Winkelfunktionen – Trigonometrie
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20 Standardnormalverteilung ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Funktionswerte z der Standardnormalverteilung z\* 0,0* 0,1* 0,2* 0,3* 0,4* 0,5* 0,6* 0,7* 0,8* 0,9* 1,0* 1,1* 1,2* 1,3* 1,4* 1,5* 1,6* 1,7* 1,8* 1,9* 2,0* 2,1* 2,2* 2,3* 2,4* 2,5* 2,6* 2,7* 2,8* 2,9* 3,0* 3,1* 3,2* 3,3* 3,4* 3,5* 3,6* 3,7* 3,8* 3,9* 4,0* 0 0, 50000 53983 57926 61791 65542 69146 72575 75804 78814 81594 84134 86433 88493 90320 91924 93319 94520 95543 96407 97128 97725 98214 98610 98928 99180 99379 99534 99653 99744 99813 99865 99903 99931 99952 99966 99977 99984 99989 99993 99995 99997 1 0, 50399 54380 58317 62172 65910 69497 72907 76115 79103 81859 84375 86650 88686 90490 92073 93448 94630 95637 96485 97193 97778 98257 98645 98956 99202 99396 99547 99664 99752 99819 99869 99906 99934 99953 99968 99978 99985 99990 99993 99995 9999 2 0, 50798 54776 58706 62552 66276 69847 73237 76424 79389 82121 84614 86864 88877 90658 92220 93574 94738 95728 96562 97257 97831 98300 98679 98983 99224 99413 99560 99674 99760 99825 99874 99910 99936 99955 99969 99978 99985 99990 99993 99996 99997 3 0, 51197 55172 59095 62930 66640 70194 73565 76730 79673 82381 84849 87076 89065 90824 92364 93699 94845 95818 96638 97320 97882 98341 98713 99010 99245 99430 99573 99683 99767 99831 99878 99913 99938 99957 99970 99979 99986 99990 99994 99996 99997 4 0, 51595 55567 59483 63307 67003 70540 73891 77035 79955 82639 85083 87286 89251 90988 92507 93822 94950 95907 96712 97381 97932 98382 98745 99036 99266 99446 99585 99693 99774 99836 99882 99916 99940 99958 99971 99980 99986 99991 99994 99996 99997 5 0, 51994 55962 59871 63683 67364 70884 74215 77337 80234 82894 85314 87493 89435 91149 92647 93943 95053 95994 96784 97441 97982 98422 98778 99061 99286 99461 99598 99702 99781 99841 99886 99918 99942 99960 99972 99981 99987 99991 99994 99996 99997 6 0, 52392 56356 60257 64058 67724 71226 74537 77637 80511 83147 85543 87698 89617 91309 92785 94062 95154 96080 96856 97500 98030 98461 98809 99086 99305 99477 99609 99711 99788 99846 99889 99921 99944 99961 99973 99981 99987 99992 99994 99996 99998 7 0, 52790 56749 60642 64431 68082 71566 74857 77935 80785 83398 85769 87900 89796 91466 92922 94179 95254 96164 96926 97558 98077 98500 98840 99111 99324 99492 99621 99720 99795 99851 99893 99924 99946 99962 99974 99982 99988 99992 99995 99996 99998 8 0, 53188 57142 61026 64803 68439 71904 75175 78230 81057 83646 85993 88100 89973 91621 93056 94295 95352 96246 96995 97615 98124 98537 98870 99134 99343 99506 99632 99728 99801 99856 99896 99926 99948 99964 99975 99983 99988 99992 99995 99997 99998 9 0, 53586 57535 61409 65173 68793 72240 75490 78524 81327 83891 86214 88298 90147 91774 93189 94408 95449 96327 97062 97670 98169 98574 98899 99158 99361 99520 99643 99736 99807 99861 99900 99929 99950 99965 99976 99983 99989 99992 99995 99997 99998 Formelsammlung Mathematik _______________________________________________________________ zusammengestellt von Alfred Schwarz für den internen Gebrauch an der HLW Linz-Auhof März 2010 2 Logik, Mengenlehre Hypergeometrische Verteilung, Normalverteilung _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1 Mengenlehre und Logik Konjunktion Disjunktion Implikation Äquivalenz („P und Q“, „sowohl P als auch Q“) („P oder Q (oder beide)“ – einschließend) („wenn P, dann Q“) („P genau dann, wenn Q“) Q PQ PQ PQ PQ w f w f w f