# Winkelfunktionen – Trigonometrie

Werbung
```20
Standardnormalverteilung
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Funktionswerte z der Standardnormalverteilung
z\*
0,0*
0,1*
0,2*
0,3*
0,4*
0,5*
0,6*
0,7*
0,8*
0,9*
1,0*
1,1*
1,2*
1,3*
1,4*
1,5*
1,6*
1,7*
1,8*
1,9*
2,0*
2,1*
2,2*
2,3*
2,4*
2,5*
2,6*
2,7*
2,8*
2,9*
3,0*
3,1*
3,2*
3,3*
3,4*
3,5*
3,6*
3,7*
3,8*
3,9*
4,0*
0
0,
50000
53983
57926
61791
65542
69146
72575
75804
78814
81594
84134
86433
88493
90320
91924
93319
94520
95543
96407
97128
97725
98214
98610
98928
99180
99379
99534
99653
99744
99813
99865
99903
99931
99952
99966
99977
99984
99989
99993
99995
99997
1
0,
50399
54380
58317
62172
65910
69497
72907
76115
79103
81859
84375
86650
88686
90490
92073
93448
94630
95637
96485
97193
97778
98257
98645
98956
99202
99396
99547
99664
99752
99819
99869
99906
99934
99953
99968
99978
99985
99990
99993
99995
9999
2
0,
50798
54776
58706
62552
66276
69847
73237
76424
79389
82121
84614
86864
88877
90658
92220
93574
94738
95728
96562
97257
97831
98300
98679
98983
99224
99413
99560
99674
99760
99825
99874
99910
99936
99955
99969
99978
99985
99990
99993
99996
99997
3
0,
51197
55172
59095
62930
66640
70194
73565
76730
79673
82381
84849
87076
89065
90824
92364
93699
94845
95818
96638
97320
97882
98341
98713
99010
99245
99430
99573
99683
99767
99831
99878
99913
99938
99957
99970
99979
99986
99990
99994
99996
99997
4
0,
51595
55567
59483
63307
67003
70540
73891
77035
79955
82639
85083
87286
89251
90988
92507
93822
94950
95907
96712
97381
97932
98382
98745
99036
99266
99446
99585
99693
99774
99836
99882
99916
99940
99958
99971
99980
99986
99991
99994
99996
99997
5
0,
51994
55962
59871
63683
67364
70884
74215
77337
80234
82894
85314
87493
89435
91149
92647
93943
95053
95994
96784
97441
97982
98422
98778
99061
99286
99461
99598
99702
99781
99841
99886
99918
99942
99960
99972
99981
99987
99991
99994
99996
99997
6
0,
52392
56356
60257
64058
67724
71226
74537
77637
80511
83147
85543
87698
89617
91309
92785
94062
95154
96080
96856
97500
98030
98461
98809
99086
99305
99477
99609
99711
99788
99846
99889
99921
99944
99961
99973
99981
99987
99992
99994
99996
99998
7
0,
52790
56749
60642
64431
68082
71566
74857
77935
80785
83398
85769
87900
89796
91466
92922
94179
95254
96164
96926
97558
98077
98500
98840
99111
99324
99492
99621
99720
99795
99851
99893
99924
99946
99962
99974
99982
99988
99992
99995
99996
99998
8
0,
53188
57142
61026
64803
68439
71904
75175
78230
81057
83646
85993
88100
89973
91621
93056
94295
95352
96246
96995
97615
98124
98537
98870
99134
99343
99506
99632
99728
99801
99856
99896
99926
99948
99964
99975
99983
99988
99992
99995
99997
99998
9
0,
53586
57535
61409
65173
68793
72240
75490
78524
81327
83891
86214
88298
90147
91774
93189
94408
95449
96327
97062
97670
98169
98574
98899
99158
99361
99520
99643
99736
99807
99861
99900
99929
99950
99965
99976
99983
99989
99992
99995
99997
99998
Formelsammlung
Mathematik
_______________________________________________________________
zusammengestellt von Alfred Schwarz
für den internen Gebrauch an der HLW Linz-Auhof
März 2010
2
Logik, Mengenlehre
Hypergeometrische Verteilung, Normalverteilung
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1 Mengenlehre und Logik
Konjunktion
Disjunktion
Implikation
Äquivalenz
(„P und Q“,
„sowohl P als
auch Q“)
(„P oder Q (oder
beide)“ –
einschließend)
(„wenn P, dann
Q“)
(„P genau dann,
wenn Q“)
Q
PQ
PQ
PQ
PQ
w
f
w
f
w
f
f
f
w
w
w
f
w
f
w
w
w
f
f
w
Negation
(„nicht P“)
P
P
w
P
f
f
w
Auftreten
Aus einer Gesamtheit von N Elementen, unter denen sich M
besondere befinden, werden n Elemente ohne Zurücklegen
gezogen. Es interessiert die Wahrscheinlichkeit für k
gezogene besondere Elemente.
