Komplexe Zahlen Abstract

1
Printed from the Mathematica Help Browser
Komplexe Zahlen
Autoren:
Frank Elisabeth
4063 Hörsching
[email protected]
Nachbagauer Karin
4490 St. Florian
[email protected]
Dieses Projekt wurde im Rahmen der Lehrveranstaltung Logik als Arbeitssprache im Sommersemester 2004 verfasst.
Wir haben uns für das Thema Komplexe Zahlen entschieden, weil es uns während des ganzen Semesters beschäftigt hat
und wir uns noch näher damit befassen wollten.
Aus diverser mathematischer Fachliteratur, die im Literaturverzeichnis am Ende der Arbeit angeführt sind, haben wir
die Informationen zur Erstellung dieser Arbeit gesammelt und zusammengefasst.
Abstract
Diese Arbeit beschäftigt sich-wie gesagt-mit dem komplexen Zahlenbereich.
Wir konnten natürlich mit unseren Ausführungen nicht in die Tiefe dieses Themas eintauchen, aber hoffen, dass es uns
gelungen ist, die wichtigsten Informationen klar und leicht verständlich zu beschreiben.
Wir haben uns folgende Ziele für dieses Projekt gesteckt:
Der Leser dieser Arbeit sollte im Nachhinein folgende Fragen beantworten können:
à Wie sieht eine komplexe Zahl aus?
à Wie rechnet man mit komplexen Zahlen?
©1988-2003 Wolfram Research, Inc. All rights reserved.
2
Printed from the Mathematica Help Browser
à Besitzt eine komplexe Zahl z eine n-te Wurzel?
Wie berechnet man die n-ten Wurzeln?
Introduction
Inhalt:
ØEinführung
ØDarstellung komplexer Zahlen
1)Algebraische Form
2)Trigonometrische Form
3)Exponentialform
Wir befassen uns in diesem Abschnitt mit den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten der komplexen Zahlen.
ØRechenregeln
Wir nennen hier die wichtigsten Rechenregeln und führen den Beweis für die Division komplexer Zahlen an.
ØBeweis
Der Beweis für die Eulersche Formel ist näher erläutert.
ØBeispiel (Problembehandlung)
In diesem Abschnitt ist ein Beispiel zum Radizieren einer komplexen Zahl mit Erklärung gegeben.
©1988-2003 Wolfram Research, Inc. All rights reserved.
3
Printed from the Mathematica Help Browser
Einführung
Die Verwendung von komplexen Zahlen ist ungefähr im 16. Jahrhundert zum ersten Mal aufgetreten. Die Existenz von
Wurzeln mit negativen Zahlen wurde angezweifelt. Diese Wurzeln wurden deshalb als imaginäre Zahlen bezeichnet.
Die Verwendung komplexer Zahlen brachte Lösungsvorteile bei innermathematischen Problemen und erwies sich bei
der Beschreibung von physikalischen Vorgängen als nützlich. Die Menge der komplexen Zahlen wird folgendermaßen
definiert:
 = { a + bi » a, b œ  }
Es gilt:
N Õ Z Õ Q Õ R Õ C
©1988-2003 Wolfram Research, Inc. All rights reserved.
4
Printed from the Mathematica Help Browser
Darstellung komplexer Zahlen
1) Algebraische Form (kartesische Binomialform)
è!!!!!!!
è!!!!!!!
Die Gleichung x2 + 1 = 0 besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung. Ebenso stellen -2 oder -8 keine
reellen Zahlen dar.
Es ist möglich, falls eine quadratische Gleichung keine reelle Lösung besitzt, komplexe Zahlen als Lösungen anzugeben. Um diese komplexen Zahlen darstellen zu können, wird eine Erweiterung des Bereichs der reellen Zahlen vorgenommen. Die imaginäre Einheit i, deren Quadrat gleich -1 ist, ist der Ausgangspunkt. Für die quadratische Gleichung x2 + 1 = 0 sind die Zahlen i und -i Lösungen.
Imaginäre Einheit i:
i2 = -1
Diese imaginäre Einheit i in Verbindung mit zwei reellen Zahlen a und b stellt eine komplexe Zahl z = a + bi dar.
z = a + bi,
a, b œ R
i2 = -1
Eine komplexe Zahl z stellt sich also aus einem reellen Teil a, der als Realteil bezeichnet wird, und aus einem imaginären Teil b, dem Imaginärteil, zusammen.
Die Menge C der komplexen Zahlen enthält alle komplexen Zahlen.
