Fachhochschule München • Fachbereich Betriebswirtschaft

Hochschule Deggendorf – Virtuelle Hochschule Bayern
Prüfungsfach:
Statistik II
Aufgabensteller: Prof. Dr. Karlheinz Zwerenz
Prüfungszeit:
60 Minuten
Semester:
WS 2008/09
PUNKTE: _________
NOTE:
Hilfsmittel:
_________
Bücher, Skripten, Rechner
Bitte in Druckbuchstaben ausfüllen!
Name:
Vorname:
Matr.-Nr.:
ALLGEMEINE PRÜFUNGSHINWEISE:
1. Dieses Aufgabenblatt besteht einschließlich Deckblatt aus 8 Blättern. Überprüfen Sie vor Beginn
der Prüfung unbedingt die Vollständigkeit der Aufgabenstellung.
2. Tragen Sie zuerst Ihren Namen, Vornamen und Ihre Matrikelnummer in die obigen Felder dieses
Blattes ein.
3. Diese Aufgabenblätter sind zugleich Ihr Arbeitspapier. Für Nebenrechnungen verwenden Sie soweit nötig - die Rückseite des vorangehenden Blattes. Alle Aufgaben müssen bearbeitet werden.
4. Kreuzen Sie die jeweils richtigen Lösungsalternativen deutlich an.
5. Geben Sie am Ende der Klausur bitte das komplette Aufgabenblatt ab.
6. Hinweise zur Bewertung: Richtige Entscheidungen (richtige Aussagen als richtig, falsche Aussagen
als falsch erkannt) werden mit 1 Pluspunkt, falsche Entscheidungen (richtige Aussagen als falsch und
falsche Aussagen als richtig angesehen) mit 1 Minuspunkt bewertet. Für eine Aufgabe wird allerdings
keine negative Punktesumme vergeben, sondern im ungünstigsten Fall die Punktzahl 0.
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Aufgabe 1
Nach Abschluss eines Forschungsprojekts liegen die Fragebogen in völlig zufälliger
Reihenfolge in einem Karton.
Ereignis A bedeutet „weiblicher Mitarbeiter“ und A;¯ „männlicher Mitarbeiter“.
Ereignis B bedeutet „Mitarbeiter jünger als 50 Jahre“ und B „Mitarbeiter 50 Jahre oder
älter“.
Wahrscheinlichkeitsbaum
Variante
Variante 11
0
A
A
0,6
0,4
B
B
B
B
0,2
0,8
0,5
0,5
P( A Ç B) =
P( A Ç B ) =
P( A Ç B) =
P( A Ç B ) =
0,120
0,480
0,200
0,200
P(A) =
P(B) =
?
?
Löschen
Welche der folgenden Aussagen zum obigen Wahrscheinlichkeitsbaum ist bzw. sind
dann richtig?
(A) Die Wahrscheinlichkeit P(B) beträgt 0,32.
(B) Die Wahrscheinlichkeit P(A) muss als Summe der beiden rechts stehenden
Wahrscheinlichkeiten 0,20 und 0,20 ermittelt werden.
(C) Geschlecht und Alter sind voneinander unabhängig.
(D) Die Wahrscheinlichkeiten 0,20, 0,80, 0,50 und 0,50 sind bedingte Wahrscheinlichkeiten.
(E)
Die Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeiten.
0,12,
0,48,
0,20
(F) Alle Aussagen A – E sind falsch.
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und
0,20
sind
zweidimensionale
Aufgabe 2
Welche der folgenden Aussagen zum Wahrscheinlichkeitsbegriff ist bzw. sind richtig?
(A) Der Begriff der „klassischen“ Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass z.B. bei 600 Würfen mit
einem echten Würfel exakt 100 Mal die Augenzahl 1 vorkommt.
(B) Die Wahrscheinlichkeit für das arithmetische Mittel von 3,5 bei einem Wurf mit zwei
echten Würfeln beträgt 1/6.
