Grundgesetze des elektrostatischen Feldes
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Eugen Schäfer Halbleiterphysik / Grundgesetze 1 Elektromagnetisches Feld Maxwellsche Gleichungen Induktionsgesetz i i ∫ E d s = − ∫ B dA rot E = − B Durchflutungsgesetz i i ∫ H ds = ∫ (S + D )dA rot H = S + D Quelle des dielektrischen Feldes div D = r ∫ D dA = ∫ r dV Quellenfreiheit des magnetischen Feldes div B = 0 ∫ B dA = 0 Einfluss der Materie D = eE B = mH e = e0 er m = m0 mr S = gE D Physikalische Größen dielektrische Verschiebung oder elektrische Flussdichte r g e elektrische Feldstärke magnetische Feldstärke magnetische Induktion Stromdichte elektrische Ladung elektrische Leitfähigkeit Permitivität e = e0 er e0 Dielektrizitätskonstante e0 = er m m0 relative Permitivität mr relative Permeabilität E H B S Einheiten As m2 Vm A /m Vs/m2 A /m2 As A/Vm As Vm 10 − 9 As 36 p Vm - m = m0 mr m0 = 4p ⋅ 10−7 Vs Am Permeabilität Induktionskonstante Vs Am - Vektoroperationen Die Größen A( x, y , z ) und B( x, y , z ) sind in den folgenden Definitionen und Rechenregeln beliebige Skalarfelder und A( x, y , z ) und B( x, y , z ) beliebige Vektorfelder. Gradient 0 ‰A 0 ‰A 0 ‰A +y +z grad A = x ‰x ‰y ‰z Divergenz ‰ ‰ ‰ div A = Ax + Ay + Az ‰x ‰y ‰z Rotation ‰Ay ‰ Az ‰ Ax 0 ‰A 0 ‰ Ax 0 ‰Ay rot A = x z − − +z − +y ‰z ‰x ‰y ‰z ‰y ‰x Rechenregeln Skalarer Laplace-Operator 17.12.2004 1.8.2004 Grundgesetze.doc Eugen Schäfer Halbleiterphysik / Grundgesetze 2 ‰2 A ‰2 A ‰2 A + + ‰ x 2 ‰ y 2 ‰z 2 rot(grad A) = 0 div(grad A) = div (rot A) = 0 grad( A + B ) = grad A + grad B grad( A B ) = A grad B + B grad A div( A + B ) = div A + div B div( A B ) = B grad A + A div B rot( A B ) = (grad A) × B + A rot B Elektrostatisches Feld Elektrische Ladung, elektrische Feldstärke und dielektrische Verschiebung 0 ‰j 0 ‰j 0 ‰j E = − grad j grad j = x +y +z ‰x ‰y ‰z U = ∫ Eds E = x Ex + y E y + z Ez D = eE e = e0 er 0 Q = ∫ r dV = 0 10− 9 As 9 ⋅ 4π Vm ‰Dx ‰Dy ‰Dz + + div D = ‰x ‰y ‰z 2 2 ‰ j ‰ j ‰2 j div grad j = 2 + + ‰x ‰ y 2 ‰z 2 div D = r div grad j = − 0 r e ∫ DdA 0 e0 = 0 D Physikalische Größen dielektrische Verschiebung oder elektrische Flussdichte E elektrische Feldstärke j r e e0 er elektrisches Potential Ladungsdichte U Q q V A W F s Permitivität 0 D = x Dx + y Dy + z Dz Einheiten As m 2 Vm V As m3 e = e0 er As Vm Dielektrizitätskonstante oder Influenzkonstante As Vm relative Permitivität - elektrische Spannung elektrische Ladung neutrale Elementarladung Volumen Fläche Energie Kraft Weg .V As m3 m2 VAs N m Elektrische Ladung, elektrische Feldstärke und dielektrische Verschiebung im Halbleiter Zur Untersuchung der Geschehnisse an der Grenze zwischen unterschiedlich dotierten Bereichen in einem Halbleiter geht man von einem langgestreckten, quaderförmigen Halbleiterkristall aus, der von einem Ende aus bis zur Mitte p-dotiert und vom anderen Ende bis zur Mitte n-dotiert ist. Beiderseits der Grenze entsteht durch die Ionisation der Akzeptoren einerseits und der Donatoren andererseits und der daraus resultierenden elektrischen Feldstärke ein von beweglichen Ladungsträgern freier Raum. Die elektrische Feldstärke in der Raumladungszone lässt sich in folgender Weise berechnen. 