optimale konstruktion eines fadengebergetriebes

Gruppe 3
Optimale Konstruktion eines Fadengebergetriebes
Problem:
Damit eine Nähmaschine einwandfrei funktioniert, müssen viele Vorgänge miteinander
koordiniert werden. Unter diesem Aspekt ist es auch wichtig, die Bewegung des Fadengebers
und der damit verbundenen Teile in Einklang zu bringen. Dies wird um so schwerer, wenn die
Drehzahl der Maschine erhöht wird, um z. B. die Produktivität zu steigern. So wird empirisch
ein Zusammenhang zwischen Drehwinkel der Motorwelle und Stellung des Fadengebers
ermittelt, welcher unserer Gruppe zur Verfügung gestellt wurde. Unter diesen
Voraussetzungen soll nun dieser Zusammenhang so präzise wie möglich erreicht werden, den
man durch eine Funktion dargestellt werden kann.
Wenn die Nadel im Stoff eingedrungen ist, und sich unterhalb des Stoffes befindet, muss sie
für einen Moment, und somit auch der Fadengeber, fast zum Ruhestand kommen. Nur so ist
es möglich, dass der Faden der Spule mit dem Oberfaden verknüpft wird. Dieser Augenblick
wird in der Funktion durch ein Plateau gekennzeichnet. Danach dringt die Nadel noch tiefer in
den Stoff ein und die Funktion erreicht ihr Maximum (Ausschlag von ca.70°). Dann gehen die
Nadel und der Fadengeber mit einer schnellen Bewegung nach oben und die Funktion sinkt
wieder ab.
Um überhaupt solch einen Aufschlag des Fadengebers zu erreichen, braucht es ein
Gelenksechseck, wie es in der Abbildung weiter unten ersichtlich ist.
Diese Bewegungen der Nadel und des Fadengebers sind besonders wichtig, da ansonsten der
Faden bei einer großen Anzahl von Drehungen der Motorwelle pro Minute reißen würde.
Problemlösung:
Um eine Lösung zu finden, haben wir die Skizze des Gelenksechsecks aufbereitet.
Wir benennen alle Punkte, Linien und Winkel.
Ausgehend von diesem Schritt kann man dann einige Fragen stellen, welche zur Lösung
beitragen sollen:
 Welche Längen, Winkel müssen von uns angegeben werden?
 Welches Verfahren benutzen wir, um die Punkte zu bestimmen?
 Sind alle Bewegungen der Punkte von der Drehung des Winkels  abhängig?
 Wie können wir eine Funktion berechnen, die der Angegebenen möglichst genau
entspricht?
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Gruppe 3










Mit Hilfe des kartesischen Koordinatensystem versuchen wir, die Punkte zu bestimmen. Da es
dabei zu großem Rechenaufwand kommt, entscheiden wir uns, die Punkte mit
Polarkoordinaten zu definieren. Dazu benötigen wir alle Winkel des Gelenks. Danach wollen
wir unsere Funktion mit der Abgebildeten vergleichen und sie bestmöglich anzupassen.
Dabei müssen wir aber folgende Bedingungen beachten:
 30°    150°
damit die Gelenke keinen zu hohen Verschleiß aufweisen
 30°    150°
und keine zu hohe Kraft auf die Punkte wirkt
 x12  x23  x01  x03
damit die Konstruktion des Vierecks gewährleistet ist

x45  x56  x34  x36

x24  x23  x34
Es gibt zwei Möglichkeiten, wie man sich das Gelenksviereck vorstellen
kann:
1.
Kurbelschwinge:
Wenn
der
Radius der Übertragungswelle die
kleinste Länge im gesamten
Viereck ist. Der Punkt 2 macht
nicht eine ganze Umdrehung
sondern schwankt nur hin und
her.
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Gruppe 3

2. Doppelkurbel: Der Radius
der Übertragungswelle ist
länger als die Linie x03 und
somit macht der Punkt 2 auch
die gesamte Umdrehung wie
der Winkel  (360°).