(C) Bei zwei disjunkten Ereignissen A und B ist die Wahrscheinlichkeit für „A vereinigt B“
gleich der Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B).
(D) Die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis ist gleich 1,0.
(E) Der Wertebereich von Wahrscheinlichkeiten P ist gleich -1 ≤ P ≤ +1.
(F) Alle Aussagen A bis E sind falsch.
Aufgabe 3
Im Rahmen einer Zufriedenheitsanalyse in einem Hotel ergibt sich folgende
Ergebnistabelle.
Alter
der
Hotelgäste
Zufriedenheit mit der
Größe der Zimmer
unzufriede
teils/teils
zufrieden
n
unter 35
25
35
20
35 bis 54
10
20
10
55 und älter
40
30
10
insgesamt
insgesamt
Welche der folgenden Aussagen ist bzw. sind dann richtig?
(A) Die Tatsache, dass ca. 31% der jüngsten, dagegen 50% der ältesten Gästegruppe mit
der Größe der Zimmer unzufrieden sind, deutet auf einen Zusammenhang der beiden
Variablen hin.
(B) Insgesamt sind 40% der Gäste mit der Größe der Zimmer zufrieden.
(C) 25% der jüngsten Gästegruppe sind mit der Größe der Zimmer zufrieden.
(D) 5% aller Gäste sind 55 und älter und mit der Größe der Zimmer zufrieden.
(E) 10% aller Gäste, die 55 und älter sind, sind mit der Größe der Zimmer zufrieden.
(F) Alle Aussagen A bis E sind falsch.
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Aufgabe 4
Gehen Sie von den Angaben der Aufgabe 3 aus.
Welche der folgenden Aussagen ist bzw. sind dann richtig?
(A) Die erwarteten Häufigkeiten sind hier alle gleich den beobachteten Häufigkeiten.
(B) Die Tabelle zeigt, dass keinerlei Zusammenhang der beiden Variablen besteht.
(C) Die erwartete Häufigkeit für die erste Zelle der Tabelle (links oben) beträgt 30.
(D)
Die Summe der erwarteten Häufigkeiten ist gleich der Summe der beobachteten
Häufigkeiten.
(E) Bei einem Chi-Quadrat-Test wird die Testgröße Chi-Quadrat gleich 0 sein.
(F) Alle Aussagen A – E sind falsch.
Aufgabe 5
Während einer Fußball-Saison wurden einige Tausend Sportler einem Fitness-Test
unterzogen, bei dem zwischen 0 und 100 Punkten erreicht werden konnten. Es zeigte
sich annähernd eine Normalverteilung für die Variable „Punkte“: Mittelwert gleich 70,
Standardabweichung gleich 10.
Welche der folgenden Aussagen ist bzw. sind dann bezüglich eines in dieser FußballSaison zufällig ausgewählten Sportlers richtig?
(A) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler weniger als 70 Punkte hat, beträgt 0,5.
(B)
Die Wahrscheinlichkeit, Sportler im Punktebereich zwischen 60 und 80 Punkten
vorzufinden, beträgt 0,95.
(C) Die standardisierte Verteilung der Variablen „Punkte“ hat einen Mittelwert von 0 und eine
Standardabweichung von 1.
(D) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler mehr als 80 Punkte hat, beträgt etwa 0,16.
(E) Die standardisierte Verteilung der Variablen „Punkte“ hat einen Mittelwert von 1 und eine
Standardabweichung von 0.
(F) Alle Aussagen A bis E sind falsch.
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Aufgabe 6
Aus bereits durchgeführten Untersuchungen weiß ein Verkehrsverbund, dass 10% aller
Fahrgäste „Schwarzfahrer“ sind, also keine gültige Fahrkarte haben. Von den
Schwarzfahrern haben 70% keine Fahrkarte, 30% haben gefälschte Fahrkarten. Von
den „ehrlichen“ Fahrgästen haben im Mittel 5% ihre gültige Fahrkarte zu Hause
vergessen.
