ausserhalb einer lokalisierten
aber sonst an sich beliebigen Ladungsverteilung zu bestimmen. Dazu erinnern
1
0
d3 x0 |x−x
0 | ρ (x ) gelöst wird.
1
Wir werden nun
|x−x0 | mit Hilfe der Kugelfunktionen ausdrücken. Das Resultat
ist
wir uns, dass
−4φ = 4πρ (x)
1
|x − x0 |
wobei
x
=
4π
durch
∞ X
l
X
4φ = 0,
1
|x − x0 |
1
(r0 ) ∗
y (ϑ0 , ϕ0 ) ylm (ϑ, ϕ)
2l + 1 (r)l+1 lm
ist. Um dies zu sehen legen wir die z-Achse so, dass
1
|x−x0 | für
auf der z-Achse liegt. Dann löst
Laplacegleichung
R
l
l=0 m=−l
r0 ≡ |x0 | < |x| ≡ r
φ (x) =
|x| =
6 |x0 |
die
axialsymmetrische
also
=
:
∞ X
Al rl + Bl r−(l+1)
l=0
ylm (ϑ, 6 ϕ)
| {z }
√ 2l+1
4π
Al = Al (r0 ) , Bl = Bl (r0 ).
Da Al und Bl nicht von ϑ abhängen
Dann lösen wir (mit Pl (1) = 1)
Pl (cos ϑ)
mit
1
r − r0
also
q
2l+1
4π Bl
l
= (r0 )
und
∞
X
=
l=0
Al = 0.
können sie bei
r
ϑ = 0
bestimmt werden.
2l + 1
Bl (r0 ) r−(l+1)
4π
Für beliebige
ϑ
gilt dann (mit
x0
auf der
z-Achse)
1
r − r0
=
∞
l
X
(r0 )
l=0
∞ X
l
l
X
1
(r0 ) ∗
P
(cos
ϑ)
=
4π
y (ϑ0 , ϕ0 ) ylm (ϑ, ϕ)
l
l+1
2l + 1 (r)l+1 lm
(r)
l=0 m=−l
Letzteres Resultat gilt für beliebige
allgemeinerung, wenn
0
x
beliebig ist
(ϑ0 , ϕ0 ) und ist desshalb
0
(mit |x | < |x|).
die korrekte Ver-
Nun sind wir fertig!
Für eine beliebig lokalisierte Ladungsverteilung
ausserhalb des Gebietes wo
Z
φ (x) =
d3 x0
0
ρ (x )
ρ (x0 )
ist das Potential
nicht verschwindet gegeben durch
∞ X
l
l
X
ρ (x0 )
4π (r0 )
ylm (ϑ, ϕ)
=
qlm
l+1
0
|x − x |
2l + 1 (r)
rl+1
l=0 m=−l
35
φ (x)
mit
die
l ∗
dr0 dϑ0 dϕ0 r02 sin ϑ0 ρ (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) (r0 ) ylm
(ϑ0 , ϕ0 )
Multipolentwicklung für φ (x).
R
qlm =
gegeben. Dies ist
Beispiel:
q00
√1
q4π
3
4π
q
d3 x0 ρ (x) =
R
=
R
: M onopol
q
3
dr dϑ dϕ r sin ϑ0 ρ (x) r0 cos ϑ0 = 4π
P3
R 0 0 0 02
dr dϑ dϕ r sin ϑ0 ρ (x) r0 sin ϑ0 (cos ϕ0 ∓ i sin ϕ0 )
0
0
0
q10
=
q1±1
3
= ∓ 8π
q
3
=
4π (∓P1 + iP2 )
mit
P =
R
√Q
4π
02
d3 x0 xρ (x0 )
usw.
Im Allgemeinen können die
qlm
wenn auch nciht analytisch, dann doch min-
destens numerisch bestimmte werden.
φ (x)erhalten
wir dann für
φ0 (x)
φ1 (x)
=
=
=
=
Durch Einsetzen in den Ausdruck für
φl (x):
Q
r
4π 1
3 r 2 {q10 y10 + q11 y11 + q1−1 y1−1 }
1
r 2 {cos ϑP3 + sin ϑ cos ϑP1 + sin ϑ sin ϕP2 }
1
r2 n · P
;n
=
x
|x|
usw.
