Formelsammlung Felder und Komponenten II

Formelsammlung
Felder und Komponenten II
von Stephan Senn, D-ITET
Inhaltsverzeichnis
Einteilung der Wellen ............................................................................................... 3
TEM-Wellen: Transversal Elektro-Magnetische Wellen ...................................................... 3
TE-Wellen oder H-Wellen: Transversal Elektrische Wellen................................................. 3
TM-Wellen oder E-Wellen: Transversal Magnetische Wellen ............................................. 3
Ebene Wellen ............................................................................................................ 3
Allgemein ............................................................................................................................... 3
Helmholtzgleichungen ........................................................................................................... 4
Wellenwiderstand................................................................................................................... 4
Charakteristische Parameter für die Ausbreitung der Wellen ................................................ 4
Skineffekt ............................................................................................................................... 5
Verlusttangens........................................................................................................................ 5
Widerstand eines Leiters ........................................................................................................ 5
Polarisation............................................................................................................................. 5
Polarisation und Phasordarstellung ........................................................................................ 6
Mittlere Leistungsdichte......................................................................................................... 6
Reflexion und Transmission.................................................................................... 6
Reflexionskoeffizient ............................................................................................................. 7
Transmissionskoeffizient ....................................................................................................... 7
Zusammenhang zwischen T und Γ......................................................................................... 7
Stehwellenverhältnis .............................................................................................................. 7
Verschiebung des Reflexionskoeffizienten............................................................................ 7
Reflexion und Transmission bei mehreren Schichten............................................................ 8
Allgemeines Verfahren .......................................................................................................... 9
Orte der Maxima und Minima der stehenden Welle bestimmen ......................................... 10
Einfallsebene einer Welle..................................................................................................... 10
Parallele Polarisation: TEy-Welle......................................................................................... 11
Senkrechte Polarisation: TMy-Welle.................................................................................... 11
Geometrische Optik.............................................................................................................. 11
Totalreflexion ....................................................................................................................... 12
Brewster-Winkel .................................................................................................................. 12
Tensoren ............................................................................................................................... 12
Leitungstheorie....................................................................................................... 13
Charakteristische Impedanz ................................................................................................. 13
Leitungsersatzschaltbild ....................................................................................................... 13
Ausbreitung von Strom und Spannung auf der Leitung....................................................... 13
Spezialfälle fehlangepasster Leitungen................................................................................ 15
Leistungsanpassung.............................................................................................................. 15
Stephan Senn, D-ITET
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Orte der Spannungsmaxima und Spannungsminima bestimmen ......................................... 16
Leistungsfluss entlang einer Leitung.................................................................................... 16
Reflexionsverluste................................................................................................................ 17
Einfügungsverluste............................................................................................................... 17
Smith Chart ............................................................................................................. 17
Normierung der Impedanzen und Admittanzen ................................................................... 17
Eigenschaften des Smith Charts........................................................................................... 17
Impedanz einzeichnen .......................................................................................................... 18
Das Black-Magic-Design ..................................................................................................... 18
SWR bestimmen................................................................................................................... 18
Impedanz in Admittanz wandeln – und umgekehrt ............................................................. 18
Eingangs- und Ausgangsimpedanz bestimmen.................................................................... 18
Tipps und Tricks aus der Praxis ........................................................................................... 19
Verlustbehaftete Leitungen ................................................................................... 20
Ersatzschaltbild .................................................................................................................... 20
Leitungsgleichungen ............................................................................................................ 20
Leitungsbetrachtungen bei geringen Verlusten.................................................................... 20
Hohlleiter ................................................................................................................. 21
Monomode und Multimode.................................................................................................. 21
Ausbreitung .......................................................................................................................... 21
Rechteckhohlleiter................................................................................................................ 21
Rundhohlleiter...................................................................................................................... 25
Dielektrische Wellenleiter ...................................................................................... 27
Schichtwellenleiter ............................................................................................................... 27
Faserwellenleiter .................................................................................................................. 27
Antennen ................................................................................................................. 28
Aufbau einer Antenne .......................................................................................................... 28
Richtdiagramm ..................................................................................................................... 28
Sende- und Empfangscharateristik....................................................................................... 28
Antennenparameter .............................................................................................................. 28
Der Hertzsche Dipol............................................................................................................. 29
Konstanten.............................................................................................................. 30
Quellenverzeichnis................................................................................................. 30
Stephan Senn, D-ITET
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Einteilung der Wellen
TEM-Wellen: Transversal Elektro-Magnetische Wellen
Wenn die z-Achse die Ausbreitungsrichtung beschreibt, dann gilt:
• Es gibt keine Feldkomponenten in Ausbreitungsrichtung: E z = H z = 0 .
G
G
• E- und H-Feld stehen senkrecht aufeinander: E ⊥ H .
TE-Wellen oder H-Wellen: Transversal Elektrische Wellen
Wenn die z-Achse die Ausbreitungsrichtung beschreibt, dann gilt:
• Ez = 0
• Hz ≠ 0
Weiter gilt:
• Es gibt also Feldkomponenten in Ausbreitungsrichtung.
• E- und H-Feld stehen nicht senkrecht aufeinander.
TM-Wellen oder E-Wellen: Transversal Magnetische Wellen
Wenn die z-Achse die Ausbreitungsrichtung beschreibt, dann gilt:
• Ez ≠ 0
• Hz = 0
Weiter gilt:
• Es gibt also Feldkomponenten in Ausbreitungsrichtung.
• E- und H-Feld stehen nicht senkrecht aufeinander.
Ebene Wellen
Ebene Wellen sind TEM-Wellen, bei denen sämtliche Ableitungen transversal1 zur
Ausbreitungsrichtung verschwinden. Das E- und H-Feld zusammen mit dem Wellenvektor k
bildet ein Rechtssystem.
G
G G
E
E = Z w H × ez
G
1 G G
H=
ez × E
Zw
k
(
(
)
)
H
Allgemein
v = f ⋅λ
1
k=
2π
λ
= ω ⋅ εµ
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
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Helmholtzgleichungen
FürG die Ausbreitung
der E- und H-Felder gilt:
G
2
∆H = − k H
G
G
∆E = −k 2 E
Man erhält dann z.B. für die folgenden Helmholtzgleichungen folgende Lösung:
∂2
H y = −k 2 H y
Î
E x = E0 + ⋅ e − jkz + E0 − ⋅ e + jkz
∂z 2
∂2
E x = −k 2 E x
Î
H y = H 0 + ⋅ e − jkz + H 0 − ⋅ e + jkz
2
∂z
Wellenwiderstand
Zw =
E 0+
E 0−
jωµ
=
−
=
+
−
σ + jωε
H0
H0
Im verlustlosen Fall ( σ = 0 ) gilt:
Zw =
µ
µr
= Z w0 ⋅
ε
εr
Für gute Dielektrika ( σ ωε ) gilt:
µ 
σ
3 σ2 
⋅ 1 + j
− ⋅ 2 2
Zw ≈
2ωε 8 ω ε 
ε 
Für gute Leiter ( σ ωε ) gilt:
jωµ
Zw ≈
σ
Charakteristische Parameter für die Ausbreitung der Wellen
k = − jωµ (σ + jωε ) = β − jα
2