C = { z = a + bi » a, b œ R }
Die Zahl z = a + bi wird als komplexe Zahl, die Zahl z = bi (a = 0) als imaginäre Zahl und die Zahl z = a (b = 0) als
reelle Zahl bezeichnet.
Wenn komplexe Zahlen z = a + bi und zê = a - bi den gleichen Realteil und den entgegengesetzt gleichen Imaginärteil
aufweisen, heißen sie konjugiert komplex.
Komplexe Zahlen sind nur in der Gaußschen Zahlenebene darstellbar. Der Name dieser Zahlenebene stammt von dem
deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der von 1777 bis 1855 lebte.
Darstellung der komplexen Zahl z = x + yi in der Gaußschen Zahlenebene:
©1988-2003 Wolfram Research, Inc. All rights reserved.
5
Printed from the Mathematica Help Browser
Wenn bei der Darstellung einer komplexen Zahl z = a+bi kartesische Koordinaten verwendet werden, nennt man die
Darstellungsweise algebraische Form. Für die Darstellung der komplexen Zahlen gibt es auch die trigonometrische
Form und die Exponentialform, auf die wir später noch näher eingehen werden.
Rechenregeln in der algebraischen Form:
Addition:
Komplexe Zahlen z1 = a1 +b1 i und z2 = a2 +b2 i werden addiert, indem man die Realteile addiert und die Imaginärteile
addiert.
z1 + z2 = Ha1 + b1iL + Ha2 + b2iL = Ha1 + a2L + Hb1 + b2L i
Subtraktion:
Komplexe Zahlen z1 = a1 +b1 i und z2 = a2 +b2 i werden voneinander subtrahiert,indem man die Realteile subtrahiert
und die Imaginärteile subtrahiert.
z1 − z2 = Ha1 + b1iL − Ha2 + b2iL = Ha1 − a2L + Hb1 − b2L i
Die Summe konjugiert komplexer Zahlen z = a+bi und zê = a-bi ist reell,die Differenz konjugiert komplexer Zahlen ist
imaginär.
z+¯
z = Ha + biL + Ha − biL = 2 a
z−¯
z = Ha + biL − Ha − biL = 2 bi
Multiplikation:
Komplexe Zahlen z1 = a1 +b1 i und z2 = a2 +b2 i in algebraischer Form werden wie algebraische Summen multipliziert.
z1 z2 =
Ha1 + b1iL Ha2 + b2iL = Ha1a2 − b1b2L + Ha1b2 + a2b1L i
Das Produkt konjugiert komplexer Zahlen ist reell.
©1988-2003 Wolfram Research, Inc. All rights reserved.
6
Printed from the Mathematica Help Browser
z∗¯
z = Ha + biL ∗ Ha − biL = a2 + b2
Division:
Komplexe Zahlen z1 = a1 +b1 i und z2 = a2 +b2 i in algebraischer Form werden dividiert, indem man mit der konjugiert
komplexen Zahl des Nenners (Divisors) erweitert.
z1 ê z2 = Ha1a2 + b1b2 + Hb1a2 − a1b2L iL ê Ha22 + b22 L
Beweis :
z1 ê z2 =
Ha1 + b1iL ê Ha2 + b2iL = Ha1 + b1iL Ha2 − b2iL ê Ha2 + b2iL Ha2 − b2iL =
Ha1a2 + b1b2 + Hb1a2 − a1b2L iL ê Ha22 − b22 i2 L =
Ha1a2 + b1b2 + Hb1a2 − a1b2L iL ê Ha22 + b22 L
z2 ≠ 0
Wie oben leicht erkennbar definieren wir die beiden komplexen Zahlen z1 und z2 folgendermaßen:
z1 := a1 +b1 i ; z2 := a2 +b2 i
Beweisschritt: Wir erweitern den Bruch mit der konjugiert komplexen des Nenners.
Durch diesen "Trick" wird der Nenner reell, da nun kein i erster Potenz mehr, sondern nur noch i2 (= -1) darin vorkommt. Der Zähler wird (nach dem Distributivgesetz) ausmultipliziert. Das Ergebnis ist nun ein Bruch mit komplexem
Zähler und reellem Nenner.
z2 ∫ 0 ist eine notwendige Einschränkung um eine Nulldivision zu vermeiden.