1. Schritt


Um das Problem zu vereinfachen, wird das Gelenksechseck in zwei Vierecke und einen
Dreieck geteilt.
Wir beginnen mit dem ersten Viereck und entscheiden uns, den Winkel  und die Linien
x01 , x03 , x12 und x23 frei zu wählen.
Zur Berechnung der Winkel teilen wir das Viereck so in zwei Dreiecke, damit die Diagonale
x13 eine gemeinsame Seite der beiden Dreiecke ist.






Mit dem Kosinussatz berechnen wir nun den Winkel .
Berechnung des Winkels  (CHI):
x13  x01  x03  2 x01 x03 cos
2
2
x13  x12  x23  2 x12 x23 cos 
2
2
2
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Gruppe 3
x
  arccos 
2
12

 x23  x13
2 x12 x23
2
2



Berechnung des Winkels  (BETA), wenn beide Gelenke Kurbelschwingen sind:
Da wir das Viereck in zwei Dreiecke aufteilten, kann man den Winkel  durch 1 und 2
ausdrücken.
Berechnung des Winkels 1:
x 01  x13  x03  2 x13 x03 cos  1
2
2
2
x
1  arccos 
2
13

2
2
 x03  x01 

2 x13 x03



Berechnung des Winkels 2 :

x12  x23  x13  2 x 23 x13 cos  2
2
2



2



x 2  x 2  x 2 
13
12

  2  arccos  23
2 x 23 x13



0°    180°   = 1 + 2

180°    360°   = 2-1
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Gruppe 3
Berechnung des Winkels , wenn das erste Gelenk eine Doppelkurbel und
das zweite eine Kurbelschwinge ist:
In diesem Fall kann man die oben hergeleitete Formel für die -Berechnung nicht verwenden,
da dort stillschweigend vorausgesetzt wird, dass  zwischen 0° und 180° liegt.
Um 1 zu berechnen benötigen wir den Winkel 2.
Berechnung des Winkels 2


 x03 * sin  


x
13




 2  arcsin 




Berechnung des Winkels 1 :




 1  180   2  
Berechnung des Winkels 2
Dieser Winkel wird gleich berechnet wie bei der 1. Möglichkeit (Kurbelschwinge), da sich
der Winkel immer im Intervall [0°,180°] bewegt.
x 2  x 2  x 2 
13
12

  2  arccos  23
2 x23 x13


 wird über die gesamte Drehachse (von 0° bis 360°) gleich berechnet:
 = 1 + 2
Anhand dieser Winkel bestimmen wir die folgenden Punkte:
 r cos  

P1  
r
sin



 x  x 23 cos  

P2   03

 x 23 sin  

P3  x03 0

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Gruppe 3
Somit sind die Winkel und Punkte des ersten Vierecks bestimmt.
Zwischen dem ersten und zweiten Viereck ergibt sich ein Dreieck, wie aus der Zeichnung
ersichtlich. Der Winkel  (DELTA) dieses Dreiecks ist frei bestimmbar und bleibt unabhängig
von den Bewegungen der Punkte immer gleich groß, da dieser unabhängig vom Drehwinkel 
ist. Der Winkel ändert sich nur, wenn die Längen verändert werden.
Nun betrachten wir das zweite Viereck. Dabei stellen wir fest, dass es keine Auswirkungen
auf den Ausschlag des Fadengebers hat, wenn wir den Punkt 6 auf die x-Achse verschieben,
solange die oben genannten Bedingungen beachtet werden. Somit erleichtern sich die
weiteren Berechnungen.
Berechnung des Winkels  (GAMMA):
Da wir den Winkel  bereits berechnet haben, und aus den Seiten x23, x24 und x34 der Winkel
 berechnet wird und konstant bleibt, ist die Berechnung des Winkels  einfach. Es ergibt
sich:
2
2
2 
 x 23
 x34
 x 24



