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© Woditsch 02/2007
1 -
Markt und Preis: E K G - Analyse
In diesem Skript soll versucht werden, Antworten auf folgende Fragen zu
finden:
1.) Bei welcher Ausbringungs=Verkaufsmenge und welchem
Verkaufspreis wird der maximale Gewinn erzielt?
2.) Wo liegen die Gewinnschwellen?
3.) Wie hoch ist der Maximalgewinn?
Dabei soll die Lösung jeweils rechnerisch, graphisch und in Tabellenform
erfolgen.
1. Differenzierung:
Polypol:
(= vollst. Konkurrenz) der Preis wird als Datum, als nicht
sinnvoll veränderbar angenommen. Der Polypolist verhalte sich als
reiner Mengenanpasser.
Oligopol: Für diese Marktform ist eine eindeutige Beantwortung obiger
Fragestellungen nicht möglich, da Preiswettbewerb denkbar ist.
Monopol:
Preis und Verkaufsmenge sind wechselseitig abhängig, was durch
die Nachfragekurve verdeutlicht wird. Diese gibt dem Monopolisten
an, zu welchem Preis er welche Menge verkaufen kann, stellt für
ihn also eine "Preis-Absatz-Funktion" dar.
2. Differenzierung:
Es wird unterschieden zwischen 2 möglichen Kostenfunktionen: entweder
Linear vom Typ y = a + bx oder quadratisch vom Typ y = a + bx + cx² .
Fazit:
Demnach gibt es also 4 verschiedene Möglichkeiten:
Marktform
Polypol
Monopol
Linear
Typ 1
Typ 3
Nicht-linear
Typ 2
Typ 4
Kostenfunktion
- 2 Verwendete Fachbegriffe:
Achtung: große Buchstaben = Gesamt und kleine Buchstaben = pro Stück !
x
= Herstellungs- = Verkaufsmenge
k
= Gesamtkosten pro Stück
= K / x
kf
= Fixkosten pro Stück
= Kf / x
kv
= variable Kosten pro Stück
= Kv / x
demnach gilt: k = kf + kv
K
= gesamte Kosten
= k * x
Kf
= gesamte Fixkosten
= kf * x
Kv
= gesamte variable Kosten
= kv * x
Demnach gilt: K = Kf + Kv
K = Kf + kv * x
P
= Verkaufspreis
E
= p * x = Erlös = Umsatz
G
= E – K = Gewinn
G
= p * x - ( Kf + kv * x ) ( Achtung: Klammern nicht vergessen! )
K´ = Grenzkosten = zusätzliche Kosten wenn 1 Stück mehr produziert wird
E´ = Grenzerlös = zusätzlicher Erlös wenn 1 Stück mehr verkauft wird
G´ = zusätzlicher Gewinn wenn 1 Stück mehr hergestellt und verkauft wird
- 3 -
Zu Typ 1: Polypol + lineare Kostenfunktion
Ein Unternehmen habe die folgende Kostenfunktion: K = 30 + 0,5 x.
Das Unternehmen habe nur unbedeutende Marktanteile und muß sich bei deiner
Preisfestlegung am Marktpreis ausrichten: p = 2 €.
- Welche Menge soll das Unternehmen anbieten, wenn es seinen Gewinn
maximieren will?
- Wo liegt der break-even-point?
- Welche Menge soll das Unternehmen anbieten, wenn die Kapazitätsgrenze bei
50 Stück liegt?
Rechnerische Lösung:
a) Berechnung des break-even-points:
Der break-even-point (auch BSP = Bauchschmerzpunkt )kennzeichnet die
Menge, ab der die Unternehmung Gewinne verzeichnet. Er liegt also dort,
wo E = K, der Gewinn also = ist:
2 x = 30 + 0,5 x  x = 20
b) Berechnung der Gewinnmaximalen Menge:
Da beide Funktionen (E und K) linear verlaufen, steigt der Gewinn mit
steigender Menge. Es sollte also die maximal mögliche Menge angeboten
werden: xg = 50 !
c)
Berechnung des Maximalgewinns:
Der Maximalgewinn liegt ja bei xg = 50 
G = E - K = 2 * 50 - ( 30 + 0,5 * 50 )  Gmax = 45
Graphische Lösung:
E
E,K,G
90 .
80 .
70 .
G
60 .
K
50 .
G
40 .
.
30 .
V
20 .
10 .
x
0
.
10
.
20
.
30
.
40
.
50
.
