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FH-Dornbirn, HTW-Chur, Wechselstrommesstechnik
V3.2
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Wechselstrommesstechnik
Übersicht
1. Wechselstrommessung und Wechselspannungsmessung
1.1 Einführung, Darstellung der Wechselgrößen
1.2 Zeichnerische Darstellung, Zeigerdiagramme
1.3 Wechselstrom- und Spannungsmessung
2. Impedanzmessung
2.1 Mit Strom- Spannungsmessung
2.2 Mit Strom/Spannung/Wirkleistungsmessung
3. Impedanzmessung mit Wechselstrombrücken
3.1 Abgleichbedingung
3.2 Maxwell-Wienbrücke zur Messung von L
3.3 Wienbrücke zur Messung von C
3.4 Haybrücke zur Messung von L
3.5 Fremdfeldeinfluss
3.6 Schirmung von Signalleitungen
4. Leistungsmessung
4.1 Momentanleistung, Wirkleistung, Scheinleistung
4.2 Elektrodynamische Wirkleistungsmesser
4.3 Einphasiges System
4.4 Leistungsmessung im Dreileiternetz
5. Strom- und Spannungswandler
5.1 Der Transformator
5.2 Spannungs- und Stromwandler
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1. Wechselstrommessung und Wechselspannungsmessung
1.1 Einführung, Darstellung der Wechselgrößen
Die mathematische Darstellung von sinusförmigen Wechselsignalen :
1. u (t) = Us*sin(t+)
2. Us/ oder U oder U=Us*exp(jt+))
Die zweite Darstellungsart hat den Vorteil, daß sie kurz ist und über eine bekannte leistungsfähige Mathematik verfügt und mit genannter
Zeigerdarstellung ein graphisches Abbild liefert.
Für die rechnerische Darstellung von nicht sinusförmigen aber periodischen Wechselsignalen verwendet man das in diesem Falle const.
Frequenzspektrum und rechnet im Frequenzbereich mit den sogenannten Laplacetransformierten U(s)
Je nach Darstellungsart der Signale ( Strom, Spannung,.. ) ergibt sich auch die passende Darstellung der passiven
Elemente R,L,C.
zulässige Signalarten und
Element R Element C
Element L
Element Z
Form der beschreibenden
ihre mathematische
Gleichungen
Darstellungsart
u(t)=f(t) beliebiges Signal R=u/i
ic=C*duc/dt
uL=L*diL/dt
uZ= uR+ uL
Differentialgleichungen
….
u(t) = Um*sin(t+)
Sinussignale
R=U/I
Uz=Iz*Z
algebraische Gleichungen
U =Umejt+)
Ic=Uc/jC
UL=jL*IL
Z
=
R+jL
Sinussignale
Xc=1/C)
XL=L
( = R+1/jC )
U(s)
R=U(s)/I(s)
Ic(s)=Uc(s)/sC UL(s)=sL*IL(s)
Uz(s)=Iz(s)*Z(s)
Xc(s) =1/sC
Z = R+sL
(Z = R+1/sC)
XL (s) =sL
algebraische Gleichungen
Das ‘ohmsche’ Gesetz im Wechselstromkreis : Z =U /I ( oft einfach Z=U/I ).
Der komplexe Operator Z = R +jL transformiert den Stromzeiger mit einer Dreh- Streckung in den komplexen Zeiger Spannung. In diesen
Unterlagen werden für Zeiger und komplexe Operatoren nicht streng unterstrichene Buchstaben verwendet sondern der Buchstabe ohne
Unterstreichung.
Im
u(t)
1.2 Zeichnerische Darstellung
u(t)
t
Zeitdiagramm
t
U
Re
Zeigerdiagramm
Die zeichnerische Darstellung von Wechselsignalen erfolgt in Zeitdiagrammen und in Zeigerdiagrammen. Die
Zeitdiagramme stellen den zeitlichen Verlauf der Größen dar und sind aufwendig zu zeichnen.
Die Zeigerdiagramme stellen Wechselsignale als mit der Kreisfrequenz w im Gegenuhrzeigersinn rotierende
Zeiger in der komplexen Ebene dar. Die Projektion auf die imaginäre Achse entspricht dem zeitlichen
Momentanwert. Die Projektion auf die reelle Achse ist bedeutungslos. Die Winkel zwischen den Zeigern
repräsentieren die Phasenlage zwischen den durch die Zeiger repräsentierten Signalen. In der praktischen Arbeit
mit Zeigerdiagrammen läßt man nicht die Zeiger mit t im Gegenuhrzeigersinn rotieren, sondern eine Zeitachse
im Uhrzeigersinn und hält dabei die Signalzeiger fest. Überdies interessieren ohnehin meist keine
Momentanwerte nur die Phasenlage zwischen den Zeigern. So erhält man ein feststehendes Zeigerdiagramm, das
anschaulich, die Phasenlage zwischen den Zeigern und die Signalgröße repräsentiert. Spannungs- Strom- und
Widerstandszeiger können durch Aneinandersetzen addiert werden.
Die passiven Elemente R,L,C werden in der komplexen Darstellung zu komplexen Abbildungsoperatoren, die
ihrerseits ebenfalls in der komplexen Ebene darstellbar sind.
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Nichtlinearität von passiven Bauelementen
Widerstände sind mit guter Näherung linear. Geringfügige Änderung des Widerstandswertes bei hohen
Temperaturen ist möglich. Kondensatoren sind ebenfalls recht gut linear. Drosseln hingegen gehen bei höheren
Spannungen in die Sättigung. Ihre Impedanz ist nicht konstant. Drosseln können nur außerhalb der Sättigung
annähernd als lineare Bauteil angesehen werden. Drosseln die in der Sättigung betrieben werden, müssen zur
Messung ihrer Kenngrößen mit der Spannung beaufschlagt werden, die auch am Einbauort vorhanden ist (heißt
sie müssen bei der Messung in demselben Arbeitspunkt betrieben werden, wie in der realen Einbausituation).
Resistanzen (ohmsche Widerstände )
Reale ‘ohmsche’ Widerstände besitzen stets auch eine Induktivität ( Zuleitungen, Drahtwickel ) und eine
Kapazität ( der Zuleitungen, des Widerstandsmaterials unter sich, zwischen den Windungen des Drahtwickels ).
Dh. Widerstände sind in der HF-Technik oft als Spulen mit parasitären Kapazitäten zu sehen. Spezielle
induktivitätsarme und kapazitätsarme Widerstände sind z.B. Massewiderstände. Sie verfügen über keinen
Drahtwickel und keine eingefräste Wendel.
Reaktanzen ( Spulen )
Genau betrachtet handelt sich bei Spulen also um allgemeine Impedanzen. Im in der Wechselstromtechnik oft
verwendeten vereinfachten Wechselstromersatzschaltbild beinhaltet R die in Rf des detaillierten
Ersatzschaltbildes enthaltenen Hysterse- und Wirbelstromverluste.
Gleichstromersatzschaltbild
Wechselstromersatzschaltbild
vereinfachtes
Gleichstrommaschine
RAnker
Rs
R
LAnker
R
L
Rf
C
L
Uinduziert
Z = R+jL
Die zugehörigen Zeigerdiagramme für die Ströme und Spannungen :
UL
I
U
t
Zeitachse
URs
U
UL
UR
U
t
t


