Lösung 7

Physik III
Übung 7 - Lösungshinweise
Stefan Reutter
Moritz Kütt
Franz Fujara
WiSe 2012
Stand: 20.12.2012
Aufgabe 1 [H, D] Signale (in einer Glasfaser)
In einer Glasfaser wird an einem Ende hereinfallendes Licht nahezu verlustfrei zum anderen
Ende übertragen. Das liegt hauptsächlich daran, dass das Licht am Rande der Glasfaser Totalreflexion erfährt und nicht austreten kann.
Leider gestaltet sich die Verwendung von Glasfasern technisch schwierig und weist auch einige
Probleme physikalischen Ursprungs auf.
a) In Glas ist die Dispersion anomal, d.h. der Brechungsindex hängt von der Frequenz des
Lichts ab. Berechne für eine 15 km lange Glasfaser, mit welcher Zeitdifferenz zwei gleichzeitig
emittierte kurzer Pulse mit Wellenlängen von 500 nm (n500 = 1.55) bzw. 700 nm (n700 = 1.50)
am anderen Ende der Glasfaser ankommen.
b) Die Signalübertragung. Erkläre die Begriffe Amplitudenmodulation und Frequenzmodulation. Wie werden Signale üblicherweise in einer Glasfaser übertragen (analog, digital, Trägerfrequenzen, . . . )? Wozu benötigt man sog. Repeater?
Lösung:
a)
c=
t=
∆t =
c0
n
L
c
L
c
n500 − n700 = 2.5µs
b) Amplitudenmodulation: Zu einem Signal mit fester Frequenz wird ein weiteres Signal addiert
(z.B. Audiosignal beim Radio). Dadurch ergibt sich eine Schwebung, welche die Amplitude und
zu einem geringen Teil auch die Frequenz modifiziert. Über einige Schwingungsperioden der
Trägerfrequenz ist die Frequenz konstant, während die Amplitude sich ändert. Das ist empfindlich gegenüber Störungen, da die Amplitude leicht durch Störsender verändert werden kann.
Frequenzmodulation: Auf ein Signal mit fester Frequenz wird ein weiteres Signal multipliziert.
Dadurch ergibt sich eine zeitabhängige Frequenz mit fester Amplitude. Da Störsender meist
nicht die Phase des Signals beeinflussen, ist dieses Verfahren sinnvoller.
1
In Glasfasern werden die Signale zu Kommunikationszwecken normalerweise digital übertragen, AM und FM spielen da also keine Rolle. Die anomale Dispersion kann die Flanken des
Signals verzerren - im Extremfall so weit, dass ein Empfänger sie nicht mehr zuverlässig detektieren kann.
Deshalb muss man, je nach Übertragungstaktung (kürzere Pulse haben größere Bandbreiten),
regelmäßig sog. Repeater aufstellen, die das Signal auslesen und, wiederaufbereitet, weiterschicken. Das ist insbesondere bei langen Unterseekabeln ein Problem.
In kommerziellen Glasfaserkabeln werden üblicherweise verschiedene Trägerfrequenzen eingesetzt, um Daten zu übertragen. Diese sollten allerdings so weit voneinander wegliegen, dass
ihr Frequenzspektrum sich nicht überlagert. Da man die einzelnen Pulse wegen der Dispersion
nicht beliebig schnell takten kann (eine sehr schnelle Taktung ist auch aus technischen Gründen schwieriger), macht die Verwendung verschiedener Trägerfrequenzen zur Erhöhung des
Datendurchsatzes Sinn.
Aufgabe 2 [H] Gruppen
Gelbes Natriumlicht der Wellenlänge 589.6 nm wird durch C S2 gelenkt. Der Brechungsindex
dn
= −1.6 × 10−3 cm−1 . Berechne
bei dieser Wellenlänge beträgt n = 1.628 und die Dispersion dλ
den prozentualen Unterschied zwischen Wellen- und Gruppengeschwindigkeit!
Lösung:
k=
vgr =
1
vgr
Um das zu berechnen, benötigen wir
=
ωn
c
dω
dk
dk
dω
n ω dn
= +
c
c dω
n ω dn dλ
= +
c
c dλ dω
dλ
dω
λ=
2πc
ω
2πc
=− 2
dω
ω
dλ
Setzt man das ein, erhält man
1
vgr
vgr
n λ dn
= −
c
c dλ
c
1
=
n 1 − λ dn
n dλ
2
Die Phasengeschwindigkeit ist einfach v ph =
∆v
vgr
=
c
n
v g r − v ph
vgr
=1−
=1−1−
=−
λ dn
n dλ
v ph
vgr
λ dn
n dλ
= 5.8 × 10−8
Aufgabe 3 [H] Lichtstrahlen anheben/absenken
Gebe einen allgemeinen Ausdruck für den parallelen Versatz s eines Lichtstrahles an, der unter
dem Winkel θ1 auf eine planparallele Glasplatte (n = 1.4) der Dicke d trifft. Berechne einen
Zahlenwert für θ1 = 60◦ und d = 2cm.
