Übungsbeispiele zur Trigonometrie

Übungsbeispiele für den Sommer
Beispiel 1: Ein Flugzeug startet von einem Punkt A der Startbahn aus, fährt am Kontrollpunkt
des Flugplatzes vorbei und beginnt von einem Punkt B aus ohne Richtungsänderung zu
steigen. Von dem h = 20m hohen Kontrollturm sieht man den Startpunkt A unter dem
Tiefenwinkel  = 7,6° und nach Schwenken des Fernrohres um den Horizontalwinkel  =
113,1° den Aufstiegspunkt B unter dem Tiefenwinkel  = 1,3°.
Berechne die Länge der Strecke AB, die das Flugzeug auf der Startbahn zurücklegt!
Das Flugzeug erreicht bei einem konstanten Steigungswinkel  = 30° nach 20 Sekunden
Steigzeit eine Flughöhe von 1000 m über dem Flugplatz und befindet sich nach dieser
Steigzeit im Punkt C seiner gradlinig aufsteigenden Flugbahn. Berechne, wie groß die
durchschnittliche Fluggeschwindigkeit auf der Aufstiegsstrecke BC ist! Berechne, unter
welchem Höhenwinkel, vom Kontrollturm aus, das Flugzeug im Punkt C erscheint!
Beispiel 2: Anlässlich einer Erbschaft soll das viereckige Grundstück ABCD [d = AD = 78 m,
c = CD = 74 m, Winkel CAB =  = 45°, Winkel CDA =  = 123°, Winkel ABC =  = 79°]
durch eine Gerade g, welche durch A verläuft in zwei flächengleiche Stücke aufgeteilt
werden. In welcher Entfernung von C schneidet die Gerade g die Seite b oder die Seite c?
Beispiel 3: Von einem Fenster einer 350 m über einem See (Seehöhe 420m) gelegenen Burg
sieht man die Brüstung eines 40 m hohen Turmes, der auf der Spitze eines Berges steht, unter
einem Höhenwinkel  = 12,11°. Das Spiegelbild des Turms im See sieht man unter dem
Tiefenwinkel  = 37,5° Welche absolute Höhe hat der Berg? Fertige eine Skizze an!
Wie groß ist die Entfernung zwischen der Burg und dem Turm auf einer Wanderkarte im
Maßstab 1:50000? Wie lange benötigt eine Brieftaube für die Strecke zwischen Burg und
Turm, wenn das Tier ungefähr 0,6 km/min zurücklegt?
Beispiel 4: In einem ebenen Tal liegen ein dreieckiges Grundstück und ein 18 m hoher Turm.
Von diesem Turm aus wurde das Grundstück vermessen. Den Eckpunkt A sieht man unter
einem Tiefenwinkel von 31°. Nach Schwenken des Messgerätes um 52° sieht man den
Eckpunkt B unter einem Tiefenwinkel von 20°. Den Eckpunkt C sieht man durch Schwenken
des Messgerätes um weitere 47° unter einem Tiefenwinkel von 42°. Berechne die
Grundstückkosten bei einem Grundstückspreis von 362 € pro m² und die Kosten für die
Umzäunung des Grundstückes, wenn der Laufmeter Zaun 12 € kostet.
Beispiel 5: Zwei Orte A und B liegen – durch einen Morast getrennt – in einer Hochebene.
Um ihre Entfernung zu bestimmen, werden von einem Berggipfel, der sich 837,0m über
dieser Ebene befindet, Vermessungen zu A und B vorgenommen: Vom Gipfel aus sieht man
den Ort A unter dem Tiefenwinkel  = 26,4° und nach Schwenken des Messinstruments um
den Horizontalwinkel  = 81,9° den Ort B unter dem Tiefenwinkel  = 28,1°.
a) Fertige eine Skizze an und berechne unter Berücksichtigung einer Instrumentenhöhe
von 1,5m die Entfernung der Orte A und B! Unter welchem Winkel sieht man die
Strecke AB von der Bergspitze aus?
b) Ein Wanderer W hält in dieser Hochebene Rast. Zu diesem Zeitpunkt werden vom Ort
B aus die Winkel BAW = 71,9° und BWA = 37,2° gemessen. (Skizze!)
c) Wie weit ist der Wanderer vom Ort B entfernt? Wie groß wäre diese Entfernung in
einer Karte im Maßstab 1 : 50 000 einzutragen? (Ergebnis in cm, 1 Dezimalstelle)
d) Der Wanderer bricht vom Rastplatz zum Ort A auf. Nach welcher Zeit erreicht er sein
Ziel, wenn er mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 5km/h unterwegs ist?