1
σ 

 1+ 
 ≥0
−
α = ω µε
1
2
ωε 



β = ω µε
2

1
σ 
 1 + 
 >0
+
1
2
ωε 



 Np 
in  
m
 rad 
in 
 m 
Im verlustlosen Fall ( σ = 0 ) gilt:
k=β
α =0
β = ω εµ
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Für gute Dielektrika ( σ ωε ) gilt:

σ
σ2 
k ≈ ω µε ⋅  1 − j
+ 2 2
2ωε 8ω ε 

α≈
σ
2
µ
ε

σ2 
β ≈ ω µε ⋅  1 + 2 2 
 8ω ε 
Für gute Leiter ( σ ωε ) gilt:
k ≈ jωµσ
α=β ≈
ωµσ
2
Skineffekt
Die Eindringtiefe oder Skintiefer der Welle berechnet sich wie folgt:
1
δ=
α
Für gute Leiter ( σ ωε ) gilt:
2
δ≈
ωµσ
Verlusttangens
G
G
Leitungsstromdichte: J c = σ E
G
G
Verschiebungsstromdichte: J d = jωε E
G
Jc
σ
= tan(θ )
G =
J d ωε
Widerstand eines Leiters
l
σA
•
Bei Gleichstrom: RDC =
•
Bei Wechselstrom: RAC =
mit dem Querschnitt A
l
σδω
Polarisation
Gegeben seien die folgenden E- und H-Felder:
G
G
G
E = E1+ cos(ω t − β z )ex + E2+ cos(ω t − β z + ϕ )e y
G E+
G E+
G
H = 1 cos(ω t − β z )e y − 2 cos(ω t − β z + ϕ )ex
Zw
Zw
Man beachte, dass das elektrische Feld die Polarisationsrichtung angibt.
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Lineare Polarisation
Für ϕ = 0° sind die Felder linear polarisiert. Die Amplituden E1 und E2 müssen nicht gleich
gross sein.
Zirkulare Polarisation
Für ϕ = ±90° und E1+ = E2+ sind die Felder zirkular polarisiert. Für den Drehsinn gilt nun:
• ϕ = +90° : linksdrehend; im Gegenuhrzeigersinn; Left-Hand Circular Polarisation (LHCP)
• ϕ = −90° : rechtsdrehend; im Uhrzeigersinn; Right-Hand Circular Polarisation (RHCP)
Elliptisch polarisierte Welle
Dies ist der allgemeine Fall. Für ϕ ≠ 0° und E1+ ≠ E2+ sind die Felder elliptisch polarisiert.
Man beachte, dass jede elliptisch polarisierte Welle durch die Superposition von zwei
orthogonalen, linear polarisierten, ebenen Wellen dargestellt werden kann.
Polarisation und Phasordarstellung
Gegeben seien die folgenden E- und H-Felder in Phasordarstellung:
G
G
G
G
G
E = E1+ ex e − jkz + E2+ e y e − jkz = E1+ ex e − jkz + jϕ1 + E2+ e y e − jkz + jϕ 2
G E+ G
E1+ G − jkz + jϕ
E2+ G − jkz + jϕ
E+ G
1
2
−
H = 1 e y e − jkz − 2 ex e − jkz =
ey e
ex e
Zw
Zw
Zw
Zw
Man bildet zunächst den Realteil des E-Felds der Welle. Anschliessend bestimmt man die
Polarisation des Realteils.
Lineare Polarisation
Für ϕ1 = ϕ 2 ist die Welle linear polarisiert.
Zirkulare Polarisation
Für ϕ1 = ϕ 2 ± 90° und E1+ = E2+ ist die Welle zirkular polarisiert.
Elliptische Polarisation
Im allgemeinen Fall ist die Welle elliptisch polarisiert.
Mittlere Leistungsdichte
G
G G
1
Sav = Re E × H *
2
{
}
Reflexion und Transmission
Für die Amplituden gilt:
• E1+ : Amplitude der einfallenden Welle
•
E1− : Amplitude der reflektierten Welle
•
E2+ : Amplitude der transmittierten Welle
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Für die Richtung der Feldkomponenten gilt:
Einfallende Welle:
G
E1i = Ee − jkz ⋅ ex
H1i =
E − jkz G
e ⋅ ey
Z w1
Reflektierte Welle:
G
ΓE jkz G
E1r = ΓEe jkz ⋅ ex
H1r = −
e ⋅ ey
Z w1
Transmittierte Welle:
G
TE − jkz G
E2t = TEe − jkz ⋅ ex
H 2t =
e ⋅ ey
Z w1
Reflexionskoeffizient
Γ=
E1− Z w 2 − Z w1
=
E1+ Z w 2 + Z w1
0 ≤ Γ ≤1
Transmissionskoeffizient
T=
E2+
2Z w2
=
+
E1 Z w 2 + Z w1
0≤ T ≤2
Zusammenhang zwischen T und Γ
T = 1+ Γ
Man beachte, dass im allgemeinen T und Γ komplex sind.
Stehwellenverhältnis
SWR =
Emax 1 + Γ
=
Emin 1 − Γ
Γ=
SWR − 1
SWR + 1
1 ≤ SWR < ∞
Für das Stehwellenverhältnis in [dB] gilt: SWRdB = 20log10 ( SWR )
Verschiebung des Reflexionskoeffizienten
Für die einfallende Welle gilt:
G
E i = E + e − jkz ⋅ ex
Für die reflektierte Welle gilt:
G
E r = E − e jkz ⋅ ex
Der Reflexionskoeffizient ΓL wird nun um d nach links verschoben. Es gilt:
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einfallende Welle
ΓL =
E−
E+
Verschiebung der einfallenden Welle nach links: e
+ jkd
Verschiebung der reflektierten Welle nach rechts: e
− jkd
Damit gilt:
reflektierte Welle
Γ=
d
E − ⋅ e − jkd
= Γ L ⋅ e −2 jkd
E + ⋅ ⋅e + jkd
Die Verschiebung des Reflexionskoeffizienten um d nach rechts verläuft analog dazu und
liefert:
− jkd
Verschiebung der einfallenden Welle nach rechts: e
+ jkd
Verschiebung der reflektierten Welle nach links: e
Damit gilt:
Γ=
E − ⋅ e + jkd
= Γ L ⋅ e +2 jkd
+
− jkd
E ⋅ ⋅e
Die Verschiebungsrichtungen der Wellen sind jeweils so gerichtet, dass die Struktur der
superponierten stehenden Welle erhalten bleibt.
Reflexion und Transmission bei mehreren Schichten
Betrachtet man mehrere hintereinanderliegende Schichten, so erweist sich die Berechnung des
Reflexions- und des Transmissionskoeffizienten als schwieriger. Denn an jeder Grenzschicht