Lösung:
{
x
θ1
α
y
θ1
s
θ1
d
Aus der Skizze lesen wir ab
x =d tan θ1
y =x − d tan α
3
Aus dem Brechungsgesetz erhält man
n sin α = sin θ1
1
sin θ1
y =d tan θ1 − d tan arcsin
n
1
s = y cos θ1 = d cos θ1 tan θ1 − tan arcsin
sin θ1
n
s =0.94cm
Aufgabe 4 [H] Haben die bei Pink Floyd alles richtig gemacht?
Auf einem berühmten Plattencover: Ein weißer Lichtstrahl trifft unter dem Winkel θ1 zum Lot
auf einer Seite eines gleichseitigen Prismas auf. Für blaues Licht ist der Brechungsindex des
Prisma n b = 1.524, für rotes Licht n r = 1.509. Berechne, wie groß der Winkel zwischen aus
dem Prisma austretendem blauem und rotem Licht ist.
Lösung:
θ1
βb
βr
γr
γb
δr
δb
ε
Fangen wir einfach vorne an, i ∈ {r, b}:
sin θ1 =ni sin βi
1
βi = arcsin
sin θ1
ni
4
Über das obere, innere Dreieck kann man eine Beziehung zwischen β und γ herstellen und
weitermachen. Der Winkel an der oberen Spitze ist dabei, das das Prisma ein gleichseitiges
Dreieck ist, gerade 60◦
90◦ − βi + 90◦ − γi + 60◦ =180◦
γi =60◦ − βi
sin δi =ni sin γi
1
◦
δi = arcsin ni sin 60 − arcsin
sin θ1
ni
Und endgültig:
◦
1
sin θ1
" = δ b − δ r = arcsin n b sin 60 − arcsin
nb
1
◦
− arcsin n r sin 60 − arcsin
sin θ1
nr
Aufgabe 5 [H] Glasfaser und Apertur
Eine Glasfaser habe für einfallendes Licht den Brechungsindex n2 , der Mantel der Glasfaser habe
den Brechungsindex n3 , Luft einen von n1 . Die numerische Apertur A der Glasfaser ist definiert
als sin α1 , wobei α1 der Einfallswinkel an der Stirnfläche der Faser ist, bei dem gerade noch
Totalreflexion auftritt.
Berechne A in Abhängigkeit der Brechungsindices.
Lösung:
n1
α1
n2
α2
n3
β
Wir müssen erreichen, dass β so groß ist, dass an der Grenzschicht zwischen Glasfaser und
Mantel Totalreflexion auftritt
n2 sin β = n3
n3
sin β =
n2
5
Geometrisch ergibt sich für das Dreieck im Inneren der Glasfaser
cos α2 = sin β
Aus dem Snelliusschen Brechungsgesetz erhalten wir
n1 sin α1 = n2 sin α2
2
n1
2
sin α1
cos α2 = 1 −
n2
2 2
n1
n3
1−
sin α1 =
n2
n
È 2
2 2
n2
n3
A = sin α1 =
−
n1
n1
Aufgabe 6 [P, D] Lunatische Strahlen
In einer kalten, klaren Herbstnacht, im hellen Licht des Mondes schlenderte, tief versunken in
große Gedanken, ein kleiner Physiker. Die Strahlen der Sterne glitzerten am Firmament und ein
kleiner Waldsee warf gespenstische Flecken ins Geäst. Bezaubert von all dieser Lichterpracht,
stellte der Physiker sich diese Frage:
“Die Maxwell-Gleichungen beschreiben alle klassischen Lichtphänomene wunderbar. Aber wie
kommt es, dass wir Linsen und all die anderen optischen Instrumente immer mit einem Bild von
Lichtstrahlen betrachten?”
Diskutiere, warum man überhaupt Lichtstrahlen benutzen darf, um optische Phänomene zu
beschreiben.
Lösung:
Die Lichtstrahlen entsprechen den Wellenvektoren in der Lösung der Wellengleichung. Die geometrische Optik kann nun recht gut beschreiben, wie etwa ein Lichtstrahl von einer Linse beeinflusst wird. Da die Wellenvektoren die Ausbreitungsrichtung der Welle vorgeben, stimmt dieses
Verhalten mit dem des Wellenvektors überein. An einer Linse wird also ein ganz bestimmter
Wellenvektor z.B. zum Brennpunkt hin gebrochen.
Wirklich interessant wird der Wellencharakter des Lichts erst, wenn die Amplitude auf der Größenordnung der Wellenlänge stark variiert, also z.B. bei Beugung an einem kleinen Spalt, oder
wenn man Phänomene wie Interferenz und Polarisation verstehen will.