Bemerkung:
(i) Die Monopole in der Multipolentwicklung sind im Allgemeinen abhängig
von der Wahl des Koordinatensystems für
metrsiche Ladungsverteilung verschwindet
l > 0. z.B. für eine sphärisch symφl , l > 0 nur falls der Ursprung des
Koordinatensystems im Zentrum der Ladungsverteilung gewählt wird, also
[Zeichnung]
φl = 0, l > 0; φl 6= 0, l > 0
(ii) Kongurationen mit verschwindendem Monopol- Dipol- usw.
Potentiale
sind.
Dipol
Quadropol
Oktopol
l≥1
φ ∝ r12
l≥2
l≥3
1
r3
1
r4
Als Anwendung wollen wir noch die (WW) Wechselwirkungs-Energie zweier
Q = 0) mit Dipolmoment P 1 und P 2 . Sei
φ2 (x) das von P 2 erzeugte Potential. Dann gilt mit P 2 am Ursprung und P 1
0
bei x = x :
R
R 3
E12
=
d xρ1 (x) φ2 (x) ' (∗) d3 xρ1 (x) (φ (x1 ) + x · φ (x1 ) + . . . )
=
Q φ (x1 ) − P 1 · E 2 (x1 )
|{z}
Dipole betrachten (kein Monopol;
E 2 (x1 )
(∗)
da
=
=
ρ1 (x)
→0
P2
3
r 3 − r 3 n (n · P 2 )
1
r 3 {P 1 · P 2 − 3 (n
um
x = x1
· P 1 ) (n · P 2 )}
herum lokalisiert ist
36
Je nach relativer Orientierung kann die WW attraktiv oder repulsiv sein.
2.) Magentostatik:
Wir betrachten eine stationäre (zeitunabhängige) Stromverteilung. Dann löst
das Vektorpotential
A (x)
die Poissongleichung
−4A (x)
4π
J (x)
c
=
also mit Hilfe der Green'schen Funktion
A (x)
Mit
B =∇×A
i
B (x)
=
1
c
Z
d3 x0
1
J (x0 ) .
|x − x0 |
folgt für das Magnetfeld
1 ijk
ε ∂xj
c
=
Z
1
1
jk (x0 ) d3 x0 = −
0
|x − x |
c
Z
xj − x0j
d x
jk (x0 )
|x − x0 |
3 0
oder:
B (x)
=
1
c
Z
d3 x0
1
|x −
3
x0 |
j (x0 ) × (x − x0 )
Als Beispiel betrachten wir als Quelle den Strom durch einen dünnen Draht.
[Zeichnung]
Z
d3 x0
1
j (x0 ) × (x − x0 )
3
|x − x0 |
Z
=
J
3 dl
|x − x0 |
× (x − x0 ) J = konst.
also
B (x)
=
J
c
Z
dl × (x − x0 )
3
|x − x0 |
Für eine allgemeine lokalisierte Stromverteilung gilt dann wieder die Multipolentwicklung
A (x)
=
=
P∞ 1 R 3 0
l
0
d x j (x
) (r0 ) Pl (cos γ)
r l+1
R l=0
R
d3 x0 j (x0 ) + cr12 d3 x0 j (x0 ) r0 cos γ +
| {z }
1
c
1
cr
0
= x r·x
Nun beachten wir, dass für eine
O r−5
| {z }
=höhere
Ordnung
lokalisierte Stromverteilung j (x) mit ∇ · j = 0
das Volumenintegral
Z
f (x) j · ∇g (x) + g (x) j · f (x) d3 x
V
als Randintegral geschrieben werden kann und somit verschwindet, solange
und
Für
g (x) nicht singulär sind.
f ≡ 1 und g (x) = xi ; i = 1, 2, 3 folgt dann
Z
Z
0
0
j j (x0 )
0 =
J (x ) · ∇g (x ) =
v
V
37
f (x)
und somit verschwindet der erste Term in der Multipolentwicklung.
erhält man für
g (x) = xi
Z
Analog
f (x) = xj :
und
xi j j (x) + xj j i (x)
=
0
V
was wiederum impliziert, dass
Z
0 i
x·
0
x j (x )
=
V
3
X
j
1X j
x
x j (x ) = −
2 j=1
0
0j j
x
j=1
mit der Identität
3
Z
V
εijk εklm = δ i j δ j m − δ j l δ i m
1
= − xj εi jk εklm
2
Denieren wir nun die
Z
x0i j j (x0 ) − x0j j i (x0 )
V
folgt
i
Z
1
0
0
x × j (x )
x j (x ) = − x ×
2
V
0l m
V
Z
0
Magnetisierung als
M (x)
1
x × j (x)
2c
=
dann schreibt sich das Vektorpotential bis zur 2-ten Ordnung in der Multipolentwicklung als
A (x) =
m×x
r3
d3 x0 M (x0 ) als magnetisches (Dipol-) Moment bezeichnet wird.
x
1
Man bemerke die Analogie mit φ1 (x) = 2 n · P ; n =
r
|x| in der Elektrostatik.
