Vorkurs Darstellende Geometrie

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Durchstoßpunkt Gerade Ebene
Vorkurs Darstellende Geometrie
Bestimmen Sie den Durchstoßpunkt D der Geraden g
mit der Ebene ε.
Durchstoßpunkt Gerade Ebene
Hans-Peter Schröcker
Arbeitsbereich Geometrie und CAD
Institut für Grundlagen der Bauingenieurwissenschaften
Universität Innsbruck
Wintersemester 2007/08
© 2007 Arbeitsbereich Geometrie und CAD, Universität Innsbruck
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Seite 2
Erstprojizierende Hilfsebene ν durch g
1. Erstprojizierende Hilfsebene ν durch g.
Teil I
Lösung mit erstprojizierender Hilfsebene
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Seite 4
Erstprojizierende Hilfsebene ν durch g
Erstprojizierende Hilfsebene ν durch g
1. Erstprojizierende Hilfsebene ν durch g.
2. Schnittgerade d von ν
und ε.
1. Erstprojizierende Hilfsebene ν durch g.
2. Schnittgerade d von ν
und ε.
3. Der gesuchte Durchstoßpunkt D ist der Schnittpunkt
von d und g.
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Zweitprojizierende Hilfsebene ν durch g
1. Zweitprojizierende Hilfsebene ν durch g.
Teil II
Lösung mit zweitprojizierender Hilfsebene
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Zweitprojizierende Hilfsebene ν durch g
Zweitprojizierende Hilfsebene ν durch g
1. Zweitprojizierende Hilfsebene ν durch g.
2. Schnittgerade d von ν
und ε.
1. Zweitprojizierende Hilfsebene ν durch g.
2. Schnittgerade d von ν
und ε.
3. Der gesuchte Durchstoßpunkt D ist der Schnittpunkt
von d und g.
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Seite 10
Fallgeraden
Vorkurs Darstellende Geometrie
Konstruieren Sie die
von den markierten
Punkten ausgehenden
Fallgeraden. Sie geben
den Weg an, den Wasser nehmen würde, das
von den markierten
Punkten abfließt.
Fallgeraden
Hans-Peter Schröcker
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Universität Innsbruck
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Erste Hauptgerade
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Falllinien in Grund-, Auf- und Kreuzriss
1. Wir betrachten nur
die Fallgeraden in
der hervorgehobenen
Seitenfläche S des Objektes (alle anderen
sind einfach).
2. Der Grundriss der
Fallrichtung schließt
mit h10 einen rechten
Winkel ein.
Die Falllinien in Aufund Kreuzriss werden durch Angittern
gefunden.
In S konstruieren wir
eine erste Hauptgerade
h1 .
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Seite 4
Würfelspuren von S
Fallrichtung im axonometrischen Bild
3. Wir konstruieren das
Schnittpolygon von S
mit dem Würfel.
4. Der Grundriss einer Fallgerade f1 wird
ins axonometrische
Bild übertragen. Dort
wird über der Fallgeraden eine erstprojizierende Hilfsebene
errichtet und mit der
Seitenfläche des Objektes geschnitten. Die
Schnittgerade ist das
axonometrische Bild f1
der Fallrichtung.
Dazu verlängern wird
die Schnittgerade mit
der hinteren Würfelseitenfläche und
schneiden sie mit der
Verlängerung einer
senkrechten Würfelkante.
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Fertigstellen des axonometrischen Bildes
5. Das axonometrische
Bild wird fertiggestellt.
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Winkel zwischen zwei Ebenen
Vorkurs Darstellende Geometrie
Konstruieren Sie den
Winkel zwischen den
Ebenen ABC und ABD.
Winkel zwischen zwei Ebenen
Hans-Peter Schröcker
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Erster Seitenriss
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Zweiter Seitenriss
In einem dem Aufriss
zugeordneten Seitenriss
(Seitenrissebene π3 parallel zur Schnittgeraden
AB der beiden Ebenen)
erscheint AB in wahrer
Größe.
