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6D
-1-
Übungszettel für 3.Mathe-SA
Fr,30.3.07 1-stündig
Stoff der 3.SA:
Grundaufgaben im rechtwinkeligen Dreieck
Grundaufgaben des Sinus-und Cosinussatzes im allgemeinen Dreieck
Die Ebene- Grundaufgaben-Aufstellen in Vektor-und Koorform
Grundaufgaben im rechtwinkeligen Dreieck
1.) 1.Grundaufgabe
Gegeben ist ein rechtwinkeliges Dreieck durch 2 Bestimmungsstücke.
Berechne die fehlende Seite und Winkel
Berechne weiters
die Länge des Umkreisradius R auf 2 verschiedene Arten,
des Inkreisradius  sowie den Flächeninhalt des Dreiecks auf 2 verschiedene Arten.
c  42.4cm a  22.4cm
2.) 2.Grundaufgabe
Gegeben ist ein rechtwinkeliges Dreieck durch 2 Bestimmungsstücke.
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel
Berechne weiters die Länge des Umkreisradius R auf 2 verschiedene Arten,
des Inkreisradius  sowie den Flächeninhalt des Dreiecks auf 2 verschiedene Arten.
c  56.5 cm   44.4980
3.) 3.Grundaufgabe
Gegeben ist ein rechtwinkeliges Dreieck durch 2 Bestimmungsstücke.
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel
Berechne weiters die Länge des Umkreisradius R auf 2 verschiedene Arten,
des Inkreisradius  sowie den Flächeninhalt des Dreiecks auf 2 verschiedene Arten.
b  38.2cm   31.580
4.) 4.Grundaufgabe
Gegeben ist ein rechtwinkeliges Dreieck durch 2 Bestimmungsstücke.
Berechne die fehlende Seite und Winkel
Berechne weiters die Länge des Umkreisradius R auf 2 verschiedene Arten,
des Inkreisradius  sowie den Flächeninhalt des Dreiecks auf 2 verschiedene Arten.
a  81 mm b  50.4 mm
Im rechtwinkeligen Dreieck gilt:
Gegenkathete
Ankathete
Sinus : sin  
Co sin us : cos  
Hypotenuse
Hypotenuse
Gegenkathete
Ankathete
Tangens : tan  
Co tan gens : cot  
Ankathete
Gegenkathete
c
a
b
c
R
Umkreisradius R einesDreie cks : R 
R
R
2
2 sin 
2 sin 
2 sin 
Dreiecksfläche A
A
a  b  sin 
2
A
a  c  sin 
2
A
b  c  sin 
2
A
s
s
abc
2
in jedem Dreieck gilt: Inkreisradius:  
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A
a b
2
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-2-
Der Sinussatz
a
b
c


sin  sin  sin 
a : b : c  sin  : sin  : sin 
erweitert: Seiten:
a
sin   c
sin 
sin   a
sin 
Winkel:
a  sin 
sin  
c
c
sin  
a
c
sin   b
sin 
sin   c
sin 
b
b
sin   a
sin 
sin   b
sin 
b  sin 
c
sin  
a  sin 
b
sin  
b  sin 
a
c  sin 
c  sin 
sin  
a
b
Grundaufgaben des Sinussatzes im allgemeinen Dreieck
5.) WSW
Gegeben ist ein allgemeines Dreieck durch 3 Bestimmungsstücke.
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel
Berechne weiters die Länge des Umkreisradius R auf 2 verschiedene Arten,
des Inkreisradius 
sowie den Flächeninhalt des Dreiecks auf 2 verschiedene Arten.
sin  
a)
c  298.3cm   24.130
b) c  10mm   63.027 0
  115.230
  73.694 0
6.) SSWg
Gegeben ist ein allgemeines Dreieck durch 3 Bestimmungsstücke.
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel
Berechne weiters
die Länge des Umkreisradius R auf 2 verschiedene Arten,
des Inkreisradius 
sowie den Flächeninhalt des Dreiecks auf 2 verschiedene Arten.
a) a  22 mm b  19 mm   60.2180
b) b  85.2 mm c  65.7 mm   68.2 0
Umkreisradius R einesDreie cks :
R
Dreiecksfläche A einesDreie cks : A 
Inkreisradius:  
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A
s
s
abc
2
a
2 sin 
R
a  b  sin 
2
-2-
b
2 sin 
A
R
a  c  sin 
2
c
2 sin 
A
b  c  sin 
2
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Der Cosinussatz
c 2  a 2  b 2  2ab cos 
b 2  a 2  c 2  2ac cos 
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
a2  b2  c2
2ab
2
a  c2  b2
 cos  
2ac
 cos  
 cos  
b2  c2  a2
2bc
Grundaufgaben des Cosinussatzes im allgemeinen Dreieck
7.) SWS
Gegeben ist ein allgemeines Dreieck durch 3 Bestimmungsstücke.
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel
Berechne weiters die Länge
des Umkreisradius R auf 2 verschiedene Arten,
des Inkreisradius 
sowie den Flächeninhalt des Dreiecks auf 2 verschiedene Arten.
a)
a  20m b  30m   56.7 0
b) a  114.3cm c  84.8cm   250 43'
8.) SSS
Gegeben ist ein allgemeines Dreieck durch 3 Seiten.
Berechne die fehlenden 3 Winkel
Berechne weiters die Länge des Umkreisradius R auf 2 verschiedene Arten,
des Inkreisradius  sowie den Flächeninhalt des Dreiecks auf 2 verschiedene Arten.
a) a  11cm b  21cm c  18cm
b) a  58.7 m b  29.6m c  34.2 m
Umkreisradius R einesDreie cks :
Dreiecksfläche A einesDreie cks : A 
Inkreisradius:  
A
s
s
a
2 sin 
R
abc
2
R
a  b  sin 
2
b
2 sin 
A
R
a  c  sin 
2
c
2 sin 
A
b  c  sin 
2
Die Ebene- Grundaufgaben
9.) Gegeben ist ein Punkt A und 2 Richtungsvektoren einer Ebene.
Gesucht ist die Glg. der Ebene in Parameterdarstellung in Vektor- und Koor-form!!
A 3 / 3 / 3
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 12 
 3 
  

 
a   16  b   6 
  30 
  18 




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10.) Gegeben sind 3 Punkte einer Ebene.
Gib die PF der durch die 3 Punkte festgelegten Ebene in Vektor-und Koor-form an!
genaue Skizze!!!
a) A0 / 2 / 3 B4 / 4 / 3 C6 / 2 / 5
b) A2 / 4 / 1 B4 / 9 / 15 C5 / 8 /  11
11.) Gegeben ist ein Punkt und eine Gerade im Raum.
Gib die Glg. der Ebene in PF an, die durch den Punkt P und der Geraden g festgelegt
ist.
genaue Skizze!!!
  2  2
    
a) P1 / 2 / 3 g : X   1   t 1 
 4  0
   
 4  0
    
b) P2 / 1 / 5 g : X  1   t  3 
1  1 
   
12.) Gib eine Übersicht der Existenz von Gerade und Ebene in R 2 und R 3 an!
Welche verschiedenen Formen existieren, welche nicht????
Parameterdarstellung einer Ebene in Vektorform
Bsp:
  3   12 
 3 
   



 ....... X   3   t  16   u  6 
 3    30 
  18 
  






X  P  s a  t b
Parameterdarstellung einer Ebene in Koordinatenform



X  P  s a  t b
x  p1  s  a x  t  bx
y  p2  s  a y  t  by
z  p 3  s  a z  t  bz
zB Ebene in PF-Koor-form:
x  0  4t  6u
y  2  2t
z3
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 2u
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