IRs
I
IL
Ic
IRf
Die zugehörigen Widerstandsdiagramme :
Rs
ZL
Z
Z
jL

R

1/Rf
1/ZL
R
1/jL
jC
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Kapazitäten ( Kondensatoren )
vereinfachtes Ersatzschaltbild
Rs
R
C
oder
Z = Rs+1/jCs
Cs
Das vereinfachte Ersatzschaltbild vernachlässigt induktive Eigenschaften des Kondensators.
tan
I

Ic=UjC
IR=U/R
Y
U
jC

1/R
Z=1/Y
tan wird als Verlustfaktor bezeichnet. Der ohmsche Anteil des Kondensators rührt her vom endlichen
widerstand des Dielektrikums, dem Widerstand der Zuleitungsdrähte und ‘Kondensatorplatten’ und den
dielektrischen Verlusten des Kondensators.
Ob die Reihen- oder Parallelersatzschaltung gewählt wird ist unerheblich. Zu beachten ist natürlich, daß die
Werte von R,C und Rs,Cs differieren.
Für die messtechnische Bestimmung der Induktivität und des ohmschen Ersatzwiderstandes von Eisenspulen ist
es wichtig die Messung möglichst unter den Bedingungen ( dieselbe Größenordnung der Frequenz, dieselbe
Spannung mit Rücksicht auf die Sättigung ) vorzunehmen wie sie auch am Einbauort der Spule vorhanden sind.
Spulen sind, wenn sie in der Sättigung betreiben werden nichtlineare Bauteile.
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1.3 Wechselstrom- und Spannungsmessung
1.3.1 Nichtsinusförmige Wechselgrößen
Wechselsignale weisen oft eine vom Sinus abweichende Kurvenform auf. Solche Abweichungen von der
Sinusform können z.B. durch nichtlineare Bauteile wie einer Eisendrossel oder Schaltugnen (wie
Netzgleichrichter, AC-DC-Wandler) unerwünscht entstehen oder auch gezielt erzeugt werden (
Rechteckgenerator,.. ). Solche allgemeine, nur periodische Wechselsignale können immer aus einer Anzahl von
zu addierenden sinusförmigen Wechselsignalen zusammengesetzt werden, bzw. kann ein nichtsinusförmiges
periodisches Signal in sinusförmige Signalanteile aufgespaltet werden ( Fourieranalyse ).
Das bei dieser Zerlegung in sinusförmige Größen auftretende niedrigstfrequente Signal wird als Grundwelle und
die höherfrequenten Singale werden als Oberwellen bezeichnet. Die Frequenz der Oberwellen kann immer nur
eine ganzzahliges Vielfaches der Grundwelle betragen.
Entstehung eines nichtsinusförmigen
Zerlegung des Stromes in Grundwelle
Stromes an einer Eisendrossel
und Oberwellen
, U
Ue= Umsint)
, I
t
mit Hysterese:
I
Grundwelle
I
5. Oberwelle
t
3. Oberwelle
t
t
Jedes nichtsinusförmige periodische Signal kann also in eine Reihe von sinusförmigen Signalen, deren Frequenz
ganzzahlige Vielfache der Grundwelle sind, zerlegt werden. Eine zusätzliche Verzerrung des Stromes entsteht,
wenn die Fläche der Hystereseschleife nicht vernachlässigt wird.
Effektivwert und Leistung für nichtsinusförmige Ströme und Spannungen
sinusförmiges Signal
nichtsinusförmiges Signal
Beschreibung
I0.. Gleichglied
I2 = In2
n >= 0
2
2
I1.. Grundwelle
( = I0 + In
n>0 )
In.. Oberwellen n > 2
=∫i2dt
Wirkleistung
P = UIcos
P =  UnIncosn
Scheinleistung
S = UI
S = UI=(Un2In2)1/2
Blindleistung
Q = UIsin
Q =  UnInsinn
Verzerrungsblindleistung Qv = 0
Qv > 0
2
2
2
Leistungsdreieck
S =P +Q
Qv2 = S2 - P2 - Q2
Die Verzerrungsblindleistung entsteht aufgrund der von der Sinusform abweichenden Signalform z.B. bei
elektronischen Netzteilen, Frequenzumrichtern usw. entstehen stark oberwellenhaltige Netzströme, die eine
beträchtliche Netzbelastung durch die Verzerrungsblindleistung mit sich bringen (siehe Matlab-Skripts).
Abhilfe schaffen PowerFactorController ( PFC’s).
Effektivwert
I (=I1)
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Mittelwerte:
arith. Mittelwert i =1/T ∫i(t)dt
Gleichrichtwert |i|=I==1/T ∫|i(t)|dt
Quadratischer Mittelwert (Effektivwert) Ieff=I= [1/T ∫i(t)2dt]0.5 (= In2 )
Als Maß für die Abweichung von der Sinusform sind folgende Kenngrößen definiert :
Grundschwingungsgehalt
Oberschwingungsgehalt
Formfaktor
g
I1