2
x
x
23 34


=180°--
  arccos
Um die übrigen Winkel des zweiten Viereckes zu berechnen, wenden wir die gleiche
Methode wie beim ersten Viereck (Kurbelschwinge) an.
Wiederum teilen wir das Viereck in zwei Dreiecke auf, wobei die Diagonale x46 ist.
Berechnung des Winkel 1 (LAMDA):
x46  x36  x34  2 x36 x34 cos 
2
2
x 45  x56  x 46  2 x56 x 46 cos 1
2
2
2
x 2  x 2  x 2 
46
45

 1  arccos  56
2 x56 x 46


Berechnung des Winkels:  2




Seite 6

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Gruppe 3
x34  x36  x 46  2 x36 x 46 cos  2
2
2
2
x 2  x 2  x 2 
46
34

  2  arccos  36
2 x36 x46



0°    180°    1  2

180° <  < 360°  =2-1
Da wir den Winkel  kennen, berechnen wir uns den Winkel  (TAU) folgendermaßen:
=180°-
Es ergeben sich weitere Punkte:
 x  x34 cos  

P4   03

x
sin

34


 x  x56 cos  

P5   06

 x56 sin  

P6  x06 0

2. Schritt
Wir haben jetzt alle Winkel und Punkte des Gelenksechsecks definiert.
Nun beginnt die Arbeit am Computer.
Wir wählen die Abmessungen der Parameter die wir für die weiteren Arbeiten brauchen.
Danach erstellen wir in „MS Excel 97“ eine Tabelle mit allen Winkeln und Parametern.
In der ersten Spalte tragen wir den Winkel  in Grad für eine Umdrehung der
Übertragungswelle (0° bis 360°) ein. Somit berechnen wir in den weiteren Spalten die
zugehörigen Werte der restlichen Winkel und den anschließenden Ausschlag des
Fadengebers.
Anhand dieser Tabelle erstellen wir ein Diagramm, wo wir alle Winkel darstellen. Von
besonderer Bedeutung ist die Funktion des Ausschlags. Wir probieren verschiedene
Gelenksechseckabmessungen und beobachten deren Auswirkungen auf den Kurvenverlauf
der Ausschlagfunktion.
Als Starthilfe bekommen wir 2 Varianten für die folgenden Abmessungen und somit
erleichtert sich die Anpassung an die ideale Funktion.
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Gruppe 3
Optimale Konstruktion eines Fadengebergetriebes
X23=1,896
X12=9,814
X01=4,562
X03=1,000
X34=1,000
60°    90°
2,624
9,845
2,117
1,000
1,000
Wir sehen, dass das Modell „Kurbelschwingung – Kurbelschwingung“ nie unserem idealem
Kurvenverlauf entsprechen wird. Deshalb entscheiden wir uns für das zweite Modell
„Doppelkurbel – Kurbelschwingung“.
AUSSCHLAG (Tau)
40
35
30
25
20
AUSSCHLAG (Tau)
15
10
5
0
1
14 27 40 53 66 79 92 105 118 131 144 157 170 183 196 209 222 235 248 261 274 287 300 313 326 339 352
Nun können wir durch Ändern der Maßgrößen unseren vorgegebenen idealen Kurvenverlauf
annähern. Nach häufigen Versuchen ergeben sich folgende Größen, die dem Idealverlauf fast
entsprechen:
X01 = 1,0000
X03 = 0,2350
X12 = 0,9845
X23 = 0,2624
X34 = 1,0000
X24 = 0,9700
X45 = 3,5000
X56 = 2,2400
X36 = 2,7300
 = 60,446
70
60
50
40
30
20
10
Antriebsdrehwinkel phi
Seite 8
37
35
33
31
29
27
25
23
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
0
1
Fadengeberausschlag psi