17.12.2004 1.8.2004 Grundgesetze.doc Eugen Schäfer Halbleiterphysik / Grundgesetze 3 ∫ D dA = Q Q = ∫ r dV ∫ D dA = ∫ r dV r ∫ E dA = ∫ e e dV 0 r In der Betrachtung des p/n-Übergangs in der Festkörperphysik kann das Geschen auf eine Koordinatenrichtung beschränkt werden. Die x-Achse des Koordinatensystems steht auf der Grenzfläche zwischen p- und n-dotiertem Gebiet senkrecht und weist vom p-Gebiet in das nGebiet. Der Feldstärkevektor E ist parallel zur x-Achse und in seiner Richtung von der Polarität der Ladung abhängig. Der Flächenvektor d A weist in die Richtung der positiven x-Achse. Die elektrische Feldstärke E ist über den Querschnitt A des Halbleiterkristalls konstant. Bei konstanter Ladungsdichte r ergibt sich für das elektrische Potential j( x ) und die elektrische Feldstärke E ( x ) folgender Verlauf in x-Richtung. 1 r d V = A dx E ( x ) = ∫ dV A e r r dx = x + c 1 e e r x2 − c 1x + c 2 j( x ) = − ∫ E ( x )dx = − e 2 E( x ) = ∫ c 1 = E ( x )x = 0 c 2 = j( x )x =0 Der Elementarladung q kann über die Coulombkraft F die Energie W zugeordnet werden. F = qE W = ∫ F ds = q ∫ E ds = −q j Wenn das Geschehen auf eine Koordinatenachse beschränkt wird, erhält man W ( x ) = −q j( x ) . Elektrisches Strömungsfeld Elektrische Feldstromdichte im Strömungsfeld Der elektrische Feldstrom entsteht im Halbleiter durch die Bewegung von positiven und negativen Ladungen auf Grund eines elektrischen Feldes. Die Feldstromdichte SF setzt sich aus den Strömungen der positiven SFa und der negativen Ladungen SFb zusammen. SFb = − rb v b v b = − mb E SFa = ra v a v a = ma E ( ) SF = SFb + SFa = gb + ga E rb = q n ra = q p ( g = q n mb + p ma ) gb = q n mb ga = qp ma SFb = gbE SFa = gaE SF = g E A/m S Physikalische Größen elektrische Feldstromdichte der Elektronen elektrische Feldstromdichte der Defektelektronen SF elektrische Feldstromdichte A/m2 rb Ladungsdichte der negativen Ladungen As/m3 ra Ladungsdichte der positiven Ladungen As/m3 e Elementarladung e = 1,602 ⋅ 10-19 As neutrale Elementarladung q=e Ladungsträgerdichte der negativen Ladungen Ladungsträgerdichte der positiven Ladungen Geschwindigkeit der Elektronen As b F S a F q n p vb 17.12.2004 1.8.2004 Einheiten 2 A/m2 1/m3 1/m3 m/s Grundgesetze.doc Eugen Schäfer Halbleiterphysik / Grundgesetze 4 m/s mb Geschwindigkeit der Defektelektronen Beweglichkeit der Elektronen ma Beweglichkeit der Defektelektronen m2/Vs gb elektrische Leitfähigkeit für Elektronen A/Vm ga g elektrische Leitfähigkeit für Defektelektronen A/Vm elektrische Leitfähigkeit elektrische Feldstärke A/Vm V/m va E m2/Vs Elektrische Diffusionsstromdichte Durch die Diffusion von Ladungsträgern in Halbleitern entsteht ein Teilchenstrom, der nach dem 1. Fickschen Gesetz vom Gradienten der Ladungsträgerdichte abhängt und der infolge der Bewegung der Ladungsträger und damit der Ladungen einen elektrischen Strom darstellt. Der Gradient zeigt in die Richtung des größten jeweiligen Feldanstiegs. Die Diffusion kann je nach Verteilung der positiven bzw. negativen Ladungsdichte den Feldstrom unterstützen oder hemmen. 