Prüfungsteil 2, Aufgabe 7 Stochastik

Prüfung Mathematik Nordrhein-Westfalen 2013 (LK)
Aufgabe 7:
Musterlösung
Stochastik (WTR)
Abitur Mathematik: Musterlösung
Prüfungsteil 2, Aufgabe 7
Stochastik
Nordrhein-Westfalen 2012 GK
Aufgabe a
1. SCHRITT: VERTEILUNG ANGEBEN
Da die Anzahl der Handybesitzer sehr viel größer ist, als die betrachteten Stichproben (höchstens 200), kann näherungsweise davon ausgegangen werden, dass die Anzahl derer, die ein Smartphone besitzen, binomialverteilt ist mit Parametern (Anzahl der zufällig ausgewählten (Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig Handybesitzer) und ausgewählter Handybesitzer ein Smartphone hat). E1: 100 15 E2: 200 25 E3: 200 32
38 2. SCHRITT: WAHRSCHEINLICHKEITEN ERMITTELN
Beim Ereignis E1 ist der Stichprobenumfang 100, bei E2 und E3 ist 200. Mit Hilfe der Bernoulli‐Formel und die kumulativen Verteilungstabellen ergibt sich E
15
E
25
E
32
0,8369
100
15
1
38
0,3711
1
6
5
6
24
38
0,4658.
0,1, 1
0,0426
31
0,9574und Aufgabe b (1)
Unter der Annahme, dass die Geräte unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit 0,04 defekt sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde zweimal hintereinander ein defektes Gerät bekommt, www.learnattack.de
1
Prüfung Mathematik Nordrhein-Westfalen 2013 (LK)
Aufgabe 7:
0,04 ⋅ 0,04
Musterlösung
Stochastik (WTR)
0,0016. Aufgabe b (2)
SITUATION MODELLIEREN
Annahmen:  Es werden Geräte unabhängig voneinander kontrolliert.  Für jede Kontrolle gibt es genau zwei mögliche Ausgänge: „fehlerhaft“ oder „nicht fehlerhaft“.  Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät fehlerhaft ist, beträgt bei jeder Kontrolle 4 %. Die Anzahl der fehlerhaften Geräte ist somit binomialverteilt zu den 0,04 . Parametern und Gesucht ist das kleinste ∈ mit der Eigenschaft, dass 1
99% gilt. Dabei ist: 1
1
0
1
0
⋅ 0,04 ⋅ 0,96
1
0,96 . Die zu erfüllende Ungleichung lautet also 1
0,96
0,96
| 0,99
0,99 0,01 | logarithmieren ln 0,01 ln 0,96
⋅ ln 0,96
0,96
| Logarithmengesetz anwenden |∶ ln 0,96
ln 0,01 ln 0,01
ln 0,96
112,8 Die kleinste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft ist 113. Um mit 99 %iger Wahrscheinlichkeit mindestens ein fehlerhaftes Gerät zu finden, müssen mindestens 113 Geräte kontrolliert werden. Aufgabe c
1. SCHRITT: -UMGEBUNG VON
FÜR
,
BERECHNEN
Für 0,04 ist der Erwartungswert für die Anzahl der defekten Smartphones 0,04
200 ⋅ 0,04
8 und die Standardabweichung ,
200 ⋅ 0,04 ⋅ 0,96
2,77 www.learnattack.de
2
Abitur Mathematik Nordrhein-Westfalen 2012GK
Prüfungsteil 2:
Stochastik
Die ‐Umgebung von ist also in diesem Fall das Intervall ;
5,23; 10,77 . 2. SCHRITT: -UMGEBUNG VON
FÜR
,
BERECHNEN
Für 0,02 ist der Erwartungswert für die Anzahl der defekten Smartphones 0,04
200 ⋅ 0,02
Musterlösung
4 und die Standardabweichung 200 ⋅ 0,02 ⋅ 0,98
1,98 Die ‐Umgebung von ist also in diesem Fall das Intervall ;
2,02; 5,98 . ,
3. SCHRITT: SCHLUSSFOLGERUNG
Die Anzahl 6 der defekten Geräte in der Stichprobe liegt in der ‐