80
psi experimentell
psi mathematisch
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3. Schritt
Weiters zeichnen wir in „Auto Cad LT2000“ die im Dokument enthaltenen Zeichnungen. Wir
betrachten den Winkel  in 60° Intervallen, verfolgen die Bewegungen der Punkte und die
Veränderungen der Winkel.
Zuerst zeichnen wir die zwei Vierecke als Schwingkurbeln und dann das erste als
Doppelkurbel und das zweite als Schwingkurbel. Daraus können wir die Bewegung des
Gelenksechsecks der Rotation der Drehachse bildlich veranschaulichen.
Bedeutend für die Rechnung ist nun, dass in bestimmten Winkelstellungen die geometrischen
Figuren (Vierecke oder Dreiecke) des Gelenksechsecks verändert werden.
4. Schritt
Gleichzeitig programmieren wir in „Borland Turbol Pascal 7.0“ unsere Simulationsgraphik.
Hier sehen wir die Drehung der Übertragungswelle und die daraus resultierende Bewegung
des Gelenksechsecks.
uses crt, dos, graph;
const
x01=100;
x03=23.5;
x12=98.4;
x23=26.24;
x34=100;
x24=97;
x45=350;
x56=224;
x36=273;
var tau, phi, x13, delta, beta, gamma, x46,
lamda, beta1, beta2, alpha1, alpha2, lamda1,
lamda2: real;
var gd,gm,i: integer;
var dx,dy:real;
function acos(x: real):real;
var ac: real;
begin
if (x>0) then ac:=arctan((sqrt(1-x*x))/x);
if (x<0) then ac:=arctan((sqrt(1-x*x))/x+PI);
if (x=0) then ac:=PI/2;
acos:=ac;
end;
function asin(x:real):real;
begin
asin:=arctan(x/sqrt(1-x*x))
end;
function sgn(x: real):real;
var c:real;
begin
if x>=0 then c:=1 else c:=-1;
sgn:=c;
Hier werden die Werte für die Seitenlängen festgesetzt.
In diesem Abschnitt werden die benötigten Variablen
definiert.
Hier werden die benötigten mathematischen
Funktionen, welche von Turbo Pascal nicht zur
Verfügung gestellt werden, definiert.
end;
Begin
Gd:=detect;
Initgraph(gd,gm,'f:\tp\bgi');
Dx:=x03+x36+x01+50;
Dy:=200;
Repeat
For i:=1 to 360 do begin
Phi:=pi*(i)/180;
X13:=sqrt(x01*x01+x03*x032*x01*x03*cos(phi));
Das Hauptprogramm wird solange ausgeführt bis eine
Taste gedrückt wird.
Um eine Drehbewegung zu erzeugen, wird die
Zählvariable i eingeführt. i entspricht dem Drehwinkel
der von 0 bis 360° ein volle Umdrehung beschreibt.
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If ((x01<x03) and (x01<x23) and (x01<x12))
then begin
delta:=acos((x23*x23+x34*x34x24*x24)/(2*x23*x34));
beta1:=acos((x13*x13+x03*x03x01*x01)/(2*x13*x03));
beta2:=acos((x23*x23+x13*x13x12*x12)/(2*x23*x13));
beta:=beta1+beta2;
gamma:=pi-beta-delta;
x46:=sqrt(x36*x36+x34*x342*x36*x34*cos(gamma));
lamda:=(acos((x36*x36+x46*x46x34*x34)/(2*x36*x46))+acos((x56*x56+x46*x46x45*x45)/(2*x56*x46)));
tau:=pi-lamda;
end
else begin
alpha1:=acos((x13*x13+x12*x12x23*x23)/(2*x13*x12));
alpha2:=asin(x03*sin(PHI)/x13);
beta1:=pi-alpha2-phi;
beta2:=acos((x23*x23+x13*x13x12*x12)/(2*x23*x13));
beta:=beta1-beta2;