0 ‰n 0 ‰n 0 ‰n b s Db = −Ddif grad n grad n = x n = fn ( x, y , z ) +y +z ‰x ‰x ‰y 0 ‰p 0 ‰p 0 ‰p a grad p = x p = fp ( x, y , z ) s Da = −Ddif grad p +y +z ‰x ‰y ‰z b b SDb = −q sDb = q Ddif grad n = Ddif grad rb rb = q n a a SDa = q sDa = −q Ddif grad p = −Ddif grad ra ra = q p Physikalische Größen Teilchenstromdichte der Elektronen Einheiten 1/ m2 s sDa Teilchenstromdichte der Defektelektronen 1/ m2 s b Ddif Diffusionskonstante der Elektronen m2 / s a Ddif Diffusionskonstante der Defektelektronen m2 / s SDb Diffusionsstromdichte der Elektronen A /m2 SDa gradn grad p Diffusionsstromdichte der Defektelektronen A /m2 Gradient der Ladungsträgerdichte der Elektronen Gradient der Ladungsträgerdichte der Defektelektronen Gradient der Ladungsdichte der Elektronen 1/m 4 1/m 4 As/m4 s b D grad rb grad ra Gradient der Ladungsdichte der Defektelektronen As/m4 Gesamtstromdichte Die Gesamtstromdichte S setzt sich vektoriell aus den Stromdichten der negativen Ladungsträger S b und der positiven Ladungsträger S a zusammen. b S b = SFb + SDb = gbE + Ddif grad rb a S a = SFa + SDa = gaE − Ddif grad ra S = Sb + S a b S Sa S Physikalische Größen Stromdichte der negativen Ladungen Stromdichte der positiven Ladungen Gesamtstromdichte Einheiten 2 A /m A /m2 A /m2 Ladungsdichten und Verschiebungsströme in Leitern und Halbleitern In der folgenden Betrachtung wird bei der elektrischen Ladung kein Unterschied zwischen Donatoren und Akzeptoren gemacht. Auch der Diffusionsstrom bleibt unbeachtet. Nach den 17.12.2004 1.8.2004 Grundgesetze.doc Eugen Schäfer Halbleiterphysik / Grundgesetze 5 Maxwellschen Gleichungen ist die Ladung r mit der dielektrischen Verschiebung D in der folgenden Weise verknüpft. div D = r Für die zeitliche Ableitung ergibt sich die folgende Beziehung, i i div D = r Das Durchflutungsgesetz macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen der elektrischen Strömung und dem sie umgebenden Magnetfeld. Die Strömung setzt sich zusammen i aus Feldstrom S und Verschiebungsstrom D . Die Diffusion bleibt erst einmal unberücksichtigt. i rot H = S + D Um die zeitliche Ladungsdichte in die Betrachtung mit einbeziehen zu können, wird die Divergenz des Vektorfeldes gebildet, wobei man vom Vektorfeld zum skalaren Feld gelangt. i div rot H = div S + D Die Rechenregel der Vektorrechnung ( ) ( ) div rot H = 0 führt zu einer Differentialgleichung, aus der das zeitliche Verhalten der Ladungsdichte r(t ) an einer beliebigen Stelle des Halbleiters berechnet werden kann, wenn sie zur Zeit t = 0 bekannt ist. i div S + D = 0 i i div S = − div D = − r 0 ‰A 0 ‰A 0 ‰A grad A = x +y +z ‰x ‰y ‰z S = gE D = eE i g div D = − r e e i r(t ) = r(t ) g Die Lösung der Differentialgleichung durch Trennung der Variablen und nach