In einem zweiten Seitenriss erscheint die
Gerade AB projizierend und der Winkel
zwischen den beiden
Ebenen kann in wahrer Größe abgelesen
werden.
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Winkel zwischen zwei Geraden
Vorkurs Darstellende Geometrie
Konstruieren Sie den Winkel
zwischen den Geraden AB
und BC.
Winkel zwischen zwei Geraden
B
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C
A
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Winkel zwischen zwei Geraden
Winkel zwischen zwei Geraden
• Angabe in Grund- und
• Angabe in Grund- und
Aufriss.
Aufriss.
B''
• Erste Hauptgerade h1 der
B''
h1''
C''
C
A''
Ebene ABC.
B
B
C''
C
A''
B'
B'
A
A
h1'
A'
A'
C'
C'
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Seite 4
Winkel zwischen zwei Geraden
Winkel zwischen zwei Geraden
• Angabe in Grund- und
• Angabe in Grund- und
Aufriss.
Aufriss.
• Erste Hauptgerade h1 der
B''
h1''
• Erste Hauptgerade h1 der
B''
Ebene ABC.
B
• Seitenriss, in dem h1
C''
h1''
B'
A
• Seitenriss, in dem h1
C''
projizierend erscheint.
C
A''
projizierend erscheint.
C
A''
• Drehen der Ebene ABC
B'
A
parallel zu π1 .
1
π''
1
π''
h1'
A'
'
'
(B0 )'''
• Übertragung der
(B0 )'''
A'
C'
C'
B'''
B'''
C'''=h1'''
A'''
C'''=h1'''
A'''
0
0
(A )'''
• Drehen der Ebene ABC
parallel zu π1 .
3
π'
3
π'
h1'
Ebene ABC.
B
gedrehten Punkte in den
Grundriss. Ablesen des
gesuchten Winkels.
(A )'''
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Seite 6
Winkel zwischen zwei Geraden
Winkel zwischen zwei Geraden
• Angabe in Grund- und
• Angabe in Grund- und
Aufriss.
Aufriss.
• Erste Hauptgerade h1 der
B''
h1''
Ebene ABC.
• Seitenriss, in dem h1
C''
h1''
projizierend erscheint.
B0
C
A''
B'
A
• Drehen der Ebene ABC
B'
parallel zu π1 .
3
1
h1'
'
'
B'''
π''
1
π''
C'
C'''=h1'''
• Drehen der Ebene ABC
• Übertragung der
A'
(A0 )'''
projizierend erscheint.
B0
A''
π'
3
π'
h1'
• Seitenriss, in dem h1
C''
parallel zu π1 .
(B0 )'''
A0
A'''
• Erste Hauptgerade h1 der
B''
Ebene ABC.
B
• Übertragung der
(B0 )'''
A'
gedrehten Punkte in den
Grundriss. Ablesen des
gesuchten Winkels.
A0
C'
B'''
A'''
C'''=h1'''
(A0 )'''
• Gesamtkonstruktion
ohne Tschupik-Würfel.
gedrehten Punkte in den
Grundriss. Ablesen des
gesuchten Winkels.
• Gesamtkonstruktion
ohne Tschupik-Würfel.
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Seite 8
Fallgeraden
Vorkurs Darstellende Geometrie
Eine regeläßige fünfseitige
Pyramide mit der Basis in π1
(Mittelpunkt M, Eckpunkt A,
Spitze S) ist mit der zweitprojizierenden Ebene durch die
Punkte I und II zu schneiden.
Der Restkörper ist in Grund-,
Auf- und Kreuzriss darzustellen. Weiters ist die Verebnung
des Mantels und der Schnittfigur zu bestimmen.
Verebnung einer Pyramide
Hans-Peter Schröcker
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Pyramide in Grund-, Auf- und Kreuzriss
Seite 2
Schnittpolygon
1. Einzeichnen der Pyramide
in Grund-, Auf- und Kreuzriss.
2. Einzeichnen des Schnittpolygons in Grund-, Auf- und
Kreuzriss.