f f w w w f w f w w w f f w Negation („nicht P“) P P w P f f w Auftreten Aus einer Gesamtheit von N Elementen, unter denen sich M besondere befinden, werden n Elemente ohne Zurücklegen gezogen. Es interessiert die Wahrscheinlichkeit für k gezogene besondere Elemente. Funktionswert M N M k n k PX k N n Erwartungswert EX n Varianz 1.2 Mengenverknüpfungen Durchschnittsmenge Differenzmenge Die Vereinigungsmenge A B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B oder zu beiden gehören. A B x x A x B Die Produktmenge A B zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare, deren erste Komponente ein Element von A ist und deren zweite Komponente ein Element von B ist. A B x / y x A x B Komplementärmenge (Ergänzungsmenge) Die Differenzmenge A \ B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente von A, die nicht zu B gehören. A \ B x x A x B Produktmenge Die Durchschnittsmenge A B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören. A B x x A x B σ2 n M N M M Nn 1 N N N 1 Normalverteilung Auftreten Vereinigungsmenge 19 Hypergeometrische Verteilung 1.1 Aussagenverknüpfungen P w w f f _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Wenn A eine Teilmenge einer gegebenen Grundmenge G ist, dann ist die Komplementärmenge A die Menge aller Elemente von G, die nicht zu A gehören. A G\ A Funktionswert Wenn bei einem Experiment mit Binomialverteilung die Anzahl n der durchgeführten Versuche erhöht wird, kann die Binomialverteilung näherungsweise durch die Normalverteilung ersetzt werden. Px x 0 x0 σ 1 x μ 2 2 e 2σ dx 2 π WS, dass das Ereignis E höchstens x 0 -mal eintritt. Erwartungswert μ EX n p Varianz σ2 n p 1 p Praktische Vorgangsweise zur Berechnung Transformation in die standardisierte Normalverteilung Neue Zufallsvariable z Rechenregeln PZ z 1 PZ z 1 Φz mit der Eigenschaft x μ (bzw. x μ z σ ) σ PX x 0 PZ z0 Φz0 PZ z Φ z 1 Φz Pz1 Z z 2 Φz2 Φz1 P z Z z 2 Φz 0,5 2 Φz 1 18 Verteilungsfunktionen Rechenregeln, Terme __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 12.4 Zufallsgrößen und ihre Verteilung __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1.3 Zahlenmengen Zufallsvariable X Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes (= jedem Element der Ergebnismenge) eine reelle Zahl zuordnet. diskret, kontinuierlich Eine diskrete Zufallsvariable kann nur endlich viele Werte annehmen, eine kontinuierliche beliebig viele. Wahrscheinlichkeitsverteilung Funktion f, die jedem Wert x einer Zufallsvariable seine Wahrscheinlichkeit zuordnet: f(x i ) PX x i Natürliche Zahlen N 1,2,3,4,... Zahlen, die beim Zählen entstehen Ganze Zahlen Z ...,3,2,1,0,1,2,3,4,... Natürl. Zahlen plus negative Zahlen plus Null Rationale Zahlen p Q p, q Z p 0 q Zahlen, die sich auch als Bruch darstellen lassen Reelle Zahlen R Alle Zahlen der Zahlengeraden C a bi a , b R i 2 1 Maße Erwartungswert μ EX x 1 .f x 1 x 2 .f x 2 ........... x n .f x n x i .f x i Komplexe Zahlen Varianz 2 2 σ 2 x i μ .f x i x i .f x i μ 2 i1 i1 2 Rechenregeln und Rechenverfahren Standardabweichung σ n i 1 n n 12.5 Spezielle Verteilungen Binomialverteilung Auftreten Funktionswert Zufallsexperiment, bei dem ein Ereignis E mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt, wird n-mal unter gleichen Bedingungen wiederholt. Wir beobachten, wie oft das Ereignis E eintritt. n n k PX k .p k 1 p k Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis E k-mal eintritt. Erwartungswert μ EX n p Varianz σ n p 1 p 2 n n n 1 ... n k 1 n k ..........3 2 1 n! Es gilt: 1 2 3 ......... k n k ........ 