Anwendungen komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen
Anwendungen komplexer Zahlen
Arbeitsblatt
Dieser Abschnitt eignet sich für fächerübergreifenden Unterricht mit Physik. In der Physik, speziell der
Elektrotechnik, ist das Rechnen mit komplexen Zahlen ein wichtiges Hilfsmittel.
Vorwissen
1
erwende die Euler′sche Formel für ei×x, um den gegebenen Ausdruck in der Form a + b×i anzu­
V
geben.
2 π
π
_
_
a)​e​i×​  2 ​ ​
b)​e​i×​  3   ​​
c) ei×0
d)ei×ω t
2
leichmäßige Kreisbewegungen bzw. harmonische Schwingungen können durch die Sinus­
G
funktion beschrieben werden.
(1) Wiederhole die folgenden Begriffe mithilfe der beiden Diagramme.
–– Die Amplitude A ist die größte Entfernung vom Ruhezustand.
–– Die Schwingungsdauer T (in Sekunden) ist die Zeit für eine Umdrehung bzw. Schwingung.
–– Die Frequenz f (in Hertz) ist die Anzahl der Umdrehungen bzw. Schwingungen pro Sekunde.
–– Die Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) ω ist gleich dem Winkel (im Bogenmaß), der pro
Sekunde überstrichen wird. ω×t entspricht dem Winkel φ, den der Zeiger in der Kreisbewe­
gung zum Zeitpunkt t überstrichen hat.
–– Die Phasenverschiebung φ0 gibt an, um welchen Winkel die Position zum Zeitpunkt t = 0
von der Ruhelage abweicht bzw. um welchen Winkel eine Schwingung gegenüber einer
anderen verschoben ist.
(2) Bestimme mithilfe der beiden Diagramme für die Schwingungen s1 und s2 die Werte für A, T, f,
ω sowie die Phasenverschiebung φ0 von s2 gegenüber s1.
2
s(t)
1
O
s1
t (in s)
A
1
2
3
4
5
6
7
5
6
7
8
–1
4 Sekunden
–2
2
s(t)
1
φ0
O
A
1
2
t (in s)
3
4
–1 s
2
–2
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Dimensionen – Mathematik 7
4 Sekunden
1
8
Komplexe Zahlen
Neues Wissen
s (t)
Im
    Überlagerung von harmonischen Schwingungen
A
2
Bewegt sich ein Punkt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
z
(Kreisfrequenz) ω auf einem Kreis mit dem Radius A, so kön­
1
nen die Koordinaten des Punktes mit (​  A×cos (ω t) | A×sin (ω t) )​
t (in s)
Re
ωt
angegeben werden.
O
1
2
3
Du kannst den Endpunkt dieses rotierenden Zeigers z als
–1
komplexe Zahl auffassen und in der Form
–2
z = ​( A×cos (ω t)  +  i×sin (ω t) )​ = A×ei×ω t angeben. Der Imagi­
närteil von z beschreibt eine harmonische Schwingung, also
Zeigerdiagramm
eine Sinusfunktion in Abhängigkeit von ω t.
In der Schwingungslehre wird die Überlagerung von
Schwingungen untersucht, die beispielsweise auf­
treten, wenn zwei Steine ins W
­ asser geworfen oder
mehrere Töne gleichzeitig erzeugt werden.
Eine grundlegende Frage dabei lautet: Wie überlagern sich zwei Schwingungen z1 und z2 mit derselben
Winkelgeschwindigkeit ω, aber mit unterschiedlichen Amplituden A1 und A2 und mit einer Phasenver­
schiebung φ? Mathematisch bedeutet Überlagerung, dass die Auslenkungen zu jedem Zeitpunkt addiert
werden.
An Wasser- und Schallwellen kann diese Überlagerung beobachtet werden, da sich diese Wellen in
ihrer Amplitude je nach Phasenverschiebung verstärken, abschwächen oder auch auslöschen. Es kann
dadurch zu Wasserwellen von großer Höhe und zu Schallwellen von großer Lautstärke kommen.
Welche Schwingung ergibt sich, wenn zwei Schwingungen z1
und z2 überlagert werden, wobei z2 gegenüber z1 die Pha­
senverschiebung φ hat?
z1 (t) = A1×ei×ω t
z2 (t) = A2×ei×(ω t + φ)
(A1 ∈ ℝ)
(A2 ∈ ℝ)
2
z2
A2
φ A1
z1
s (t)
1
Re
O
t (in s)
1
2
3
–1
Für die Summe zG gilt:
–2
| Nach den Potenzregeln umformen
zG (t) = z1 (t) + z2 (t) = A1×ei×ω t + A2×ei×(ω t + φ)
= A1×ei×ω t + A2×ei×ω t×ei×φ
= (A1 + A2×ei×φ)×ei×ω t
A  =  | A |×ei×α
Im
| Herausheben und zusammenfassen,
sodass der Klammerausdruck einer
neuen komplexen Amplitude A ent­
spricht.
A
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2
Komplexe Zahlen
Die Grafik zeigt, dass die neue Schwingung zG eine von A1
und A2 verschiedene Amplitude hat. Auch die Phasenver­
schiebung gegenüber z1 verändert sich.
Die Amplitude der neuen Schwingung zG entspricht dem
Betrag der komplexen Zahl A.
| A | =  | A1 + A2×ei φ |
=  | A1 + A2×cos (φ)  +  i×sin (φ) |
= | ​( A1 + A2×cos (φ) )​ + i×​( A2×sin (φ) )​ |
Realteil
Imaginärteil
____________________________
3
zG
2
Im
z2
A2
φ
–5
–4
–3
s (t)
A1
–2
z1
1
Re
–1 O
–1
t(in s)
1
2
3
–2
= ​√​​(   
 A1 + A2×cos (φ) )2​​ ​  + ​​( A2×sin (φ) )2​​ ​ ​
________________________________________
–3
2
2
= ​√ ​A
     