60
- 4 Tabellarische Lösung:
A
Preis
Kf
B
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
E
C
2 Kapazität
30 kv
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
16,00
18,00
20,00
22,00
24,00
26,00
28,00
30,00
32,00
34,00
36,00
38,00
40,00
42,00
44,00
46,00
48,00
50,00
52,00
54,00
56,00
58,00
60,00
62,00
64,00
66,00
68,00
70,00
72,00
74,00
76,00
78,00
80,00
82,00
84,00
86,00
88,00
90,00
92,00
94,00
96,00
98,00
100,00
D
E
K
30,00
30,50
31,00
31,50
32,00
32,50
33,00
33,50
34,00
34,50
35,00
35,50
36,00
36,50
37,00
37,50
38,00
38,50
39,00
39,50
40,00
40,50
41,00
41,50
42,00
42,50
43,00
43,50
44,00
44,50
45,00
45,50
46,00
46,50
47,00
47,50
48,00
48,50
49,00
49,50
50,00
50,50
51,00
51,50
52,00
52,50
53,00
53,50
54,00
54,50
55,00
k
30,50
15,50
10,50
8,00
6,50
5,50
4,79
4,25
3,83
3,50
3,23
3,00
2,81
2,64
2,50
2,38
2,26
2,17
2,08
2,00
1,93
1,86
1,80
1,75
1,70
1,65
1,61
1,57
1,53
1,50
1,47
1,44
1,41
1,38
1,36
1,33
1,31
1,29
1,27
1,25
1,23
1,21
1,20
1,18
1,17
1,15
1,14
1,13
1,11
1,10
EXCEL
F
50
0,5
G
-30,00
-28,50
-27,00
-25,50
-24,00
-22,50
-21,00
-19,50
-18,00
-16,50
-15,00
-13,50
-12,00
-10,50
-9,00
-7,50
-6,00
-4,50
-3,00
-1,50
0,00
1,50
3,00
4,50
6,00
7,50
9,00
10,50
12,00
13,50
15,00
16,50
18,00
19,50
21,00
22,50
24,00
25,50
27,00
28,50
30,00
31,50
33,00
34,50
36,00
37,50
39,00
40,50
42,00
43,50
45,00
g
-28,50
-13,50
-8,50
-6,00
-4,50
-3,50
-2,79
-2,25
-1,83
-1,50
-1,23
-1,00
-0,81
-0,64
-0,50
-0,38
-0,26
-0,17
-0,08
0,00
0,07
0,14
0,20
0,25
0,30
0,35
0,39
0,43
0,47
0,50
0,53
0,56
0,59
0,62
0,64
0,67
0,69
0,71
0,73
0,75
0,77
0,79
0,80
0,82
0,83
0,85
0,86
0,88
0,89
0,90
1
2
3
4
5
6
7
8
A7 = A6 + 1
B5 = $B$1*A5
C5 =$B$2+$D$2*A5
E5 = B5-C5
- 5 -
Zu Typ 2: Polypol + nichtlineare Kostenfunktion
Ein Unternehmen habe die folgende Kostenfunktion: K = 100 + 2,5 x². Bei der
Festlegung des Verkaufspreises hat sie sich nach dem Marktführer gerichtet:
P = 40 €.
Rechnerische Lösung
a) Berechnung der gewinnmaximalen Menge:
Mit jedem Stück, das die Unternehmung mehr verkauft, erhält sie einen
Mehrerlös, den Grenzerlös. Sie hat aber auch Mehrkosten, die
Grenzkosten. Solange der jeweilige Mehrerlös größer ist als die
Mehrkosten, lohnt sich die Mehrproduktion, weil der Gesamtgewinn ja
steigt. Erst wenn bei weiter steigender Produktionsmenge umgekehrt
Grenzkosten > Grenzerlös ist, würde der Gesamtgewinn wieder sinken.
Gesucht wird demnach die Menge x, bei der Grenzerlös (E´)= Grenzkosten
(K´) sind.
Anders formuliert: Gesucht wird das Maximum der Gewinnfunktion !
G = E - K

G´= E´- K´
Da eine Funktion dort ihr Maximum erreicht, wo ihre erste Ableitung = 0
ist  G´= 0  0 = E´- K´  E´= K´
E = p * x = 40 x  E´= 40
K = 100 + 2,5 x²  K´= 5x
E´= K´ 40 = 5x  xg = 8
b) Berechnung des Maximalgewinns:
Der ermittelte Wert für xg wird in die Gewinnformel eingesetzt:
G = E - K  G = 40 * 8 - ( 100 + 2,5 * 8² )  Gmax = 60
c) Berechnung der Gewinnschwellen:
Da K eine nichtlineare Funktion ist, gibt es nicht nur einen break-evenPunkt sondern 2 Gewinnschwellen (siehe Graphik): diese liegen dort, wo
G = 0  G = E - K  0 = E - K  E = K
40 x = 100 + 2,5 x²  16x = 40 + x²  x² - 16x + 40 = 0
Nach der pq-Formel folgt:
________
__
X1,2 = 8 +/- √ 64 - 40 = 8 +/- √24 = 8 +/- 4,9
X1 = 3,1 und x2 = 12,9
-
6 -
Graphische Lösung:
E
K
G
800 .
