MATHEMATIK G10A (1) In einer Urne sind 3 rote und 4 gelbe

MATHEMATIK G10A
KLASSENARBEIT 5
(1) In einer Urne sind 3 rote und 4 gelbe Kugeln, in einer andern Urne eine gelbe und
eine rote. Anne zieht aus der ersten Urne eine Kugel zufällig, ohne sie zurückzulegen.
Dann zieht sie zufällig eine Kugel aus der zweiten Urne und legt sie in die erste.
Schließlich zieht sie noch eine Kugel aus der ersten Urne.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht Anne drei rote Kugeln?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die dritte Kugel, die Anne zieht, rot?
a) Die Wahrscheinlichkeit für dreimal rot beträgt
p(rrr) =
9
3 1 3
· · =
.
7 2 7
98
b) Es ist
3 1 3
9
· · =
,
7 2 7
98
4 1 4
16
p(grr) = · · =
,
7 2 7
98
die gesuchte Wahrscheinlichkeit daher
p(rrr) =
p=
3
7
4
p(ggr) =
7
p(rgr) =
1
2
1
·
2
·
2
6
=
,
7
98
3
12
· =
,
7
98
·
9 + 6 + 16 + 12
43
=
.
98
98
(2) Eine Firma stellt “Billig-Glühlämpchen” her. Dabei entstehen erfahrungsgemäß 10%
Ausschuss. Die nicht kontrollierten Lämpchen werden in Kartons zu 50 Packungen
mit je 20 Stück abgepackt.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer 20er-Packung mehr als drei
Lämpchen defekt sind?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist in einem 50er-Karton höchstens eine 20erPackung mit mehr als drei defekten Lämpchen?
(c) Dem Elektrogeschäft Krötl wurde eine Serie von 20er-Packungen mit jeweils
genau 5 defekten Lämpchen geliefert.
Ein Kunde kauft 10 Lämpchen, die gleichzeitig einer vollen 20er-Packung entnommen werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter diesen 10 Lämpchen genau 3 defekt?
(a) Es sei X die Anzahl der defekten Lämpchen in einer 20er-Packung. Dann ist
p = 0,1 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Lämpchen defekt ist. Gesucht ist
p(X > 3) = p(X ≥ 4) = 1 − p(X ≤ 3) = 1 − binomcdf(20, 0.1, 3) ≈ 0.133.
(b) Jetzt zählt X die Anzahl aller 20er-Packungen mit mehr als drei defekten Lämpchen; damit ist p = 0.133, und gesucht ist
p(X ≤ 1) = binomcdf(50, 0.133, 1) ≈ 0.0069.
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KLASSENARBEIT 5
(c) Diesesmal zählt X die Anzahl aller defekten Lämpchen in einer 20er-Packung.
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Da jede Packung 5 defekte Lämpchen enthielt, ist diesesmal p = 20
= 0.25, und
gefragt ist nach
p(X = 3) = binompdf(10, 0.25, 3) ≈ 0.25.
(3) Eine Firma produziert Sicherungen; der Anteil an defekten Sicherungen beträgt dabei 4 %.
Es werden 100 Sicherungen getestet. Wähle eine geeignete Zufallsvariable X, und
berechne die Wahrscheinlichkeit, dass
(a) keine Sicherung defekt ist;
(b) höchstens 9 Sicherungen defekt sind;
(c) mindestens 98 Sicherungen in Ordnung sind;
(d) mindestens 2 und maximal 6 Sicherungen defekt sind.
Wieviele defekte Sicherungen kann man erwarten, wenn man 100 Sicherungen testet?
Wieviele Sicherungen muss man mindestens testen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50 % mindestens eine defekte darunter ist?
Sei X die Anzahl der defekten Sicherungen; dann ist p = 0.04. Gesucht ist
(a) p(X = 0) = 0.96100 = binompdf(100, 0.04, 0) ≈ 0.0169,
(b) p(X ≤ 9) = binomcdf(100, 0.04, 9) ≈ 0.993,
(c) p(X ≤ 2) = binomcdf(100, 0.04, 2) ≈ 0.232,
(d)
p(2 ≤ X ≤ 6) = p(X ≤ 6) − p(X ≤ 1)
= binomcdf(100, 0.04, 6) − binomcdf(100, 0.04, 1) ≈ 0.806.
Bei 4 % Ausschuss kann man erwarten, dass von 100 Sicherungen 4 defekt sind.
Die Wahrscheinlichkeit, dass von n Sicherungen mindestens eine defekt ist beträgt
p(X ≥ 1). Also muss 1 − p(X = 0) < 0.5 sein, was wegen p(X = 0) = 0.96n auf 1 −
0.96n ≈ 0.5 führt. Lösen der Gleichung oder Tabellieren von 1−binompdf(x, 0.04, 0)
liefert n = 17.