Funktionswert
M N  M
   

k   n  k 

PX  k  
N
 
n
Erwartungswert
EX   n 
Varianz
1.2 Mengenverknüpfungen
Durchschnittsmenge
Differenzmenge
Die Vereinigungsmenge A  B zweier Mengen A und B ist die
Menge aller Elemente, die zu A oder zu B oder zu beiden gehören.
A  B  x x  A  x B


Die Produktmenge A B zweier Mengen A und B ist die Menge
aller geordneten Paare, deren erste Komponente ein Element von
A ist und deren zweite Komponente ein Element von B ist.
A  B  x / y x  A x B

Komplementärmenge
(Ergänzungsmenge)

Die Differenzmenge A \ B zweier Mengen A und B ist die Menge
aller Elemente von A, die nicht zu B gehören.
A \ B  x x  A x  B

Produktmenge

Die Durchschnittsmenge A  B zweier Mengen A und B ist die
Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören.
A  B  x x  A  x B

σ2  n 
M
N
M 
M Nn
 1   
N 
N  N 1
Normalverteilung
Auftreten
Vereinigungsmenge
19
Hypergeometrische Verteilung
1.1 Aussagenverknüpfungen
P
w
w
f
f
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Wenn A eine Teilmenge einer gegebenen Grundmenge G ist, dann
ist die Komplementärmenge A die Menge aller Elemente von G,
die nicht zu A gehören.
A G\ A
Funktionswert
Wenn bei einem Experiment mit Binomialverteilung die
Anzahl n der durchgeführten Versuche erhöht wird, kann die
Binomialverteilung näherungsweise durch die
Normalverteilung ersetzt werden.
Px  x 0  
x0
 σ
1

x μ 2
2
 e 2σ dx
2
π

WS, dass das Ereignis E höchstens x 0 -mal eintritt.
Erwartungswert
μ  EX   n  p
Varianz
σ2  n  p  1  p
Praktische Vorgangsweise zur Berechnung
Transformation in
die standardisierte
Normalverteilung
Neue Zufallsvariable z 
Rechenregeln
PZ  z  1  PZ  z  1  Φz
mit der Eigenschaft
x μ
(bzw. x  μ  z  σ )
σ
PX  x 0   PZ  z0   Φz0 
PZ  z  Φ z  1  Φz
Pz1  Z  z 2   Φz2   Φz1 
P z  Z  z  2  Φz  0,5  2  Φz  1
18
Verteilungsfunktionen
Rechenregeln, Terme
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12.4 Zufallsgrößen und ihre Verteilung
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1.3 Zahlenmengen
Zufallsvariable X
Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes
(= jedem Element der Ergebnismenge) eine reelle Zahl
zuordnet.
diskret, kontinuierlich
Eine diskrete Zufallsvariable kann nur endlich viele Werte
annehmen, eine kontinuierliche beliebig viele.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Funktion f, die jedem Wert x einer Zufallsvariable seine
Wahrscheinlichkeit zuordnet:
f(x i )  PX  x i 
Natürliche Zahlen
N  1,2,3,4,...
Zahlen, die beim Zählen
entstehen
Ganze Zahlen
Z  ...,3,2,1,0,1,2,3,4,...
Natürl. Zahlen plus negative
Zahlen plus Null
Rationale Zahlen
p

Q   p, q  Z  p  0
q


Zahlen, die sich auch als
Bruch darstellen lassen
Reelle Zahlen
R
Alle Zahlen der
C  a  bi a , b  R  i 2  1
Maße


Erwartungswert
μ  EX   x 1 .f x 1   x 2 .f x 2   ...........  x n .f x n    x i .f x i 
Komplexe Zahlen
Varianz


2
2
σ 2   x i  μ  .f x i     x i .f x i   μ 2
i1
 i1

2 Rechenregeln und Rechenverfahren
Standardabweichung
σ
n
i 1
n
n
12.5 Spezielle Verteilungen
Binomialverteilung
Auftreten
Funktionswert
Zufallsexperiment, bei dem ein Ereignis E mit der
Wahrscheinlichkeit p eintritt, wird n-mal unter gleichen
Bedingungen wiederholt. Wir beobachten, wie oft das
Ereignis E eintritt.
n
n k
PX  k    .p k  1  p
k
 
Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis E k-mal eintritt.