I
I
k
f 
I1
 I n2
2
n
n 1
I
I
I

I
2
n
I
n0
es gilt : k 2  g 2  1
n0
I  : Gleichrich twert von i(t )
f = 1.11 für Sinusgrößen
Scheitelfaktor
g
Is
I
s = 2 für Sinusgrößen
Die Kenngrößen nicht nur wie oben angeführt für Ströme sondern genauso auch für Spannungen definiert und
andere Signalgrößen definiert.
%Programmbeispiel 'Entstehung der Verzerrungsblindleistung’ (siehe Matlab-Beispiele!)
%kopieren Sie es mit ‚ctrlC’ und ‚ctrlV’ in das Matlab-Commandofenster oder in ein ‚m-File’
dt=1e-4;te=20e-3;
t=[0:dt:te];
w=2*pi*50;
%die Spannung u sei sinusförmig
u=311*sin(w*t);
%der Strom i sei nicht sinusförmig
i=100*sin(w*t)+35*sin(3*w*t)+20*sin(5*w*t);
figure(1);plot(t,u,t,i);
%die Momentanleistung
p=u.*i;figure(2);plot(p);
%Effektivwerte von Strom und Spannung
% i*i' = i(t)^2
U=311/2^0.5;I=((i*i'*dt)/te)^0.5
%die Effektivwerte alternativ gerechnet: I=summe(Ii^2)
I2=((100/2^0.5)^2+(50/2^0.5)^2+(18/2^0.5)^2)^0.5
%Scheinleistung
S=U*I
%Wirkleistung = Mittelwert Momentanleistung
P=u*i'*dt/te
%alternative Berechnung der Wirkleistung: P=summe[Ui*Ii*cos(phi)]
P2=U*(100/2^0.5)*cos(0)+0+0
%Blindleistung Q=summe[Ui*Ii*sin(phi)]
Q=(311/2^0.5)*(100/2^0.5)*sin(0)+(35/2^0.5)*0*sin(0)+20*0*sin(0)
%Rest = Verzerrungsblindleistung aufgrund des nichtsin Stromes
Qv=(S^2-P^2-Q^2)^0.5
%Klirrfaktor von Strom und Spannung
ku=(0)/(U),ki=((35/2^0.5)^2+(20/2^0.5)^2)^0.5/(I)
%Grundwellengehalt von Strom und Spannung
gu=(311/2^0.5)/(U),gi=(100/2^0.5)/(I)
%Kontrolle g^2+k^2=1?
gu^2+ku^2
gi^2+ki^2
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1.3.2 Zur Messung von Wechselströmen und Wechselspannungen geeignete Messgeräte :
Es kommen die bekannten Messgeräte der Wechselstrommesstechnik zum Einsatz :
Dreheiseninstrumente, Shunts zur Umwandlung von Strömen in Spannungen, Drehspulinstrumente mit
Gleichrichter und Effektivwertkalibrierung, Digitalinstrumente mit elektronischem Präzisionsgleichrichter,
Stromwandler, Spannungswandler, Spannungsteiler, Spannungswandler, Oszilloskope, Vektorvoltmeter,....
Drehspulinstrumente
( mit Gleichrichter )
Dreheiseninstrument
Effektivwert
bei sinusförmigem Signal
= Anzeigewert
Effektivwert
bei nicht sinusförmigem Signal
nicht Messbar
Gleichrichtwert
bei sinusförmigem Signal
= Anzeigewert / 1.11
Gleichrichtwert bei nicht
sinusförmigem Signal
= Anzeigewert / 1.11
= Anzeigewert
= Anzeigewert
= Anzeigewert / 1.11
nicht messbar
Hitzedraht/Bimetallinstrument
Elektrostat. Messgerät
= Anzeigewert
= Anzeigewert
= Anzeigewert / 1.11
nicht messbar
= Anzeigewert
= Anzeigewert
= Anzeigewert / 1.11
nicht messbar
DigitalMessgerät
TRMS
Wandler, Strom- und
Spannungsteiler
Oszilloskope
= Anzeigewert
= Anzeigewert
event. ohne DC-Anteil
einsetzbar, wenn
Gleichanteil = 0
einsetzbar
= Anzeigewert / 1.11
teilweise
Messbar
(Geräteoption )
einsetzbar,
wenn
Gleichanteil = 0
einsetzbar
einsetzbar
einsetzbar
einsetzbar
einsetzbar
Zur Wirkleistungsmessung von sinusförmigen oder nicht sinusförmigen Wechselsignalen kann das
elektrodynamische Messgerät oder elektronische Leistungsmesser herangezogen werden.
Die Energiemessung (Integral der Leistung) erfolgt mit Stromzählern oder elektronischen Energiemessgeräten.
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2. Impedanzmessung
2.1 Strom- Spannungsmessung zur Bestimmung von R, Z, Xl, Xc, L, C, die Leistungen
a)
I
jL
R
U
Z = U/I Messung mit Wechselspannung;
R = U/I Messung mit Gleichspannung ( beinhaltet nur den ohmschen Spulenwiderstand,
Hysteresverluste und Wirbelstromverlsute vernachlässigt, nur für kleine Frequenzen! )