(Runde auf Minuten!)
Beispiel 6: Vom Ort A am Festland soll eine geradlinige Straßenverbindung zu einem Ort D
auf einer vorgelagerten Insel gebaut werden, wobei zwischen
den Orten B und C eine Brücke errichtet werden muss. Vor
Beginn der Planungsarbeiten werden von dem Messpunkt M
an der Küste folgende Werte ermittelt:
56,2°; geradlinige Entfernungen AM
m;DM
m.
Wie hoch sind die voraussichtlichen Baukosten, wenn man für 1 km Straße 35 Mio. E
(Einheiten) und für 1 km Brücke 220 Mio. E veranschlagt?
Lösung: 415,3 Mio €
Beispiel 7: Auf einen Berg soll eine Seilbahn gebaut werden. Zur Vermessung steckt man im
Tal eine 600 m lange, horizontale Standlinie AB ab, die mit dem Gipfel (G) und
der geplanten Mittelstation (M) in einer Vertikalebene liegt. Von A aus misst man
zum Gipfel bzw. zur Mittelstation die Höhenwinkel α1 = 18,0° und α2 = 9,5°,
von B aus die Höhenwinkel β1 = 20,4° und β2 = 11,3°.
a) Wie hoch liegen der Gipfel und die Mittelstation über dem Tal?
b) Wie weit ist die Mittelstation vom Gipfel entfernt (Luftlinie?)
Beispiel 8: Um die Höhe eines Maibaumes festzustellen, mißt man in der Ebene seines
Fußpunktes F eine Standlinie AB = 70 m und FAB = 17°15', sowie BFA = 44°25'. Der
Höhenwinkel von B zur Spitze S des Baumes hat das Maß ß = 30°12'.
Berechne die Baumhöhe. Skizze!
Beispiel 9: Gegeben ist ein dreieckiges Grundstück ABC [A(0/0), B(37/0), C(15/22)] mit
Maßen in Metern. Es soll der Parallelstreifen ABED mit 150 m² Flächeninhalt abgetrennt
werden. Berechne die Länge von DE!
Beispiel 10: Berechne den Schnittwinkel der Geraden g: 2x + y – 4 = 0 mit dem Kreis
k: x² + y² + 4x - 6y = -3. Berechne weiters den Flächeninhalt des Kreissegments, dass durch
diese Gerade vom Kreis abgeschnitten wird.
=45°, A=2,85E²
Beispiel 11: Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden g, die durch den Punkt
P(0/-3) geht und zur x-Achse parallel ist, mit dem Kreis k: x² + y² - 8x - 2y - 149 = 0.
Beispiel 12: Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte des Kreises k: x² + y² - 5x + 8y =
134 mit der Geraden g:[U(2/5), V(10/11)] und überprüfe durch eine Zeichnung! Wie groß ist
der Abstand von M zur Geraden?
S1(6/8), S2(-10/-4), d=7.5
Beispiel 13: Drei Orte P, Q und R einer kleinen Landgemeinde, die mit drei weitgehend
geradlinigen Wegen miteinander verbunden sind, sollen eine gemeinsame Kläranlage
erhalten. Diese soll sich aus wirtschaftlichen Gründen in gleichem Abstand von den drei
Wegen befinden. Ein vor einigen Jahren errichtetes Wasserreservoir ist von allen drei Orten
gleich weit entfernt.
Zur leichteren Orientierung haben die Raumplaner markante Punkte in einem kartesischen
Koordinatensystem erfaßt: Ort P(-3km/1,5km), Q(9km/-2km), R(3km/6km)
a) Fertige eine Zeichnung im Maßstab 1 : 100 000 an und konstruiere dieLage der drei Orte,
der Kläranlage und des Wasserreservoirs!
b) Hat das Dreieck PQR eine besondere Eigenschaft? Stelle eine Vermutung auf und beweise
sie!
c) Berechne die Koordinaten des Wasserreservoirs und der Kläranlage!
d) Wie viele km Kanalrohre müssen zu jedem der drei Verbindungswege gelegt werden?
e) Wie hoch waren bei der Errichtung des Wasserreservoirs die Kosten für jeden Ort für die
Verlegung der Wasserleitung, wenn für 1 km Leitung 625 000 S verrechnet wurden?
Beispiel 14: Ein Rhombus hat den Diagonalenschnittpunkt S(1/-1). Weiters gilt: C(x3/2),
D(-5/3).
a) Berechne die fehlende Koordinate des Punktes C.
b) Berechne die Eckpunkte A und B.
c) Berechne den Flächeninhalt.