tritt Reflexion und Transmission auf. Trift nun eine Welle, die im Medium 1 verläuft, an die
Grenzschicht zum Medium 2, so wird ein Teil der Welle reflektiert und der andere Teil
transmittiert. Die transmittierte Welle wird an der Grenzschicht zum Medium 3 wiederum
reflektiert und transmittiert. Die reflektierte Welle läuft zurück zur Grenzschicht zum Medium
1 und wird dort wieder reflektiert und transmittiert. Dieser Prozess setzt sich solange fort, bis
der Grad der Reflexion gegen null abgeklungen ist.
Vorgehen zur Bestimmung des Reflexionskoeffizienten bei z=-d-
Um den Betrag und die Phase des Reflexionskoeffizienten bei z = −d − zu bestimmen, bedient
man sich folgendem Verfahren:
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1. Koordinatensystem so auslegen, dass z = 0 bei der hintersten Grenzschicht liegt
(Grenzschicht zwischen Medium 2 und 3).
2. Reflexionskoeffizient Γin ( z = 0− ) bei z = 0− berechnen:
Z − Z w2
Γin ( z = 0− ) = w3
Z w3 + Z w 2
3. Reflexionskoeffizient nach z = −d + transformieren:
Γin ( z = −d + ) = Γin ( z = 0− ) ⋅ e − j 2 β2d
4. Scheinbarer Wellenwiderstand Z in ( z = − d + ) an der Grenzschicht z = −d berechnen. Man
tut nun so, als ob nur zwei Medien vorhanden wären, indem der Wellenwiderstand des
Medium 3 im Wellenwiderstand Z in ( z = − d + ) eingerechnet ist.
1 + Γin ( z = d + )
1 + Γin ( z = 0− ) ⋅ e − j 2 β2d
=
Z
⋅
w2
1 − Γin ( z = d + )
1 − Γin ( z = 0− ) ⋅ e − j 2 β2d
Dabei wurde die Formel für den Reflexionskoeffizienten umgestellt:
1+ Γ
Z in = Z w 2 ⋅
1− Γ
5. Aus diesem scheinbaren Wellenwiderstand Z in ( z = − d + ) lässt sich nun ein scheinbarer
Z in ( z = −d + ) = Z w 2 ⋅
Reflexionskoeffizient Γin ( z = − d − ) berechnen.
Γin ( z = − d − ) =
Z in ( z = − d + ) − Z w1 Γ12 + Γ 23e − j 2 β2d
=
Z in ( z = − d + ) + Z w1 1 + Γ12 Γ 23e − j 2 β2d
Nun lässt sich die reflektierte Welle an der Grenzschicht z = −d eindeutig bestimmen.
Allgemeines Verfahren
Um den Reflexions- und Transmissionsfaktor an jeder beliebigen Stelle anzugeben, bedient
man sich folgendem Verfahren:
1. Man berechnet die Reflexions- und Transmissionsfaktoren zwischen den Medien. Es gilt
also:
Z − Z w2
Z − Z w1
Γ 23 = w3
Γ12 = w 2
Γ 21 = −Γ12
Γ32 = −Γ 23
Z w3 + Z w 2
Z w 2 + Z w1
T23 = 1 + Γ 23
T32 = 1 + Γ 32 = 1 − Γ 23
T12 = 1 + Γ12
T21 = 1 + Γ 21 = 1 − Γ12
2. Nun betrachtet man den Verlauf der Welle durch die Medien. An der Grenze zwischen
zwei Medien tritt jeweils Reflexion und Transmission auf. In den Medien ergibt sich eine
Phasenverschiebung der Welle um e − jβ d . Für die Reflexionsfaktor an der Stelle
z = −d − erhält man dann:
Γin = Γ12 + T12 ⋅ e − jβ2d ⋅ Γ 23 ⋅ e − jβ2d ⋅ T21 + ...
Γin = Γ12 + (1 + Γ12 )(1 + Γ 21 ) ⋅ e −2 jβ2d ⋅ Γ 23 + (1 + Γ12 )(1 + Γ 21 ) ⋅ e −4 jβ2d ⋅ Γ 223 ⋅ Γ 21 + ...
∞
2
Γin = Γ12 + (1 − Γ12
) ⋅ e−2 jβ2d ⋅ Γ23 ⋅ ∑ ( Γ23 ⋅ Γ21 ⋅ e−2 jβ2d )
n
n =0
2
Γin = Γ12 + (1 − Γ12
) ⋅ e−2 jβ2d ⋅ Γ23 ⋅
Stephan Senn, D-ITET
1
Γ12 + e −2 jβ2d ⋅ Γ 23
=
1 − Γ 23 ⋅ Γ 21 ⋅ e −2 jβ2d 1 + Γ 23 ⋅ Γ12 ⋅ e −2 jβ2d
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Medium 1
Medium 2
Medium 3
d
Orte der Maxima und Minima der stehenden Welle bestimmen
Es gilt:
E ( z = −d )
j (ϕ12 − 2 β d min )
= 1 + Γ12 e
+
E1
−1
min
Medium 1
E ( z = −d )
j (ϕ12 − 2 β d max )
= 1 + Γ12 e
+
E1
+1
max
|E|
Medium 2
z
dmax
dmin
dmin bezeichnet den Abstand von der Grenzfläche der Medien 1 und 2 zum ersten Minimum des E-Felds der
stehenden Welle.
dmax bezeichnet den Abstand von der Grenzfläche der Medien 1 und 2 zum ersten Maximum des E-Felds der
stehenden Welle.
Damit gilt:
Γ L = Γ L ⋅ e jϕ L
d min =[ϕ L + (2n − 1)π ]
λ
4π
d max =[ϕ L + 2nπ ]
λ
4π
mit n ∈ `
Für den Abstand der Maxima bzw. der Minima gilt:
l=
λ
2
Einfallsebene einer Welle
Die Einfallsebene ist wie folgt definiert:
Flächennormale
Ausbreitungsrichtung
der Welle
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Einfallsebene
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Parallele Polarisation: TEy-Welle
Diese Eigenschaften gelten nur im verlustlosen Fall ( σ = 0 ).
Bei der parallelen Polarisation ist der elektrische Feldvektor parallel zur Einfallsebene. Man
bezeichnet diese Art von Wellen auch Transversal Elektrisch bezüglich der y-Richtung; kurz
TEy-Welle2. Für den Transmissions- sowie für den Reflexionskoeffizienten gilt:
Γ=
Z w 2 cos(ϕ t ) − Z w1 cos(ϕ i )
Z w 2 cos(ϕ t ) + Z w1 cos(ϕ i )
T=
2 Z w 2 cos(ϕ i )
Z w 2 cos(ϕ t ) + Z w1 cos(ϕ i )
 cos(ϕ t ) 
1+ Γ = T ⋅