und die Leistungen:
Scheinleistung S=U*I* = P+jQ (S = U*I)
2
2
XL  Z  R
Blindleistung
Q = Im(S) = I2*XL
L = X/
Wirkleistung
P = Re(S) = I2*R
b)
I
U
R
1/jC
Z = U/I mit Wechselstrommessung;
R = U/I mit Gleichstrommessung ( dielektr. Verluste vernachlässigt,
nur für kleine Frequenzen )
XC 
1
1
1
 2
2
Z
R
C = 1/Xc)
tan= R/Xc
und die Leistungen:
Scheinleistung S=U*I* = R+jQ (S = U*I)
Blindleistung
Q = Im(S) = U2/Xc
Wirkleistung
P = Re(S) = U2/R
2.2 Strom/Spannung/Wirkleistungsmessung zur Bestimmung von R, Z, Xl, Xc, L, C, Leistungen
Misst man zusätzlich zu Strom und Spannung die Wirkleistung, kann die Gleichstrommessung für R entfallen.
Die Gleichstrommessung ist ungünstig weil sie die dielektrischen Verluste ( Kondensator ) und die
Wirbelstrom/Hystereseverluste ( Spule ) nicht berücksichtigen kann. Diesen Fehler umgeht man durch die
Messung der Wirkleistung ( elektrodyn. Messgerät ) oder durch Messung des Leistungsfaktors (elektrodyn.
Quotientenmesser ).
Spule :
Kondensator:
S  UI
cos( phi )  P / S
R  Z cos( phi )
X l  Z sin( phi )
S  UI
cos( phi)  P / S
R  Z cos( phi)
X C  Z sin( phi)
Q  S sin( phi )
Q  S sin( phi)
tan   tan( 90  phi)
Diese Rechnung gilt für das vereinfachte
Ersatzschaltbild. Mit der Methode Gleichstrom- und
zusätzlicher Wirkleistungsmessung ist es aber auch
möglich, die Werte eines vollständigeren
Ersatzschaltbildes der Induktivität zu gewinnen, das
die Trennung der Kupfer- und der Eisenverluste
erlaubt.
Die parasitären Kapazitäten können insbesondere
bei höheren Frequenzen nicht vernachlässigt
werden. Sie können bestimmt werden, indem
weitere Messungen, z.B. Resonanzmessungen
durchgeführt werden.
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2.3 Bestimmung des vollständigen Ersatzbildes mit Wobbeltechnik1
Wechselstromersatzschaltbild
Rs
L
R2
C
Die parasitären Kapazitäten können bei höheren Frequenzen nicht mehr vernachlässigt werden. Die parasitäre
Windungskapazität kann über eine Resonanzmessung bestimmt werden:
Bodediagramm des Ersatzbildes:
Z=Rs+1/[1/ R2 +1/sL +sC] = Rs +sL/[1 +sL/ R2 +s2CL] =
Rs +sL/[1 +2ξs/ωo +s2/ωo2]
mit ωo2=LC, ξ=(L/C)0.5/(2*R2)
Rs+ R2
3.
100
10
Rs
aufgrund des Skinneffektes
1.
2.
4.
1
log(w)
ωo=1/(LC)0.5
1/L
1. Gleichstrommessung: Rs = U/I Achtung: Skinneffekt (Rs(ω)) nicht berücksichtigt !
2. Bestimmung von L durch Anlegen der Tangente
3. R2 bestimmen über den Widerstand im Resonanzfall
4. ωo ablesen und über ωo=1/(LC)0.5 => C
Prinzipiell auf dieselbe Art kann die Bestimmung eines noch perfekten Wechselstromersatzschaltbildes für die
HF-Technik erfolgen:
Cw
Rf
Rs
Cm
1
L
Cm
Siehe Pspice-Beispiel, Achtung:Methode gilt für beliebig komplexe Ersatzschaltungen
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3.Impedanzmessung mit Wechselstrombrücken
Brücken werden meist im Abgleichverfahren ( Kompensationsverfahren ) betrieben. Selten im
Ausschlagverfahren. Im Abgleichverfahren sind besonders präzise Messungen möglich. Die
Versorgungspannungsamplitude ist im Abgleichverfahren unkritisch. Die Problematik der Nichtlinearität und
Frequenzabhängigkeit ist insbesondere bei der Messung von Induktivitäten nicht zu übersehen. So sollte die
Messsituation sowohl was die Höhe der Spannung an der zu messenden Induktivität als auch was die Frequenz
angeht möglichst mit der Einbausituation übereinstimmen.
3.1 Abgleichbedingung
Z1
U
Z3=ZX
IG
UG
Z2
Z4
Die Abgleichbedingung lautet UG = 0; IG = 0. Als Nullindikatoren werden empfindliche Galvanometer
verwendet. Dann gilt :
U * Z2
U * Z4

