ARBEITSPROJEKT

Kursarbeit in Technische Mechanik
Informatik, WS 2005/2006
Name: Denitsa Deneva
Matr. No 12101193
Datum: 2.02.2006
Aufgabe 1.
Aufgabenstellung:
Eine Kranbrücke ist in A zweiwertig und in B einwertig aufgelegt. Auf der Brücke befindet sich
zwei Laufkatzen, jede belastet sie mit der Kräfte F1= F2=40kN. D Fachwerk hat eine quadratische
Gitter mit Diagonalstab, wobei a=1m.
Nach Knotenpunktverfahren erstelle man die Gleichungen zur Ermittlung der Stabkräfte
(Symetrie benutzung).
Man erstelle, oder benutze ein Programm zur Lösung des Gleichungsszstem . (Vorher bestimme
man die Nullstäbe.)
XVIII
XVII
26
23
1
I
F2
XVI
XV
27
24
25
F1
22
2
II
A
29
28
21
20
19
3
III
XIV
18
F1
F2
XIII
XII
30
16
17
4
31
15
14
32
13
V
VI
VII
X
33
12
10
11
7
5
IV
XI
9
a
8
IX
VIII
a
B
8a
y
x
Lösung:
!
 Fx 0 : RAx  0
!
 Fy 0 : RAy  RB  RB  2F1  2F2  0
!
  Fy 0 :  F1  2a  F2  3a  F1  5a  F2  6a  RB  8a  0
 RB 
7 aF1  9aF2
 80kN  RAy  4  40kN  80kN  80kN
8a
Zuerst soll man die Nullstäbe bestimmen, damit man ein Gleichungssystem mit so wenig wie
möglich Gleichungen erhält:
Nullstäbe:
 XVIII   Fi x  s26  0
!
!
 F y  s25  0
I 
F
F
bzw. s9  0
!
x
 s1  s24 cos 45o  0  s1  80kN
y
 RAy  s24 sin 45o  0  s24  80 2kN
i
bzw. s33  0
!
bzw. s8  80kN und s10  80 2kN
II 
F
F
!
x
 s2  s1  0  s2  80kN
y
 s23  0
i
i
bzw. s7  80kN
!
bzw. s11  0
 XVII   Fi x  s24 sin 45o  s22 sin 45o  s27  0
!
!
 Fi y  s24 cos 45o  s22 cos 45o  0  s22  s24  80 2kN
s27  80kN  80kN  160kN
bzw. s32  160kN
 XV   Fi x  s27  s28  0  s28  160kN
!
bzw. s31  160kN
!
 F  F  s  0  s  40kN
III   F  s  s cos 45  s cos 45  s  0
 F  s sin 45  s  s sin 45  0  s
y
i
1
21
0
2
y
0
22
!
20
3
0
i
bzw. s13  40kN
21
!
x
i
0
22
21
20
20
 40 2kN
 s3  s 2  s 22 cos 45 0  s 20 cos 45 0  (80  80  40)kN  200kN
IV   Fi x  s3  s4  0  s4  20kN
!
!
F s  0
 XIV   F  s  s cos 45  s
 F  s sin 45  s sin 45
y
i
x
y
i
!
0
28
!
20
18
0
20
18
bzw. s6  200kN
bzw. s5  20kN
0
cos 450  s29  0
 F2  0  s18  0
s 29  s 28  s 20 cos 45 0  (160  40)kN  200kN  s 29  200kN
V 
bzw. s14  40 2kN
bzw. s15  0kN
19
i
bzw. s12  80 2kN
aus der Symmetrie s4  s5 , s18  s16  0  s17  0
bzw. s16  0
bzw. s30  200kN
Aufgabe2. (Kinematik)
Getriebeschema einer Senkrechtstoßmaschine:
Y
VB
VA
VC4C2
VBA
B
VC4
6
5
VC2
VA
3
5
A
4
4
O
C
O1
2
2
X
1
Gegeben sei:
OO1=l1; O1C=l2; OA=l4; AB=l5
l1=0,5 m; l2=0,15 m; l4=0,1 m; l5=0,2 m;
Die Winkelgeschwindigkeit des Antriebsglied (2):   2  2  const  2 s-1.
Gesucht:
die Übesetzungsverhältnisse:  4   4 ( 2 ), y6  y6 ( 2 )
Lösung:
 Aus der Geometrie folgt:
OC cos  4  OO1  O1C cos 2  OC cos 4  l1  l2 cos  2 ,
2
2
2
2
OC  OO1  O1C  2OO1  O1C cos(   2 )  OC  l12  l 22  2l1l 2 cos  2
l1  l 2 cos  2
cos  4 
Dann:
l12  l 22  2l1l 2 cos  2
 Ermittlung von y 6  y 6 ( 2 ) :
y6  OA sin  4  AB cos  5 , mit AB sin  5  OA cos  4  sin  5 
2
 OA 
2
cos  5  1  
 cos  4
 AB 
OA
cos  4 ,
AB
2
folgt: y 6  l 4 sin  4  l5
l 
1   4  cos 2  4 ,
 l5 
2