 cos(ϕ i ) 
Senkrechte Polarisation: TMy-Welle
Diese Eigenschaften gelten nur im verlustlosen Fall ( σ = 0 ).
Bei der senkrechten Polarisation ist der elektrische Feldvektor senkrecht zur Einfallsebene.
(Der magnetische Feldvektor ist nun parallel zur Einfallsebene.) Man bezeichnet diese Art
von Wellen auch Transversal Magnetisch bezüglich der y-Richtung; kurz TMy-Welle3. Für den
Transmissions- sowie für den Reflexionskoeffizienten gilt:
Z cos(ϕ i ) − Z w1 cos(ϕ t )
Γ = w2
Z w 2 cos(ϕ i ) + Z w1 cos(ϕ t )
T=
2 Z w 2 cos(ϕ i )
Z w 2 cos(ϕ i ) + Z w1 cos(ϕ t )
1+ Γ = T
Geometrische Optik
Auch bei schräg einfallenden ebenen Wellen gelten die Gesetze der geometrischen Optik:
sin(ϕ i ) k2
= =
sin(ϕ t ) k1
µ2ε 2
µ1ε1
•
Gesetz von Snellius:
•
Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel: ϕ i = ϕ r
•
Brechungsindex: n = ε r
2
3
TE-Wellen können auch transversal zu einer anderen Richtung sein.
TM-Wellen können auch transversal zu einer anderen Richtung sein.
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Totalreflexion
Mit ϕ t = 90° folgt für das Brechungsgesetz:
sin(ϕ c ) =
µ2ε 2
µ1ε1
k2
=
k1
Der Winkel ϕc wird kritischer Winkel oder Totalreflexionswinkel genannt.
Brewster-Winkel
Bei parallel polarisierten TEy-Wellen kann es vorkommen, dass bei einem bestimmten Winkel
der Reflexionskoeffizient null wird. Für den Winkel ϕB gilt:
Z w21 cos(ϕ B ) = Z w2 2 cos(ϕ t )
sin(ϕ B ) =
µ2ε1
µ1ε 2
( )
ε1
ε2
−1
2
−1
Tensoren
BGei anisotropen
Materialien
gilt:
I G G
I G
D = ε 0ε r ⋅ E , B = µ0 µr ⋅ H
 ε11 ε12 ε13 
 µ11 µ12 µ13 
I 


ε r =  ε 21 ε 22 ε 23  , µ r =  µ21 µ22 µ23 
ε

µ

 31 ε 32 ε 33 
 31 µ32 µ33 
Die Permittivitätsmatrix ε und Permeabilitätsmatrix µ sind Tensoren und haben meistens
Diagonalgestalt. Es gilt also:
ε x 0 0 
 µx 0 0 
I 
I 