Mit B (x) = ∇ × A (x) folgt weiter für die magnetische Induktion
wobei
m=
R
B (x)
=
3n (n · m) − m
+ O r−5
r3
weit weg von der Stromverteilung verhält sich die magnetische Induktion dann
homogene
magnetische Kugel ist die Dipolapproximation sogar exakt während z.B. für
wie ein von einem magnetischen Dipol induziertes Feld. Für eine
einen Kreisstrom höhrere Pole auftreten.
Das
Dipolmoment einer ebenen Schleife ndet man
[Zeichnung]
m =
wobei
σ
die
1
2c
Z
x × j (x) =
3
2c
Z
x × dl =
c
I
σ
c
orientierte Fläche innerhalb der Schleife ist.
Als weiteres Beispiel betrachten wir das
Gyromagnetische Verhältniss eines
starren Körpers mit:
Winkelgeschwindigkeit
Ladungsdichte
Massendichte
: ω = konst.; v (x) = ω × x
: ρ (x) , Gesamtladung
:q
: ρm (x) , Gesamtmasse
:M
38
Wir nehmen an, dass
q
ρ (x) = ρm (x) M
.
Mit
j (x) = ρ (x) v (x)
folgt für das
magnetische Moment
m =
1
2c
Z
V
q
(x × v (x)) ρ (x) =
2M c
Z
V
q
(x × v (x)) ρm (x) = g
L
|
{z
}
2M c
=L
mit
klassischem gyromagnetischen Verhältniss g = 1.
Elektron gilt oenbar
Für das
quantenmechanische
g = 2!
Wechelwirkungsenergie zweier Dipole:
Analog zur WW zweier elektrischer Dipole betrachten wir nun die WW zwischen
zwei magnetischen Dipolen. Dazu erinnern wir uns zuerst, dass im
Magnetfeld auf eine lokalisierte Stromverteilung
F
1
c
=
Z
j (x)
äusseren
die Lorentzkraft
d3 xj (x) × B (x)
wirkt. In Komponenten
Fi
B (x)
B (x), also
Falls
im Gebiet mit
Fi
=
=
=
1 ikl
cε
1 ikl
cε
1 ikl
cε
Fi
=
1
2c
1 ikl
ε
c
=
j (x) 6= 0
Z
d3 xjk (x) Bl (x)
wenig variiert, entwickeln wir wiederum
R 3
n
l (0) + x (∂n Bl ) (0) + . . . )
R d3 xjk (x) (B
n
x (∂n Bl ) (0)
R d3 xjk (x)
d x (xn jk (x) − xk j n (x)) (∂n Bl ) (0)
|
{z
}
p
=εnkp (x×j(x))


 l n
δ p δ i −
=0,
= ml (∂i Bl ) (o)
δ ln δip
| {z }
da
=
p
R 3
 d x x × j (x) (∂n Bl ) (0)
∇·B=0
ml =konst.
∂i ml Bl (0) =: ∂i · U
Somit ist die potentielle Energie eines Dipols im äusseren
Setzen wir dann für
B
B -Feld: U = −m · B .
das von einem 2-ten Dipol erzeugte Feld ein, erhalten
wir die WW-Energie
U12 = −m1 · B 2 =
−3 (n · m1 ) (n · m2 ) + m1 · m2
r3
Schlussendlich wollen wir noch die magnetische Induktion eines am
Ursprung
lokalisierten Dipols betrachten. Dazu berechnen wir zuerst das integrierte
Feld
R
K
B i (x) d3 x über eine, Stromverteilung einhüllende Kugel K.
R
R
R
B i (x) d3 x = K εRijk ∂j Ak (x) d3 x = εijk ∂K Ak dσj
K
= εijk ∂K
R Ak dσRj ;
1
0
= 1c εijk ∂K dσj V d3 x0 |x−x
0 | jk (x )
R
R
2
nj
= Rc εijk V d3 x0 jk (x0 ) ∂K dΩ |x−x
0|
39
B-
Dann gilt

mit
dσ = nR2 dΩ ; n =
1
|x − x0 |
x
|x|
=
; dΩ = sin ϑdϕdϑ.