Erwartungswert
μ  EX   n  p
Varianz
σ  n  p  1  p
2
n
n  n  1 ... n  k  1 n  k ..........3  2  1
n!

 
Es gilt:
1  2  3  ......... k  n  k  ........ 3  2  1
k!n  k !  k 
2.1 Grundrechnungsarten
ab
Summand + Summand = Summe
Subtraktion
ab
Minuend – Subtrahend = Differenz
Multiplikation
ab
Faktor . Faktor = Produkt
Division
a:b
Dividend : Divisor = Quotient
2.2 Termumformungen
Kommutativgesetz
Vertauschungsgesetz
a b  ba
Assoziativgesetz
(a  b)  c  a  (b  c)
Distributivgesetz
Verteilungsgesetz
a  (b  c )  a  b  a  c
binomische
Formeln
Hornersche
Regeln
a b  ba
(a  b) c  a (b  c)
(a  b)2  a 2  2ab  b2
(a  b)2  a 2  2ab  b2
(a  b)(a  b)  a 2  b2
a  b3  a3  3a 2b  3ab2  b3
(a  b  c)2  a 2  b2  c2  2ab  2ac  2bc
a 2  b2  (a  b)(a  b)
a 3  b3  (a  b) (a 2  ab  b2 )
a3  b3  (a  b)(a 2  ab b2 )
3
4
Logarithmen
Kombinatorik
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.3 Potenzen und Wurzeln
Definitionen
a n  a  a  ... a
m
n
a0  1
a .a  a
m n
m
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten ist es meist besser, die Lösung mit Hilfe eines
Wahrscheinlichkeitsbaumes zu berechnen.
a1  a
Wurzeln
1
an n a
n
n
a :a  a
a.bn  a n .bn
n
an
a
   n
b
b
m
am  a n
a 
m n
m n
a n 
a
m.n
1
1
an
a n
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ergibt sich als Produkt der
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich als Summe
der
Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die dieses Ereignis darstellen.
 an
a  0, m, n  N
 
P AB
PB
B
 
P AB
3 Logarithmen
 
3.1 Grundlagen
PB
Definition
a b  c  a log c  b
Spezielle Basen
Basis e:
e
Basis 10:
10
Rechenregeln
für Logarithmen
I:
a
II:
a
log a  ln a
A
 
PA  B  P A B  PB

  

    

   
A
P A  B  P A B  PB
A
P A  B  P A B P B
A
P A  B  P A B P B
y 
log 1  a log y 1  a log y 2
 y2 
12.4 Kombinatorik - Auswahlprobleme
log a  1
ln e  1
Auswählen
„k aus n“
a
log 1  0
TR-Berechnung beliebiger Logarithmen:
a
log x 
ln x
ln a
( II )


  
PA   PA  B  PA  B   PA B PB  PA B  PB 
( II )
1
IV: log n y  . a log y
n
(I)
( I ) PA   PA  B  P A  B  PA B PB  P A B  P B
logy 1 .y 2 a log y 1  a log y 2
a
a
B
 
natürlicher Logarithmus
log a  lg a
 
PAB
PAB
a R  \ 1, c R 
III: a log y n  n.a log y
Wichtige
Zusammenhänge
17
12.3 Wahrscheinlichkeitsbaum
n Faktoren a
Gesetze
_____________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Dürfen
Elemente
mehrmals
(mehrfach)
ausgewählt
werden?
Reihenfolge
ja
(mit Wiederholung,
mit Zurücklegen)
nein
(ohne Wiederholung,
ohne Zurücklegen)
wesentlich
(„Variationen“)
unwesentlich
(„Kombinationen“)
nk
 n  k  1


 k

n!
n  k !
n
n!