Einführung der Anfangsbedingung zur Zeit t = 0 sowie der Zeitkonstanten t= e g lautet r(t ) = rt=0 e-t/ t Wird die Diffusion in die Betrachtung mit einbezogen, ergibt sich der zeitliche und örtliche Verlauf der Ladungsdichte. Die Ableitung der entsprechenden Berechnung erfolgt in ähnlicher Weise wie im vorigen Fall ohne Berücksichtigung der Diffusion. Die Diffusionskonstante trägt die Bezeichnung DDiff , ohne zunächst die Ladungsträgerart näher zu bezeichnen. div D = r i i div D = r i div S + D = 0 Die Stromdichte S beinhaltet nun den Diffusionsstrom. Bei der Diffusionskonstanten Ddif wird hier kein Unterschied gemacht ob sie für Donatoren oder Akzeptoren Gültigkeit hat. Formal gilt sie für 17.12.2004 1.8.2004 Grundgesetze.doc Eugen Schäfer Halbleiterphysik / Grundgesetze 6 positive Ladungsteilchen. S = g E − Ddif grad r i div D + g E − Ddif grad r = 0 i div D + g div D − Ddif div ( grad r) = 0 e Wenn man sich innerhalb des Halbleiters auf das Geschehen in Richtung der x-Achse beschränkt, ergibt sich die folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung. ‰2r ( x, t ) g ‰r ( x, t ) D − r ( x, t ) − =0 2 e ‰t ‰x Geht man von einem stationären Verhalten der Ladungsträger aus, wird also die zeitliche Änderung der Ladungsdichte ausgeschlossen, ergibt sich die folgende Differentialgleichung. ‰2 r ( x ) g D − r( x ) = 0 e ‰x 2 Bleibt am Eingang des Diffusionsbereiches die Konzentration der Ladungen (zwangsweise) konstant, lässt sich das Problem des örtlichen und zeitlichen Verhaltens der Ladungsdichten in der folgender Weise lösen. ‰2 r ( x, t ) ‰r ( x, t ) D − =0 ‰t ‰x 2 Es ergibt sich ein Ausdruck für die Wanderungsgeschwindigkeit der Diffusionsfront. Für die Lösung der Differentialgleichung kann ein vereinfachender Ansatz gemacht werden. Es wird vorausgesetzt, dass die Ladungsträgerdichte vom Koordinatenursprung x = 0 und der Ortskoordinate x linear bis auf Null abnimmt. Bei der Betrachtung des p/n-Übergangs wird die Behandlung der Ladungsdichten und Verschiebungsströme wieder aufgenommen. Translation F = ma dv a= dt p = mv dp d F= = ( mv ) dt d P = Fv W = ∫ Pdt = ∫ Fv dt W = ∫ mv dv W = ∫ F ds m v2 2 Physikalische Größen Kraft W = F P Leistung W Energie v a m p t Geschwindigkeit 17.12.2004 N N m s oder W Nm oder VAs ms Einheiten 1N = 1kg m s2 1W = 1VA 1Nm = 1VAs = 1kgm2 s 2 m s2 kg kgm s s Beschleunigung Masse Impuls Zeit 1.8.2004 Grundgesetze.doc Eugen Schäfer s Halbleiterphysik / Grundgesetze Weg 7 m Rotation M = Je J = ∫ r 2 dm dw dt L = Jw w = 2pf dL d M= = (Jw) d t dt P = Mw W = ∫ P dt = ∫ M w dt e= J w2 L2 = 2 2J Physikalische Größen Drehmoment W = ∫ J w dw = M P Einheiten Nm Nm s oder W Leistung W J Energie Trägheitsmoment N m oder VAs w, w e Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung 1s L, L t f Drehimpuls Zeit Frequenz kg m2 s s Hz 1W = 1VA 1Nm = 1VAs = 1kgm2 s 2 kg m2 1 s2 1Hz = 1/ s Magnetisches Moment Eine Ladung Q, die sich mit der Geschwindigkeit v im Magnetfeld mit der Flussdichte B bewegt erfährt die Lorentzkraft