4π
∞ X
l
X
Wegen

y11 − y1−1
n ∝  y11 + y1−1 
y10
und
l
l=0 m=−l
(r0 ) ∗
1
y (ϑ0 , ϕ0 ) ylm (ϑ, ϕ)
2l + 1 (r)l+1 lm
folgt mit der Orthogonalitätsrelation:
Z
dΩ
∂K
nj
|x − x0 |
=
r0
r2
Z
dΩnj
Z
1
X
4π ∗
r0
dΩnj nk n0k
ylm (ϑ0 , ϕ0 ) ylm (ϑ, ϕ) = 2
3
r
m=−1
{z
}
|
=P1 (cos γ)=n·n0
Für
j 6= k
verschwindet das
dΩ
Integral während für
j = k,
R
dΩ nk nk = 4π
| {z }
=1
ergibt, also
Z
4π ijk
ε
3c
B i (x) d3 x =
K
Z
d3 x0 jk (x0 ) r0 nj =
8π i
m
3c
also
Z
B (x) d3 x =
K
Für
r > r0
8π
m
3
ist das durch einen Dipol erzeugtes
B i (x)
=
B -Feld
gegeben als
ml
3ni nl δ i l
3
r
Falls nun aber der Dipol im Ursprung ist lokalisiert ist, also
B
integriert sich
punktförmig, dann
über eine Kugel minus dem Ursprung, zu
[Zeichnung]
Z
d3 xB i (x)
Z
=
Kε
R
Z
ml
drr2 3
dΩ 3ni nl δ i l = 0
r
{z
}
| ε {z
}|
4π i
i
3
δ
−4πδ
ml ln( R
3
l
l
ε )
Das Integral verschwindet paradoxerweise. Dieser Widerspruch wird behoben,
indem wir zum gültigen Ausdruck für
r > r0
noch einen bei
r=0
lokalisiereten
Beitrag addieren, z.B.
B (x)
=
3n (n · m) − m 8π
mδ 3 (x)
+
r3
3
Die WW-Energie zweier punktförmiger Dipole ist dann
U12
Diese WW spielt für die
= −
8π
m m δ 3 (x)
3 1 2
Hyperfeinaufspaltung in der Atomphysik eine wichtige
Rolle.
40
3.) Strahlung:
Lösung der Maxwellgleichung mit zeitabhängiger Quelllen:
(
µ
Aµ (x, t) = 4π
3 J (x, t)
∂µ Aµ (x, t) = 0
Um eine spezielle Lösung der zeitabhängigen, inhomogenen Gleichungen zu
nden, machen wir eine Fourier-Zerlegung bezüglich der Zeit, also
φ (x, t) =
A (x, t) =
√1
dωφ (x, ω) e−iωt
2π
R
1
= √2π dωA (x, ω) e−iωt
R
φ (x, t) = 4πρ (x, t) ist dann äquivalent zu
Z
Z
1
ω2
4π
−iωt
√
dωe
− 2 − 4 φ (x, ω) = √
dωe−iωt ρ (x, ω)
c
2π
2π
Die Wellengleichung
oder:
ω2
4+ 2
c
φ (x, ω) = −4πρ (x, ω)
Diese Gleichung lösen wir wiederum mit Hilfe der Green'schen Funktion,
Gk (x, x0 )
mit
4 + k 2 Gk (x, x0 ) = −4πδ 3 (x − x0 )
Gk (x, x0 )
Wir haben
Gk (x, x0 ) =
Z
φ (x, t) =
tr = t −
ω2
c2
in den Übungen diskutiert, wo wir mit Hilfe von Kontur-
integralen die Darstellung
mit
k2 =
|x − x0 |
c
der
0
e±ik|x−x | −iωt
|x−x0 | e
d3 x0
ρ (x0 , tr )
|x − x0 |
retardierten Zeit.
Bemerkung:
(i)
t − tr =
|x−x0 |
c
ist die Zeit, die das von der Quelle ausgesandte Potential
brauch, um an den Punkt
tlung
instantan.
Denition:
φ (x, t)
| {z }
heisst
x
zu gelangen. Im limes
c→∞
wird diese Übermit-
retardiertes Potential.