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Seite 4
Ausführung von Grund-, Auf- und Kreuzriss
Wahre Größe der Schnittfigur
3. Ausführung der Pyramide
unter Berücksichtigung der
Sichtbarkeit.
4. Abwicklung der Gesamtpyramide (ohne Berücksichtigung des Schnittes). Die
wahre Länge der Seitenkanten kann in diesem Beispiel
direkt im Aufriss abgelesen
werden.
Seite 5
Fertigstellen des axonometrischen Bildes
Seite 6
Wahre Länge der Seitenkanten
5. Die wahre Länge von
Seitenkanten kann – nach
erfolgtem Paralelldrehen –
im Aufriss abgelesen werden.
Alternativ können die wahren Längen auch mit Hilfe
der Standardkonstruktion
ermittelt werden.
6. Die wahre Größe der
Schnittfigur wird in einem
Seitenriss bestimmt und in
die Abwicklung übertragen.
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Seite 8
Ausführen der Abwicklung
7. Ausführen der Abwicklung.
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Rotation eines Punktes um eine Achse
Vorkurs Darstellende Geometrie
Der Punkt P rotiert um die
Achse a. Stellen Sie den Bahnkreis von P in Grund- und
Aufriss dar.
Rotation eines Punktes um eine Achse
Hans-Peter Schröcker
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Normalebene auf a durch P
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Mittelpunkt des Bahnkreises
1. Der gesuchte Kreis liegt in
der Ebene ν, welche normal
auf a steht und P enthält.
Die Ebene ν wird durch zwei
Hauptgeraden h1 und h2
festgelegt:
h10 ⊥ a0 , h200 ⊥ a00 .
2. Der Mittelpunkt M des
Bahnkreises von P ist der
Durchstoßpunkt von a mit ν.
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Seite 4
Radius des Bahnkreises
Hauptachsen der Bildellipsen
3. Der Kreisradius r ist die
wahre Länge der Strecke PM.
4. Die Hauptachsen der
Bildellipsen sind Hauptgeraden der Ebene ν. Die halbe
Hauptachsenlänge entspricht
dem Kreisradius (a = r).
Seite 5
Nebenachsen der Bildellipsen
Seite 6
Fertigstellen der Zeichnung
5. Die Nebenscheitel werden in Grund- und Aufriss
mit Hilfe der umgekehrten
Papierstreifenkonstruktion
ermittelt.
6. Schließlich kann das Kreisbild und Grund- und Aufriss
dargestellt werden.
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Kugelschnitt
Vorkurs Darstellende Geometrie
Kugelschnitt
k''
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A'
Stellen Sie den im Aufriss
gegeben Kleinkreis k (Schnitt
einer Kugel und einer zweitprojizierenden Ebene) in
Grundriss, verdrehtem
Grundriss und dazugehörigen Aufriss dar!
A'
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Seite 2
Kugelschnitt
Kugelschnitt
Mittelpunkt und Radius
des Schnittkreises können
im Aufriss abgelesen werden.
k''
M''
U''=V''
M''
U''=V''
U'
U'
A'
A'
Die Umrisspunkte U, V für
den Grundriss werden ebenfalls im Aufriss ermittelt und
in den Grundriss übertragen.
k''
A'
A'
M'
k'
M'
k'
V'
V'
Seite 3
Seite 4
Kugelschnitt
Kugelschnitt
Im Grundriss kann k unter Berücksichtigung der
Sichtbarkeit eingezeichnet
werden.
k''
M''
U''=V''
Übertragung in den gedrehten Grundriss.
