Zusammenfassung

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Zusammenfassung und Maturavorbereitung
Folgen und Reihen, Finanzmathematik
8. Klasse
FOLGEN
Zahlenfolgen:
2
1
1
4
1
2
2
8
1
3
3
16
1
4
5
…
…
8
…
Zahlenfolgen bestehen aus einer Aneinanderreihung von Zahlen nach einer
Bildungsvorschrift.
Endliche Folgen:
an / n  N  a1 , a2 , a3 ,...an
Unendliche Folgen:
an / n  N  a1 , a2 , a3 ,...an , an1 ,....
Beispiel:
1
1 1 1
 1, , , ,...
2
4 9 16
n
an / n  N 
Beispiele:
Ermittle die ersten 5 Folgeglieder folgenden Folgen:
(a)
an 
(b)
an 
(c)
3n  1
n
 1n
3n  1
a1=4; an+1=
an  2
3
Beschränktheit und Monotonie von Folgen
Eine reelle Zahl K heißt „obere Schranke“ der Folge, wenn an  K für alle n  N*.
Eine reelle Zahl L heißt „untere Schranke“ der Folge, wenn an  L für alle n N*.
Die Folge heißt nach oben (unten) beschränkt, wenn sie eine obere (untere)
Schranke besitzt.
Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist.
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Folgen und Reihen, Finanzmathematik
8. Klasse
Eine Folge ist
(streng) monoton steigend, wenn an (<)  an+1
(streng) monoton fallend, wenn an (>)  an+1
Grenzwert von Folgen
Eine Folge heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert (limes) besitzt.
Andererseits heißt sie divergent.
Ist folgende Folge nach oben oder unten oder insgesamt beschränkt?
Gib die Schranken an. Ermittle und beweise die Monotonie.
Ermittle den Grenzwert.
an 
2n 3  1
n2  n
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Folgen und Reihen, Finanzmathematik
8. Klasse
Arithmetische Folgen
… Folgen, bei denen die Differenz zweier Nachbarglieder konstant ist.
Rekursionsformel:
a n  a1  n  1  d
a1 … Anfangsglied
d … Differenz
a2 = a1+d
a3 = a2+d = a1+2d
a4 = a3+d = a2+2d = a1+3d
Beispiel:
Von einer arithmetischen Folge kennt man folgende Werte. Ermittle die
Rekursionsformel der Folge.
(a) a1=10; d=-2
(b) a3=24; a8=59
Geometrische Folgen
... Folgen, bei denen der Quotient zweier Nachbarsglieder konstant ist.
Rekursionsformel:
bn  b1  q n 1
b1 … Anfangsglied
q … Quotient
b2 = b1.q
b3 = b2.q = b1.q2
b4 = b3.q = b2.q2 = b1.q3
Beispiel:
Bei einer geometrischen Folge ist das Anfangsglied b1=4 und der Quotient
q=2 gegeben. Berechne b8 und b14 und gib die Rekursionsformel an.
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Folgen und Reihen, Finanzmathematik
8. Klasse
REIHEN
Werden alle Glieder einer Folge addiert, spricht man von einer Reihe.
Endliche Reihen
n
s n   ai  a1  a 2  ...  a n
i 1
Summe einer endlichen arithmetischen Reihe:
Summer einer endlichen geometrischen Reihe:
n
a1  a n 
2
qn 1
sn  b1
q 1
sn 
Unendliche Reihen
Summe einer unendlichen geometrischen Reihe:
(detaillierter zur mündlichen Matura)
s n  b1
1
1 q
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Folgen und Reihen, Finanzmathematik
8. Klasse
Übungsbeispiele
1. Sind folgende Folgen nach oben oder unten oder insgesamt beschränkt?
Gib die Schranken an. Ermittle und beweise die Monotonie.
Ermittle den Grenzwert.
n 1
(a) an  2  3n
(b) a n  1  n 2
(c) a n   1
n
(d)
an 
n6
n2 1
(e)
an 
2n 2  n
n 1
(f)
an 
n
n  n 1
2
2. Ein Buch besteht aus Papierblättern zu je 0,05mm Dicke und zwei
Umschlagblättern der Dicke 2,5mm.
Gib eine Formel für die Dicke des Buches an und berechne die Dicke
für ein Buch mit 320 Seiten. (Lsg. dn=5+0,025n; 13mm)
3. 24000 Einwohner leben in einer Stadt, der jährliche Bevölkerungsrückgang
beträgt 3%. Nimmt man an, dass dieser Rückgang konstant ist, nach wie
vielen Jahren ist dann mit einem Einwohnerstand von 10000 zu rechnen?
(Lsg. 28,7Jahre)
4. Der Jahresumsatz eines Betriebes beträgt im 1. Jahr 45000 Stück und nimmt
jährlich um 2400 Stück zu. Im wievielten Jahr werden erstmals mehr als
60000 Stück produziert? (Lsg. im 8. Jahr)
5. Ein Gesamtgewinn von 2000€ soll auf 5 Personen so aufgeteilt werden, dass
jeder Preis um 50€ niedriger ist als der vorige. Berechne die Höhe des
ersten und des letzten Preises. (Lsg. 300; 500)
6. Auf einer trapezförmigen Dachfläche liegen in 30 Reihen 2685 Ziegel.
In jeder Reihe liegt um ein Ziegel mehr als in der nächst höheren. Wie
viele Ziegel liegen in der ersten und wie viele in der letzten Reihe?
