Reell : rational – irrational
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13 Reell : rational – irrational D213-01 Lösungen 1 A Mögliche Lösungen: Reelle Zahlen sind alle Zahlen innerhalb des dunkelblauen Ovals. Dazu gehören also auch alle rationalen Zahlen. ■■ Rationale Zahlen sind alle Zahlen innerhalb des hellblauen Ovals. Dazu gehören alle ganzen Zahlen sowie alle Zahlen, die sich als gewöhnliche Brüche schreiben lassen. ■■ Irrationale Zahlen sind alle Zahlen innerhalb des dunkelblauen äusseren Rings. Es sind diejenigen reellen Zahlen, die sich nicht als gewöhnliche Brüche schreiben lassen. ■■ Abbrechende Dezimalbrüche gehören (neben weiteren Zahlen) ins Innere des hellblauen Ovals. Auch die ganzen Zahlen können dazugezählt werden (Beispiel: 4,0 ist ein abbrechender Dezimalbruch). Alle abbrechenden Dezimalbrüche können als Brüche mit einem der Nenner 1, 10, 100, 1 000, … geschrieben werden ■■ Periodische Dezimalbrüche lassen sich in einen gewöhnlichen Bruch verwandeln, und jeder gewöhnliche Bruch, der sich durch Erweitern oder Kürzen nicht in einen Bruch mit dem Nenner 1, 10, 100, … umformen lässt, kann in einen periodischen Dezimalbruch verwandelt werden. ■■ Wenn man die Periode 0 zulässt, können auch die abbrechenden Dezimalbrüche ■■ und damit alle rationalen Zahlen als periodische Dezimalbrüche geschrieben werden (Beispiel: 4,2 = 4,2000000 … ). ■■ Die irrationalen Zahlen befinden sich im dunkelblauen Ring ausserhalb des hellblauen Ovals. Irrationale Zahlen lassen sich als Dezimalbrüche nur mit einer nicht abbrechenden und nicht periodischen Folge von Ziffern nach dem Komma schreiben, und sie lassen sich dementsprechend auch nicht in gewöhnliche Brüche verwandeln. B Mögliche weitere Beispiele: 8.5 pt 8.5 pt 8.5 pt + 7.5 pt 8.5 pt – 8.5 pt + 8.5 pt – C nein D ■ 1 8 50 709 2 10 = 1 024 1,7 Millionen … ____ ____ √ 121 = 11 – √144 0 – 1 – 3 5 7 = – 12 – (10 40 ) … ____ 47 __17 9 0,034 814 814 81… = 0,03 481 = ____ … 1 350 ___ _______ 4 2 1 – __32 – 3 4 = – 81 – √___ 169 = – __ – 0,0 285714 = – __ … 13 35 ___ __ 3 2 √ 10 √3 ≈ 1,713 205 … ≈ 2,154 4 … π ≈ 9,869 6 … ___ ____ 3 √ 20 2 ≈ – 7,368 06 … – 10 – 101 ≈ – 0,316 2 … – √__ 2 ist eine natürliche Zahl und damit auch ganz, rational und auch reell. 0,5 ist eine rationale Zahl und damit auch reell. ■■ 0 wird meistens nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt, ist aber sicher eine ganze Zahl, damit auch rational und reell. __ ■■ √ 3 ist keine rationale Zahl, weil es keinen Bruch gibt, der, mit sich selber __ multipliziert, 3 ergäbe. √ 3 ist also eine irrationale Zahl und gehört zu den reellen Zahlen. ■■ www.mathbuch.info E 0,212 212 221… (nach dem Komma jedes Mal eine Zwei mehr zwischen den einzelnen Einsen) ist offensichtlich nicht periodisch, damit sicher nicht rational, sondern reell. F Individuelle Lösungen z. B.: 0,123 456 789 101 112 131 415 16 … 1,248 163 264 128 256 … Als Kopiervorlage freigegeben © Schulverlag plus AG / Klett und Balmer Verlag AG, 2015 1 | 5 13 Reell : rational – irrational D213-01 Lösungen 2 8 pt 8 pt A natürliche Zahlen 1. Addieren B 8.5immer pt rationale Zahlen immer 8 pt 7.5 pt 8.5 pt immer ganze Zahlen reelle Zahlen immer 8.5 pt immer 2. Subtrahieren manchmal immer immer 3. Multiplizieren immer immer immer immer 4. Dividieren (Divisor ≠ 0) manchmal immer manchmal immer 5. Wurzelziehen (positive Zahlen) manchmal manchmal manchmal immer 6. Wurzelziehen (negative Zahlen) Es