Z1  Z 2
Z4  Z x
Z1
Z
 x
Z2
Z4
Z1
Zx

e j (x 41 2 )
Z2
Z4
Die Brücke ist abgeglichen wenn :
1.
2.
Zx
Z1
. die Beträge abgeglichen sind und

Z2
Z4
 X   4   1   2 die Phase abgeglichen ist
Wechselstrombrücken müssen nach Betrag und Phase ( oder nach Realteil und Imaginärteil ) abgeglichen
werden. Sie verfügen entsprechend über 2 Einstellmöglichkeiten.
Beachten Sie neben den allgemeinen Bedingungen für Brückenschaltungen, dass die Phasenbedingung nicht für
beliebige R-L-C-Kombinationen erfüllbar ist.
3.2 Maxwell-Wienbrücke zur Messung von Induktivitäten2
Hierbei handelt es sich um eine von der Speisefrequenz unempfindliche Brücke. Dh. die Spannung UG ist
unabhängig von der Speisefrequenz. Die Speisefrequenz soll so gewählt werden, dass sie möglichst der
Einbausituation des Prüflings entspricht. Desgleichen soll die Spannung ( Gleich und Wechselanteil ) an Zx für
den Fall, dass in der Einbausituation die Sättigung erreicht wird, die Spannung an Zx auch der der
Einbausituation entsprechen.
Die Phase wird statt mit einer aufwendigen Stelldrossel im selben Zweig mit einem Stellkondensator im diagonal
gegenüberliegenden Zweig abgeglichen.
R1
U
Z3=Zx=Rx+jXl
IG
UG
C2
2
R2
R4
versuchen Sie eine Pspice-Simulation zu erstellen, prüfen Sie die Abgleichbarkeit und die Empfindlichkeit
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Z1 Z x

Z2 Z4
R1
1 /(
1
 jC 2 )
R2

R x  jL x
R4
R
L
R1
 jC 2 R1  x  j x
R2
R4
R4
Abgleich nach Betrag und Phase = Abgleich nach Re() und Im().
Rx 
R1 R4
R2
Abgleich
L x  R1 R4 C 2
mit
Abgleich
mit
R2
C2
Einfache Kapazitäts-Messgeräte gehen von der idealen Kapazität aus. Sie legen eine konstante
Wechselspannung an die Kapazität, messen den Strom und sind in Coloumb kalibriert. Sie zeigen direkt den
Kapazitätswert. Andere verwerten die Frequenzänderung eines Oszillators mit C als dem f-bestimmenden
Bauteil. Die Werte des vollständigen Ersatzschaltbildes liefern die Wienbrücke zur Messung von Kapazitäten :
3.3 andere Brücken: Wienbrücke zur Messung von Kapazitäten
C1
R1
U
Z3=Zx=Rx+jXl
Hierbei handelt es sich um eine
frequenzunempfindliche Brücke.
IG
UG
R2
R4
Z1 Z x