(Lsg. 75; 104)
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FINANZMATHEMATIK
Beispiel 1
Jemand legt zu Jahresbeginn 2000€ auf ein mit 2,25% verzinstes Sparbuch.
Wie hoch ist der Kontostand am Ende des 6. Jahres?
Wie hoch ist der Kontostand am Ende des 6. Jahres, wenn zu Beginn des
zweiten Jahres nach der Einzahlung weitere 2500€ eingezahlt werden?
Beispiel 2
Rentenrechnung
Äquivalenzprinzip: Die Leistung des Kunden muss gleich der Gegenleistung
der Bank sein, wenn beides auf den Gleichen Zeitpunkt bezogen wird.
Hier wird nun die Formel für endliche geometrische Reihen verwendet.
Jemand legt eine Erbschaft von 50000€ zu Beginn eines Jahres auf ein
Sparbuch zu 1,8% und möchte jeweils zu Beginn der folgenden 5 Jahre einen
konstanten Rentenbetrag R beheben. Berechne R.
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Folgen und Reihen, Finanzmathematik
8. Klasse
1. Ein Kredit über 50000€ soll durch 25 Jahresraten, beginnend 2 Jahre nach der Auszahlung,
getilgt werden. Berechne die Höhe der Raten, wenn die Verzinsung 6,9% beträgt. Wie hoch
sind die tatsächlichen Kreditkosten? (4545,33; 113633,25)
2. Ein Kredit über 18000€ soll durch 6 Jahresraten, beginnend 3 Jahre nach derAuszahlung,
getilgt werden. Berechne die Höhe der Raten, wenn die Verzinsung 7,2% beträgt. Wie hoch
sind die tatsächlichen Kreditkosten? (4366,52; 26199,12)
3. Ein Kredit über 120000€ soll durch 15 Jahresraten, beginnen 1 Jahr nach der Auszahlung,
getilgt werden. Berechne die Höhe der Raten, wenn die Verzinsung 8,0% beträgt. Wie hoch
sind die tatsächlichen Kreditkosten? (14019,5; 210292,5)
4. Herbert Krautwurst plant sich heute in 5 Jahren eine Eigentumswohnung um 125000€ zu
kaufen. Dafür beginnt er ab sofort jährlich 7000€ zu sparen (p = 2,1%). Die Wohnung wird
am Tag der letzten Rateneinzahlung gekauft. (a) Wie hoch ist der Kredit den er zum Kauf
der Wohnung noch aufnehmen muss?
(b) Der Kredit wird von einer Bank zu einem Zinssatz von 10,5% und
einer Laufdauer von 10 Jahren, Rückzahlung beginnend 1 Jahr nach der
Auszahlung der Kreditsumme, bewilligt. Wie hoch ist die jährliche Rate?
(80732,28; 13422,33)
5. Karoline hat in den letzten 4 Jahren jährlich 4000€ gespart (p=2,4%). Ein Jahr
nach der letzten Rateneinzahlung möchte sie ein Jahr lang um die Welt
segeln. Da diese Reise jedoch insgesamt 28000€ kosten wird, nimmt sie für
den Rest einen Kredit zu 7,8% mit einer Laufdauer von 3 Jahren, erste Rate
fällig 2 Jahre nach der Auszahlung, auf. Wie hoch sind diese Kreditraten?
Wie hoch sind die tatsächlichen Kreditkosten? (11016,68; 4591,66; 13774,97)
6. Zum Kauf eines Neuwagens um 18900€ gibt es folgende Angebote:
(a) Ein Kredit ohne Anzahlung, bei einem Zinssatz von 11,2%, Laufdauer 9
Jahre, sofort beginnende jährliche Rückzahlung.
(b) Eine sofort zu leistende Anzahlung von 3000€ und eine Kredit in Resthöhe,
Verzinsung 9,5%, Laufdauer 6 Jahre, jährliche Rückzahlung beginnend 1
Jahr nach dem Kauf.
(c) Die Hälfte der Summe ist sofort zu zahlen, die zweite Hälfte 2 Jahre nach
dem Kauf, bei einer Kreditverzinsung von 10,4%.
Berechne alle Ratenzahlungen. Wenn man die tatsächlichen Kreditkosten der 3 Angebote
vergleicht, welches Angebot ist dann das günstigste?
(3093,5 (27841,5); 3597,43 (24584,6); 11517,81 (20967,8))
7. Zum Kauf eines Hauses um 250000€ gibt es folgende Angebote:
(a) Kredit ohne Anzahlung, Zinssatz 14,4%, Laufdauer 20 Jahre, jährliche
Rückzahlung beginnend 1 Jahr nach der Auszahlung des Kredits.
(b) Eine Anzahlung von 50000€ und ein Kredit in Resthöhe, Verzinsung 11,2%,
Laufdauer15 Jahre, jährliche Rückzahlung beginnend 5 Jahre nach dem
Kauf.
(c) Ein Drittel der Summe ist sofort zu zahlen, das zweite Drittel 10 Jahre nach
dem Kauf, der Rest 20 Jahre nach dem Kauf, bei einer Kreditverzinsung von 9,9%.
Berechne die Ratenzahlungen. Welches Angebot ist das günstigste?
(38619,94 (772398,77); 42997,84 (694967,53); 83333,3, 142792,18, 734025,84)
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