 l4 

2 
2
2
y6 
l 2 l 4 sin  2  l1  l 2  2l1l 2 cos  2    l 1l 2 cos  2  
l12  l 22  2l1l 2 cos  2 
 l5 



1
 Man bestimme die Meißelgeschwindigkeit als Funktion von  2 : y 6  v6  v6  2   v  v 2 
. Also: y 6  v . Dann
l
 2l1l 2 sin  2  2l 2  4
 l5
l 2 l 4 cos  2 
2
l 
2
2 l  l  2l1l 2 cos  2   4  l 1 l 2 cos  2 
 l5 
2
1
v 
2

 l1  l 2 cos  2 sin  2

2
2
l12  l 22  2l1l 2 cos  2
+
1


2
2






l
2
l1l 2 l 2 l 4 sin  2  l12  l 22  2l1l 2 cos  2   4  l1  l 2 cos  2   

 
 l5 



+
l

3
 l 22  2l1l 2 cos  2 2  sin  2 
 Man erstelle (bzw.benutze) ein Programm und stelle die Funktion y 6  y 6 ( 2 ) ,
v  v( 2 ) , 0   2  2 zeichnerisch dar.
2
1
1
Programm Aufstelung in MATLAB.
Hauptprogramm:
clear all, close all
%Deklaration von globale Variablen:
global l1 l2 l4 l5 w2
%Daten für die Aufgabe:
l1=0.5; l2=0.15; l4=0.1; l5=0.2;
w2=2*pi;
%Anfangsbedingungen:
y0=[0;0;pi/2+asin(l4/l2);sqrt(l5*l5-l4*l4)];
%Berechnung der Verschiebungen:
[t,y]=ode45('kin1_ydot',[0:0.001:2],y0); %y(:,1)=fi2,y(:,2)=fi4,y(:,3)=fi5,y(:,4)=yb
% Berechnung der Geschwindigkeiten:
w4=cos(y(:,1)-y(:,2))*l2./(cos(y(:,1)-y(:,2))*l2+cos(y(:,2))*l1)*w2;
w5=-l4/l5*sin(y(:,2))./sin(y(:,3)).*w4;
Vb=l4*cos(y(:,2)).*w4+l5*cos(y(:,3)).*w5;
% Graphische Darstellung der Verschiebungen:
figure(1)
subplot(221),plot(t,y(:,1)*180/pi),grid,title('fi2(t)'),ylabel('(deg)')
subplot(222),plot(t,y(:,2)*180/pi),grid,title('fi4(t)'),ylabel('(deg)')
subplot(223),plot(t,y(:,3)*180/pi-90),grid,title('fi5(t)-90'),xlabel('(s)'),ylabel('(deg)')
subplot(224),plot(t,y(:,4)),grid,title('Yb(t)'),xlabel('(s)'),ylabel('(m)')
figure(2)
subplot(311),plot(y(:,1)*180/pi,y(:,2)*180/pi),grid,title('fi4(fi2)'),xlabel('(deg)'),ylabel('(deg
)')
subplot(312),plot(y(:,1)*180/pi,y(:,3)*180/pi-90),grid,title('fi5(fi2)90'),xlabel('(deg)'),ylabel('(deg)')
subplot(313),plot(y(:,1)*180/pi,y(:,4)),grid,title('Yb(fi2)'),xlabel('(deg)'),ylabel('(m)')
% Graphische Darstellung der Geschwindigkeiten:
figure(3)
subplot(311),plot(t,w4),grid,title('w4(t)'),ylabel('(rad/s)')
subplot(312),plot(t,w5),grid,title('w5(t)'),ylabel('(rad/s)')
subplot(313),plot(t,Vb),grid,title('Vb(t)'),xlabel('(s)'),ylabel('(m/s)')
figure(4)
subplot(311),plot(y(:,1)*180/pi,w4),grid,title('w4(fi2)'),xlabel('(deg)'),ylabel('(rad/s)')
subplot(312),plot(y(:,1)*180/pi,w5),grid,title('w5(fi2)'),xlabel('(deg)'),ylabel('(rad/s)')
subplot(313),plot(y(:,1)*180/pi,Vb),grid,title('Vb(fi2)'),xlabel('(deg)'),ylabel('(m/s)')
figure(5)
y6=1./sqrt(l1*l1+l2*l2+2*l1*l2*cos(y(:,1))).*...
(l2*l4*sin(y(:,1))+l5*sqrt(l1*l1+l2*l2+2*l1*l2*cos(y(:,1))l4*l4/l5/l5*(l1+l2*cos(y(:,1))).^2));
plot(y(:,1)*180/pi,y(:,4),'g')