Der Quotient konjugiert komplexer Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl.
zê¯
z = Ha + biL ê Ha − biL = Ha2 − b2L ê Ha2 + b2L + 2 abi ê Ha2 + b2L
Potenzieren:
Wenn n eine nichtnegative ganze Zahl ist, so wird die n-te Potenz zn von z durch z0 =1 , zn =zn-1 *z definiert.
weiter bei Darstellungsformen
2) Trigonometrische Form (Polarform)
Eine andere Möglichkeit, komplexe Zahlen darzustellen, bietet die Darstellung in trigonometrischer Form mit Hilfe der
Polarkoordinaten der komplexen Zahl z:
z = Hr; ϕL
z = a + bi = rcosϕ + HrsinϕL i = r Hcosϕ + isinϕL
Diese Darstellung ergibt sich durch die Umrechnungsformeln zwischen kartesischer Binomialform und Polardarstellung:
©1988-2003 Wolfram Research, Inc. All rights reserved.
7
Printed from the Mathematica Help Browser
a = rcosϕ
b = rsinϕ
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
r = Ha2 + b2L
tanϕ = b ê a
z = r Hcosϕ + isinϕL
H0 ≤ ϕ ≤ 2 πL
Erklärung:
r ist Modul oder Absolutbetrag Halso r = » z » mit r ∈ , r ≥ 0L
ϕ ist das Argument der komplexen Zahl z und wird im Bogenmaß gemessen H0 ≤ ϕ Ä 2 πL.
Wenn man j=0 einsetzt, erhält man positive reelle Zahlen. Für j=p ergeben sich die negativen reellen Zahlen, für j=
p/2 die positiven imaginären Zahlen und für j=3p/2 die negativen imaginären Zahlen.
Darstellung der komplexen Zahl z in der trigonometrischen Form:
Die Darstellung der komplexen Zahlen wird für die trigonometrische Form mit Hilfe der Polarkoordinaten möglich.
Die Polardarstellung ist notwendig für weitere Rechenarten:
Multiplikation:
Zwei komplexe Zahlen in Polarform werden multipliziert, indem man die Beträge multipliziert und die Argumente
addiert:
z1 ∗ z2 = Hr1 ; ϕ1 L ∗ Hr2 ; ϕ2 L = Hr1 ∗ r2 ; ϕ1 + ϕ2 L = Hr3 ; ϕ3 L
Potenzieren:
Entsprechend gilt für die n-te Potenz einer komplexen Zahl:
zn = Hr; ϕLn = Hrn ; nϕL
n = 2, 3, 4, ...
©1988-2003 Wolfram Research, Inc. All rights reserved.
8
Printed from the Mathematica Help Browser
ÆSpezialfall für r=1(z=(1;j)):
Moivresche Formel:
Für die n-te Potenz einer komplexen Zahl mit dem Betrag 1,z=(1;j), gilt:
zn = H1; ϕLn = H1; nϕL
Radizieren:
Die n − te Wurzel der Zahl entspricht
n
è!!!
z :
n
n
n
è!!!
!
è!!!!!!!!
!!!!!!!
è!!!
! ϕ
z =
Hr; ϕL = J r ;
N
n
wobei z = r Hcosϕ + isinϕL.
Jede binomische Gleichung zn = a hat genau n Lösungen ζk in  :
a = Hr; ϕL
k .360 ° z
n
! ϕ
iè!!!
y
j r;
z
ζk = j
+
n
n
k
{
k = 0, 1, 2, ...
Beispiele:
Beispiele für das Radizieren einer komplexen Zahl z:
Angabe: Berechne alle dritten Wurzeln aus z = 8 (cos60°+isin60°) !
ϕ
k .360 °
n
!
iè!!!
j r;
ζk = j
+
n
n
k
k = 0, 1, 2, ...
Wir setzen in die Formel für
k=0:
ζ0 =
k=1:
ζ1 =
k=2:
ζ2 =
y
z
z
{
n
è!!!
z ein und erhalten :
60 °
60 ° y
3
è!!!
!i
z
jCos
z = 2 HCos20° − iSin20°L = 1.88 − 0.68 i
8 j
+ iSin
3
3 {
k
3
è!!!
!j
y
y °z
i 60 + 1.360 z
y ° + iSin j
i 60 + 1.360 z
8 i
z z = 2 HCos140° − iSin140°L = −1.53 + 1.26
j
z
j
jCos j
3
3
{ {
k
{
k
k
3
è!!!
!j
y = 2 HCos260° − iSin260°L = −0.35 − 1.97
i 60 + 2.360 y
i 60 + 2.360 y
z
z
8 i
z °z
z
z ° + iSin j
j
jCos j
j
3
3
{ {
{
k
k
k
Es ergibt sich hier ein regelmäßies Dreieck mit den Eckpunkten ζ0 , ζ1 und ζ2 .