​ ​ + 2×A
​ 
​ ​×
​  cos (φ)  + ​A​22​×
​  sin2 (φ) ​
1×A2×cos (φ) + ​A2
1
_______________________
2
2
​A
   
​ ​ + 2×A
​ 
​ ​ ​​ 
1×A2×cos (φ) + ​A2
1
= ​√
Die Phasenverschiebung α der neuen Schwingung zG gegenüber z1 kannst du mit folgenden Überlegun­
gen ermitteln:
(1) Analog zur Vektoraddition erhältst du zG, indem du die Zeiger z1 und z2 addierst.
(2) Betrachte in der Skizze die beiden rechtwinkligen Dreiecke.
Im
Im
z2
1
1
|A|
A2
φ
O
z2
zG
A2⋅sin (φ)
z1 φ
α
1
|A|
A2
φ
O
Re
A1 2A2⋅cos (φ)3
zG
A2⋅sin (φ)
z1
α
1
Re
A1 2A2⋅cos (φ)3
Im roten rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel α
beträgt die Länge der Gegenkathete ebenfalls
A2×sin (φ). Die Länge der Ankathete setzt sich
aus A1 und A2×cos (φ) zusammen.
Im blauen rechtwinkligen Dreieck mit dem
­Winkel φ sind die Längen der beiden Katheten
A2×sin (φ) bzw. A2×cos (φ).
A ×sin (φ)
2
  
 
 ​
Für die Phasenverschiebung α von zG folgt daher: tan (α) = ​ __
A1 + A2×cos (φ)
Für die Summe gilt:
z1 (t) + z2 (t) = A×ei×ω t  =  | A |×ei×α×ei×ω t  =  | A |×ei×(ω t + α)
Das Ergebnis zeigt dir, dass die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen z1 (t) = A1×ei×ω t und
z2 (t) = A2×ei×(ω t + φ) mit derselben (Kreis-)Frequenz ω wieder eine harmonische Schwingung mit (Kreis-)
Frequenz ω, der Amplitude | A | und der Phasenverschiebung α ergibt.
⊳
Beispiel:
Welche Amplitude und welche Phasenverschiebung hat die Überlagerung der beiden Schwingun­
π
gen z1 (t) = 2×sin (ω t) und z2 (t)  =  1,5×sin ​ ω t + ​ _
  ​  ​?
Lösung:
( 
3
( 3 )
2 + 1,5×cos ​( ​   ​  )​
3
_______________________
√
)
1,5×sin ​ _
​  π ​   ​
( 3 )
π
2 + 2×2×1,5×cos ​ ​ _
   