F = Qv × B Die Geschwindigkeit v zeigt in die Richtung der Bewegung der positiven Ladung. Ein mit dem Strom I durchflossener Leiter mit der Länge l erfährt im Magnetfeld mit der Flussdichte B die Lorenzkraft F = Il × B Der gerichtete Weg l zeigt in die Richtung der Bewegung der positiven Ladungsträger, also in die Richtung des elektrischen Stromes. Eine stromdurchflossene und drehbar gelagerte Rechteckspule mit dem Radius r erfährt in einem magnetischen Feld infolge der Lorentzkraft ein Drehmoment von Mmech = 2 r × F ( Mmech = 2 I r × l × B ) r ⊥l l ⊥B Mit dem Entwicklungssatz der Vektorrechnung ergibt sich daraus Mmech = 2 I r × l × B . ( ) In diese Beziehung kann die von der Leiterschleife aufgespannte Fläche als Vektor A eingeführt werden. Der Flächenvektor steht auf der Fläche senkrecht. A= 2r ×l Mmech = I A × B Durch die Einführung des magnetischen Moments 17.12.2004 1.8.2004 Grundgesetze.doc Eugen Schäfer Halbleiterphysik / Grundgesetze 8 Mmagn = I A lässt sich das mechanische Moment in der Form Mmech = Mmagn × B schreiben. Das magnetische Moment eines kreisenden Elektrons im Wasserstoffatom wird durch den Strom bestimmt, der durch die Bewegung des Elektrons hervorgerufen wird. Mit der Frequenz f, der Umlaufzeit T, der Winkelgeschwindigkeit w und der Winkelgeschwindigkeit v kann der Strom I in folgender Weise ausgedrückt werden. 1 f = T w = 2pf v = wr e e2prf ewr ev I = − = −e f = − =− =− T 2 pr 2pr 2pr Die durch die Elektronenbahn aufgespannte Fläche hat folgende Größe. pr r ×v A= v Für das magnetische Moment ergibt sich somit Mmagn = IA e r ×v 2 e = − r 2w 2 Mmagn = − Mmagn Drehachse B v Nordpol l A F M magn F Suedpol r I Drehspule M mech Magnetisches Moment Mmech Physikalische Größen mechanisches Moment Nm Mmagn magnetisches Moment Am2 I A T f elektrischer Strom Flächenvektor Umlaufzeit Frequenz Kreisfrequenz Geschwindigkeit A m2 s 1s 1s ms w v 17.12.2004 1.8.2004 Einheiten Grundgesetze.doc Eugen Schäfer Halbleiterphysik / Grundgesetze 9 Atomeigenschaften Relative Atommasse Bei der Betrachtung des elektrischen Geschehens in Halbleitern spielt das Massenwirkungsgesetz mit seinen atomaren und molekularen Problemen eine Rolle. Die relative Atommasse des chemischen Grundstoffes X beträgt mAtom ( X ) Ar ( X ) = . Ar( 126 C ) = 12 12 (1/12)mAtom ( 6 C ) Die relative Atommasse eines Stoffes ist der Faktor, um den die Masse eines Atoms dieses Stoffes X größer ist als ein Zwölftel der Masse eines Kohlenstoffatoms des Nuklids 126 C (12 Massenzahl des Isotops, 6 Ordnungszahl). Relative Molekülmasse Bei der relativen Molekülmasse Mr (Y ) ist Y das Molekül der Verbindung (Y ) , für das der Relativwert bestimmt werden soll. mMolekül (Y ) Mr (Y ) = (1/12)mAtom ( 126 C ) Stoffmenge Mit der Basisgröße Stoffmenge nmol ( X ) [DIN 32625] wird die Quantität einer Stoffportion auf der Grundlage der Anzahl der darin enthaltenen Teilchen bestimmter Art angegeben. Die Einheit der Stoffmenge ist das Mol (Grundeinheit) mit der Einheitenbezeichnung : mol. Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Einzelteilchen besteht, wie Atome in 0,012 kg des Kohlenstoffnuklids 126C enthalten sind. Bei der Verwendung der Einheit mol müssen die Einzelteilchen spezifiziert sein und können Atome, Moleküle, Ionen, oder Elektronen sein. Molare Masse Die molare Masse Mmol ( X ) [DIN 32625] eines Stoffes ist der Quotient aus der Masse m ( X ) und der Stoffmenge nmol ( X ) dieses Stoffes. m(X ) g g Mmol ( 126 C ) = A r( 126 C ) = 12 mol mol nmol ( X ) Die molare Masse bezieht die Masse eines Stoffes m ( X ) auf seine Stoffmenge nmol ( X ) . Die Einheit der molaren Masse ist: kg / mol Mmol ( X ) = Avogadrozahl Die Avogadrozahl oder Avogadrosche Konstante beträgt N A = 6,023 ⋅ 1023 Die Avogadrozahl gibt die Anzahl der Teilchen in einem Mol eines Stoffes an. Atomare Masseneinheit Die atomare Masseneinheit u lässt sich aus einem Zwölftel der Masse eines Mols Kohlenstoff ermitteln (oder der Masse eines Mols Wasserstoff) ermitteln. Die Anzahl der Teilchen pro Mol ist durch die Avogadrozahl gegeben. Mmol ( 126 C ) ⋅ nmol ( 126 C ) 1 1u = ⋅ NA A r( 126 C ) 1u = 1,66057 ⋅ 10- 27 kg Konzentration Die Konzentration des Stoffes X ist die auf das Volumen V(X) bezogene Stoffmenge nmol ( X ) . 17.12.2004 1.8.2004 Grundgesetze.doc Eugen Schäfer c( X ) = Halbleiterphysik / Grundgesetze 10 nmol ( X ) V(X ) Teilchendichte n ( X ) = NA c( X ) = N A nmol ( X ) V(X ) Massenwirkungsgesetz In einem chemischen System stellt sich bei einem im chemischen Sinne umkehrbaren Vorgang infolge der Dissoziations- und Rekombinationsvorgänge zwangsläufig ein Gleichgewicht ein. Handelt es sich um ein System mit zwei Reaktionspartnern [A] und [B], die eine chemische Verbindung [C] eingehen können, so existieren in dem System, nachdem sich das Gleichgewicht eingestellt hat, die beiden Reaktionsteilnehmer [A] und [B] sowie die Verbindung [C] in einem bestimmten festen Mengenverhältnis. [ A] + [B ] →← [C ] Druck-, Temperatur- und Mengenänderungen der an der Reaktion beteiligten Stoffe können dieses Gleichgewicht verschieben. Das chemische System passt sich durch Änderung der Zerfalls- und Vereinigungsprozesse der neuen Situation an. Z.B. führt eine Wärmezufuhr und damit Temperatursteigerung zu einer Vermehrung der Zerfallsprozesse, wodurch Energie verbraucht wird. Schließlich stellt sich eine neue Ausgewogenheit ein. Das Gleichgewicht in einem chemischen System ist ohnehin nicht als Ruhezustand zu verstehen. Vielmehr laufen Bildung und Auflösung des Reaktionsproduktes ständig nebeneinander her. Im Gleichgewicht zerfallen genau so viele Verbindungen wie aufgebaut werden. Die Rekombinationsrate RR[ A] des Stoffes [A] und die Rekombinationsrate RR[B] des Stoffes [B] sowie die Dissoziationsrate RD[C] des Stoffes [C] sind den zugehörigen Konzentrationen c[ A] des Stoffes [A], c[B] des Stoffes [B] und c[C] der Verbindung [C] proportional, sofern sich Druck, Temperatur und die Menge der Teilchen nicht durch äußere Einflüsse ändern. Das Massenwirkungsgesetz