©1988-2003 Wolfram Research, Inc. All rights reserved.
9
Printed from the Mathematica Help Browser
In[19]:=
ListPlot@
881.88, −0.68<, 8−1.53, 1.26<, 8−0.35, −1.97<, 81.88, −0.68<<, PlotJoined → TrueD
1
0.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
-0.5
-1
-1.5
-2
Out[19]=
Graphics
è!!!!
è!!!!
Angabe : Berechne alle vierten Wurzeln aus z = - 2 + i 2 !
è!!!!
è!!!!
z = − 2 + i 2 ... Werte in Umrechnungsformeln einsetzen
r = 2, ϕ = 135 °
è!!!!
è!!!!
− 2 + i 2 = 2 HCos135° + iSin135°L
k=0:
ζ0 =
k=1:
ζ1 =
135 °
135 ° y
4
4
è!!!
!i
è!!!
!
z
jCos
z = 2 HCos33 .75 ° − iSin33 .75 °L = 0.99 + 0.66 i
2 j
+ iSin
4
4 {
k
4
è!!!
!j
i 135 + 360
2 i
j
jCos j
4
k
k
y=
i 135 + 360 y
y
z
z
z
z °z
j
z ° + iSin j
4
{ {
k
{
4
è!!!
!
2 HCos123 .75 ° + iSin123 .75 °L = −0.66 + 0.99 i
k=2:
ζ2 =
4
è!!!
!j
y=
i 135 + 720 y
i 135 + 720 y
z
z
2 i
z
z °z
j
z ° + iSin j
j
jCos j
4
4
{ {
k
{
k
k
4
è!!!
!
2 HCos213 .75 ° + iSin213 .75 °L = −0.99 − 0.66 i
k=3:
ζ3 =
4
è!!!
!j
y
y °z
i 135 + 1080 z
i 135 + 1080 y
z
2 i
z z=
j
z ° + iSin j
j
jCos j
4
4
{ {
k
{
k
k
4
è!!!
!
2 HCos303 .75 ° + iSin303 .75 °L = +0.66 − 0.99 i
Es ergibt sich hier ein regelmäßies Viereck mit den Eckpunkten ζ0 , ζ1 , ζ2 und ζ3 .
©1988-2003 Wolfram Research, Inc. All rights reserved.
10
Printed from the Mathematica Help Browser
[email protected], 0.66<, 8−0.66, 0.99<, 8−0.99, −0.66<, 80.66, −0.99<, 80.99, 0.66<<,
PlotJoined → TrueD
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Graphics
Eulersche Formel
Mit der Eulerschen Formel für komplexe Zahlen z wird die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen
miteinander verknüpft. Die Zahl e steht für die Eulersche Zahl, die nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler
(1707-1783) benannt wurde.
Die Eulersche Zahl ist wie folgt definiert:
eiz = cosz + isinz,
z ∈ 
Für die reelle Zahl x gilt:
z=x
eix = cosx + isinx.
Für das Argument j der komplexen Zahl z gilt:
z=ϕ
z = r Hcosϕ + isinϕL = reiϕ
Wenn man z = j setzt erhält man die 3. Darstellungsform:
3) Exponentialform
z = r Hcosϕ + isinϕL = reiϕ
Diese fundamentale Eulersche Formel offenbart, dass das Verhalten der Exponentialfunktion in der komplexen Ebene
um einiges vielseitiger ist, als man vermuten mag, wenn man nur das Verhalten der Exponentialfunktion entlang der
reellen Achse kennt. Der Wert und die Nützlichkeit der Eulerschen Formel beweisen sich in den verschiedensten
Bereichen der Mathematik. Beispielsweise dient die Eulersche Formel als Basis der modernen Definition der Sinusund Kosinusfunktion.
Man beweist sie durch Zielreduktion mit Hilfe der Regel: "Equality Proving by Simplification", also indem man beide
©1988-2003 Wolfram Research, Inc. All rights reserved.
11
Printed from the Mathematica Help Browser
Gleichungsseiten vereinfacht und dann zeigt, dass die veränderten Seiten übereinstimmen, die Gleichung also stimmt.
Beweisschritt: Wir entwickeln die Taylor-Reihen für eix , cosx und sinx.