K
E
700 .
V
600 .
500 .
400 .
300 .
G
200 .
100 .
Kf
V
0
.
1
Kf
.
3
.
4
.
5
.
6
.
7
.
8
xg
G
-100 .
.
2
.
9
.
10
.
11
.
12
.
13
.
14
.
15
.
16 x
- 7 Tabellarische Lösung:
A
Preis
Kf
kv
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
B
C
D
E
F
G
E
0,00
40,00
80,00
120,00
160,00
200,00
240,00
280,00
320,00
360,00
400,00
440,00
480,00
520,00
560,00
600,00
640,00
680,00
720,00
760,00
800,00
E´
K
100,00
40,00
102,50
40,00
110,00
40,00
122,50
40,00
140,00
40,00
162,50
40,00
190,00
40,00
222,50
40,00
260,00
40,00
302,50
40,00
350,00
40,00
402,50
40,00
460,00
40,00
522,50
40,00
590,00
40,00
662,50
40,00
740,00
40,00
822,50
40,00
910,00
40,00 1.002,50
40,00 1.100,00
K´
2,50
7,50
12,50
17,50
22,50
27,50
32,50
37,50
42,50
47,50
52,50
57,50
62,50
67,50
72,50
77,50
82,50
87,50
92,50
97,50
k
102,50
55,00
40,83
35,00
32,50
31,67
31,79
32,50
33,61
35,00
36,59
38,33
40,19
42,14
44,17
46,25
48,38
50,56
52,76
55,00
G
-100,00
-62,50
-30,00
-2,50
20,00
37,50
50,00
57,50
60,00
57,50
50,00
37,50
20,00
-2,50
-30,00
-62,50
-100,00
-142,50
-190,00
-242,50
-300,00
EXCEL
H
40
100
2,5
g
-62,50
-15,00
-0,83
5,00
7,50
8,33
8,21
7,50
6,39
5,00
3,41
1,67
-0,19
-2,14
-4,17
-6,25
-8,38
-10,56
-12,76
-15,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A7 = A6+1
B6 = $B$1*A6
C7 = B7-B6
D6 = $B$2+$B$3*A6*A6
E7 = D7-D6
F7 = D7/A7
G6 = B6-D6
H7 = G7/A7
- 8 -
Zu Typ 3: Monopol + lineare Kostenfunktion
Die Preis-Absatz-Funktion laute für einen Monopolisten p = 10 - x.
Die fixen Kosten schätzt er auf Kf = 5 und die variablen Stückkosten
auf kv = 4.
Rechnerische Lösung
a) Berechnung der gewinnmaximalen Menge:
xg wird nach der schon abgeleiteten Formel E´= K´ ermittelt:

E = p * x = ( 10 - x ) * x = 10 x - x²
K = Kf + kv * x
=
5 + 4x

E´= 10 - 2x
K´= 4
E´= K´  10 - 2x = 4  xg = 3
Berechnung des gewinnmaximalen Preises:
xg = 3 wird nun in die Preis-Absatz-Funktion eingesetzt:
p = 10 - x  p = 10 - 3  pg = 7
b) Berechnung des Maximalgewinns:
G = E - K  G = 3 * 7 - ( 5 + 4 * 3 )
= 21 - 17  Gmax = 4
c) Die Gewinnschwellen werden mit der E = K
10x - x² = 5 + 4x
x² - 6x + 5 = 0
______
x1,2 = 3 +/- √ 9 - 5
__
= 3 +/- √ 4
= 3 +/- 2  x1 = 1 und x2 = 5
ermittelt:
- 9 Graphische Lösung:
E, K, G
30 .
Totaldiagramm:
25 .
K
20 .
15 .
10 .
5 .
G
0
.
1
.
2
.
3
E
.
4
.
5
.
6
.
7
.
8
.
9
.
10
x
p, E´, K´
10 .
9 .
Partialdiagramm:
8 .
7 .
Courtnot´scher Punkt
6 .
5 .
4 .
K´
3 .
2 .
1 .
0
E´
.
1
.
2
.
3
.
4
p
.
5
.
6
.
7
.
8
.
9
.