Aufgabe 7 [P,D] Baden mit dem Bleistift
Der kleine Physiker Klaus kann kaum von seinen Übungsaufgaben lassen, er nimmt sie immer
und überall hin mit. Schließlich macht ihm das Rechnen und Knobeln furchtbar viel Spaß. So
auch letztes Wochenende - Klaus saß mit seinen Aufgaben und einem Bleistift in der Badewanne.
6
Das Wasser war zwar mittlerweile kalt, aber die Aufgabe mit der Wärmekraftmaschine gelöst.
In einem kurzen Moment der Pause hält Klaus seinen Stift so, dass er senkrecht zur Wasseroberfläche ist, etwa die Hälfte von Stift ist dabei eingetaucht. Wieso sieht er einen Schatten auf dem
Boden des Beckens, der dem hier abgebildeten sehr ähnlich sieht?
Lösung:
An den Seitenflächen des Stiftes wird Wasser durch Kapillarkräfte nach oben gezogen. Dadurch
ergibt sich eine Licht brechende gekrümmte Fläche. Diese kann, bei geeignetem Einfallswinkel,
Licht um den Bleistift herumbrechen und so den Schatten beleuchten.
Aufgabe 8 [P] Parabolspiegel
Knut will für eine Gartenparty nächsten Sommer einen Solarofen bauen und stellt sich die Frage,
ob es für das beste Grillergebnis sinnvoller ist, einen Parabolspiegel oder einen Kugelspiegel zu
bauen.
a) Handwerkszeug: Beweise, dass gilt
1
cos2 α
− 1 = tan2 α
tan (2α) =
2 tan α
1 − tan2 α
b) Betrachte einen Parabolspiegel der Form y = 21 x 2 . Berechne den Reflexionswinkel α für einen
Lichtstrahl, der parallel zur y-Achse im Abstand x auf den Spiegel fällt.
c) Berechne den Punkt, an dem der reflektierte Strahl die y-Achse schneidet und zeige, dass er
nicht von α (und somit auch nicht von x) abhängt. Dies ist der Brennpunkt.
Lösung:
a)
1
cos2 α
−1=
tan (2α) =
1 − cos2 α
cos2 α
sin (2α)
cos (2α)
=
=
sin2 α
cos2 α
= tan2 α
2 sin α cos α
cos2 α − sin2 α
=
sin α
2 cos
α
2
sin α
1 − cos
2α
=
2 tan α
1 − tan2 α
7
y
x
1
α
α
s2
s
x
b) Da Einfallswinkel = Ausfallswinkel, ist der Winkel α zwischen der Flächennormalen und dem
einfallenden Strahl gleich dem Winkel zwischen der Normalen und dem reflektierten Strahl. Für
die Normale erhält man eine Steigung als Inverse der Ableitung der Tangente
m=
1
dy
dx
=
1
x
Geht man also x nach rechts, muss man 1 nach oben gehen. Aus dem eingezeichneten Dreieck
kann man dann ablesen
tan α = x
c) Wir wollen die Strecke s berechnen. Dazu brauchen wir zunächst s2 , das beschaffen wir uns
mit dem Trick von oben

π‹
1
= tan 2α −
=−
x
2
tan 2α
x2
x
x2
1 − tan2 α
s = y − s2 =
+
=
+x
2
tan 2α
2
2 tan α
s2
8
Daraus kann man mit dem Ergebnis aus b) tan α eliminieren
s=
x2
+x
2
1 − x2
2x
=
1
2
s ist also tatsächlich unabhängig von x – der Parabolspiegel reflektiert alle parallelen Strahlen
in den Brennpunkt.
Aufgabe 9 [P] Reflektion? Transmission?
Licht trifft aus Luft senkrecht auf ein Medium der Dicke d mit Brechungsindex n. Ein Teil des
Strahls wird dabei reflektiert, ein anderer transmittiert.
a) Berechne die Intensität des insgesamt transmittierten Lichts (Vorsicht: Mehrfachreflexionen
müssen berücksichtigt werden).
b) Berechne die Intensität des insgesamt reflektierten Lichts.
c) Überprüfe deine Berechnungen - ist R + T = 1?
Lösung:
a)
I t = T 2 I0 + T RRT I0 + T RRRRT I0 + ...
∞
X
2
I t = T I0
R2n
n=0
I t = T 2 I0
1
1 − R2
b)
I r = I0 R + T RT I0 + T RRRT I0 + ...
∞
X
2
= I0 (R + T
R2n+1 )
n=0
= I0 (R +
T 2R
1 − R2
)
c) Eigentlich hätte es lauten müssen: I t + I r = I0 . Das rechnen wir auch:
‚
I t + I r = I0
R+
T 2R
1 − R2
+
1
Œ
1 − R2
9
Wir benutzen dabei sogar T = 1 − R.
I t + I r = I0
1 − 2R + R2 + R − R3 + R − 2R2 + R3
1 − R2
=1
Immer galt:
R=
T=
2
n2 − n1
n2 + n1
2n2 n1 2
n2 + n1
10