=:φr (x,t)
(ii) hätten wir anstatt
lente zu tr
→ ta = t +
0
0
eik|x−x |
e−ik|x−x |
benützt, wäre das äquiva|x−x0 | die Lösung
|x−x0 |
0
x−x
|
|
was mathematisch möglich, aber physikalisch nicht
c
sinnvoll ist.
41
Denition:
ta = avancierte Zeit.
(iii)
φa (x, t) − φr (x, t)
eik|x|
|x|
:
avancierte Greenfunktion.
ist eine Lösung der homogenen Gleichung.
Wir bestimmen dann das Vektorpotential
Ar (x, t) =
1
c
Z
Ar (x, t)
d3 x0
analog zu:
j (x, tr )
|x − x0 |
Zusammenfassend schreiben wir in 4-Vektorsprache
Aµr
1
(x, t) =
c
Z
d3 x0
J µ (x0 , tr )
|x − x0 |
Zum Schluss wollen wir noch die Lorentzbedingung überprüfen:
∂µ Aµ
=
=
=
=
=
(∗)
(∗)
R
∇·f =0
für
1
i
c ∂t φ (x, tr ) + ∂i A (x, tr )
1
c∂
ntRφ (x, trh) + ∇ · A (x, t) j(x,t ) io
r
ρ(x,tr )
1
d3 x0 ∂t|x−x
+ ∇x · |x−x0 |
0|
c
i
h
R 3 0 ∂t ρ(x,tr )
1
1
d
x
(x,
t
)
−
∇
·
j
0
0
r
x
c R
|x−x |
|x−x |
1
1
d3 x0 |x−x
0 | ∂t ρ (x, tr ) − ∇x · j (x, tr ) =
c
0
f −→ 0
|x|→∞
Punktladung q mit der Bahnkurve
r (t) ist das Liénard-Wiechert Potential. Um dies zu berechnen setzten wir
ρ (x, t) = qδ 3 (x − r (t)) und j (x, t) = q ṙ (t) δ 3 (x − r (t)). Somit erhalten wir
Z
3
x0 − r t − 1c |x − x0 |
3 0δ
φ (x, t) = q d x
|x − x0 |
Das Potential einer beliebigen bewegten
Nun gilt:
1
δ 3 x0 − r t − |x − x0 |
c
mit
∂ (f1 , f2 , f3 ) −1 3 0
δ x − f −1 (0)
≡ δ 3 f (x0 ) = 0
0
0
∂ (x1 , x2 , x3 )
f −1 (0) =: x00 = r (tr ) ; tr = t −
1
c
|x − r (tr )|
[Zeichnung]
R (tr ) = x − r (tr )
j
j
j
∂f j
j ∂tr
Sei Mi =
∂x0i = (E)i − ṙ ∂x0i =: (E + A)i
|M | =
dann gilt für die Determinante:
∂tr
1 (xi − x0i )
1 + SP (A) + O A2 = 1 − ṙi 0i = 1 − ṙ0i
+ O A2
0
∂x
c |x − x |
φ (x, t):
−1 3
R 3 0 1
ṙ·(x−x0 )
2
= q d x |x−x0 | 1 − c|x−x0 | + O ṙ
δ (x − r (tr ))
und somit nach Einsetzen in
φ (x, t)
1
= q R(tr )−β(t
; R = |R| , β =
r )·R(tr )
42
ṙ
c
Bemerkung:
Es ist nicht schwer einzusehen, dass
somit ist
φ (x, t)
exakt!
Die Herleitung für
A (x, t)
det (M ) keine Beiträge von O A2
hat und
geht völlig analog. Also zusammenfassend.
Liénard-Wiechert Potentiale
φ (x, t) =
Sei
qβ (tr )
q
; A (x, t) =
R (tr ) − β (tr ) · R (tr )
R (tr ) − β (tr ) · R (tr )
R
R dann gilt
n≡
∂tr
∂t
=
1+
∂tr
1 (x − r (tr )) ∂r (tr ) ∂tr
·
= 1 + n · β (tr )
c |x − r (tr )|
∂tr ∂t
∂t
und nach auösen nach
∂tr
∂t :
∂tr
∂t
=
1
1 − β (tr ) · n (tr )
Analog:
(∇tr )i
also
= −
1
1
∂tr
(xk − rk (tr )) δ ki − ṙk i
c |x − r (tr )|
∂x
∇tr = − 1c n + β · n ∇tr
auösen nach
⇒
Die
E-
und
B -Felder
∇tr = −
∇tr
n
1
c1−β·n
erhalten wir wie üblichen durch
E (x, t)
B (x, t)
1
= −∇φ − ∂t A
c
= ∇×A
Die detailierte Rechnung ist eine gute, aber nicht ganz einfache Übung.