Beispiel 15: Ein Rhombus ABCD [A(0/2), B(8/3), C,D] hat den Mittelpunkt M(6/ y>0).
Berechne die fehlenden Koordinaten des Mittelpunktes und der Eckpunkte!
Beispiel 16: Von einem Deltoid ist der Eckpunkt A(-2/2) und der Diagonalenschnittpunkt
M(2/0), der die Strecke AC innen im Verhältnis 1:2 teilt, und die Länge der Diagonale f
= 20 gegeben. Berechne den Umfang des Deltoids!
Beispiel 17: S(10/4) ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Rhombus ABCD. A liegt auf
der y-Achse, B(8/-1).
a)
Berechne A, C, D.
b)
Wie groß ist der Flächeninhalt des Rhombus?
c)
Wie weit ist S von jeder der vier Seiten entfernt?
Beispiel 18: Im Dreieck ABC liegen die Seiten a,b,c auf den Geraden
g(a): X = (4/-5) + t(-1/5), g(b): X = (-3/-2) + s(5/7), g(c): X = (4/-5) + r(7/-3)
Berechne die Koordinaten von A,B und C und den Höhenschnittpunkt!
Beispiel 19: Gegeben ist das Dreieck ABC A(-1/1), B(-1/15), C(11/6). Berechne die
Koordinaten des Umkreismittelpunktes U, des Höhenschnittpunktes H und des
Schwerpunktes S. Ermittle auch die Gleichung des Umkreises.
U(25/8 / 8), H(11/4 / 6), S (3 / 22/3)
Beispiel 20: Gegeben ist ein Dreieck ABC: A(-1/-9), B(9/1), C(-7/9).
a) Spiegelt man den Höhenschnittpunkt H an den Dreieckseiten, so liegen die gespiegelten
Punkte auf dem Umkreis des Dreiecks. Zeige diese Eigenschaft anhand der Spiegelung
des Höhenschnittpunktes H an der Seite a.
b) Berechne den Abstand des Umkreismittelpunktes von der Dreieckseite c
Beispiel 21:
a) Frau Ch. Redit kauft bei einem Fernsehhändler ein Fernsehgerät der Extraklasse (Preis:9
990 €) auf Kredit, macht dazu eine Anzahlung von 2 090 € und muss dann 12-mal 714 €
nachschüssig monatlich zahlen. Welcher effektive Zinssatz p.a. entspricht dieser
Rückzahlungsart? Wäre ein Privatkleinkredit mit 12% p.a. bei einer Bank günstiger?
b) Herr Sorger möchte seine Tochter Julia beim Studium (ab dem 19. Lebensjahr)
unterstützen und legt dafür 100 000 € bei ihrer Geburt an. Er möchte ihr monatlich 4 000 €
vorschüssig auszahlen. Wie viele Monate bekommt sie das Geld? (gleichbleibender Zinssatz:
5% p.a.) Reicht die Auszahlungsdauer für ein Studium aus? (nimm eine mittlere Studiendauer
von 6 Jahren an)
c) Ein Kreditnehmer benötigt 180 000€ für ein Bauvorhaben und überlegt 2 Angebote:
Angebot A: Er nimmt ein Bauspardarlehen (180 000 €) bei einem fixierten Zinssatz von
p=6%. Dieses Darlehen zahlt er 1/4-jährlich in nachschüssigen Raten zurück (Laufzeit: 20
Jahre)
Angebot B: Eine Bank wirbt mit einem Zinssatz von p=5,25%.Dazu kommen aber noch 3%
Bearbeitungsgebühr, die einmalig zu entrichten ist und auf den Kredit aufgeschlagen wird.
Die Rückzahlung erfolgt wie beim Angebot A!
a) Berechne die Raten und Endwert in beiden Angeboten!
b) Der Kreditnehmer entscheidet sich für Angebot B. 5 Jahre nach Aufnahme des Kredits
steigt der Zinssatz aber auf p=6,50/o. Berechne die veränderte Rate sowie den neuen Endwert!
c) Beurteile die beiden Angebote !
Beispiel 22: Kapitalentwicklung: 800€ werden auf ein mit 2,5 % p.a. verzinstes Sparbuch
gelegt. Wie hoch ist das Guthaben nach a) 7 Monaten, b) 2 Jahren, c) 38 Monaten?
(811,67; 840,50; 865,10)
Beispiel 23: Gemischte Verzinsung: Ein Sparbuch wird am 25.10.2002 mit 4000€ eröffnet,
am 2.6.2005 wird das Sparbuch gelöscht. Welchen Betrag würde man bei einem Zinssatz von
4% erhalten?