3 2 1 k!n k ! k 2.1 Grundrechnungsarten Addition ab Summand + Summand = Summe Subtraktion ab Minuend – Subtrahend = Differenz Multiplikation ab Faktor . Faktor = Produkt Division a:b Dividend : Divisor = Quotient 2.2 Termumformungen Kommutativgesetz Vertauschungsgesetz a b ba Assoziativgesetz (a b) c a (b c) Distributivgesetz Verteilungsgesetz a (b c ) a b a c binomische Formeln Hornersche Regeln a b ba (a b) c a (b c) (a b)2 a 2 2ab b2 (a b)2 a 2 2ab b2 (a b)(a b) a 2 b2 a b3 a3 3a 2b 3ab2 b3 (a b c)2 a 2 b2 c2 2ab 2ac 2bc a 2 b2 (a b)(a b) a 3 b3 (a b) (a 2 ab b2 ) a3 b3 (a b)(a 2 ab b2 ) 3 4 Logarithmen Kombinatorik _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2.3 Potenzen und Wurzeln Definitionen a n a a ... a m n a0 1 a .a a m n m Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten ist es meist besser, die Lösung mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsbaumes zu berechnen. a1 a Wurzeln 1 an n a n n a :a a a.bn a n .bn n an a n b b m am a n a m n m n a n Pfadregeln a m.n 1 1 an a n Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ergibt sich als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich als Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die dieses Ereignis darstellen. an a 0, m, n N P AB PB B P AB 3 Logarithmen 3.1 Grundlagen PB Definition a b c a log c b Spezielle Basen Basis e: e Basis 10: 10 Rechenregeln für Logarithmen I: a II: a log a ln a dekadischer Logarithmus A PA B P A B PB A P A B P A B PB A P A B P A B P B A P A B P A B P B y log 1 a log y 1 a log y 2 y2 12.4 Kombinatorik - Auswahlprobleme log a 1 ln e 1 Auswählen „k aus n“ a log 1 0 TR-Berechnung beliebiger Logarithmen: a log x ln x ln a ( II ) PA PA B PA B PA B PB PA B PB ( II ) 1 IV: log n y . a log y n (I) ( I ) PA PA B P A B PA B PB P A B P B logy 1 .y 2 a log y 1 a log y 2 a a B natürlicher Logarithmus log a lg a PAB PAB a R \ 1, c R III: a log y n n.a log y Wichtige Zusammenhänge 17 12.3 Wahrscheinlichkeitsbaum n Faktoren a Gesetze _____________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Dürfen Elemente mehrmals (mehrfach) ausgewählt werden? Reihenfolge ja (mit Wiederholung, mit Zurücklegen) nein (ohne Wiederholung, ohne Zurücklegen) wesentlich („Variationen“) unwesentlich („Kombinationen“) nk n k 1 k n! n k ! n n! k!.n k ! k 16 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wachstumgsprozesse, Gleichungen _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 12.2 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 3.2 Wachstumsprozesse WahrscheinlichkeitsMaß P(E) Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses E P(E) 1 sicheres Ereignis P(E) 0 unmögliches Ereignis a … Anfangswert zum Zeitpunkt t = 0 Klassische Wahrscheinlichkeit Anzahl der für E günstigen Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse (wenn alle Elementarereignisse die gleiche WS haben) Statistische Wahrscheinlichkeit P(E) h n (E) bei einer hinreichend großen Anzahl von Versuchen Summenregel für Elementarereignisse A x 1 , x 2 ,..., x k Ω P( A ) Px i P(E) Zuwachs Formel Lineares Wachstum immer gleich groß: k f(t ) k t a Exponentielles Wachstum proportional zum momentanen Bestand: k f(t ) f(t ) a e kt Beschränktes Wachstum proportional zur Restkapazität: k G f(t ) f t G G a e kt Logistisches Wachstum proportional zum momentanen Bestand und zur Restkapazität: k f(t ) G f(t ) f(t ) k i 1 Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses P( E ) 1 P(E) Verknüpfung von Ereignissen A B A B A oder B (oder beide) treten ein A B A B A und B treten ein Additionsregel PA B PA PB PA B Unvereinbarkeit A und B heißen unvereinbar, wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können. Es gilt dann: PA B 0 und somit PA B PA PB Bedingte Wahrscheinlichkeit G … Kapazitätsgrenze PAPBB Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A, wenn B sicher eintritt oder bereits eingetreten ist. 4 Gleichungen allgemeine Form Multiplikationsregel PA B P A B PB P B A PA Gleichung Unabhängigkeit A und B heißen unabhängig (d.h. dass das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst), wenn gilt: P A B PA Lösungen Es gilt dann: Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Satz von Bayes a G a e Gkt 4.1 Quadratische Gleichungen P AB a G x 1 ,2 Lösungsfälle in R PA B PA PB PA B PB PA B PB A PA PA B PB PA B PB ax 2 bx c 0 PA P A B PB P A B P B Vietascher Wurzelsatz Normalform x 2 px q 0 a0 b b2 4ac 2a 2 x 1 ,2 0 zwei Lösungen 2 b 4ac 0 eine Lösung 0 keine Lösung x1 x2 b a x1 x2 c a p p q 2 2 0 zwei Lösungen p2 q 0 eine Lösung 4 0 keine Lösung x 1 x 2 p x1 x2 q 5 6 Figuren, Körper Regression, Wahrscheinlichkeitsrechnung ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4.1 Algebraische Gleichungen n-ten Grades 15 11.3 Lineare Regression Begriff x n a n1 x n1 a n2 x n2 ... a 2 x 2 a 1 x a 0 0 Fundamentalsatz der Algebra Die obige Gleichung hat in der Menge der komplexen Zahlen die n Lösungen x 1 , x 2 ,..., x n (die jedoch untereinander gleich sein können). Die Gleichung kann dann in folgende Linearfaktoren zerlegt werden: (x x 1 )(x x 2 ) ...(x x n ) 0 Lösungsverfahren ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ a i R Kennt man eine Lösung x i der Gleichung, so kann das Gleichungspolynom ohne Rest durch ( x x i ) dividiert werden. Man erhält dann eine Gleichen (n 1) -ten Grades. Standardabweichung x-Werte sx 1 n 2 . x i x n i1 Standardabweichung y-Werte sy Covarianz 1 n 2 . y i y n i1 s xy 1 n xi yi x y n i1 Lineare Regression zur Abschätzung der linearen Abhängigkeit: des Merkmals y vom Merkmal x y ax b a des Merkmals x vom Merkmal y x cy d c s xy sx 2 s xy sy 2 by dx s xy sx 2 s xy sy 2 x y 11.4 (Lineare) Korrelation 5 Figuren und Körper Definition (Pearsonscher) Korrelationskoeffizient 5.1 Planimetrie Rechtwinkliges Dreieck Satz des Pythagoras: a 2 b2 c2 Kathetensatz (oder Satz des Euklid): a2 c p und b2 c q r a.c Beurteilung s xy sx sy 0,7 | r | 1 starke lineare Korrelation 0,4 | r | 0,7 Korrelation mittlerer Stärke 0 | r | 0,4 schwache Korrelation 12 Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Höhensatz: h p q Gleichseitiges Dreieck Dreieck 3 2 A a 4 A g h a bc s (s a ) (s b) (s c) mit s 2 2 Quadrat A a2 Trapez ac A h 2 Kreis 3 h a 2 u 2rπ da 2 2 Ar π 12.1 Grundlegende Begriffe Zufallsexperiment Versuch mit mehreren möglichen Ergebnissen x 1 , x 2 ,..., x n Ergebnismenge Menge aller möglichen Ergebnisse Ω x 1 , x 2 ,...,x n Ereignis E Teilmenge der Ergebnismenge Gegenereignis E Komplementärmenge von E. (Ereignis, das genau dann eintritt, wenn E nicht eintritt) absolute Häufigkeit H n ( x i ) , H n ( E) Anzahl des Eintretens von x i bzw. von E bei n Versuchen.. relative Häufigkeit h n ( x i ) , h n (E) h n (x i ) H n (x i ) H (E) bzw. h n (E) n n n 14 Statistik Winkelfunktionen, Trigonometrie _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 10.4 Anwendungen