Am
Schluss erhält man
E (x, t) = q
n−β
3
γ 2 (1−β·n) R2
+
q n×((n−β )×β̇ )
c (1−β·n)3 R
B (x, t) = n × E (x, t)
hier ist
γ2 =
1
1−β·β . (siehe SRT)
Bemerkung:
(i)
in
E
β̇ ,
hat zwei Komponenten, welche proportional zu
1
R2 unabhängig von
β̇
).
43
1
1
1
R und R2 sind. ( R linear
-für
β̇ → 0
folgt dann
qn
R2 , also das Resultat in der Elek-
E (x, t) = E (x) =
trostatik
-für
(ii)
β̇ = 0
E∝
1
R
überlebt nur der erste Term
⇔ β̇ 6= 0 →
∝
1
R2
Strahlung
Strahlung:
Die Strahlungsleistung P wird mit Hilfe des Poyntingvektors
s =
c
4π
(E × B)
berechnet und zwar
= s · σ = (s · n) RdΩ
dP̃
[Zeichnung]
Für grosse R trägt oenbar nur der Term linear in
s·n
β̇
bei, also
c
c
2
n · (E × B) =
|E|
4π
4π
=
und somit
2
n
×
−
β
×
β̇
n
q
dP̃
=
6
dΩ
4πc
1 − βn
2
Bemerkung:
(i) unabhängig von R für
R→∞
dP̃
(ii)
dΩ ist die Energie pro Zeiteinheit und Volumenwinkel, die zur Zeit t am
Punkt x detektiert wird, aber zur Zeit tr am Punkt r (tr ) ausgesandt wurde.
(iii) vom standpunkt der beschleunigten Ladung, ist die abgestrahlte Leistung
pro Raumwinkelelement:
dP̃ (tr )
dΩ
=
dP̃ dt
dP̃ (1)
=
1 − βn
dΩ dtr
dΩ
Spezialfälle:
a) nicht relativistisches Limes,
b)
β̇ k β
dP
dΩ
(tr ) =
q2
4πc
2
β β 1
dP
dΩ
(tr ) =
dP
dΩ
(t) =
q2
4πc
2 2
β sin ϑ
sin2 ϑ
5
(1−|β | cos ϑ)
Die Winkelverteilung der abgestrahlten Leistung sieht dann so aus:
a)[Zeichnung]
b)β Für
≤ 1[Zeichnung]
β ≤ 1
ist
ϑmax 1
Der integrierte Energieverlust pro Zeiteinheit der beschleunigten Quelle erhalten
wir nach integrieren über
R
dΩ
dε
dtr
also
Z
= P =
44
dΩ
dP
dΩ
Im
nicht-relativistischen limes vereinfacht sich das Integral zu
dε
dtr
Z
q 2 2
2 q2
dΩ sin2 ϑ =
β̇
4πc
3 c
|
{z
}
=
=2π
Lamorformel
und wir erhalten die
R1
−1
2
β̇ dη(1−η 2 )
für eine nicht relativistisch beschleunigte
Ladung.
Somit ist die korrekte relativistische Verallgemeinerung der Lamorformel
2 q 2 duµ duµ
P =− 3
3 c dτ dτ
oder
2 2
2 q2 6
P =
γ β̇ − β × β̇
3 c
Bemerkung:
Falls
β̇ k β
wird P zu
P
während für
2q 2
2 q2 6 2
γ
β̇
=
3 c2
3m2 c3
=
dp
dt
2
β̇ ⊥ β :
P
2q 2 2
2 q2 4 2
γ
=
γ
β̇
3 c2
3m2 c3
=
dp
dt
2
denn, mit
dp
dt
=
2
d
3
2
β β̇ β + 1 − β β̇
mγcβ = mcγ
dt
folgt:
dp
dt
2 ( 2 2 6 2
m c γ β̇
also ist die Abstrahlung für
beschleunigte Teilchen,
2 2 2 2
m c γ β̇
β̇ ⊥ β
; β̇ k β
; β̇ ⊥ β
um einen Faktor
γ2
gröÿer als für linear
β̇ k β .
Dies wird wichtig, wenn man sich z.B. zwischen einen Linearbeschleuniger und
einem Zyklotron entscheiden will.
45