Umgebung für die Ausschussquote 4 %, nicht aber in der ‐Umgebung für die Ausschussquote 2 %. Somit ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass die Stichprobe aus der Produktion mit Ausschussquote 4 % stammt. Aufgabe d (1)
1. SCHRITT: BEZEICHNUNGEN FESTLEGEN
defekt ̅ nicht defekt vom Prüfgerät als defekt eingestuft ̅ vom Prüfgerät nicht als defekt eingestuft 2. SCHRITT: BAUMDIAGRAMM ZEICHNEN
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Abitur Mathematik Nordrhein-Westfalen 2012GK
Prüfungsteil 2:
Musterlösung
Stochastik
Aufgabe d (2)
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist nach der Pfadadditionsregel ̅∩
∩
0,0198
0,00098
0,02078. Aufgabe d (3)
Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Smartphone vom Prüfgerät als defekt eingestuft wird, unter der Bedingung, dass das Smartphone nicht defekt ist. Diese Wahrscheinlichkeit ist ̅
∩ ̅
0,00098
0,02078
0,04716, 0,02078 ist. da nach Aufgabe d) (3) Aufgabe e (1)
1. SCHRITT: ANNAHME- UND ABLEHNUNGSBEREICH FÜR H0 FESTLEGEN
Sei die Anzahl der defekten Smartphones in der Stichprobe. ist binomialverteilt zu den Parametern und 1000. Nullhypothese: H :
0,01 H0 soll angenommen werden, wenn höchstens gefunden werden. defekte Smartphones 1000, so dass für jedes Gesucht ist das kleinste ∈ mit 0
0,05, also 0,95 gewährleistet ist. Die 0,01 0,95 ist genau dann für jedes 0,01 erfüllt, Ungleichung wird umso kleiner, je größer wenn sie für 0,01 gilt, denn wird. Aus Tabelle 6 (kumulierte Binomialverteilung für 0,01) entnimmt man 14
0,9176 und 15. Somit ist 1000, Spalte für 15
0,9521. Die Entscheidungsregel lautet also wie folgt: Die Nullhypothese 0,01 soll angenommen werden, wenn höchstens 15 defekte Smartphones in der Stichprobe sind. Falls mehr als 15 defekte Smartphones gezählt werden, soll davon ausgegangen werden, dass der Anteil der defekten Smartphones über 0,01 % liegt. Aufgabe e (2)
1. SCHRITT: DIE FEHLER 1. UND 2. ART ALLGEMEIN BESCHREIBEN
Fehler 1. Art: Die Nullhypothese trifft zu, die Testgröße landet aber im  by Duden learnAttack
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Prüfungsteil 2:
Musterlösung
Stochastik
Ablehnungsbereich, so dass man die Nullhypothese irrtümlich ablehnt. Fehler 2. Art: Die Nullhypothese trifft nicht zu, die Stichprobe fällt aber so aus, dass man sich für die Annahme der Nullhypothese entscheidet. 2. SCHRITT: DIE BEDEUTUNG DER BEIDEN FEHLER IM SACHZUSAMMENHANG
Im vorliegenden Fall besteht der Fehler 1. Art darin, dass die Ausschussquote der Smartphones tatsächlich bei maximal einem Prozent liegt, der Händler aber unter den 1000 getesteten Geräten mehr als15 defekte Geräte findet, er also der Aussage der Firma keinen Glauben schenkt. Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn es weiterhin mehr als 1 % defekte Smartphones gibt, aber unter den getesteten Geräten höchstens 15 defekt sind. Der Händler akzeptiert dann die Aussage der Firma und die damit einhergehende Preiserhöhung.  by Duden learnAttack
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