n=size(y,1);step=round(n/100);
hold on
plot(y(1:step:n,1)*180/pi,y6(1:step:n),'or'),grid,title('Yb(fi2) -analytical and numerical
solutions'),
xlabel('(deg)'),ylabel('(m)')
hold off
Unterprogramm:
function ydot=kin1_ydot(t,y);
global l1 l2 l4 l5 w2
%y(1)=fi2,y(2)=fi4,y(3)=fi5,y(4)=yb
ydot(1)=w2;
ydot(2)=ydot(1)/(1+cos(y(2))*l1/cos(y(1)-y(2))/l2);
ydot(3)=-l4/l5*sin(y(2))/sin(y(3))*ydot(2);
ydot(4)=l4*cos(y(2))*ydot(2)+l5*cos(y(3))*ydot(3);
ydot=ydot';
Die Haupt- und Unterprogramm müssen in verschiene Dateien gespeichert werden,
wobei die Name der Unterprogramm muss mit der Funktion in der Hauptprogramm
übereinstimmen – hier „kin1_ydot”. Die Dateien sind mit Postfix „m”.
Ergebnisse.
fi4(t)
20
600
10
(deg)
(deg)
fi2(t)
800
400
200
0
0
-10
0
0.5
1
1.5
-20
2
0
0.5
fi5(t)-90
1.5
2
1.5
2
Yb(t)
42
0.24
0.22
41.5
(m)
0.2
41
0.18
40.5
40
0.16
0
0.5
1
(s)
1.5
2
0
0.5
1
(s)
fi4(fi2)
(deg)
20
0
-20
0
100
200
300
400
(deg)
fi5(fi2)-90
500
600
700
800
0
100
200
300
400
(deg)
Yb(fi2)
500
600
700
800
0
100
200
300
400
(deg)
500
600
700
800
(deg)
42
41
40
0.25
0.2
(m)
(deg)
1
0.15
0.1
w4(t)
2
(rad/s)
0
-2
-4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
1.2
1.4
1.6
1.8
2
1.2
1.4
1.6
1.8
2
w5(t)
0.4
(rad/s)
0.2
0
-0.2
-0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Vb(t)
0.4
(m/s)
0.2
0
-0.2
-0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(s)
w4(fi2)
(rad/s)
2
0
-2
-4
0
100
200
300
400
(deg)
w5(fi2)
500
600
700
800
0
100
200
300
400
(deg)
Vb(fi2)
500
600
700
800
0
100
200
300
400
(deg)
500
600
700
800
(rad/s)
0.5
0
-0.5
(m/s)
0.5
0
-0.5
Yb(fi2) -analytical and numerical solutions
0.21
0.2
0.19
(m)
0.18
0.17
0.16
0.15
0
100
200
300
400
(deg)
500
600
700
800
Aufgabe3.(Kinetik)
Aufgabenstellung:
Artilleriegeschoß bekommt am Ende des Kanonenlaufes eine Geschwindigkeit v0  915 m . Der
s
0
Winkel zwischen der Horizontale und der Kanonenlaufachse beträgt 40 . Der Luftwiderstand ist

v
proportional der zweiten Stufe der Geschwindigkeit des Geschosses: R    2 ,
v
  0.12 Ns
2
m2
. Die Masse des Geschoses beträgt m=100kg.
Es soll bestimmt werden:
1. Man leite die Bewegungsgleichung in Kartesischen Koordinaten her.
2. Man bestimme x  xt  , y  yt  und x  x y  , bzw. y  yx  . Mann stelle diese
Funktionen zeichnerisch dar.
3. Man bestimme die Koordinate des Punktes A  x A und auch die Geschwindigkeit des
Geschosses im A.
4. Teiaufgaben (2), (3) sind nummerisch zu berechnen.
Lösung:
Die Bewegungsgleichungen leiten sich aus dem 2. Newtonschen Gesetz F  ma her, das in
diesem Fall die Form G  R  ma hat, wobei die Schwerkraft und der Luftwiderstand in Acht
genommen wurden. Es folgt:
v  xex  yey 
xex  yey