10
x
- 10 Tabellarische Lösung:
Preis
Kf
kv
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10-x
5
4
10
E
0,00
9,00
16,00
21,00
24,00
25,00
24,00
21,00
16,00
9,00
0,00
E´
0,00
9,00
7,00
5,00
3,00
1,00
-1,00
-3,00
-5,00
-7,00
-9,00
K
5,00
9,00
13,00
17,00
21,00
25,00
29,00
33,00
37,00
41,00
45,00
K´
9,00
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
k
9,00
6,50
5,67
5,25
5,00
4,83
4,71
4,63
4,56
4,50
G
-5,00
0,00
3,00
4,00
3,00
0,00
-5,00
-12,00
-21,00
-32,00
-45,00
g
0,00
1,50
1,33
0,75
0,00
-0,83
-1,71
-2,63
-3,56
-4,50
p
10
9,3
8,6
7,9
7,2
6,5
5,8
5,1
4,4
3,7
3
- 11 -
Zu Typ 4: Monopol + nichtlineare Kostenfunktion
Die Preis-Absatz-Funktion eines Monopolisten laute p = 21 - x.
Die fixen Ges<mtkosten betragen 30 € und die variablen Gesamtkosten
Kv = x + ¼ x².
Rechnerische Lösung:
a) Berechnung der gewinnmaximalen Menge
Nach E´= K´ folgt:
E = p * x = (21 - x ) * x
= 21x - x²
K = Kf + Kv = 30 + x + ¼ x²
E´= K´ 
21 - 2x = 1 + ½ x
 E´ = 21 - 2x
 K´= 1 + ½ x

xg = 8
b) Berechnung des gewinnmaximalen Preises:
xg = 8
eingesetzt in die Preis-Absatz-Funktion ergibt:
p = 21 - xg

p = 21 - 8

pg = 13
c) Berechnung des Maximalgewinns:
xg und pg eingesetzt in die G-Formel ergibt:
G = 13 * 8 - ( 30 + 8 + ¼ * 8² ) 
Gmax = 50
d) Ermittlung der Gewinnschwellen:
Die Ermittlung erfolgt wieder mithilfe der Gleichung E = K:
( 21 - x ) * x = 30 + x + ¼ x² / *4
84 x - 4 x² = 120 = 0
5x² - 80x + 120 = 0 /:5
x² - 16 x + 24 = 0
________
x1/2 = 8 +/- √ 64 - 24
___
= 8 +/- √ 40
= 8 +/- 6,4
 x1 = 1,6 und x2 = 14,4
Graphische Lösung:
140
. E, K, G
130
.
120
.
110
.
100
.
90
.
80
.
70
.
60
.
50
.
40
.
30
.
20
.
10
.
- 12-
K
E
0
G
.
1
.
2
.
3
.
4
.
5
.
6
.
7
.
8
.
9
. .
10
. .
12
. .
14
. .
16
. .
18
. .
20
.
22 x-
. .
20
.
22 x
-30
E´, K´, p
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Partialdiagramm:
Courtnot´scher Punkt
K´
p
E´
.
1
.
2
.
3
.
4
.
5
.
6
.
7
.
8
.
9
. .
10
. .
12
. .
14
. .
16
. .
18
- 13 -
Tabellarische Lösung:
Preis 21-x
30
Kf
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
E
0,00
20,00
38,00
54,00
68,00
80,00
90,00
98,00
104,00
108,00
110,00
110,00
108,00
104,00
98,00
90,00
80,00
68,00
54,00
38,00
20,00
0,00
-22,00
21
Kv = x +
1/4 x*x
E´
0,00
20,00
18,00
16,00
14,00
12,00
10,00
8,00
6,00
4,00
2,00
0,00
-2,00
-4,00
-6,00
-8,00
-10,00
-12,00
-14,00
-16,00
-18,00
-20,00
-22,00
K
30,00
31,25
33,00
35,25
38,00
41,25
45,00
49,25
54,00
59,25
65,00
71,25
78,00
85,25
93,00
101,25
110,00
119,25
129,00
139,25
150,00
161,25
173,00
K´
2,13
1,25
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
5,75
6,25
6,75
7,25
7,75
8,25
8,75
9,25
9,75
10,25
10,75
11,25
11,75
k
31,25
16,50
11,75
9,50
8,25
7,50
7,04
6,75
6,58
6,50
6,48
6,50
6,56
6,64
6,75
6,88
7,01
7,17
7,33
7,50
7,68
7,86
G
-30,00
-11,25
5,00
18,75
30,00
38,75
45,00
48,75
50,00
48,75
45,00
38,75
30,00
18,75
5,00
-11,25
-30,00
-51,25
-75,00
-101,25
-130,00
-161,25
-195,00
g
-11,25
2,50
6,25
7,50
7,75
7,50
6,96
6,25
5,42
4,50
3,52
2,50
1,44
0,36
-0,75
-1,88
-3,01
-4,17
-5,33
-6,50
-7,68
-8,86
p
26
20,4
19,8
19,2
18,6
18
17,4
16,8
16,2
15,6
15
14,4
13,8
13,2
12,6
12
11,4
10,8
10,2
9,6
9
8,4
7,8