Z2 Z4
1
1
Rx 
j C x
j C 1

R2
R4
R1 
R
R1
1
1

 x 
R 2 j C 1 R 2 R 4 j C x R 4
Abgleich nach Betrag und Phase = Abgleich nach Re() und Im().
RR
Rx  1 4
Abgleich
mit
R1
R2
Cx 
R 2 C1
R4
Abgleich
mit
C1
Zur Messung von Elkos muss der Speisewechselspannung eine Gleichspannung überlagert werden.
Uac
C1
R1
Z3=Zx=Rx+jXl
Der Wechselspannungsanteil beträgt meist nur
einige Prozent der Gleichspannung.
IG
UG
Udc
R2
R4
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Haybrücke zur Messung von L
Hierbei handelt es sich um eine von der Speisefrequenz abhängige Bücke. Hier mit Gleich- und überlagerter
Wechselspannungsspeisung um die Einbausituation möglichst exakt nachbilden zu können und genau die Wert
L>>
R1
Udc
Uac
Z3=Zx=Rx+jXl
IG
C2
UG
R2
R4
3.4 Fremdfeldeinfluss
Rx 
R1 R 2 R 4
2
R2  ( 1
C 2 )
2
R1 R 4
Lx 
 2C2
2
R2  ( 1
 2C2
)2
Die Messung mit Messbrücken kann infolge induktiver und infolge kapazitiver Einstreuungen verfälscht werden.
Außerdem beeinflussen die parasitären Kapazitäten und induktiven Kopplungen zwischen den Impedanzen und
Zuleitungen der Brücke die Messung. Allgemein ist es sinnvoll die Messung mit kurzgeschlossenem Prüfling und
anschließend die eigentliche Messung durchzuführen und mit dem zuerst gewonnenen Ergebnis zu korrigieren.
Bei räumlich ausgedehnten Messbrücken ( zB. in der Hochspannungstechnik ) besteht die Gefahr, dass sich die
undefinierten parasitären Kopplungen und Impedanzen nach dem Kurzschliessen verändern und die Messung
verfälschen. Aber auch bei kompakt aufgebauten Messbrücken muss beachtet werden, dass die Zuleitungskabel
zum Prüfling gegenüber Einstreuungen gefährdet sind. Induktive Einstreuungen werden weitestgehend
verhindert, wenn die Hin- und Rückleitung zu jeder Impedanz der Brücke verdrillt oder wenigstens nahe
beieinander angebracht sind. Wir untersuchen nachfolgend die Wirkung der Abschirmung von Leitungen
gegenüber kapazitiven Einstreuungen. Abgeschirmte Leitungen sind zwar teuer haben aber gegenüber der
Verdrillung den Vorteil zusätzlich eine mechanischen Schutz darzustellen. Abschirmungen dürfen im
Allgemeinen nur einseitig geerdet werden! Industriell werden häufig Schirmung und Verdrillung,
Schirmung und paarweise Verdrillung und doppelte Schirmung eingesetzt.
Schirmung von Signalleitungen
C1
Ri
Uo
r
Uo ..Signalquelle
Us ..Störquelle
Cs
R,U
Us
Gut leitende, z.B. versilberte Schirme verhindern das Eindringen von hochfrequenten Feldern. Die Kapazität des
Schirmes zur Signalleitung C1 belastet aber die Signalquelle. Das kann verhindert werden indem der Schirm mit
einer elektronischen Schaltung ... dem Messsignal nachgeführt wird. Die Schirmkapazität wird unwirksam.
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Schirmung der Brückenschaltung
Hilfszweig
nach Wagner
Zx
Z2
Z3
Z4
Zx
Zx
.. parasitäre Kapazitäten
Durch die Schirmung werden die parasitären Kapazitäten in Hinblick auf das Messergebnis unwirksam oder
wenigstens definiert. Die Schirmkapazitäten der zweiten Schaltung eliminieren weitestgehend die kapazitiven
Kopplungen bzw. definieren sie und belasten nur die Signalquelle.
Der Wagnersche Hilfszweig verbessert weiters die Situation, indem die zusätzliche Abschirmung des
Galvanometers über den Schalter S und dem Wagnerschen Hilfszweig auf das Potential des Galvanometers
abgeglichen werden kann. Die Kapazität der Galvanometerschirmung schützt vor Einstreuungen, sie stört aber
gleichzeitig die Messung nicht, weil keine Potentialunterschiede vorhanden sind.
4. Leistungsmessung
4.1 Momentanleistung, Wirkleistung, Scheinleistung
u  U m cos(t )
i  I m cos(t   )
p (t )  ui  U m cos(t ) I m cos(t   )  U m I m cos 2 (t ) cos   U m I m cos(t ) sin( t ) cos 
1  cos( 2t )
sin( 2t )
cos( )  U m I m
sin(  ) 
2
2
 UI cos( )  UI cos( 2t ) cos( )  UI sin( 2t ) sin(  )
 UmIm
 P  P cos( 2t )  Q sin( 2t )
 UI cos( )  UI cos( 2t   )
oder :
 P  S cos( 2t   )
Die Momentanleistung = Wirkleistung + überlagert die mit zweifacher Kreisfrequenz schwingende
Scheinleistung.
Das Integral der Momentanleistung über eine Periode ( Mittelwert ) eliminiert die schwingende Komponente
und liefert die nur wirksame = Wirkleistung.
p (t ) 
1
T
1
1
 p(t )dt  T  uidt  T  (P  S cos( 2t   )) dt  P  UI cos( )
T
T
T
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Die Produktbildung eignet sich sehr gut zur Leistungsmessung :
P
1
T
T
 u * i * dt 
0
1 1
T Ru
T
í
u
p(t)
* i * dt
0
φ=90°:
φ=0°:
p(t)
P
u
u
i
i
t
φ=25°:
p(t)
P
u
i
t
Die Multiplikation und Mittelung ist genau
das was das elektrodynamische Messgerät
durchführt. Es zeigt also für Gleichstrom
und für Wechselstrom die Wirkleistung an.
Damit der Strom iu tatsächlich in Phase mit
der Spannung u ist, wird der induktive
Anteil
der
Drehspule
mit
einem
Vorwiderstand Rv unterdrückt.
Die Wirkleistung ergibt sich, durch
Multiplikation der Momentanwerte und
anschließende Mittelung.
Das elektrodynamische Messwerk führt
genau diese Operationen durch.
4.2 Elektrodynamische Wirkleistungsmesser
2r
B
F
iu
Kraft F(t) = B(t)*iu*l*n = k*i*iu = k*i*u/R
Moment M(t) = 2r*F(t) = 2rkiu/R
Das Gegenmoment wird von einer Feder
geliefert M = k* (  .. Zeigerausschlag ).
Die Mittelung erfolgt durch die Trägheit des Messwerks.
B
i
Überlastbarkeit im Strom- und im Spannungspfad ist meist 2fach ( statt 1.2fach für Drehspulinstrumente ).
I
U
Rv
Z
P=cw
cw .. Wattmeterkonstante = Un In cos(n)/max
Un,In, max, cos(n) für Vollausschlag des Wattmeters
Messbereichserweiterung im Spannungspfad mit Spannungswandlern oder Vorwiderständen, im Strompfad mit
Stromwandlern. Elektrodyn. Leistungsmesser sind im Spannungs- und im Strompfad bis 2fach überlastbar.
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4.3 Einphasiges System
4.3.1 Drei - Voltmeter - Methode
U2
R
U1
U1
U3
U3

Z
U2
Iz
U 12  U 22  U 32  2U 2 U 3 cos(180   )  U 22  U 32  2U 2 U 3 cos( )
U 12  U 22  U 32
cos( ) 
2U 2 U 3
S z  U 3U 2 / R
Pz  U 3 U 2 cos( ) / R
QZ  S Z2  PZ2
4.3.2 Drei - Amperemeter - Methode
Uz
IR