 
k!.n  k !  k 
16
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wachstumgsprozesse, Gleichungen
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12.2 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
3.2 Wachstumsprozesse
WahrscheinlichkeitsMaß
P(E) Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses E
P(E)  1 sicheres Ereignis
P(E)  0 unmögliches Ereignis
a … Anfangswert zum Zeitpunkt t = 0
Klassische
Wahrscheinlichkeit
Anzahl der für E günstigen Ergebnisse
Anzahl der möglichen Ergebnisse
(wenn alle Elementarereignisse die gleiche WS haben)
Statistische
Wahrscheinlichkeit
P(E)  h n (E) bei einer hinreichend großen Anzahl von
Versuchen
Summenregel für
Elementarereignisse
A  x 1 , x 2 ,..., x k   Ω  P( A )   Px i 
P(E) 
Zuwachs
Formel
Lineares
Wachstum
immer gleich groß:
k
f(t )  k  t  a
Exponentielles
Wachstum
proportional zum momentanen
Bestand:
k  f(t )
f(t )  a  e kt
Beschränktes
Wachstum
proportional zur Restkapazität:
k  G  f(t )
f t   G  G  a e kt
Logistisches
Wachstum
proportional zum momentanen
Bestand und zur Restkapazität:
k  f(t ) G  f(t )
f(t ) 
k
i 1
Wahrscheinlichkeit
des Gegenereignisses
P( E )  1  P(E)
Verknüpfung von
Ereignissen
A  B  A  B A oder B (oder beide) treten ein
A  B  A  B A und B treten ein
PA  B  PA   PB  PA  B
Unvereinbarkeit
A und B heißen unvereinbar, wenn sie nicht gleichzeitig
eintreten können. Es gilt dann:
PA  B  0 und somit PA  B  PA   PB
Bedingte
Wahrscheinlichkeit
G … Kapazitätsgrenze
  PAPBB
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A, wenn B sicher
eintritt oder bereits eingetreten ist.
4 Gleichungen
 
allgemeine Form
Multiplikationsregel
PA  B  P A B  PB  P B A  PA
Gleichung
Unabhängigkeit
A und B heißen unabhängig (d.h. dass das Eintreten eines
Ereignisses die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des
anderen Ereignisses nicht beeinflusst), wenn gilt:
P A B  PA
Lösungen
 
Es gilt dann:
Satz von der totalen
Wahrscheinlichkeit
Satz von Bayes
a  G  a  e Gkt
P AB 
 
a G
x 1 ,2 
Lösungsfälle in R
PA  B  PA   PB
  
PA B PB
PA  B
PB A  

PA 
PA B PB  PA B  PB 
ax 2  bx  c  0
 
PA  P A B  PB  P A B  P B
Vietascher
Wurzelsatz
Normalform
x 2  px  q  0
a0
 b  b2  4ac
2a
2
x 1 ,2  
 0 zwei Lösungen
2
b  4ac  0 eine Lösung
 0 keine Lösung
x1  x2  
b
a
x1  x2 
c
a
p
p
   q
2
2
 0 zwei Lösungen
p2
 q  0 eine Lösung
4
 0 keine Lösung
x 1  x 2  p
x1  x2  q
5
6
Figuren, Körper
Regression, Wahrscheinlichkeitsrechnung
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
15
11.3 Lineare Regression
Begriff
x n  a n1 x n1  a n2 x n2  ...  a 2 x 2  a 1 x  a 0  0
Fundamentalsatz der
Algebra
Die obige Gleichung hat in der Menge der komplexen Zahlen die n
Lösungen x 1 , x 2 ,..., x n (die jedoch untereinander gleich sein
können).
Die Gleichung kann dann in folgende Linearfaktoren zerlegt
werden:
(x  x 1 )(x  x 2 ) ...(x  x n )  0
Lösungsverfahren
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
a i R
Kennt man eine Lösung x i der Gleichung, so kann das
Gleichungspolynom ohne Rest durch ( x  x i ) dividiert werden.
Man erhält dann eine Gleichen (n  1) -ten Grades.