2
2
R



(
x

y
)
;

2
2
v2  x2  y 2 
x

y

Wenn man jetzt die Gleichung G  R  ma komponentenweise aufschreibt, ergibt sich:
mx    ( x 2  y 2 )
x
x y
2
my  mg   ( x 2  y 2 )
x
2

y
x y
2
2

m
x x2  y 2
y  g 

m
y x2  y 2
Die x-Koordinate des Punktes A lässt sich leicht bestimmen, indem man die Vektoren x und y
vergleicht: wenn y (näherungsweise) Null erreicht, soll an derselben Stelle im Vektor x den Wert
abgelesen werden. In unserem Fall sehen die letzten ein Paar Elemente der Vektoren
folgendermaßen aus:
Vektor t
s
…
28.6484
28.6494
28.6504
28.6514
28.6524
Vektor x
103
m
…
2.2661
2.2661
2.2661
2.2661
2.2661
Vektor y
Vektor dx
Vektor dy
m
m/s
m/s
…
0.0003
0.0002
0.0001
0.0000
-0.0001
…
12.9645
12.9632
12.9618
12.9605
12.9591
…
-85.6822
-85.6831
-85.6840
-85.6849
-85.6858
Die x-Koordinate von A liegt also bei 2266,1 m, AX = 2266,1 m. Die Geschwindigkeit des
Geschosses kann man aus den Vektoren dy und dx ablesen – zu dem Zeitpunkt 28.6514 ist vx =
12.9605 m/s und vy = -85.6849 m/s, also ist v  vx 2  v y 2  86,6595 m/s.
Aufgabe4. (Schwingungen)
Aufgabenstellung:
geschleppt. Die
v  72 km  20 m
h
s
Eisenbahnlinie ist von 30m langen Gleisen zusammengestellt, wobei zwischen den einzelnen
Gleisen Lücken von 0,01m entstehen. Diese Lücken führen zu Stoßimpulsen, welche auf dem
Wagen wirken und ihn zu Vertikalschwigungen anregen. Auf dem Wagen liegen zwei Ladungen
(als Punktmassen betrachtet) der Masse m2 . Die Vertikalbeschleunigung der Ladungen soll 0,2g
nicht überstreiten(g-Erdbeschleunigung).
 Ist das überhaupt möglich, wenn die Dämpfung nicht in Betrach genommen wird.
 Wenn ja, dann ist die Fahrtgeschwindigkeit v0  20 m die richtige, oder soll sie
s
großer,bzw. niedriger sein?
Ein Güterwagen wird mit einer Geschwindigkeit
Gegeben sei:
m1  4000kg, m2  4000kg, c  10 kN
cm
, l  10m, b  4m, L  30m,  0  0,005m
 0  bei 0  t  t1,

 0  kT  t  kT  t1,k 1, 2,...
0  sonst


Y
l1
A
V
l1
B
C
l
F1ел
l
G
F1съп
F2съп
F2ел
ξ1
ξ2
'
S1
S1
'
S2
S2
∆L
L
ст
ст
l10

ст
1
1 - ( Y  l )
Y  l
1
l20

ст
2
 2 - ( Y  l )
Y  l
2
30m
0,01m
lm
, t1 
, t0 
Die Drehmasse des Wagens bez. S   s  33.10 3 kgm2
m
m
m
V
V
V
s
s
s
1. Man leite die Bewegungsgleichungen her
1
1
1
1
2
2
T  m1 y 2   s 2  m2  y  b   m2  y  b 
2
2
2
2
1
1
2
2
V  c y  b   t   c y  b   t  t 0 
2
2
T
m1  2m2 ys