R
I
I
Iz
Z
I 2  I Z2  I R2  2 I Z I R cos(180   )  I Z2  I R2  2 I Z I R cos( )
cos( ) 
I  IZ  IR
2I Z I R
Sz  IZ IRR
Pz  I Z I R R cos( )
QZ  S Z2  PZ2
4.3.3 direkte Blindleistungsmessung
I
Ud
90°
Uz
Z
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Das elektrodyn. Messwerk misst : UIcos(arg(UI))=UIcos(90-)=UIsin()=Q
für R = 1/C
Das 90° Netzwerk :
U1 Ud
R
Uz
UR
U2
Ud
UC
C
U1
U2
Somit kann auch mit nicht idealen Bauteilen eine Phasendrehung von 90° erzeugt werden.
4.4 Leistungsmessung im Dreileiternetz
4.4.1 Wirkleistungsmessung bei symmetrischer Belastung, symmetrischem System
Pw
I2
P = 3Pw =cw*3
4.4.2 Wirkleistungsmessung bei unsym. Belastung und unsym. System ( 3 Wattmetermethode )
Dreileiternetz mit Neutralleiter, Sternpunkt nicht angeschlossen !
U
P = Pw1+ Pw2+ Pw3
p  i1 (u1  u )  i2 (u 2  u )  i3 (u 3  u )  i1u1  i2 u 2  i3u3  u (i1  i2  i3 );
mit
i1  i2  i3  0
p  i1u1  i2 u 2  i3u3
Die Verzerrung der Symmetrie des Netzes spielt keine Rolle.
4.4.3 Wirkleistungsmessung bei unsymmetrischer Belastung und unsymmetrischem System
ohne Nulleiter ( Aronschaltung )
p  i1u1  i2 u 2  i3u 3 ;
mit :
i1  i2  i3  0
p  i1 (u1  u 3 )  i2 (u 2  u 3 )  i1u13  i2 u 23u
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Die Wattmeter messen genau i1u13  i2 u 23 . d.h : P = P = cw1*1+ cw2*2
Wenn negative Wattmeterausschläge auftreten, muss der Spannungspfad
Wattmeterausschläge sind dann zu subtrahieren.
L1
umgepolt
werden.
Die

Für sym. Belastung, sym. System gilt :

L3
L2
P  I U v cos(30   )  I U v cos(30   )  IU v 2 cos 30 cos   3IU P cos 
werden hingegen die Wattmeterausschläge subtrahiert erhält man die Blindleistung ! :
Q  I U v cos(30   )  I U v cos(30   )  IU v 2 sin 30 sin   3IU P sin 
4.4.4 Blindleistungsmessung bei symmetrischer Belastung und symmetrischem System
Q= P 3
I3
4.4.5 Blindleistungsmessung bei unsymmetrischer Belastung und symmetrischem System
mit Nulleiter oder unsymmetrischem System ohne Nulleiter.
Q= (c*+ c*+ c*) /
3
Die Verzerrung des Systems spielt keine Rolle (
siehe 3 Wattmetermethode zur Wirkleistungsmessung )
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5. Strom- und Spannungswandler
Grundgleichungen des magnetischen ( und elektrischen und des Strömungs-) Feldes
magnetisches
Feld
elektrostatisches
Feld
=IN
Hl==IN
Hl=
B=H=orH
=AB
Rm =/
Rm=l/A
=1/Rm=/
=A/l
Wm=2/2=
BH2/2=
Durchflutung
mg. Feldstärke
Durchflutungssatz
mg Felddichte
mg. Fluss
mg. ohms. Gesetz
mg. Widerstand
mg. Leitwert
mg Ohms. Gesetz
mg. Energie
elektrisches
Strömungsfeld
el. Feldstärke
Spannung
Verschiebungsdichte
el. Verschiebung
El=U
El=U
D=E=orE
=DA=Q
Kapazität
‘kap. Ohms. Gesetz’
Energie
C=/U=Q/U
= A/l
Wel=CU2/2=
DE2/2=QU
Feldstärke
Spannung
Stromdichte
Strom
ohmsche Gesetz
Widerstand
Leitwert
ohms. Gesetz
Energie
El=U
El=U
S=E
I=SA
R=U/I
R=l/A
=I/U=1/R
=A/l
W=U2/2=
UI
5.1 Der Transformator
Strom- und Spannungswandler sind spezielle Transformatoren. Sie werden in der Wechselstrom-Messtechnik
eingesetzt, wenn eine oder beide der folgenden Eigenschaften erwünscht sind :
1. Galvanische Trennung nötig ( zB Isolationsspannung erhöhen, Erdschleifen vermeiden)
2. Messbereichsanpassung (Hochspannung, Messung großer Ströme)
Wandler sind nicht nur den Messgeräten vorgeschaltet sondern auch den sogenannten Schutzrelais. Schutzrelais
dienen der Überwachung der Netze, Generatoren und Trafos (z.B. Phasenausfall, Erdschluss, .. ) und sind ein
wichtiger Bestandteil der Energiemesstechnik. In der Energietechnik ermöglicht der Trafo die Übertragung von
elektrischer Energie über weite Strecken.
Prinzipieller Trafo - Aufbau
I1
U1
U2
s
N1