Standardabweichung
x-Werte
sx 
1 n
2
. x i  x 
n i1
Standardabweichung
y-Werte
sy 
Covarianz
1 n
2
. y i  y 
n i1
s xy 
1 n
 xi yi  x y
n i1
Lineare Regression zur Abschätzung der linearen Abhängigkeit:
des Merkmals y
vom Merkmal x
y  ax  b
a
des Merkmals x
vom Merkmal y
x  cy  d
c
s xy
sx
2
s xy
sy
2
by
dx
s xy
sx
2
s xy
sy
2
x
y
11.4 (Lineare) Korrelation
5 Figuren und Körper
Definition
(Pearsonscher)
Korrelationskoeffizient
5.1 Planimetrie
Rechtwinkliges
Dreieck
Satz des Pythagoras: a 2  b2  c2
Kathetensatz (oder Satz des Euklid): a2  c  p und b2  c  q
r  a.c 
Beurteilung
s xy
sx sy
0,7  | r |  1 starke lineare Korrelation
0,4 | r |  0,7 Korrelation mittlerer Stärke
0  | r |  0,4 schwache Korrelation
12 Wahrscheinlichkeitsrechnung
2
Höhensatz: h  p  q
Gleichseitiges
Dreieck
Dreieck
3 2
A
a
4
A
g h
a bc
 s (s  a ) (s  b) (s  c) mit s 
2
2
A  a2
Trapez
ac
A
h
2
Kreis
3
h
a
2
u  2rπ
da 2
2
Ar π
12.1 Grundlegende Begriffe
Zufallsexperiment
Versuch mit mehreren möglichen Ergebnissen x 1 , x 2 ,..., x n
Ergebnismenge
Menge aller möglichen Ergebnisse Ω  x 1 , x 2 ,...,x n 
Ereignis E
Teilmenge der Ergebnismenge
Gegenereignis E
Komplementärmenge von E. (Ereignis, das genau dann eintritt,
wenn E nicht eintritt)
absolute Häufigkeit
H n ( x i ) , H n ( E)
Anzahl des Eintretens von x i bzw. von E bei n Versuchen..
relative Häufigkeit
h n ( x i ) , h n (E)
h n (x i ) 
H n (x i )
H (E)
bzw. h n (E)  n
n
n
14
Statistik
Winkelfunktionen, Trigonometrie
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10.4 Anwendungen der Integralrechnung
Flächeninhalt
zwischen Graph und x-Achse
5.2 Stereometrie
zwischen zwei Graphen
b
V  a3
A  6a 2
a
V  abc
A  2(ab  ac  bc)
Prisma
V  Gh
Rotation um x-Achse
Rotation um y-Achse
b
a
a
y2
y2
y1
y1
Vy  π   [f ( y )]2 dy  π   x 2dy
Vx  π  [f(x )]2 dx  π   y 2dx
11 Statistik
Kugel
x
Verwendung
n
x 1  x 2  ..... x n 1
 . x i
n
n i1
Median (Zentralwert)
z := nach Ordnung einer Liste
der Größe nach der in der
Mitte stehende Wert
Modus (Modalwert)
m := Wert, der mit der
höchsten Häufigkeit auftritt
für (fast alle) metrisch
skalierten Daten
für ordinalskalierte Daten
V
Gh
3
V
G  h r 2 πh

3
3
V
4r 3 π
3
M  2rπh
M  rπs
A  4r 2 π


Scheitelwinkel

Stufenwinkel

11.2 Streumaße
sp  x max  x min
Differenz zwischen größtem und kleinstem Messwert
Quartilsabstand
nach Ordnung einer Liste der Größe nach: Differenz
zwischen dem Median der linken Datenhälfte und dem
Median der rechten Datenhälfte
Mittlere absolute
Abweichung
Standardabweichung
Abweichung)
*
s 
x 1  M  x 2  M  .....  x n  M
n
x 1  x   x 2  x 
2
s
1 n
 . x i  M
n i1
2
n
 .....x n  x 
2

α  β  180
α β
Wechselwinkel




α β
α β
6.2 Definition der Winkelfunktionen
am rechtwinkeligen Dreieck
Gegenkathe te
sinα 
Hypotenuse
n
1
2
. x i  x 
n i1
s Mantellinie
6 Winkelfunktionen – Trigonometrie
Nebenwinkel
Spannweite
a,b,c Seiten
G Grundfläche
h Höhe
V  G  h  r 2 πh
Kegel
11.1 Zentralmaße
Arithmetisches Mittel
Pyramide
Zylinder
Definition
Mantelfläche M
Oberfläche A
Würfel
A   f(x)  g(x) dx
b
Volumen V
b
A   f ( x ) dx
a
Rauminhalt
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
tan α 
Gegenkathe te
Ankathete
Ankathete
cos α 
Hypotenuse
cot α 
Ankathete
Gegenkathe te
am Einheitskreis
cot
sin

cos
tan
7
8
Dreiecksberechnung, Zahlenfolgen
Integralrechnung