s

 2cy  c t    t  t 0 
 2m2 b 2   2cb 2  cb t    t  t 0 
Die maximale Beschleunigung der Ladungen: a  y  b  amax   y  bmax .
2. Man bearbeite die Differentialgleichungen nummerisch und bestimme a max bei der
gegebenen Fahrtgeschwindigkeit v0 . Ist v0  20 m die richtige Geschwindigkeit?
s
-3
6
Ksi(s)
x 10
5
(m)
4
3
2
1
0
0
20
40
80
100
120
YB(s)
-5
3
60
(m)
x 10
Acc B(s)
20
2
10
(m)
(m/s 2)
1
0
-10
-1
-2
0
20
40
60
80
100
-20
120
0
20
40
YA(s)
-5
3
0
x 10
60
80
100
120
80
100
120
Acc A(s)
20
2
10
(m)
(m)
1
0
0
-10
-1
-2
0
20
40
60
(m)
80
100
120
-20
0
20
40
60
(m/s 2)
clear all, close all, clc
global A B l S0 V L dL dt H1
m1=4000;
Js=33e3;
m2=4000;
c=1e6;
b=5000;
l=10;
l1=4;
L=30;
H=0.005;
dL=0.01;
V=20;
S0=3;
dt=0.0005;
H1=0.009;%0.00625
a=[m1+2*m2,0;0,Js+2*l1*l1*m2];
e=[2*c,0;0,2*c*l*l];
d=[2*b,0;0,2*b*l*l];
f=[c,c,b,b;c*l,-c*l,b*l,-b*l];
A=[zeros(2,2),eye(2);-inv(a)*e,-inv(a)*d];
B=[zeros(2,4);inv(a)*f];
X0=zeros(4,1);
options=odeset('MaxStep',0.0001);
[t,X]=ode45('fund2',[0:0.0001:5],X0,options);
for i=1:length(t)
S=S0+V*t(i);S1=S0+V*(t(i)+dt);
s=mod(S,L+dL);s1=mod(S1,L+dL);
if (s>0) & (s<dL),ksi=H1*lognpdf(s/2e-3,0,0.6);
else ksi=0; end
if (s1>0) & (s1<dL),ksi1=H1*lognpdf(s1/2e-3,0,0.6);
else ksi1=0; end
U(2,1)=ksi;
U(4,1)=(ksi1-ksi)/dt;
Ksi(i)=ksi;
SS(i)=S;
S=S+2*l;S1=S1+2*l;
s=mod(S,L+dL);s1=mod(S1,L+dL);
if (s>0) & (s<dL),ksi=H1*lognpdf(s/2e-3,0,0.6);
else ksi=0; end
if (s1>0) & (s1<dL),ksi1=H1*lognpdf(s1/2e-3,0,0.6);
else ksi1=0; end
U(1,1)=ksi;
U(3,1)=(ksi1-ksi)/dt;
y_acc(i)=A(3,:)*X(i,:)'+B(3,:)*U;
fi_acc(i)=A(4,:)*X(i,:)'+B(4,:)*U;
end
A_acc=y_acc+l1*fi_acc;
B_acc=y_acc-l1*fi_acc;
figure(1)
plot(SS,Ksi),title('Ksi(s)'),ylabel('(m)'),xlabel('(m)')
figure(2)
subplot(211),plot(SS,X(:,1)),title('y(s)'),ylabel('(m)')
subplot(212),plot(SS,X(:,2)*180/pi),title('fi(s)'),xlabel('(m)'),ylabel('(deg)')
figure(3)
subplot(211),plot(SS,X(:,1)+X(:,2)*l1),title('Y_B(s)'),ylabel('(m)')
subplot(212),plot(SS,X(:,1)-X(:,2)*l1),title('Y_A(s)'),xlabel('(m)'),ylabel('(m)')
figure(4)
subplot(211),plot(SS,B_acc),title('Acc_B(s)'),ylabel('(m/s^2)')
subplot(212),plot(SS,A_acc),title('Acc_A(s)'),xlabel('(m/s^2)'),ylabel('(m)')
function X_dot=fund2(t,x)
global A B l S0 V L dL dt H1
S=S0+V*t;
S1=S0+V*(t+dt);
s=mod(S,L+dL);s1=mod(S1,L+dL);
if (s>0) & (s<dL), ksi=H1*lognpdf(s/2e-3,0,0.6)
else ksi=0; end
if (s1>0) & (s1<dL), ksi1=H1*lognpdf(s1/2e-3,0,0.6);
else ksi1=0; end
U(2,1)=ksi;
U(4,1)=(ksi1-ksi)/dt;
S=S+2*l;S1=S1+2*l;
s=mod(S,L+dL);s1=mod(S1,L+dL);
if (s>0) & (s<dL),ksi=H1*lognpdf(s/2e-3,0,0.6)
else ksi=0; end
if (s1>0) & (s1<dL),ksi1=H1*lognpdf(s1/2e-3,0,0.6);
else ksi1=0; end
U(1,1)=ksi;
U(3,1)=(ksi1-ksi)/dt;
X_dot=A*x+B*U;