delta:=acos((x23*x23+x34*x34x24*x24)/(2*x23*x34));
gamma:=pi-delta-beta;
x46:=sqrt(x36*x36+x34*x342*x36*x34*cos(gamma));
lamda1:=(acos((x36*x36+x46*x46x34*x34)/(2*x36*x46)));
lamda2:=(acos((x56*x56+x46*x46x45*x45)/(2*x56*x46)));
if (((0<gamma) and (gamma<pi)) or
(gamma>2*pi)) then lamda:=lamda1+lamda2 else
lamda:=-lamda1+lamda2;
tau:=pi-lamda;
end;
An dieser Stelle werden die Winkel für das
Gelenkviereck berechnet, falls die Bedingungen erfüllt
sind, damit die beiden gekoppelten Gelenkvierecke
eine richtige Bewegung des Fadengebers ermöglichen.
Im ersten Fall handelt es sich um eine
Zusammensetzung von zwei Kurbelschwingen.
Setcolor (white)
line(trunc(x01),getmaxytrunc(dy),trunc(x01*cos(phi)+x01),getmaxytrunc(x01*sin(phi)+dy));
line(trunc(x01*cos(phi)+x01),getmaxytrunc(x01*sin(phi)+dy),trunc(x03x23*cos(beta)+x01),getmaxytrunc(x23*sin(beta)+dy));
line(trunc(x01),getmaxytrunc(dy),trunc(x01+x03),getmaxy-trunc(dy));
line(trunc(x01+x03),getmaxytrunc(dy),trunc(x01+x03x23*cos(beta)),getmaxytrunc(dy+x23*sin(beta)));
line(trunc(x01+x03),getmaxytrunc(dy),trunc(x01+x03+x34*cos(gamma)),getmax
y-trunc(dy+x34*sin(GAMMA)));
line(trunc(x01+x03-x23*cos(beta)),getmaxytrunc(dy+x23*sin(beta)),
trunc(x01+x03+x34*cos(gamma)),getmaxytrunc(dy+x34*sin(GAMMA)));
line(trunc(x01+x03+x36),getmaxytrunc(dy),trunc(x01+x03),getmaxy-trunc(dy));
line(trunc(x01+x03+x36),getmaxytrunc(dy),trunc(x01+x56*cos(tau)+x03+x36),getm
axy-trunc(dy+x56*sin(tau)));
Hier werden die einzelnen Linien ausgegeben.
Im zweiten Fall finden wir die Bewegung von
Doppelkurbel gekoppelt an eine Kurbelschwinge
wieder.
line(trunc(x01+x56*cos(tau)+x03+x36),getmaxytrunc(dy+x56*sin(tau)),
trunc(x01+x03+x34*cos(gamma)),getmaxytrunc(dy+x34*sin(gamma)));
setcolor(black) ;
delay(20);
line(trunc(x01),getmaxytrunc(dy),trunc(x01*cos(phi)+x01),getmaxytrunc(x01*sin(phi)+dy));
Seite 10
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line(trunc(x01*cos(phi)+x01),getmaxytrunc(x01*sin(phi)+dy),trunc(x03x23*cos(beta)+x01),getmaxytrunc(x23*sin(beta)+dy));
line(trunc(x01),getmaxytrunc(dy),trunc(x01+x03),getmaxy-trunc(dy));
line(trunc(x01+x03),getmaxytrunc(dy),trunc(x01+x03x23*cos(beta)),getmaxytrunc(dy+x23*sin(beta)));
line(trunc(x01+x03),getmaxytrunc(dy),trunc(x01+x03+x34*cos(gamma)),getmax
y-trunc(dy+x34*sin(GAMMA)));
line(trunc(x01+x03-x23*cos(beta)),getmaxytrunc(dy+x23*sin(beta)),
trunc(x01+x03+x34*cos(gamma)),getmaxytrunc(dy+x34*sin(GAMMA)));
line(trunc(x01+x03+x36),getmaxytrunc(dy),trunc(x01+x03),getmaxy-trunc(dy));
line(trunc(x01+x03+x36),getmaxytrunc(dy),trunc(x01+x56*cos(tau)+x03+x36),getm
axy-trunc(dy+x56*sin(tau)));
line(trunc(x01+x56*cos(tau)+x03+x36),getmaxytrunc(dy+x56*sin(tau)),
trunc(x01+x03+x34*cos(gamma)),getmaxytrunc(dy+x34*sin(gamma)));
if keypressed then exit;
end;
until keypressed;
end.
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