N2
Trafo im Leerlauf
Beim idealen Trafo ist des Spulenwiderstand = 0, der Streufluss s=0.
Das Induktionsgesetz besagt, dass die induzierte Spannung gleich der Flussänderung ist :
U = -N1d/dt
d.h. es baut sich ein Feld auf, dessen Größe gerade so ist, dass die induzierte Gegenspannung gleich groß ist der
angelegten Spannung : U1 = -N1d/dt.
Dennoch fließt ein Strom, der Magnetisierungsstrom, weil die induzierte Spannung tatsächlich etwas kleiner als
U1 ist und der ohmsche Widerstand beim realen Trafo  0. Der Magnetisierungsstrom baut genau das nötige
Feld auf, sodass U1= -N1d/dt :
 = I1N1A/l
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Dieser Fluss erzeugt auch in der Sekundärwicklung des Trafos eine Spannung:
U2= -N2d/dt
weil beide Spannungen durch dieselbe Flussänderung erzeugt werden, gilt :
-d/dt = U2/N2 = U1/N1 oder
U1/U2 = N1/N2 = ü ( Übersetzungsverhältnis )
Der belastete Trafo
Treibt U2 über eine Last Z2 einen Strom I2, so erzeugt dieser ein Feld I2N2A/l das dem ursprünglichen Feld
der Primärspule entgegenwirkt. Dadurch wird die in der Primärspule induzierte Spannung verkleinert. Die
angelegte Spannung hingegen bleibt konstant, sodass am ohmschen Widerstand der Primärwicklung eine höhere
Spannung abfällt, die einen größeren Primärstrom bewirkt, der wiederum nahezu das ursprüngliche Feld 
erzeugt, und die durch I2 verursachte Abschwächung des Feldes kompensiert.
Es gilt also :
 = I2N2A/l = I1N1A/l
I2N2 = I1N1
Unter der Annahme dass beim idealen Trafo der Belastungsstrom sehr viel größer ist als der
Magnetisierungsstrom, gilt :
I2N2 = I1N1
I2/I1 = N1/N2 = ü
Der reale Trafo
Der ideale Trafo ( R<<, Imag<<, Eisenverluste<, Wirbelstromverluste< ) beschreibt mit guter Näherung große
Transformatoren. Dennoch wird bei großen Leistungstransformatoren auch mit dem realen Trafo und dem
vollständigen Ersatzschaltbild gerechnet, um genaue Kenntnis über die Verluste zu erlangen. Bei
Kleinsttransformatoren ( Kleinnetzteile,.. ) dürfen insbesondere der Magnetisierungsstrom und die ohmschen
Widerstände nicht vernachlässigt werden. Sie werden auch in keiner Weise wirkungsgradoptimiert sondern
kostenoptimiert, d.h. es wird Eisen- und Kupfer gespart.
Der Magnetisierungsstrom > 0 und hat einen ohmschen Anteil zur Deckung der Wirbelstrom- und
Hystereseverluste. Die ohmschen Spulenwiderstände >0. Der Fluss durchdringt nicht beide Spulen vollständig,
sondern es besteht ein Streufluss.
Es ergibt sich folgendes Trafoersatzschaltbild
I1
U1
R1, R2
X1, X2
Xf
Rf
R1
X1
N1
Xf
N2
X2
R2
I2
Rf
U2
ideale Trafo
ohmsche Widerstände
Spulenreaktanzen infolge der Streuflüsse
Reaktanz infolge des Magnetisierungsstromes
ohmscher Widerstand repräsentiert die Wirbel/Hystereseverluste
Zur einfacheren Rechnung werden die sekundärseitigen Reaktanzen/Widerstände auf die Primärseite
umgerechnet :
U2’ = U2ü
I2’ = I2/ü
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I1
R1
X2’
X1
U1
Xf
R2’ I2’
Umrechnung von Impedanzen
von der Sekundärseite auf die
Primärseite :
Sei Z2 eine die Sekundärseite
belastende Impedanz
Z2 = U2/I2
mit U1 = U2ü und mit I1 = I2/ü
Z2 = U2/I2 = U1/I1ü2
d.h.: R2’ = R2/ü2; X2’ = X2/ü2
I2
Rf
U2
Uf
U2’
N1
N2
ideale Trafo
U1
I1X1
I1R1
Uf
I2’X2’
I2’R2’
Zeigerdiagramm des realen Trafos
I2’
I1
U2’
Io
Ix
If
5.2 Spannungs- und Stromwandler
L
N
U
u
K
k
Uv
V
v
Ia
I
I = I aü
U = Uvü
Trafo im Leerlauf, sodass I1 ebenfalls  0.
Der Spannungswandler darf nicht belastet
werden, weil die Spulen dünnen Drahtes
durchbrennen würden.
i
Trafo im Kurzschluss, damit wird U1 ebenfalls  0 und
ф10. Der Stromwandler darf nicht offen betrieben
werden, weil sonst die Spannung an Rf steigen würde und
Die Eisenverluste den Trafo zerstören würden( bzw
ф>0..). Deshalb können sekundäre Sicherungen den
Stromwandler nicht schützen. Zu beachten ist, dass die
Übersetzung beim Stromwandler reziprok definiert ist.
Der maximal zulässige Widerstand des Amperemeters
wird als Bürde bezeichnet. Die Fehlergrenzen gelten nur
für Lastwiderstände die  Bürde.
Die Nennsekundärströme betragen 5A oder 1A (Stromwandler ). Die Nennsekundärspannungen betragen 100V (
Spannungswandler ).
Angaben bei Wandlern :
- Klasse : 0.1 bis 5%
- Isolationsspannung
- Nennstrom(spannung)
- Übersetzung
- Typ ( Ölwa., Ringkernw.,.. )
- Bürde : Impedanz der sekundärseitigen Last also des Messgerätes
- Überlastbarkeit ( normal 1.2 bei Nennbürde )
- Fehlwinkel ( U1-U2, bzw. I2-I1 nicht exakt in Phase ).
- Überstromzahl ( bei Stromwandlern ) : gibt jenes Vielfache des
Primärstromes an, bei dem der Stromfehler -10% erreicht
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