Lösungshinweise und Ergebnisse

Mathe II für Naturwissenschaften
23.02.17
Hinweise und Ergebnisse zur Übung 1
Dr. Christine Zehrt
Uni Basel
Besprechung der Lösungen: 28. Februar – 2. März 2017 in den Übungsstunden
Lösungshinweise
Aufgabe 1
Mittelwert x gemäss Definition auf Seite 1 des Skripts; für den Median x̃, sowie die Quartile
x̃0,25 und x̃0,75 müssen die Zahlen zuerst der Grösse nach geordnet werden (für die Berechnung
der Quartile kann der Satz 1.1 (Seite 6) für α = 0, 25, bzw. α = 0, 75 benutzt werden). Beim
Boxplot aufpassen auf Ausreisser.
Aufgabe 2
(a) Die Berechnung des arithmetischen Mittels, des Medians und der Quartile erfolgt wie in
Aufgabe 1. Die Standardabweichung s gemäss Definition auf Seite 10 des Skripts.
(b) Wieviele von den 16 PKWs hatten einen Benzinverbrauch von höchstens 10,5 Liter?
Dann wie im 2. Beispiel auf Seite 15 des Skripts.
(c) Dies entspricht dem dritten Quartil x̃0,75 .
(d) Satz 1.1 anwenden mit n = 16 und α = 0, 9. Die Bedeutung steht in der Definition,
Seite 5.
Aufgabe 3
Wie im Beispiel auf den Seiten 12–14 des Skripts.
Aufgabe 4
(a) Analog zum 3. Beispiel auf Seite 15 des Skripts.
(b) Am einfachsten denkt man sich eine Modellwelt mit zum Beispiel 100 Einwohnern und 100
Pillen. Da es nur um Verhältnisse geht, spielt die Wahl der Einwohner- und Pillenzahlen
keine Rolle.
Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe)
Suchen Sie zunächst nach einem Datensatz mit 5 Daten.
Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe)
(b) Denken Sie an das 2. Beispiel auf Seite 3 des Skripts.
(c) Zur Bestimmung von x̃0,4 benutzt man am besten Satz 1.1 (Seite 6) und zur Interpretation
die Definition (Seite 5).
Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe)
(a) und (b) Analog zum 3. Beispiel auf Seite 15 des Skripts.
(c) Sei p % die gesuchte Prozentzahl, dann ergibt sich der Verkaufspreis einerseits als Ausdruck in x und p und andererseits als Ausdruck in y und p. Daraus lässt sich p und der
Verkaufspreis berechnen.
Ergebnisse
Aufgabe 1
Mittelwerte: (a) x = 5, 71 (b) x = 5, 77
Der Median und die Quartile sind für (a) und (b) gleich: x̃ = 6, x̃0,25 = 4, x̃0,75 = 7
Der Interquartilsabstand ist x̃0,75 − x̃0,25 = 3. Ausreisser und Extremwerte sind deshalb
Zahlen < 4 − 3 · 1, 5 = −0, 5 und > 7 + 3 · 1, 5 = 11, 5. Die Zahl 12 im Datensatz (b) ist also
ein Ausreisser, der Datensatz (a) hat keine Ausreisser.
(b)
(a)
Aufgabe 2
(a) x = 10, 49; x̃ = 10, 4; x̃0,25 =
s = 0, 76
(b)
9
16
1
2 (9, 9
+ 10, 1) = 10, 0; x̃0,75 =
1
2 (10, 9
+ 11, 3) = 11, 1;
· 100 % = 56, 25 %
(c) Als Antwort kann jede Zahl im Intervall [10, 9 ; 11, 3) angegeben werden. Dies entspricht
dem dritten Quartil x̃0,75 (wobei es hier keinen Grund gibt, den Mittelwert der Intervallgrenzen zu wählen, die Angabe der Zahl 10,9 ist sinnvoller).
(d) x̃0,9 = 11, 5 (die 15. geordnete Zahl)
Höchstens 90 % der PKWs haben einen Benzinverbrauch < x̃0,9 und höchstens 10 % der
PKWs haben einen Benzinverbrauch > x̃0,9 .