ε r =  0 ε y 0  , µ r =  0 µ y 0 
0 0 ε 
0 0 µ 
z
z


I
Für die elektromagnetischen Wellen gilt dann:
• Die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten müssen für jede Richtung separat
berechnet werden, da die Wellenwiderstände richtungsabhängig sind.
• Man beachte, dass auch die Ausbreitungskonstante von der Richtung abhängig ist. Für
jede Richtung ergibt sich eine separate Ausbreitungskonstante.
• Die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten sowie die Ausbreitungskonstante wird
durch die Richtung des E-Feldes (zusammen mit dem zugehörigen H-Feld) festgelegt.
Beispiel
Eine Welle breite sich in +z-Richtung in einem Medium 1 mit isotropem Material aus und
treffe auf ein Medium 2 mit anisotropem Material. Die Permittivität des Mediums 2 sei ein
Tensor und die Permeabilität sei isotrop, also unabhängig von der Richtung. Es gilt dann:
• Einfallende Welle:
G
G
E x+ e y − jk1z E y+ ex − jk1z
− jk1z
− jk1z
i
i
+G
+G
E1 = E x ex ⋅ e
+ E y ey ⋅ e
⋅e
−
⋅e
H1 =
Z w1
Z w1
• Reflektierte Welle:
G
G
Γ x E x+ e y jk1z Γ y E y+ ex jk1z
jk1z
jk1 z
r
r
+G
+G
E1 = Γ x E x ex ⋅ e + Γ y E y e y ⋅ e
⋅e +
⋅e
H1 = −
Z w1
Z w1
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•
Transmittierte Welle:
G
G − jk z
E2t = Tx E x+ ex ⋅ e − jk2 x z + Ty E y+ e y ⋅ e 2 y
H =
t
2
G
Tx E x+ e y
Z w1
⋅e
− jk2 x z
−
G
Ty E y+ ex
Z w1
⋅e
− jk2 y z
Leitungstheorie
Gemeinsam ist allen Leitungsformen, dass sich auf ihnen eine TEM-Welle ausbreiten kann.
Es gelten folgende Einschränkungen:
• Das Ausbreitungsmedium ist homogen.
• Der Leiter wird als ideal vorausgesetzt.
• Die Wellenlänge der TEM-Welle ist klein im Vergleich zu den Querabmessungen.
Charakteristische Impedanz
Z0 =
U
ε
L'
= Zw
= Zw
µ
I
C'
Z0 =
L'
C'
L ' C ' = µε
Leitungsersatzschaltbild
Ausbreitung von Strom und Spannung auf der Leitung
Im Zeitbereich gilt:
∂ 2U ( z, t )
∂ 2U ( z , t )
= L'C '
∂z 2
∂t 2
∂ 2 I ( z, t )
∂ 2 I ( z, t )
L
C
=
'
'
∂z 2
∂t 2
Im Frequenzbereich (Phasorenschreibweise) gilt:
∂ 2U ( z )
= −ω 2 L ' C ' U ( z )
2
∂z
2
∂ I ( z)
= −ω 2 L ' C ' I ( z )
2
∂z
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Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit und die Ausbreitungskonstante4 gilt dann:
ω 2π f 2π
1
β = ω L'C ' = =
=
v=
v
λf
λ
L 'C '
Für die allgemeine Lösung gilt dann:
U ( z ) = U 0+ e − jβ z + U 0− e jβ z
U 0+ − jβ z U 0− jβ z
I ( z) =
e
−
e
Z0
Z0
Für den Reflexionsfaktor gilt dann:
U −e jβ z U −
Γ( z ) = +0 − jβ z = 0+ ⋅ e j 2 β z
U0 e
U0
Damit gilt:
U ( z ) = U 0+ e − jβ z [1 + Γ( z )]
Z ( z) =
U ( z)
1 + Γ( z )
= Z0
I ( z)
1 − Γ( z )
U 0+ − jβ z
e [1 − Γ( z )]
Z0
Γ( z ) =
Z 2 ( z ) − Z1 ( z )
Z 2 ( z ) + Z1 ( z )
I ( z) =
Für das Stehwellenverhältnis gilt:
U
1+ Γ
SWR − 1
SWR = max =
Γ=
SWR + 1
U min 1 − Γ
1 ≤ SWR < ∞
Für das Stehwellenverhältnis in [dB] gilt: SWRdB = 20log10 ( SWR )
Allgemein gilt:
Es gelten die genau gleichen Gesetze wie bei der Reflexion und bei der Transmission von
elektromagnetischen Wellen.
Für eine einfache Leitungsanordnung bestehend aus einer Generatorspannung UG, einer Last
ZL, einer Generatorimpedanz Zin und einer Leitung mit der charakteristischen Impedanz Z0
und der Länge l gilt:
UG Z0
U 0+ =
U ( z ) = U 0+ e − jβ z [1 + Γ( z )]
( ZG + Z 0 ) (1 − Γ L ΓG e − j 2 β l )
U min =
1
U G (1 − Γ L
2
)
U max =
1
U G (1 + Γ L
2
)
Am Eingang (Generator) einer Leitungsanordnung der Länge d mit Last ZL liegt folgende
Impedanz an:
Zin (−d ) = Z0
Z L + jZ0 tan( β d )
Z0 + jZ L tan( β d )
4
Im allgemeinen besteht ein Unterschied zwischen der Ausbreitungskonstante von elektromagnetischen Wellen
und derjenigen bei der Ausbreitung von Strom und Spannung auf einer Leitung.
Stephan Senn, D-ITET
-14-
19.10.2004
Bei einer kurzgeschlossenen Leitung ( Z L = 0 ) gilt dann:
Zin (−d ) = jZ0 tan ( β d )
Bei einer offenen Leitung ( Z L → ∞ ) gilt dann:
Z in ( −d ) = − j
Z0
tan ( β d )
Spezialfälle fehlangepasster Leitungen
•
λ/2-Transformator: l = λ 2
Z in = Z L
•
λ/4-Transformator: l = λ 4
Z in =
Z 02
ZL
Leistungsanpassung
Um die Leitungsverluste durch Reflexionen auf der Leitung zu minimieren, muss die Leitung
angepasst werden. Dies geschieht wie folgt:
1. Zuerst überlegt man sich, welche Parameter der Leitung man verändern kann: z.B.
charakteristische Impedanz der Leitung, Leitungslänge, Länge von Stichleitungen, usw..
2. Die Schaltung wird nun soweit vereinfacht, dass nur noch eine Ersatzimpedanz übrig
bleibt (z.B. Eingangs- oder Ausgangsimpedanz).
3. Nun wird die gewünschte Impedanzanpassungen vorgenommen: z.B. Z G = Z in , Z L = Z out ,
usw..
ZG
Für die nachfolgenden Leistungsbetrachtungen gilt:
Z in = Rin + jX in , Z G = RG + jX G
Pin =
1
Z in
2
UG
2
( Z in + Z G ) 2
UG
Zin
Iin
Last an Leitung angepasst
Es gilt: Z in ≠ Z G , Z L = Z 0
Für die eingespiesene Leistung gilt dann:
1
Z0
2
Pin = U G
2
( Z 0 + RG ) 2 + X G2
Generator an Leitung angepasst
Es gilt: Z in = Z G , Z L ≠ Z 0
Für die eingespiesene Leistung gilt dann:
1
RG
2
Pin = U G
2
2
4( RG + X G2 )
Stephan Senn, D-ITET
-15-
19.10.2004
Maximaler Leistungstransfer
Zin = ZG