(4.431,24)
Beispiel 24: Unterjährige Kapitalisierung, nomineller Jahreszinssatz: 900€ werden zu
einem nominellen Jahreszinssatz von 4% angelegt. Wie hoch ist das Guthaben nach 28
Monaten, wenn die Kapitalisierung a) ganzjährig b) halbjährig (d.h. p ½ = 2%) c) vierteljährig
(d.h. p ¼ = 1%) erfolgt?
(986,42; 987,18; 987,60)
Beispiel 25: Laufzeiten: Welchen Betrag muss man zu 2% p.a. anlegen, um nach 2 Jahren
über a) 1300€, b) 1.800,- verfügen zu können?
(1.249,52; 1.730,10)
Beispiel 26: Anfangskapital: Welchen Betrag muss man zu 2,25% p.a. anlegen, um nach a)
11 Monaten b) 3 Jahren c) 40 Monaten über ein Guthaben von 1500€ verfügen zu können?
(1.469,69; 1.403,14; 1.392,70)
Beispiel 27: Zinssatz: Mit wie viel Prozent p.a. wird ein Konto verzinst, wenn ein
Anfangskapital von 1250€ in 3 Jahren auf a) 1.326,51, b) 1.346,11 anwächst?
(2 %; 2,5 %)
Beispiel 28: Anlagedauer: Wie lange dauert es, bis ein Anfangskapital von 800€ bei 2,5 %
p.a. auf a) 883,05 b) 950,95 anwächst?
(4; 7 J.)
Beispiel 29: Angebotsvergleich: Für eine Immobilie legen 2 Kaufinteressenten ein Angebot
vor. Person A bietet 40.000€ sofort und 60.000€ in 7 Jahren an. Person B möchte in 4 Jahren
100.000€ zahlen. Welches Angebot ist günstiger, wenn dem Vergleich eine Verzinsung von
a) 2,5 % b) 3,5 % p.a. zugrunde gelegt
wird?
(B; A)
Beispiel 30: Rentenrechnung: Jemand zahlt 6 Jahre lang jeweils zu Jahresbeginn 750€ auf
ein mit 3,25 % p.a. verzinstes Sparbuch ein. Wie hoch ist der Stand am Beginn des 6 Jahres?
(5.040,52)
Beispiel 31: Rentenrechnung, äquivalenter Zinssatz: Frau Steinkogler zahlt jeweils zu
Quartalsbeginn 160€ auf ein mit 3,5 % verzinstes Sparbuch ein. Welcher Betrag ist bis Ende
des 5 Jahres angespart?
(3.506,73)
Beispiel 32: Kreditrate: Ein mit 7,75 % p.a. verzinster Kredit von 15.000€ ist in 10 gleich
hohen, jeweils am Jahresende fälligen Raten zu tilgen. Wie hoch ist die Kreditrate?
(2.210,30)
Beispiel 33: Rentenrechnung: Herr Gamsjäger ist 35 Jahre alt und möchte mit 63 Jahre in
Pension gehen. Er nimmt sich deshalb vor, die nächsten 28 Jahre lang jeweils zu Jahresbeginn
800€ auf ein mit 4,75 % p.a. verzinstes Pensionskonto einzuzahlen, um nach Pensionseintritt
20 Jahre lang (wenn’s gut geht) eine gleich hohe Jahresrate konsumieren zu können. Wie
hoch ist diese Rate?
(3.528,34)
Beispiel 34: Ratenzahlung: Eine Schuld von 780.000€ die mit 6 % verzinst wird, ist durch 3
Raten, die nach 3, 5 und 7 Jahren fällig sind, zu tilgen. Die erste Rate beträgt 325.000€, die
zweite 395.000€. Wie hoch ist die dritte Rate?
(318.704,59)
Beispiel 35: Ratenzahlung In einem Versandhauskatalog findet man folgende
Finanzierungsangebote: Kaufpreis 2.000€; Anzahlung 400€ und 30 Monatsraten zu je 65,60€.
Mit welchem Zinssatz wurde hier gerechnet?
(18 % nomineller Jahreszinssatz)
Beispiel 36: Ratenzahlung: a) Welcher Betrag ist am Beginn jedes Jahres einzuzahlen, um
bei einer Veranlagung mit 6 % nach 16 Jahren über 10.000€ zu verfügen?
(367,47)
b) Nach 6 Jahren verringert die Bank den Zinssatz auf 2 % p.a. Wie hoch sind die Beträge, die
unter dieser Bedingung vom Beginn an des 7. Jahres zu entrichten sind?
(598,81)