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
sinα 2  cosα 2  1
tan α 
sinα
cos α
cos α  sin90  α 
cosα  cos360  α 
sinα  cos90  α 
tan α 
sinα
cos α
sinα  sin180  α 
tan α  tan 180  α 
6.4 Dreiecksberechnung
α  β  γ  180
Sinussatz
a
b
c


sinα sinβ sin γ
Cosinussatz
a 2  b2  c2  2  b  c  cos α
c2  a 2  b2  2 a  b cos γ
10.1 Grundbegriffe
Stammfunktion
F heißt Stammfunktion von f ,
wenn gilt: F(x)  f(x)
Mit F( x ) ist auch jede
Funktion F( x )  C eine
Stammfunktion
unbestimmtes
Integral
 f(x) dx  F(x)  C
Menge aller
Stammfunktionen
bestimmtes
Integral
b
A
ab
bc
ac
 sin γ 
 sin α 
 sin β
2
2
2
2r 
a
b
c


sinα sinβ sin γ
2A
ρ
a bc
7 Zahlenfolgen
10.2 Regeln für das Integrieren
Faktorregel
 a  u(x ) dx  a   u(x) dx
Summenregel
[u(x)  v(x)] dx   u(x ) dx   v(x ) dx
Substitutionsregel
 f[g(x )] g (x ) dx   f(u) du
Partielle
Integration
 u(x) v (x) dx  u(x) v(x)   u(x) v(x) dx
kurz:  uv  dx  uv   uv dx
Fx    a dx  ax  C
f (x )  a
7.1 Endliche Zahlenfolgen
Bildungsgesetz
Arithmetische
Folgen
Geometrische
Folgen
a n  a 1  n  1 d
bn  b1  q n1
 f(x) dx  F(b)  F(a)
a
b2  a 2  c2  2 a  c  cos β
Flächeninhalt
13
10 Integralrechnung
6.3 Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
Winkelsumme
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
charakteristische Eigenschaft
d  a 2  a 1  a 3  a 2  ... Differenz
zweier benachbarter Folgenglieder ist
konstant
b 2 b3

 ... Quotient zweier
b1 b 2
benachbarter Folgenglieder ist
konstant
f (x )  x
Fx    x n dx 
n
x n1
C
n 1
n  1
f(x) 
q
f(x) 
Fx   
1
x
x 0
1
cos x 2
Fx   
1
dx  ln x  C
x
1
cosx 2
mit u  g(x ) und du  g x dx
f (x )  sin x Fx    sinx dx   cos x  C
f(x )  cos x Fx    cosx dx  sin x  C
f(x)  e x
dx  tan x  C f(x)  a
x
Fx    e x dx  e x  C
Fx    a x dx 
a 1
ax
C
ln a
12
Differentiationsregeln
Folgen, Reihen
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Quotientenregel
Kettenregel
f(x ) 
u(x)
v(x)
f ( x ) 
f(x)  g(h(x))
u ( x ).v( x )  u( x ).v ( x )
( v( x ))2

 u  u.v  u.v 
  
v2
v
f(x)  x
f (x)  1
f (x)  c
f (x)  0
f(x)  e x
f (x)  e x
f(x)  a x , a  R
f (x)  a x  ln a
f(x)  ln x
f ( x ) 
f ( x )  lg x
1
0,4343
f ( x )  . lg e 
x
x
f(x) log x
f (x )  sin x
f(x )  cos x
f (x)  cos x
f (x)   sin x
f ( x )  tan x
f(x)  cot x
f ( x ) 
f ( x ) 
1
x
1
(cos x )2
1
(sin x )2
Monotonie
 1  (tan x )
Beschränktheit
s n  b1 
 (1  (cot x ) )
Eine Folge z n heißt nach oben (unten) beschränkt mit
Falls lim a n  a und lim bn  b , dann gilt:
n
Extremstellen
Wendepunkt
Hochpunkt, lokales Maximum
Tiefpunkt, lokales Minimum
f (x)  0 und f ( x )  0
f ( x )  0
lim(a n  bn )  a  b
n
lim
an a

bn b
n
(b  0)
Geometrische Reihe: lims n  s 
n
notwendige Bedingung
f (x)  0 und f (x)  0
n
lim(a n  bn )  a  b
spezielle
Grenzwerte
f(x)  0
Summe der Folgenglieder einer
geometrischen Folge
Eine Folge z n heißt streng monoton steigen (fallend),
n
Nullstelle
s n  b1  b2  b3  ...  bn
qn 1
q 1
7.3 Grenzwerte für konvergente Folgen
f(x n )
 xn 
f ( x n )
9.4 Kurvendiskussion
Summe der Folgenglieder einer
arithmetischen Folge
der Schranke s, wenn n  N : z n   s
2
Grenzwertsätze
Iterationsschritt: x n1
s n  a 1  a 2  a 3  ...  a n
n
 a 1  a n  
2
n
  2a 1  n  1 d
2
sn 
wenn n  N : z n  z n1
2
9.3 Newtonverfahren
Herleitung
7.2 Eigenschaften von Folgen
Für die Ableitungen der Winkelfunktionen muss x im Bogenmaß angegeben sein.
