2. WH
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2. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 5 ak – löffler Freitag, 9. Jänner 2015 Gruppe A ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) Die Trefferwahrscheinlichkeit in einer Lotterie beträgt 5 %. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 100 gekauften Losen mindestens 6 Treffer erzielt werden. Benutzen Sie dafür die Binomialverteilung. Rechnen Sie dann mit der Poissonverteilung als Näherung. Berechnen Sie um welchen Prozentsatz (nicht Prozentpunkte) sich der Wert der Poissonverteilung vom Wert der Binomialverteilung unterscheidet. Begründen Sie, warum der Unterschied nicht allzu groß ist. W(k ≥ 6) = 1 – bidi(5, 100, 0.05) = 0,384 W(k ≥ 6) = 1 – podi(5, 5) = 38,404 rel. Fehler = Error! – 1 = 0,01 % Die Poissonverteilung ist der Grenzwert der Binomialverteilung für n und p 0 b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung im Bereich [3; 5] mit der Dichtefunktion f(x) = k für 3 ≤ x ≤ 5. F(x) = Error! = kx + C mit F(3) = 0 = 3k + C und 1 = F(5) = 5k + C k = 0,5 C = –1,5 daher F(x) = 0,5x – 1,5 in [3; 5] c) Nur eine der folgenden Aussagen für die Funktion F(x) = 0,1x – 1 im Definitionsbereich [10; 20] ist wahr, kreuzen Sie die zutreffende Aussage an: F(x) kann keine Verteilungsfunktion sein, weil die Normierungsbedingungen nicht erfüllt sind. Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion bedeutet, dann ist die Wahrscheinlichkeit für x < 15 gleich 20 % Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion bedeutet, dann ist jeder x-Wert zwischen 10 und 20 gleich wahrscheinlich Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion ist, dann ist der wahrscheinlichste (= häufigste) Wert x = 15 Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für 12 ≤ x ≤ 18 gleich 80 % 2. X a) Eine Maschine soll Packungen mit der Füllmenge 300 g befüllen. Überschreitungen von mehr als 10 % gelten als Ausschuss. Die Maschine füllt mit einem Mittelwert von 295 g. Berechnen Sie die Streuung so, dass sie nicht mehr als 3 % Ausschuss produziert. W(Ausschuss) = W(x > 330) = 1 – (330, 295, ) = 0,03 = 18,6 b) Ermitteln Sie aus der folgenden grafischen Darstellung der Dichte einer Normalfunktion möglichst genau den Mittelwert und die Streuung der Verteilung. Geben Sie ein zum Mittelwert symmetrisches Intervall an, in dem ca. 95 % aller Werte liegen. µ = 30, = 10, x ∈ [10; 50] A 3. 4 a) Eine stetig verteilte Zufallsvariable hat die Dichtefunktion f(x) = k x2 e–2x in [0; [. Berechnen Sie den häufigsten Wert der Verteilung. Berechnen Sie den Normierungsfaktor k und die Verteilungsfunktion in einer möglichst einfachen Darstellung (e-Potenzen herausheben). Error! = 2ke–2x(x – x2 ) = 0 x = 0 als irrelevante Lösung und x = 1 als häufigster Wert. Error! = C – Error! mit F(0) = 0 = C – 0,25k und Error!F(x) = 1 = C daher C = 1 und k = 4 und F(x) = 1 – e–2x (2x2 + 2x + 1) b) Berechnen Sie für die Verteilungsfunktion F(x) = Error!ein geeignetes Definitionsintervall. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der x-Wert zwischen 6 und 8 liegt. Error! = Error! also x ∈ [0; 10] F(8) – F(6) = 0,737 – 0,337 = 40 % a) Bei einer Umfrage mit einer Stichprobengröße von 300 beantworten 30 Leute eine bestimmte Frage mit „ja“. Ermitteln Sie ein Konfidenzintervall für „ja“ mit einem z-Wert von 1,5 %. Geben Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit für dieses z an. Berechnen Sie anschließend eine Stichprobengröße bei der die statistische Unsicherheit (= halbe Breite des Vertrauensbereiches) nur mehr 1 Prozentpunkt groß ist. 2 (1,5) – 1 = 0,866 Irrtumswahrscheinlichkeit z = 13,4 % p 1,2 = 0,1 1,5 Error! = 7,4 % und 12,6 % 1,5 Error! = 0,01 n = 2025 b) Ein Konsument verlangt von seinem Lieferanten eine Stichprobenprüfung mit dem Umfang 50. Der Produzent weiß, dass seine Produktion eine Aussschusswahrscheinlichkeit von p = 10 % aufweist. Er möchte, dass sein Ablehnrisiko nicht mehr als 5 % betragen soll. Berechnen Sie die Annahmekennzahl für diese Situation. W(Ablehnung) = 1 – Error! = 0,05 c = 8,5 2. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 5 ak – löffler Freitag, 9. Jänner 2015 Gruppe B ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) Die Trefferwahrscheinlichkeit in einer Lotterie beträgt 5 %. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 100 gekauften Losen mindestens 7 Treffer erzielt werden. Benutzen Sie dafür die Binomialverteilung. Rechnen Sie dann mit der Poissonverteilung als Näherung. Berechnen Sie um welchen Prozentsatz (nicht Prozentpunkte) sich der Wert der Poissonverteilung vom Wert der Binomialverteilung unterscheidet. Begründen Sie, warum der Unterschied nicht allzu groß ist. W(k ≥ 7) = 1 – bidi(6, 100, 0.05) = 0,234 W(k ≥ 7) = 1 – podi(6, 5) = 0,238 rel. Fehler = Error! – 1 = 1,6 % Die Poissonverteilung ist der Grenzwert der Binomialverteilung für n und p 0 b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung im Bereich [4; 5] mit der Dichtefunktion f(x) = k für 4 ≤ x ≤ 5. F(x) = Error! = kx + C mit F(4) = 0 = 4k + C und 1 = F(5) = 5k + C k = 1 C = –4 daher F(x) = x – 4 in [4; 5] c) Nur eine der folgenden Aussagen für die Funktion F(x) = 0,1x – 1 im Definitionsbereich [10; 20] ist wahr, kreuzen Sie die zutreffende Aussage an: F(x) kann keine Verteilungsfunktion sein, weil die Normierungsbedingungen nicht erfüllt sind. Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion bedeutet, dann ist die Wahrscheinlichkeit für x < 15 gleich 50 % Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion bedeutet, dann steigen die Dichtewerte zwischen 10 und 20 linear an. Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion ist, dann ist der wahrscheinlichste (= häufigste) Wert x = 15 Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für 12 ≤ x ≤ 18 gleich 30 % 2. X a) Eine Maschine soll Packungen mit der Füllmenge 300 g befüllen. Überschreitungen von mehr als 10 % gelten als Ausschuss. Die Maschine füllt mit einem Mittelwert von 295 g. Berechnen Sie die Streuung so, dass sie nicht mehr als 1 % Ausschuss produziert. W(Ausschuss) = W(x > 330) = 1 – (330, 295, ) = 0,01 = 15,0 b) Ermitteln Sie aus der folgenden grafischen Darstellung der Dichte einer Normalfunktion möglichst genau den Mittelwert und die Streuung der Verteilung. Geben Sie ein zum Mittelwert symmetrisches Intervall an, in dem ca. 95 % aller Werte liegen. µ = 30, = 10, x ∈ [10; 50] B 3. 4 a) Eine stetig verteilte Zufallsvariable hat die Dichtefunktion f(x) = k x2 e–x in [0; [. Berechnen Sie den häufigsten Wert der Verteilung. Berechnen Sie den Normierungsfaktor k und die Verteilungsfunktion in einer möglichst einfachen Darstellung (e-Potenzen herausheben). Error! = ke–x(2x – x2 ) = 0 x = 0 als irrelevante Lösung und x = 2 als häufigster Wert. Error! = C – k e–x (x2 + 2x + 2) mit F(0) = 0 = C – 2k und Error!F(x) = 1 = C daher C = 1 und k = 0,5 und F(x) = 1 – e–x (0,5x2 + x + 1) b) Berechnen Sie für die Verteilungsfunktion F(x) = Error!ein geeignetes Definitionsintervall. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der x-Wert zwischen 0,6 und 0,8 liegt. Error! = Error! also x ∈ [0; 2] F(0,8) – F(0,6) = 0,087 – 0,031 = 5,6 % a) Bei einer Umfrage mit einer Stichprobengröße von 300 beantworten 15 Leute eine bestimmte Frage mit „ja“. Ermitteln Sie ein Konfidenzintervall für „ja“ mit einem z-Wert von 2,5 %. Geben Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit für dieses z an. Berechnen Sie anschließend eine Stichprobengröße bei der die statistische Unsicherheit (= halbe Breite des Vertrauensbereiches) nur mehr 1 Prozentpunkt groß ist. 2 (2,5) – 1 = 0,988 Irrtumswahrscheinlichkeit z = 1,2 % p1,2 = 0,05 2,5 Error! = 1,8 % und 8,2 % 2,5 Error! = 0,01 n = 2969 b) Ein Konsument verlangt von seinem Lieferanten eine Stichprobenprüfung mit dem Umfang 50. Der Produzent weiß, dass seine Produktion eine Aussschusswahrscheinlichkeit von p = 10 % aufweist. Er möchte, dass sein Ablehnrisiko nicht mehr als 3 % betragen soll. Berechnen Sie die Annahmekennzahl für diese Situation. W(Ablehnung) = 1 – Error! = 0,03 c = 9 2. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 5 ak – löffler Freitag, 9. Jänner 2015 Gruppe A ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) Die Trefferwahrscheinlichkeit in einer Lotterie beträgt 5 %. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 100 gekauften Losen mindestens 6 Treffer erzielt werden. Benutzen Sie dafür die Binomialverteilung. Rechnen Sie dann mit der Poissonverteilung als Näherung. Berechnen Sie um welchen Prozentsatz (nicht Prozentpunkte) sich der Wert der Poissonverteilung vom Wert der Binomialverteilung unterscheidet. Begründen Sie, warum der Unterschied nicht allzu groß ist. b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung im Bereich [3; 5] mit der Dichtefunktion f(x) = k für 3 ≤ x ≤ 5. c) Nur eine der folgenden Aussagen für die Funktion F(x) = 0,1x – 1 im Definitionsbereich [10; 20] ist wahr, kreuzen Sie die zutreffende Aussage an: F(x) kann keine Verteilungsfunktion sein, weil die Normierungsbedingungen nicht erfüllt sind. Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion bedeutet, dann ist die Wahrscheinlichkeit für x < 15 gleich 20 % Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion bedeutet, dann ist jeder x-Wert zwischen 10 und 20 gleich wahrscheinlich Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion ist, dann ist der wahrscheinlichste (= häufigste) Wert x = 15 Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für 12 ≤ x ≤ 18 gleich 80 % 2. 3. 4 a) Eine Maschine soll Packungen mit der Füllmenge 300 g befüllen. Überschreitungen von mehr als 10 % gelten als Ausschuss. Die Maschine füllt mit einem Mittelwert von 295 g. Berechnen Sie die Streuung so, dass sie nicht mehr als 3 % Ausschuss produziert. b) Ermitteln Sie aus der folgenden grafischen Darstellung der Dichte einer Normalfunktion möglichst genau den Mittelwert und die Streuung der Verteilung. Geben Sie ein zum Mittelwert symmetrisches Intervall an, in dem ca. 95 % aller Werte liegen. a) Eine stetig verteilte Zufallsvariable hat die Dichtefunktion f(x) = k x2 e–2x in [0; [. Berechnen Sie den häufigsten Wert der Verteilung. Berechnen Sie den Normierungsfaktor k und die Verteilungsfunktion in einer möglichst einfachen Darstellung (e-Potenzen herausheben). b) Berechnen Sie für die Verteilungsfunktion F(x) = Error!ein geeignetes Definitionsintervall. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der x-Wert zwischen 6 und 8 liegt. a) Bei einer Umfrage mit einer Stichprobengröße von 300 beantworten 30 Leute eine bestimmte Frage mit „ja“. Ermitteln Sie ein Konfidenzintervall für „ja“ mit einem z-Wert von 1,5 %. Geben Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit für dieses z an. Berechnen Sie anschließend eine Stichprobengröße bei der die statistische Unsicherheit (= halbe Breite des Vertrauensbereiches) nur mehr 1 Prozentpunkt groß ist. b) Ein Konsument verlangt von seinem Lieferanten eine Stichprobenprüfung mit dem Umfang 50. Der Produzent weiß, dass seine Produktion eine Aussschusswahrscheinlichkeit von p = 10 % aufweist. Er möchte, dass sein Ablehnrisiko nicht mehr als 5 % betragen soll. Berechnen Sie die Annahmekennzahl für diese Situation. 2. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandter Mathematik 5 ak – löffler Freitag, 9. Jänner 2015 Gruppe B ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) Die Trefferwahrscheinlichkeit in einer Lotterie beträgt 5 %. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 100 gekauften Losen mindestens 7 Treffer erzielt werden. Benutzen Sie dafür die Binomialverteilung. Rechnen Sie dann mit der Poissonverteilung als Näherung. Berechnen Sie um welchen Prozentsatz (nicht Prozentpunkte) sich der Wert der Poissonverteilung vom Wert der Binomialverteilung unterscheidet. Begründen Sie, warum der Unterschied nicht allzu groß ist. b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung im Bereich [4; 5] mit der Dichtefunktion f(x) = k für 4 ≤ x ≤ 5. c) Nur eine der folgenden Aussagen für die Funktion F(x) = 0,1x – 1 im Definitionsbereich [10; 20] ist wahr, kreuzen Sie die zutreffende Aussage an: F(x) kann keine Verteilungsfunktion sein, weil die Normierungsbedingungen nicht erfüllt sind. Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion bedeutet, dann ist die Wahrscheinlichkeit für x < 15 gleich 50 % Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion bedeutet, dann steigen die Dichtewerte zwischen 10 und 20 linear an. Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion ist, dann ist der wahrscheinlichste (= häufigste) Wert x = 15 Wenn F(x) eine Verteilungsfunktion ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für 12 ≤ x ≤ 18 gleich 30 % 2. 3. 4 a) Eine Maschine soll Packungen mit der Füllmenge 300 g befüllen. Überschreitungen von mehr als 10 % gelten als Ausschuss. Die Maschine füllt mit einem Mittelwert von 295 g. Berechnen Sie die Streuung so, dass sie nicht mehr als 1 % Ausschuss produziert. b) Ermitteln Sie aus der folgenden grafischen Darstellung der Dichte einer Normalfunktion möglichst genau den Mittelwert und die Streuung der Verteilung. Geben Sie ein zum Mittelwert symmetrisches Intervall an, in dem ca. 95 % aller Werte liegen. a) Eine stetig verteilte Zufallsvariable hat die Dichtefunktion f(x) = k x2 e–x in [0; [. Berechnen Sie den häufigsten Wert der Verteilung. Berechnen Sie den Normierungsfaktor k und die Verteilungsfunktion in einer möglichst einfachen Darstellung (e-Potenzen herausheben). b) Berechnen Sie für die Verteilungsfunktion F(x) = Error!ein geeignetes Definitionsintervall. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der x-Wert zwischen 0,6 und 0,8 liegt. a) Bei einer Umfrage mit einer Stichprobengröße von 300 beantworten 15 Leute eine bestimmte Frage mit „ja“. Ermitteln Sie ein Konfidenzintervall für „ja“ mit einem z-Wert von 2,5 %. Geben Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit für dieses z an. Berechnen Sie anschließend eine Stichprobengröße bei der die statistische Unsicherheit (= halbe Breite des Vertrauensbereiches) nur mehr 1 Prozentpunkt groß ist. b) Ein Konsument verlangt von seinem Lieferanten eine Stichprobenprüfung mit dem Umfang 50. Der Produzent weiß, dass seine Produktion eine Aussschusswahrscheinlichkeit von p = 10 % aufweist. Er möchte, dass sein Ablehnrisiko nicht mehr als 3 % betragen soll. Berechnen Sie die Annahmekennzahl für diese Situation.