der Integralrechnung Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse 5.2 Stereometrie zwischen zwei Graphen b V a3 A 6a 2 a Quader V abc A 2(ab ac bc) Prisma V Gh Rotation um x-Achse Rotation um y-Achse b a a y2 y2 y1 y1 Vy π [f ( y )]2 dy π x 2dy Vx π [f(x )]2 dx π y 2dx 11 Statistik Kugel x Verwendung n x 1 x 2 ..... x n 1 . x i n n i1 Median (Zentralwert) z := nach Ordnung einer Liste der Größe nach der in der Mitte stehende Wert Modus (Modalwert) m := Wert, der mit der höchsten Häufigkeit auftritt für (fast alle) metrisch skalierten Daten für ordinalskalierte Daten V Gh 3 V G h r 2 πh 3 3 V 4r 3 π 3 M 2rπh M rπs A 4r 2 π 6.1 Winkel an Geraden Scheitelwinkel Stufenwinkel 11.2 Streumaße sp x max x min Differenz zwischen größtem und kleinstem Messwert Quartilsabstand nach Ordnung einer Liste der Größe nach: Differenz zwischen dem Median der linken Datenhälfte und dem Median der rechten Datenhälfte Mittlere absolute Abweichung Standardabweichung (mittlere quadratische Abweichung) * s x 1 M x 2 M ..... x n M n x 1 x x 2 x 2 s 1 n . x i M n i1 2 n .....x n x 2 α β 180 α β Wechselwinkel α β α β 6.2 Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkeligen Dreieck Gegenkathe te sinα Hypotenuse n 1 2 . x i x n i1 s Mantellinie 6 Winkelfunktionen – Trigonometrie Nebenwinkel Spannweite a,b,c Seiten G Grundfläche h Höhe V G h r 2 πh Kegel 11.1 Zentralmaße Arithmetisches Mittel Pyramide Zylinder Definition Mantelfläche M Oberfläche A Würfel A f(x) g(x) dx b Volumen V b A f ( x ) dx a Rauminhalt ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ tan α Gegenkathe te Ankathete Ankathete cos α Hypotenuse cot α Ankathete Gegenkathe te am Einheitskreis cot sin cos tan 7 8 Dreiecksberechnung, Zahlenfolgen Integralrechnung ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ sinα 2 cosα 2 1 tan α sinα cos α cos α sin90 α cosα cos360 α sinα cos90 α tan α sinα cos α sinα sin180 α tan α tan 180 α 6.4 Dreiecksberechnung α β γ 180 Sinussatz a b c sinα sinβ sin γ Cosinussatz a 2 b2 c2 2 b c cos α c2 a 2 b2 2 a b cos γ Umkreisradius Inkreisradius 10.1 Grundbegriffe Stammfunktion F heißt Stammfunktion von f , wenn gilt: F(x) f(x) Mit F( x ) ist auch jede Funktion F( x ) C eine Stammfunktion unbestimmtes Integral f(x) dx F(x) C Menge aller Stammfunktionen bestimmtes Integral b A ab bc ac sin γ sin α sin β 2 2 2 2r a b c sinα sinβ sin γ 2A ρ a bc 7 Zahlenfolgen 10.2 Regeln für das Integrieren Faktorregel a u(x ) dx a u(x) dx Summenregel [u(x) v(x)] dx u(x ) dx v(x ) dx Substitutionsregel f[g(x )] g (x ) dx f(u) du Partielle Integration u(x) v (x) dx u(x) v(x) u(x) v(x) dx kurz: uv dx uv uv dx Fx a dx ax C f (x ) a 7.1 Endliche Zahlenfolgen Bildungsgesetz Arithmetische Folgen Geometrische Folgen a n a 1 n 1 d bn b1 q n1 f(x) dx F(b) F(a) a b2 a 2 c2 2 a c cos β Flächeninhalt 13 10 Integralrechnung 6.3 Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen Winkelsumme ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ charakteristische Eigenschaft d a 2 a 1 a 3 a 2 ... Differenz zweier benachbarter Folgenglieder ist konstant b 2 b3 ... Quotient zweier b1 b 2 benachbarter Folgenglieder ist konstant f (x ) x Fx x n dx n x n1 C n 1 n 1 f(x) q f(x) Fx 1 x x 0 1 cos x 2 Fx 1 dx ln x C x 1 cosx 2 mit u g(x ) und du g x dx f (x ) sin x Fx sinx dx cos x C f(x ) cos x Fx cosx dx sin x C f(x) e x dx tan x C f(x) a x Fx e x dx e x C Fx a x dx a 1 ax C ln a 12 Differentiationsregeln Folgen, Reihen ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Quotientenregel Kettenregel f(x ) u(x) v(x) f ( x ) f(x) g(h(x)) u ( x ).v( x ) u( x ).v ( x ) ( v( x ))2 u u.v u.v v2 v f(x) x f (x) 1 f (x) c f (x) 0 f(x) e x f (x) e x f(x) a x , a R f (x) a x ln a f(x) ln x f ( x ) f ( x ) lg x 1 0,4343 f ( x ) . lg e x x f(x) log x f (x ) sin x f(x ) cos x f (x) cos x f (x) sin x f ( x ) tan x f(x) cot x f ( x ) f ( x ) 1 x 1 (cos x )2 1 (sin x )2 Monotonie 1 (tan x ) Beschränktheit s n b1 (1 (cot x ) ) Eine Folge z n heißt nach oben (unten) beschränkt mit Falls lim a n a und lim bn b , dann gilt: n Extremstellen Wendepunkt Hochpunkt, lokales Maximum Tiefpunkt, lokales Minimum f (x) 0 und f ( x ) 0 f ( x ) 0 lim(a n bn ) a b n lim an a bn b n (b 0) Geometrische Reihe: lims n s n notwendige Bedingung f (x) 0 und f (x) 0 n lim(a n bn ) a b spezielle Grenzwerte f(x) 0 Summe der Folgenglieder einer geometrischen Folge Eine Folge z n heißt streng monoton steigen (fallend), n Nullstelle s n b1 b2 b3 ... bn qn 1 q 1 7.3 Grenzwerte für konvergente Folgen f(x n ) xn f ( x n ) 9.4 Kurvendiskussion Summe der Folgenglieder einer arithmetischen Folge der Schranke s, wenn n N : z n s 2 Grenzwertsätze Iterationsschritt: x n1 s n a 1 a 2 a 3 ... a n n a 1 a n 2 n 2a 1 n 1 d 2 sn wenn n N : z n z n1 2 9.3 Newtonverfahren Herleitung 7.2 Eigenschaften von Folgen Für die Ableitungen der Winkelfunktionen muss x im Bogenmaß angegeben sein. Startwert: x 0 Arithmetische Reihen Geometrische Reihen f ( x ) n x n 1 1 f ( x ) a log e x Bildungsgesetz f (x) g (h(x)).h(x) f (x ) x n a __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ lim n 1 nk b1 für 1 q 1 1q n 0 (k N) 1 lim 1 e n n 9 10 Zinseszinsrechnung Rentenrechnung, Differentialrechnung _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8 Finanzmathematik ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8.3 Rentenrechnung 8.1 Zinseszinsrechnung Barwert Begriffe Zinsfuß Zinssatz Aufzinsungsfaktor Abzinsungsfaktor p Anzahl der ganzen Zinsperioden i p 100 Anteil vor Beginn der ganzen Zinsperioden r 1 i Anteil nach Ende der ganzen Zinsperioden 1 1 v 1 i r n γ1 K n … Kapital nach n Zinsperioden n Verzinsung bei Teilen von Zinsperioden gemischt K 0 … Anfangskapital γ1 n γ2 K E K 0 1 i γ 1 1 i 1 i γ 2 n K E … Endkapital BN R v Ewige Rente vorschüssig BN v n 1 v 1 EV R r vn 1 v 1 EN R rn 1 r 1 rn 1 r 1 nachschüssig R r i BV R i 9.1 Grundbegriffe Differenzenquotient von y f ( x ) an der Stelle x 0 von y f ( x ) an der Stelle x 0 Äquivalente Zinssätze Zinssatz nachschüssig (Raten jeweils am Ende der Zinsperioden) Differentialquotient 8.2 Unterjährige Verzinsung: Zinsperiode BV R 9 Differentialrechnung K n K 0 .1 i K E K 0 1 i Endwert vorschüssig (Raten jeweils am Beginn der Zinsperioden) γ2 Verzinsung bei ganzen Zinsperioden theoretisch 11 Ableitungsfunktion Aufzinsungsfaktor Abzinsungsfaktor 1 1 1 i r Jahr i r 1 i v Semester (Halbjahr) i2 r2 1 i v2 1 1 1 i r2 Quartal (Vierteljahr) i4 r4 1 i 1 1 v4 4 1 i r4 Monat i 12 r12 12 1 i v 12 12 4 1 1 1 i r12 Δy f (x 0 Δx ) f (x 0 ) f (x 0 ) Δx Δx Anstieg der Sekante; gute Näherung für kleine x f (x 0 Δx ) f (x 0 ) dy lim f (x 0 ) Δ x 0 dx Δx Exakter Wert der Tangentensteigung bei x 0 f (x Δx ) f ( x ) Δx 0 Δx f ( x ) lim Liefert Anstieg der Tangente für jedes x 9.2 Regeln für das Differenzieren Faktorregel f(x) a.g(x), a R f (x) a.g(x) Summenregel f(x) u(x) v(x) f (x) u(x) v(x) Produktregel f(x) u(x).v(x) f (x) u(x).v(x) u(x).v (x) (u.v ) u.v u.v