Welche der folgenden Aussagen ist bzw. sind richtig?
(Hinweis: Lösen Sie die Aufgabe mittels eines Wahrscheinlichkeitsbaumes!)
(A) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig kontrollierter Fahrgast keine Fahrkarte hat,
beträgt 11,5%.
(B) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig kontrollierter Fahrgast, der keine Fahrkarte hat,
tatsächlich ein Schwarzfahrer ist, beträgt 60,9%.
(C) Bei einer Stichprobenkontrolle im Juni wurden 1000 Fahrgäste kontrolliert. Unter den
oben genannten Annahmen müssten dabei 120 gefälschte Fahrkarten auftauchen und
eingezogen werden.
(D) Die Wahrscheinlichkeit einen „ehrlichen“ Fahrgast zu treffen, beträgt 90%.
(E) Keine der Aussagen A bis D ist richtig.
Aufgabe 7
Aus der Marktforschung ist bekannt, dass etwa 42% der Autokäufer (unter 30 Jahren)
sagen, sie hätten ihr Automodell aufgrund einer Weiterempfehlung durch Freunde oder
Verwandte gewählt.
Der Autohändler A stellt im Rahmen einer Umfrage fest, dass 64 seiner Automobile (bei
insgesamt 256 befragten Kunden unter 30 Jahren) aufgrund einer Weiterempfehlung
von Freunden/Verwandten gewählt wurden. Dieses Ergebnis soll mit den obigen 42%
verglichen werden.
Welche der folgenden Aussagen zu dem dazugehörigen zweiseitigen statistischen
Hypothesentest (Signifikanzniveau 5%) ist bzw. sind dann richtig?
(A)
Die Nullhypothese lautet: Der Weiterempfehlungs-Anteil ist größer gleich 0,42.
(B)
Hier liegt eine signifikante Abweichung von 42% vor.
(C) Als Testverteilung gilt hier die Normalverteilung.
(D) Der Nicht-Ablehnungsbereich dieses Tests liegt in der Mitte der Verteilung.
(E)
Beim zweiseitigen Test liegt der Ablehnungsbereich links vom Erwartungswert.
(F)
Alle Aussagen A bis E sind falsch.
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Aufgabe 8
Welche der folgenden Aussagen zur Kombinatorik und zu Zufallsvariablen und ihren
Verteilungen ist bzw. sind richtig?
(A) Für fünf Ehrengäste stehen sieben Plätze in der ersten Reihe des Konzertsaals zur
Verfügung. Die Zahl der möglichen Anordnungen lässt sich mit dem Binomialkoeffizienten
errechnen.
(B) Wenn aus einer Urne mit 6 Kugeln zufällig zwei Kugeln ohne Zurücklegen und ohne
Beachtung der Reihenfolge gezogen werden, ergeben sich insgesamt 15 mögliche
Kombinationen.
(C) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariable X gibt die Wahrscheinlichkeit dafür
an, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt, d.h. P(X ≤ x).
(D) Ein Glücksspiel für zwei Personen ist dann als fair zu beurteilen, wenn die
Gewinnerwartung für einen Spieler nicht mehr als 1€ pro Spiel beträgt.
(E) Keine der Aussagen A bis D ist richtig.
Aufgabe 9
Welche der folgenden Aussagen zum Signifikanzniveau ist bzw. sind richtig?
(A) Bei einem Signifikanzniveau von 10% besteht eine 10%-ige Wahrscheinlichkeit, dass die
Ablehnung der Nullhypothese richtig ist.
(B) Bei einem Signifikanzniveau von 5% besteht eine 5%-ige Wahrscheinlichkeit, dass die
Ablehnung der Nullhypothese nicht richtig ist.