k''
M''
U''=V''
U'
U'
A'
A'
A'
A'
M'
M'
M'
k'
k'
k'
V'
V'
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Seite 6
Kugelschnitt
N''
N''
H''
H''
M''
U''=V''
• Mittelpunkt M des
N''
N''
H''
zweiten Aufrisses durch
Ordner
k''
M''
Kugelschnitt
H''
zweiten Aufrisses durch
Ordner
k''
M''
M''
U''=V''
• Mittelpunkt M des
• Übertragung eines
U'
Punktes N der
Kreisachse n in den
zweiten Aufriss
U'
A'
A'
H'
A'
H'
H'
A'
M'
N'
H'
M'
N'
M'
M'
k'
k'
N'
k'
N'
k'
V'
V'
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Seite 8
Kugelschnitt
N''
N''
H''
H''
M''
U''=V''
• Mittelpunkt M des
N''
N''
H''
zweiten Aufrisses durch
Ordner
k''
M''
Kugelschnitt
H''
zweiten Aufrisses durch
Ordner
k''
M''
M''
U''=V''
• Übertragung eines
A'
H'
M'
N'
M'
k'
N'
k'
V'
Punktes N der
Kreisachse n in den
zweiten Aufriss
U'
A'
• Das Bild von n im
H'
A'
• Übertragung eines
Punktes N der
Kreisachse n in den
zweiten Aufriss
U'
• Mittelpunkt M des
• Das Bild von n im
H'
A'
H'
zweiten Aufriss ist die
Nebenachse des Bildes
von k.
M'
N'
M'
k'
N'
k'
V'
zweiten Aufriss ist die
Nebenachse des Bildes
von k.
• Haupt- und Nebenachse,
Hauptscheitel, höchster
Punkt H.
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Seite 10
Kugelschnitt
N''
N''
H''
H''
k''
M''
M''
U''=V''
Kugelschnitt
Umgekehrte Papierstreifenkonstruktion mit Hilfe des
Punktes H.
N''
N''
H''
W2''
H''
k''
M''
M''
U''=V''
W1''
u''
U'
U'
A'
A'
H'
A'
H'
H'
A'
M'
N'
H'
M'
N'
u'
M'
k'
M'
W1'
N'
k'
V'
W2'
k'
u'
N'
k'
Einzeichnen des zweiten
Umrisses u im gedrehten
Grundriss =⇒ Umrisspunkte W1 und W2 im gedrehten
Grundriss und im zugehörigen Aufriss.
V'
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Seite 12
Kugelschnitt
N''
N''
H''
W2''
H''
k''
M''
M''
U''=V''
W1''
u''
U'
A'
Kugelschnitt
Alternative: Übertragen des
zweiten Umrisses u in den
originalen Grundriss und
Ermittlung der Schnittgeraden der Trägerebene von
u mit der Trägerebene des
Kreises k.
N''
N''
H''
W2''
k''
M''
H'
M'
N'
u'
u''
k''
A'
H'
M'
W1'
k'
u'
H'
M'
N'
W2'
M'
W1'
N'
k'
V'
u'
k'
u'
N'
k'
W1''
U'
A'
W2'
Ausführen des fertigen Bildes.
M''
U''=V''
H'
A'
H''
V'
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Ebener Schnitt eines Drehkegels
Vorkurs Darstellende Geometrie
Ebener Schnitt eines Drehkegels
Hans-Peter Schröcker
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An einer senkrechten Wand ist eine kegelförmige Wandleuchte angebracht. Die im Aufriss gegebene Wandleuchte ist im
Kreuzriss darzustellen.
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Umrisserzeugende im Kreuzriss
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Basiskreis
1. Die Umrisserzeugenden des Kegels im Kreuzriss werden
als Tangenten einer dem Kegel berührend eingeschriebenen
Kugel konstruiert.
2. Der Basiskreis des Drehkegels wird im Kreuzriss dargestellt.
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Seite 4
Schnittellipse
3. Die Schnittellipse von Kegel und Wand erscheint im Kreuzriss in wahrer Größe. Ihre Nebenscheitellänge wird durch Paralleldrehen eines am Kegel liegenden Kreises im Aufriss ermittelt.
Umrisspunkte
4. Mit Hilfe der Umrisspunkte U1 , V1 am Basiskreis erhält
man die Umrisserzeugenden u, v und in weiterer Folge die
Umrisspunkte U2 , V2 auf der Schnittellipse.
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Fertigstellen des Kreuzrisses
5. Das fertige Objekt wird im Kreuzriss dargestellt.
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