Aufgabe 3
(a)
Klassennr.
i
1
2
3
4
5
6
Klassengrenzen
in kg
10 – unter 11
11 – unter 12
12 – unter 13
13 – unter 14
14 – unter 15
15 – unter 16
Strichliste
|||
||||| ||
||||| ||
||||| ||
|||||
|
Häufigkeit
ni
3
7
7
7
5
1
Die Klassenmitten xi sind 10,5 kg, 11,5 kg, usw. Damit findet man
6
x=
1 X
ni xi = 12, 73 kg .
30
i=1
(b) Mit Excel:
Aufgabe 4
(a) Um 5, 78 % (nicht um 5, 7 % = 2, 5 % + 3, 2 % !)
Denn ist x0 der ursprüngliche Ticketpreis, dann ist der Ticketpreis nach den beiden
Erhöhungen gegeben durch 1, 032 · 1, 025 · x0 = 1, 0578x0 .
(b) Im Verhältnis 16 : 1.
Rechnung mit Modellwelt (100 Einwohner, 100 Pillen):
In den USA leben 4 Personen, die 40 Pillen konsumieren, also 10 pro Einwohner. In
der restlichen Welt leben 96 Einwohner, die 60 Pillen konsumieren, also 60
96 = 0, 625 pro
10
= 16.
Einwohner. Das Verhältnis ist demnach 0,625
Rechnung ohne Modellwelt:
Seien e die Anzahl Einwohner und p die Anzahl Pillen. Dann konsumieren in den
0,4p
= 10 pe Pillen pro Einwohner. In der
USA 0, 04e Einwohner 0, 4p Pillen, also 0,04e
0,6p
restlichen Welt werden 0,96e
= 0, 625 pe Pillen pro Einwohner konsumiert. Wir erhalten
p
p
das Verhältnis 10 e : 0, 625 e = 16.
Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe)
Dem Boxplot entnehmen wir: x̃ = 5, x̃0,25 = 4, x̃0,75 = 7, xmin = 2, xmax = 10. Der Boxplot
passt also zum Beispiel zum Datensatz
2, 4, 5, 7, 10
Diesen Datensatz kann man zum Beispiel um 4 weitere Daten ergänzen:
2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 10
Bei einem Datensatz mit 8 Daten liegen der Median und die Quartile jeweils zwischen je zwei
Daten. Beispiel:
2, 4, 4, 4, 6, 6, 8, 10
Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe)
(a) x = 1307, x̃ = 900
(b) Der Median x̃ repräsentiert die Ausgaben besser, da der Ausreisser 4000 und der Extremwert 5000 das arithmetische Mittel x zu stark erhöhen.
(c) Mit α = 0, 4 und n = 15 ist nα = 15·0, 4 = 6. Nach Satz 1.1 ist x̃0,4 = 12 (750+800) = 775.
Dies bedeutet, dass höchstens 40 % (bzw. ein Anteil von 0, 4) der befragten Personen weniger als 775 CHF und höchstens 60 % mehr als 775 CHF monatlich ausgeben
(tatsächlich sind es genau 40 %, bzw. 60 %).
Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe)
(a) Nein. Er ist um 4 % tiefer als vor der Erhöhung im Januar.
Denn ist x0 der ursprüngliche Milchpreis, dann ist der neue Milchpreis gegeben durch
0, 8 · 1, 2 · x0 = 0, 96x0 .
(b) Dieselbe Antwort und dieselbe Rechnung wie in (a).
(c) Der Verkaufspreis ist gegeben durch
x−
Es folgt
x−y =
p
p
x=y+
y.
100
100
p
(x + y)
100
=⇒
p=
x−y
· 100 .
x+y
Der Verkaufspreis ist also (p in die erste Gleichung oben einsetzen)
x−y
x−y
1−
x= 1+
y.
x+y
x+y
Mit den Zahlen x = 900 000 und y = 700 000 ergibt sich der Verkaufspreis 787 500 CHF.