(C) Bei einem Signifikanzniveau von 10% besteht eine 95%-ige Wahrscheinlichkeit, dass die
Ablehnung der Nullhypothese nicht richtig ist.
(D) Bei einem Signifikanzniveau von 5% besteht eine 95%-ige Wahrscheinlichkeit, dass die
Ablehnung der Nullhypothese richtig ist.
(E) Bei einem Signifikanzniveau von 10% besteht eine 10%-ige Wahrscheinlichkeit, dass die
Nullhypothese falsch formuliert wurde.
(F) Alle Aussagen A bis E sind falsch.
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Aufgabe 10
Der Handy-Anbieter FLATLINE möchte seinen Bekanntheitsgrad erhöhen, der derzeit
bei nur 40% liegt.
Nach einer entsprechenden Werbekampagne werden 720 Personen befragt, wobei wir
von einer uneingeschränkten Zufallsauswahl nach dem Modell mit Zurücklegen
ausgehen. 360 der befragten Personen geben an, FLATLINE zu kennen, die übrigen
kennen FLATLINE nicht.
Welche der folgenden Aussagen zum dazugehörigen einseitigen Signifikanztest
(Signifikanzniveau α=0,01) ist bzw. sind dann richtig?
(A) Die Zufallsvariable „Anzahl Personen unter den 720 befragten Personen, die FLATLINE
kennen“ ist binomialverteilt.
(B) Das Signifikanzniveau von 0,01 bedeutet: Einer von 100 Befragten hat eine falsche
Angabe gemacht.
(C) Die Nullhypothese p ≤ 0,4 kann nicht abgelehnt werden.
(D) Es liegt ein signifikant erhöhter Bekanntheitsgrad vor.
(E) Die Stichprobe ist für einen Signifikanztest zu klein.
(F) Alle Ergebnisse A bis E sind falsch.
Aufgabe 11
Gehen Sie von den Angaben der Aufgabe 10 aus.
Welche der folgenden Aussagen zum Signifikanztest ist bzw. sind dann richtig?
(A)
Wegen eines zu kleinen Stichprobenumfangs kann nicht mit der Normalverteilung
gearbeitet werden.
(B) Die Variable „Bekanntheit“ ist eine 0-1-Variable.
(C) Wenn der Bekanntheitsgrad in der Stichprobe kleiner ist als in der Nullhypothese, muss
diese abgelehnt werden.
(D) Eine wichtige Voraussetzung für den Signifikanztest ist es, dass hier eine
uneingeschränkte Zufallsauswahl vorliegt.
(E) Die Testgröße dieses Signifikanztests ist Chi-Quadrat-verteilt.
(F) Alle Aussagen A bis E sind falsch.
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Aufgabe 12
In einer Urne liegen 10 Kugeln, beschriftet mit den Ziffern 0 bis 9. Aus der Urne werden
2 Kugeln zufällig, mit Zurücklegen gezogen. Dieser Versuch wird insgesamt 100 mal
durchgeführt. Jedes Mal wird der „Durchschnitt“ (arithmetisches Mittel) der beiden
gezogenen Ziffern ermittelt und als Realisation der Zufallsvariable X;¯ bezeichnet.
Welche der folgenden Aussagen ist bzw. sind dann richtig?
(A)
Für die 100 Versuche ergibt sich – entsprechend dem Zentralen Grenzwertsatz –
annähernd eine Normalverteilung.
(B)
Der Erwartungswert der Zufallsvariablen „Durchschnitt“ ist gleich 5,0.
(C) Die Grundgesamtheit hat einen Durchschnittswert von 4,5.
(D) Die Varianz der Zufallsvariablen „Durchschnitt“ ist kleiner als die Varianz der
Grundgesamtheit.
(E)
Auch bei 100 Versuchen liegt hier keine Normalverteilung vor, da die Grundgesamtheit
gleichverteilt ist.
(F)
Alle Aussagen A bis E sind falsch.
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