Voraussetzung dafür ist, dass die 3 oben genannten Funktionen beliebig oft differenzierbar sind. Wir brauchen die
Ableitungen für die Entwicklung der Reihen:
Reihenentwicklung von eix : Die ersten vier Ableitungen der Funktion z(x) = eix sind:
z HxL = eix
d
z HxL = i.eix
dx
d2
z HxL = −eix
dx2
d3
z HxL = −i.eix
dx3
d4
z HxL = eix
dx4
d5
z HxL = i.eix
dx5
Wir leiten oben die Funktion z (x) = eix ab und nehmen die Ableitung in unsere Wissensbasis dazu. Nun differenzieren
wir die 1. Ableitung und erhalten so die 2. Ableitung, die wir wieder in unsere Wissensbasis aufnehmen, u.s.w.
Es gilt also:
dn
dxn
z HxL =
z HxL
dn+4
dxn+4
Die ersten vier Werte für die Taylor-Koeffizienten sind bei Entwicklungspunkt a = 0 demzufolge:
ei .0 = 1
i.ei .0 = i
−ei .0 = −1
−i.ei .0 = −i
Allgemeine Taylorformel:
f HxL = „
∞
fHnL HaL
n!
Hx − aLn
n=0
Durch Einsetzen von unserem z(x) erhält man die Reihe:
z HxL = „
∞
Hei.x L
HnL
H0L
n!
Hx − 0Ln
n=0
Wir spalten diese Reihe in zwei Reihen auf, in gerade und ungerade Glieder:
z HxL = „
∞
k=0
Hei.x L
H2 kL
H2 kL !
H0L
∞
x2 k + „
k=0
Hei.x L
H2 k+1L
H0L
H2 k + 1L !
x2 k+1
Da alle "geraden Ableitungen" an der Stelle a = 0 abwechselnd 1 und -1 IHei.x L
H0L entspricht H-1Lk M und alle
H2 k+1L
"ungeraden Ableitungen" abwechselnd i und -i (Hei.x L
H0L entspricht i H−1Lk ) ergeben, sieht z(x)
folgendermaßen aus:
©1988-2003 Wolfram Research, Inc. All rights reserved.
H2 kL
12
Printed from the Mathematica Help Browser
z HxL = e
∞
i.x
=„
k=0
H−1Lk
H2 kL !
∞
2k
x
+„
k=0
i H−1Lk
H2 k + 1L !
x2 k+1
Die Taylor-Reihen von cos(x) und sin(x) sind analog zu entwickeln,sie sind außerdem aus der Vorlesung Analysis
bereits bekannt:
cos HxL = „
∞
k=0
sin HxL = „
∞
k=0
H−1Lk .x2 k
H2 kL !
H−1Lk .x2 k+1
H2 k + 1L !
Durch Addition der Taylor-Reihe des Kosinus und der mit i multiplizierten Taylor-Reihe des Sinus stößt man auf die
Gleichung:
cos HxL + i.sin HxL = „
∞
k=0
H−1Lk .x2 k
H2 kL !
∞
+ i.„
k=0
H−1Lk .x2 k+1
H2 k + 1L !
die nun aber ganz offensichtlich mit der Taylor-Reihe der Funktion eix übereinstimmt. Mittelbar folgt daraus, dass die
Funktionen eix und cos(x) + i sin(x) identisch sind, und gerade dies besagt ja die Eulersche Formel.
Anhang
Komplexe Zahlen sind praktisch, weil sie die mathematische Aufarbeitung von vielen inner- und außermathematischen
Problemen deutlich vereinfachen oder überhaupt erst möglich machen.
Die kurze Einführung in die komplexe Zahlenebene hat nicht nur die Rechenregeln und die verschiedenen Darstellungsformen gezeigt, sondern auch, dass z.B. die Eulersche Zahl beim Rechnen mit komplexen Zahlen eine wichtige Rolle
spielt.
Abschließend möchten wir sagen, dass dieses Projekt uns geholfen hat, Erfahrungen in Bezug auf Teamarbeit und
Präsentationstechniken zu sammeln.
©1988-2003 Wolfram Research, Inc. All rights reserved.
13
Printed from the Mathematica Help Browser
Literaturverzeichnis
Kemnitz, Arnfried: Mathematik zum Studienbeginn. Friedr.Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 2002
Knerr, Richard: Lexikon der Mathematik. Passavia Passau, Lexikographisches Institut, München 1977
Laub, Josef: Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen.Verlag HölderPichler-Tempsky, Wien 1978
Malle, Horst: Mathematik erleben: ein Lehr-und Übungsbuch für Schule und Praxis.Verlag Harri Deutsch, Thun,
Frankfurt am Main, 1990
©1988-2003 Wolfram Research, Inc. All rights reserved.