Es gilt das fundamentale Gesetz:
Für die eingespiesene Leistung gilt dann:
1
2 1
Pin = U G
2
4 RG
*
Orte der Spannungsmaxima und Spannungsminima bestimmen
Es gilt:
U ( z = −d )
ϕ L − 2 β d min )
= 1 + Γ L ej (
+
U0
−1
min
Leitung
U ( z = −d )
j (ϕ L − 2 β d max )
= 1 + Γ L e
U 0+
+1
max
Last
|U|
dmin bezeichnet den Abstand von der Last zum ersten
Spannungsminimum.
dmax bezeichnet den Abstand von der Last zum ersten
Spannungsmaximum.
z
dmax
dmin
Damit gilt:
Γ L = Γ L ⋅ e jϕ L
d min =[ϕ L + (2n − 1)π ]
λ
4π
d max =[ϕ L + 2nπ ]
λ
4π
mit n ∈ `
Für den Abstand der Spannungsminima und der Spannungsmaxima gilt:
l=
λ
2
Leistungsfluss entlang einer Leitung
Für die mittlere Leistung gilt:
1
P( z ) = Re {U ( z ) I * ( z )}
2
Daraus folgt:
+
1 U0
P( z ) =
2 Z0
2
(1 − Γ ) = P
2
+
− P−
Es resultiert ein mittlerer Leistungsfluss in +z- und in –z-Richtung:
+
1 U0
P =
2 Z0
2
2
+
P− = Γ P+
Am Anfang und am Ende der Leitung berechnet sich die Leistung wie folgt:
(
Pin = Pin+ 1 − Γin
2
)
(
PL = PL+ 1 − Γ L
Stephan Senn, D-ITET
2
)
-16-
19.10.2004
Reflexionsverluste
 P+ 
Lr = 10log  −  = −20log Γ
P 
in [dB]
Einfügungsverluste
P 
Ub
I
= 20log b = 10 log  b 
Ua
Ia
 Pa 
Der Index b bezeichnet den Parameter vor dem Einfügen eines Zweitors; der Index a nach
dem Einfügen.
Li = 20 log
Smith Chart
Normierung der Impedanzen und Admittanzen
Jede Impedanz wird mit Hilfe der charakteristischen Impedanz der Leitung normiert:
Z ( z ) 1 + Γ( z ) =
= R + jX
Z ( z ) =
Z0
1 − Γ( z )
R : Widerstand
X : Reaktanz
Das Smith-Chart kann als Impedanz- als auch als Admittanzchart verwendet werden:
Y ( z ) 1 − Γ( z ) Y ( z ) =
=
= G + jB
Y0
1 + Γ( z )
G : Leitwert
B : Suszeptanz
Eigenschaften des Smith Charts
Horizontale Kreise: Widerstandskreise
Vertikale Kreise: Reaktanzkreise
Bei Admittanzen gilt:
Horizontale Kreise: Leitwertkreise
Vertikale Kreise: Suszeptanzkreise
Es handelt sich hier um eine Möbiustransformation.
Bei Admittanzen gilt: Positive Suszeptanzwerte repräsentieren kapazitive Elemente und
negative Werte repräsentieren induktive Elemente.
Stephan Senn, D-ITET
-17-
19.10.2004
Impedanz einzeichnen
1.
2.
3.
4.
Impedanz normieren.
Widerstandskreis suchen.
Reaktanzkreis suchen. Hier muss das Vorzeichen beachtet werden!
Schnittpunkt bestimmen.
Das Black-Magic-Design
Für die untere Skala beim Black-Magic-Design gilt:
SWR in [dB] ablesen
Reflexionskoeffizient ablesen
Transmissionskoeffizient ablesen
SWR bestimmen
1. Kreis um den Anpassungspunkt bei 1 mit dem Radius zum eingezeichneten
Impedanzpunkt.
2. Der Schnitt mit der realen Achse (rechts vom Anpassungspunkt) ergibt das
Stehwellenverhältnis.
3. Optional kann das Stehwellenverhältnis auch in [dB] mit Hilfe der untenstehenden Skala
angegeben werden.
Impedanz in Admittanz wandeln – und umgekehrt
Um eine normierte Impedanz in eine normierte Admittanz umzuwandeln, muss eine
Punktspiegelung (hier beim Anpassungspunkt) durchgeführt werden.
Eingangs- und Ausgangsimpedanz bestimmen
Um die Impedanz am Generator / Last einer Schaltung zu bestimmen, muss die Last- /
Generatorimpedanz transformiert werden. Dies lässt sich im Smith Chart wie folgt realisieren:
1. Distanz d = l / λ ermitteln.
2. Richtung wählen: Last → Generator oder Generator → Last.
3. Impedanz mit Hilfe der Randskalen drehen. Der Radius der Impedanz bleibt dabei
unverändert. Nur der Winkel der Impedanz ändert sich.
Stephan Senn, D-ITET
-18-
19.10.2004
Z
d = l /λ
Z’
Tipps und Tricks aus der Praxis
Aus Messungen erhält man meist folgende Informationen über den Verlauf der Spannung:
• Stehwellenverhältnis SWR
• Abstand l der Spannungsmaxima oder der Spannungsminima
• Abstand d (von der Last ZL) zum ersten Spannungsminimum
Es gilt dann:
l=
λ
2
Mit Hilfe des Smith-Charts folgt dann:
• Aus dem Stehwellenverhältnis SWR kann der Betrag des Reflexions- und Transmissionskoeffizienten herausgelesen werden.
• Man schlägt nun um den Mittelpunkt des Smith-Charts einen Kreis mit dem Radius SWR.
• Nun kann die Phasenverschiebung der Lastimpedanz ZL bestimmt werden. Dazu wird im
Smith-Chart mit Hilfe des Abstands d vom Nullpunkt aus d/λ zur Last hin gedreht. Der
Schnittpunkt des SWR-Kreises mit dem Radius zum ermittelten Drehpunkt ergibt die mit
der charakteristischen Impedanz Z0 normierte Lastimpedanz ZL.5
• Ausgehend von der Last ZL kann die Phasenverschiebung des Reflexions- und des
Transmissionskoeffizienten am Rand des Smith-Charts abgelesen werden.
5
Der Betrag der Spannung ist dann am kleinsten, wenn der Imaginärteil null wird. Deshalb wird vom Nullpunkt
aus gedreht.
Stephan Senn, D-ITET
-19-
19.10.2004
Verlustbehaftete Leitungen
Ersatzschaltbild
Leitungsgleichungen
Das DGL-System lautet:
∂ 2U ( z )
= Z ' Y 'U ( z )
∂z 2
∂2 I ( z)
= Z 'Y ' I ( z)
∂z 2
mit Z ' = R '+ jω L ' und Y ' = G '+ jω C '
Die Lösungs lautet:
U ( z ) = U 0+ e −α z e − jβ z + U 0− eα z e j β z
I ( z) =
mit Z 0 =
Z'
Y'
U 0+ −α z − jβ z U 0− α z jβ z
e e
−
e e
Z0
Z0
Weiter gilt:
Z ' Y ' = γ 2 = ( R '+ jω L ')(G '+ jω C ') = (α + j β ) 2
Leitungsbetrachtungen bei geringen Verlusten
Es gilt: R ' ω L ' , G ' ω C '
Damit gilt:

1  R'
α ≈  + G ' Z0  β ≈ ω L ' C '
2  Z0

Z0 ≈
L'
C'
für ω Stephan Senn, D-ITET
1  R' G'
−
2  L ' C ' 
-20-
19.10.2004
Hohlleiter
Monomode und Multimode
•
•
Monomode: Nur ein Mode ist ausbreitungsfähig.
Multimode: Mehrere Moden sind ausbreitungsfähig.
Ausbreitung
Mit der geführten Wellenlänge λgef resultiert
die Phasengeschwindigkeit:
vPhase = λgef f
Weiter gilt:
2
 mπ 
mit β = ω 2εµ − 
 , m∈`
β
 a 
Es gilt: λgef > λ0 → vPhase > c
λgef =
2π
Für die Gruppengeschwindigkeit gilt:
vPhase ⋅ vGruppe = c 2
Rechteckhohlleiter
a: Breite
b: Höhe
Normierung: a = 2b
Die Ausbreitung der Wellen erfolgt in Richtung
der z-Achse.
Ausbreitung der Moden
Die Randbedingungen lauten:
• Das tangentiale E-Feld ist null, da auf der Oberfläche des Hohlleiters kein Strom fliesst.
Es gilt also:
Ex = 0
für y = 0, b
Ey = 0
für x = 0, a
•
Die Ableitung der tangentialen H-Feld-Komponente H z in Richtung normal zur
Grenzfläche ist null. Es gilt also:
∂H z
= 0 für x = 0, a
∂x
∂H z
= 0 für y = 0, b
∂y
Stephan Senn, D-ITET
-21-
19.10.2004
Für die TE-Wellen (TE-Moden) gilt:
∆H z + k 2 H z = 0
Ez = 0
 mπ x 
 nπ y  − jβmn z
H z ( x, y , z ) = H 0 cos 
 cos 
e
 a 
 b 
mit m, n ∈ ` 0
Für die TM-Wellen (TM-Moden) gilt:
∆E z + k 2 E z = 0
Hz = 0
 mπ x   nπ y  − jβmn z
E z ( x, y , z ) = E0 sin 
 sin 
e
 a   b 
mit m, n ∈ ` 0
Für k gilt:
k 2 = ω 2εµ = k x2 + k y2 + k z2 = kc2 + β 2 mit kc2 = k x2 + k y2 und β = k z
Für die restlichen Feldkomponenten gilt:
j 
∂E
∂H z 
j 
∂E
∂H z 
E x = − 2  β mn z + ωµ
H x = 2  ωε z − β mn

kcmn 
∂x
∂y 
kcmn 
∂y
∂x 
Ey =
j 
∂E
∂H z 
− β mn z + ωµ

k 
∂y
∂x 
2
cmn
Hy = −
j 
∂E
∂H z 
ωε z + β mn

k 
∂x
∂y 
2
cmn
Cutoff-Frequenz
f cmn =
1
2 µε
2
m n
  + 
 a  b
2
Grundmode
Der Grundmode ist der TE10-Mode. Die niedrigste Grenzfrequenz des Rechteckhohlleiters
beträgt deshalb fc10.
Der Monomodebereich ergibt sich dann als Frequenzbereich zwischen der Grenzfrequenz des
TE10-Mode und dem Mode mit der zweitkleinsten Frequenz.
Anmerkung: Die Moden TM01 und TM10 gibt es nicht.
Ausbreitung und Dämpfung eines Modes
Für die Ausbreitungskonstante gilt:
2
2
 mπ   nπ 
β mn = k − 
 −