 ​   ​ + 1,52 ​ ≈ 3,04; α = arctan ​ __
  
 
 ​ ≈ 0,44 rad = 25,3°
| A |  = ​ 2
π
_
Die Summe von z1 und z2 kann durch zG (t) = 3,04×ei×0,44×ei×ω t = 3,04×ei×(ω t + 0,44) a
­ ngegeben wer­
den.
Die Amplitude beträgt 3,04 und die Phasenverschiebung gegenüber z1 hat 0,44 rad.
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Dimensionen – Mathematik 7
3
Komplexe Zahlen
3
earbeite die Aufgaben und Fragestellungen im dynamischen Arbeitsblatt
B
harmonischen Schwingungen.
    Komplexe Wechselstromwiderstände
In einem Wechselstromkreis mit den Bauteilen Widerstand R, Kon­
densator C und Spule L stellt sich die Stromstärke I mit einer
bestimmten Phasenverschiebung φ zur angelegten Spannung U ein.
www
R
Überlagerung von
C
L
U~
Zur Beschreibung dieses Sachverhalts erweisen sich komplexe Zahlen als besonders geeignet.
4
Im Arbeitsblatt www Komplexe Wechselstromwiderstände wird die Verwendung von k
­ omplexen
Zahlen in der Elektrotechnik erklärt.
Bearbeite das Arbeitsblatt und löse die dort gestellten Aufgaben.
Themenvorschlag für eine vorwissenschaftliche Arbeit
–– Logarithmus und Potenzen von komplexen Zahlen
–– Herleitung der Cardano-Formel zum Lösen von algebraischen Gleichungen 3. Grades
–– Algebraische Gleichungen mit komplexen Koeffizienten
–– Komplexe Wechselstromwiderstände (fächerübergreifend mit Physik)
Aufgaben
5
erechne die Amplitude und die Phasenverschiebung für die Überlagerung der beiden Schwin­
B
gungen.
π
a)z1 (t) = 1,2×sin (ω t) und z2 (t)  =  2,3×sin ​ ω t − ​ _
 ​   ​
( 
2
)
b)z1 (t) = 1,6×sin (ω t) und z2 (t)  = 1,4×sin (ω t + π)
( 
)
π
c)z1 (t) = 3×sin (ω t) und z2 (t)  =  sin ​ ω t + ​ _
 ​   ​
4
( 
)
π
d)z1 (t) = 2,5×sin (ω t) und z2 (t)  =  2,5×sin ​ ω t − ​ _
 ​   ​
2
e)z1 (t) = 2,5×sin (ω t) und z2 (t)  = 2,5×sin (ω t + π)
f)z1 (t) = 2,5×sin (ω t) und z2 (t)  =  1,5×sin (ω t)
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Komplexe Zahlen
Anwendungen komplexer Zahlen
Arbeitsblatt − Lösungen
__
​√3 ​ 
2
__
​√3 ​ 
2
1
1 _
a)​ _
 ​  + ​     ​×i
2
(1) −
π
1
(2) Schwingung s1: A = 1, T = 4 s, f = ​ _
 ​ Hz, ω = ​ _ ​  rad/s;
2
1 _
b) − ​ _
 ​  + ​     ​×i
2
c) 1
4
d) cos (ω t)  +  i×sin (ω t)
2
π
3 π
1
Schwingung s2: A = 1,5, T = 4 s, f = ​ _
 ​ Hz, ω = ​ _ ​ rad/s; φ0 = − ​ _   ​
4
2
4
3
Nutze das dynamische Arbeitsblatt www Überlagerung von harmonischen Schwingungen zur Kon­
trolle.
a) | A | = 3,04; α ≈ 0,44 rad
b) Die Amplituden werden addiert.
c)A1 = A2
d) (1) Amplituden werden verdoppelt, Schwingung wird verstärkt (konstruktive Interferenz)
(2) Schwingungen löschen sich gegenseitig aus (destruktive Interferenz)
4
Nutze das dynamische Arbeitsblatt
5
a) | A | ≈ 2,59; α ≈ 5,19 rad ( ≈ − 1,09 rad)
c) | A | ≈ 3,77; α ≈ 0,19 rad
e) | A | ≈ 0; α = 0 rad
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www
Komplexe Wechselstromwiderstände zur Kontrolle.
b) | A | = 0,2; α = 0 rad
d) | A | ≈ 3,54; α ≈ 5,50 rad ( ≈ − 0,79 rad)
f) | A | = 4; α = 0 rad
5