lässt sich demgemäß durch folgende mathematische Beziehungen ausdrücken, wobei die Faktoren k[ A] , k[B] und k[C] die Proportionalität ausdrücken. Für die Dissoziation gilt RD[C] = c[C]k[C] und für die Rekombination RR[ A,B] = c[ A]k[ A] = c[B]k[B] . Da an dem Rekombinationsprozess die Stoffe [A] und [B] beteiligt sind, muss der Proportionalitätsfaktor k[ A] auch von der Konzentration c[B] des Stoffes [B] abhängen. k[ A] = k[ A,B]c[B] Das Gleiche gilt auch für den Proportionalitätsfaktor k[B] . k[B] = k[ A,B]c[ A] . Somit ergibt sich für die Rekombinationsrate RR[ A,B] = k[ A,B]c[ A]c[B] Die Rekombinationsrate RR[ A,B] muss zwangsläufig gleich der Dissoziationsrate RD[C] sein. RR[ A,B] = RD[C] Das führt zu folgender Beziehung c[ A]c[B] k[ C ] = = k ( DW ,T ) . c[C] k[ A,B] Durch die Abhängigkeiten k[C] = f ( DW ,T ) und 17.12.2004 1.8.2004 Grundgesetze.doc Eugen Schäfer Halbleiterphysik / Grundgesetze 11 k[ A,B] = f (T ) ist die Proportionalitätskonstante k von der Dissoziationsenergie DW und der Temperatur T abhängig, die sich im Gleichgewichtszustand natürlich nicht ändern. Das Massenwirkungsgesetz kann nicht nur auf Teilchendichten n ( X ) von Stoffen in chemischen Systemen angewandt werden sondern auch auf Ladungsträgerdichten, d.h. auf Elektronendichten und Defektelektronendichten in Halbleitersystemen. Die Teilchenkonzentration c[ A] entspricht dann z.B. der Elektronendichte n, die Teilchenkonzentration c[B] der Defektelektronendichte p und die Teilchenkonzentration c[C] der Dichte der unaufgebrochenen oder neutralen Verbindungen Nneut .Für die elektrische Leitfähigkeit sind die frei beweglichen Elektronen und Defektelektronen zuständig. np = k ( DW ,T ) Nneut Die Dichte der neutralen Verbindungen Nneut kann als konstant angesehen werden und wird mit der Proportionalitätskonstanten k zu einer weiteren Konstanten k i zusammengefasst. n p = ki ( DW ,T ) In einem reinen Halbleiter oder Intrinsic-Halbleiter treten gleich viele Elektronen und Defektelektronen auf. n = p = ni n i2 = k i( DW ,T ) n p = n 2i Die Intrinsicdichte n i ist nicht nur auf den Fall n = p beschränkt. In der Gleichgewichtsbedingung Dissoziationsrate = Rekombinationsrate ist nämlich die Gleichheit der Ladungsträgerdichten keineswegs Voraussetzung. Halbleiter können mit Donatoren oder Akzeptoren oder mit beiden dotiert werden. Dotierte Halbleiter enthalten neben dem Intrinsicmaterial z.B. Silizium (4-wertig) als Donatoren Phosphor oder Arsen (5-wertig) oder Indium (3-wertig). Diese Zusatzstoffe verändern entscheidend die Ladungsträgerdichte und deren Art. Auch in diesem Fall ist das Massenwirkungsgesetz anwendbar. Für die Ladungsträgerkonzentrationen gilt auch im Falle der Dotierung mit Donatoren und/oder Akzeptoren n p = n 2i , wobei je nach Art der Dotierung die Elektronendichte oder die Defektelektronendichte überwiegt. Durch die Dotierung kommt es zu einer Verschiebung des Ladungsgleichgewichts des eigenleitenden Halbleitermaterials. 17.12.2004 1.8.2004 Grundgesetze.doc