Startwert: x 0
Arithmetische
Reihen
Geometrische
Reihen
f ( x )  n  x n 1
1
f ( x )  a log e
x
Bildungsgesetz
f (x)  g (h(x)).h(x)
f (x )  x n
a
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
lim
n
1
nk
b1
für 1  q  1
1q
n
 0 (k  N)
 1
lim  1    e
n
n
9
10
Zinseszinsrechnung
Rentenrechnung, Differentialrechnung
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8 Finanzmathematik
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8.3 Rentenrechnung
8.1 Zinseszinsrechnung
Barwert
Begriffe
Zinsfuß
Zinssatz
Aufzinsungsfaktor
Abzinsungsfaktor
p
Anzahl der ganzen
Zinsperioden
i
p
100
Anteil vor Beginn
der ganzen
Zinsperioden
r  1 i
Anteil nach Ende
der ganzen
Zinsperioden
1
1
v

1 i r
n
γ1
K n … Kapital nach n Zinsperioden
n
Verzinsung bei Teilen von Zinsperioden
gemischt
K 0 … Anfangskapital
γ1  n  γ2
K E  K 0  1  i  γ 1 1  i 1  i  γ 2 
n
K E … Endkapital
BN  R  v 
Ewige Rente
vorschüssig
BN 
v n 1
v 1
EV  R  r 
vn  1
v 1
EN  R 
rn  1
r 1
rn  1
r 1
nachschüssig
R r
i
BV 
R
i
9.1 Grundbegriffe
Differenzenquotient
von y  f ( x ) an der
Stelle x 0
von y  f ( x ) an der
Stelle x 0
Äquivalente Zinssätze
Zinssatz
nachschüssig
(Raten jeweils am Ende der
Zinsperioden)
Differentialquotient
8.2 Unterjährige Verzinsung:
Zinsperiode
BV  R 
9 Differentialrechnung
K n  K 0 .1  i
K E  K 0  1  i
Endwert
vorschüssig
(Raten jeweils am Beginn der
Zinsperioden)
γ2
Verzinsung bei ganzen Zinsperioden
theoretisch
11
Ableitungsfunktion
Aufzinsungsfaktor
Abzinsungsfaktor
1
1

1 i r
Jahr
i
r  1 i
v
Semester
(Halbjahr)
i2
r2  1  i
v2 
1
1

1  i r2
Quartal
(Vierteljahr)
i4
r4  1  i
1
1
v4  4

1  i r4
Monat
i 12
r12  12 1  i
v 12  12
4
1
1

1  i r12
Δy f (x 0  Δx )  f (x 0 )

 f (x 0 )
Δx
Δx
Anstieg der Sekante;
gute Näherung für
kleine x
f (x 0  Δx )  f (x 0 )
dy
 lim
 f (x 0 )
Δ
x

0
dx
Δx
Exakter Wert der
Tangentensteigung
bei x 0
f (x  Δx )  f ( x )
Δx 0
Δx
f ( x )  lim
Liefert Anstieg der
Tangente für jedes x
9.2 Regeln für das Differenzieren
Faktorregel
f(x)  a.g(x), a  R
f (x)  a.g(x)
Summenregel
f(x)  u(x)  v(x)
f (x)  u(x)  v(x)
Produktregel
f(x)  u(x).v(x)
f (x)  u(x).v(x)  u(x).v (x)
(u.v )  u.v  u.v 
```