 a   b 
Somit gilt:
• β ≥ 0 : Der Mode ist ausbreitungsfähig.
• β < 0 : Der Mode ist nur beschränkt ausbreitungsfähig, da er gedämpft wird. Die
Exponentialfunktion ist dann nicht mehr komplex, sondern reell.
2
Stephan Senn, D-ITET
-22-
19.10.2004
Der Grundmode TE10
 π x  − jβ10 z G
⋅ ez
H z ( x, y , z ) = H 0 ⋅ cos 
⋅e
 a 
jβ a
 π x  − jβ10 z G
⋅ ex
H x ( x, y , z ) = 10 ⋅ H 0 ⋅ sin 
⋅e
π
 a 
jωµ a
 π x  − jβ10 z G
⋅ E0 ⋅ sin 
⋅ ey
E y ( x, y , z ) = −
⋅e
π
 a 
Ex = Ez = H y = 0
Stephan Senn, D-ITET
-23-
λc = 2a
10
f c10 =
1
2a µε
19.10.2004
Eigenschaften
Stephan Senn, D-ITET
-24-
19.10.2004
Rundhohlleiter
a: Radius
Ausbreitung der Moden
Für die Ausbreitung der TE-Wellen (TE-Moden) gilt:
H z ( r, ϕ , z ) = H 0' [ A sin( mϕ ) + B cos( mϕ )]J m ( kc r )e − jβmn z
mit der J-Besselfunktion, A, B ∈ \
Für die Ausbreitung der TM-Wellen (TM-Moden) gilt:
E z ( r, ϕ , z ) = E0' [ A sin( mϕ ) + B cos( mϕ )]J m ( kc r )e − jβmn z
mit der J-Besselfunktion, A, B ∈ \
Weiter gilt:
β mn = k 2 − kc2
mn
kcmn =
p 'mn
(für TEmn)
a
kcmn =
pmn
(für TMmn)
a
Grundmode
Der Grundmode ist der TE11-Mode mit p’11 = 1.841. Die nächst höhere Grenzfrequenz gehört
dem TM01-Mode mit p01 = 2.405.
Cutoff-Frequenz
p 'mn
(für TEmn)
f cmn =
2π a µε
Stephan Senn, D-ITET
f cmn =
pmn
(für TMmn)
2π a µε
-25-
19.10.2004
Eigenschaften
Stephan Senn, D-ITET
-26-
19.10.2004
Dielektrische Wellenleiter
Schichtwellenleiter
Faserwellenleiter
Schichtwellenleiter
Cutoff-Frequenz
mc0
fc =
4h ε r − 1
mit m ∈ ` 0
Faserwellenleiter
Brechzahldifferenz
n −n
∆n = 1 2
n1
Numerische Apertur
Unter einem kleineren Winkel θmax ist keine Einkopplung des Lichts möglich.
NA = sin(θ max ) = n12 − n22
Cutoff-Frequenz der Moden TE01 und TM01
1
2.405
fc ≈
2π a ε 0 µ0 (ε r1 − ε r 2 )
Grundmode
Der Mode HE11 ist der Grundmode mit der Cutoff-Frequenz null.
Normalisierte Frequenz ν
2π a 2
ν=
n1 − n22
λ0
Für ν < 2.405 kann sich nur der Grundmode (HE11) ausbreiten. Es handelt sich in diesem Fall
um eine Monomodefaser. Im anderen Fall handelt es sich um eine Multimodefaser.
Stephan Senn, D-ITET
-27-
19.10.2004
Antennen
Aufbau einer Antenne
Anpassglied
Leitung
Verstärker
Antenne
Richtdiagramm
Sende- und Empfangscharateristik
Es gilt das fundamentale Gesetz:
Sendecharakteristik = Empfangscharakteristik
Antennenparameter
Antennenwirkungsgrad
P
η = rad
P
P: eingespeiste Leistung
Prad: abgestrahlte Leistung
Richtfaktor (Directivity)
S
P
D = max
mit Sav = rad
Sav
4π
Gewinn (Gain)
G =η ⋅ D
Strahlungswiderstand Rs
Prad
I
= Rs ⋅
2
2
Stephan Senn, D-ITET
-28-
19.10.2004
Der Hertzsche Dipol
Antennenfeld
Es gilt:
l: Länge der Antenne
r: Abstand von der Antenne (Radius)
Für die nicht verschindenden Feldkomponenten gilt:
Il
e − jk0r
Er =
(1 + jk0 r ) cos(θ )
2π jωε 0 r 3
Eθ =
Il
e − jk0r
(1 + jk0 r − k02 r 2 ) sin(θ )
4π jωε 0 r 3
Hϕ =
Il e − jk0r
(1 + jk0 r ) sin(θ )
4π r 3
Weiter gilt:
Il
p=−
4π jωε 0
Z w0 =
µ0
ε0
k0 = ω µ0ε 0
Im Fernfeld gilt: r λ0
Er = 0
e − jk0r
sin(θ )
r
− jk0 r
E
2 1 e
sin(θ ) = θ
H ϕ = pk0
Z w0 r
Z w0
Eθ = pk02
Im Nahfeld gilt: λ0 r l
e − jk0r
cos(θ )
r3
e − jk0r
Eθ = − p 3 sin(θ )
r
jk e − jk0r
Hϕ = − p 0 2 sin(θ )
Z w0 r
E r = −2 p
Antennenparameter
• Strahlungsleistung:
2
•
2
I Z w0π  l 
Prad =
 
3
 λ0 
Strahlungsdichte:
1
S (θ ) = r 2 ℜ{Eθ Hϕ* }
2
Stephan Senn, D-ITET
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19.10.2004
•
Maximale Strahlungsdichte:
2
Smax
I Z w0  l 
=
 
8  λ0 
2
Konstanten
ε 0 = 8.854 ⋅ 10−12
Z w0 =
F
m
µ0 = 4π ⋅ 10−7
H
m
c = 2.9979 ⋅ 108
m
s
µ0
≈ 120πΩ ≈ 377Ω
ε0
Quellenverzeichnis
Der Stoff und die Bilder sind dem Skript ‚Felder und Komponenten II’ von Prof. Dr. R.
Vahldieck und Dr. P. Lechtmann sowie den Vorlesunsfolien von Dr. P. Lechtmann
entnommen.
Stephan Senn, D-ITET
-30-
19.10.2004