gibt keine ­negativen natür­ lichen Zahlen nie nie nie Ein richtiges Ergebnis zur Division a : 0 lässt sich nicht ermitteln, lässt sich aber auch nicht definieren, weil jede mögliche Definition Widersprüche zu gültigen Rechenregeln erzeugen würde. Das lässt sich durch folgende Fragestellung veranschaulichen: Wie viele Pack mit 0 Beuteln Eistee muss man einkaufen, damit man schliesslich 30 Beutel Eistee eingekauft hat? Die Division 30 : 0 müsste auf ein gültiges Ergebnis führen. Ein richtiges Ergebnis lässt sich aber nicht finden, weil für ein beliebiges x die Multiplikation x · 0 niemals das Produkt 30 erzeugt. 3 A B C Die Behauptung ist (in dieser allgemeinen Formulierung) falsch. Zwar hat die Subtraktion 12 – 5 = 7 eine natürliche Zahl als Ergebnis, die Subtraktion 5 – 12 = – 7 hat aber keine natürliche Zahl als Ergebnis. __ __ Wahr. √ 8 : √ 2 = 2 Wahr. Ein solcher Quotient lässt sich als Bruch darstellen. Dieser lässt sich immer so erweitern, dass Zähler und Nenner ganzzahlig sind. 3,75 3,75 ∙ 12 45 __ Beispiel: 3,75 : __ 67 = ______ = ______ = __ 14 1,1 6 www.mathbuch.info 1,16 ∙ 2 D ____ Falsch. √ 144 = 12 E Falsch. Ganzzahlige Vielfache von irrationalen Zahlen sind immer auch irrational. F _____ Falsch. √ 1,44 = 1,2 G __ Falsch. (√ 2 ) 2 = 2 H __ Richtig. √ 2 ist irrational. Als Kopiervorlage freigegeben © Schulverlag plus AG / Klett und Balmer Verlag AG, 2015 2 | 5 13 Reell : rational – irrational D213-01 Lösungen 4 A Vorschrift Zahl 8.5 pt8.5 8.5 pt8.5 Zahlenmengen pt pt Denk dir eine natürliche Zahl 7 x , , , (natürliche Zahl) 8.5 pt 8.5 pt Dividiere durch 4 1,75 7.5 pt , pt 8.5 Ziehe die Wurzel 1,32… 8.5 pt ____ __ √ x √( __ 4 ) 2 = __ 2 x Addiere 1 2,32… 8.5 pt √ __ x + 1 Quadriere 5,39… 8.58.5 pt pt Subtrahiere die Wurzel deiner Anfangszahl 2,75 , 8.58.5 pt pt x __ + 1 , 8.58.5 pt8.5 pt8.5 pt pt x __ + 2 , pt, , 8.5 2 Verdopple 5,5 Subtrahiere die Hälfte der Anfangszahl 2 Ziehe die Wurzel. Du erhältst 1,4142… 1,4142 … Term x __ 4 __ 2 7.5 pt B Siehe Spalte «Zahlenmengen» in der Tabelle. C Start mit 4 oder 16 liefert lauter natürliche Zahlen als Zwischenergebnisse. D Die Begründung ist in der letzten Spalte zu finden. __ x __ + √ x + 1 4 4 2 __ √ 2 5 A Vorschrift Zahl 8.5 pt8.5 8.5 pt8.5 Zahlenmengen pt pt Denk dir eine Zahl 3 x , , , (natürliche Zahl) 8.5 pt 8.5 pt Dividiere durch 2 1,5 7.5 pt , 8.58.5 pt pt 0,5x Quadriere 2,25 , 8.58.5 pt8.5 pt8.5 pt pt 0,25x 2 Verachtfache 18 , pt, , 8.5 Ziehe die Wurzel 4,246… pt 8.57.5 pt8.5 8.5 pt8.5 pt pt 2x 2 __ √ ∙ x 2 Dividiere durch die Wurzel aus 2 3 , pt, , 8.5 Ziehe die Wurzel 1,71… pt 8.57.5 pt8.5 8.5 pt8.5 pt pt Dividiere durch die Wurzel der Anfangszahl 1 , , , Term x __ √ x 1 7.5 pt B Mit einer geraden Quadratzahl (4, 16, 36, 64, …) gehören alle Zwischenergebnisse __ ausser einem (√2 ∙ x) zur Menge der natürlichen Zahlen. C Individuelle Lösungen 6 Es sind je Spielrunde maximal zwei Operationen erlaubt, höchstens eine Strich­ operation. Notiert jeweils zuerst die durchzuführende Operation und kontrolliert dann mit dem ­Rechner. Beginnt mit einem neuen Spiel, wenn das Ziel nicht erreicht werden kann. Das Spiel kann man erschweren, wenn 1, 0 und – 1 als Zwischenergebnisse nicht verwendet werden dürfen. www.mathbuch.info Als Kopiervorlage freigegeben © Schulverlag plus AG / Klett und Balmer Verlag AG, 2015 3 | 5 13 Reell : rational – irrational D213-01 4 | 5 Lösungen 7 A D 1 7 2 + 242 = 625 c = 25 ___ c=√ 13 D 2 2 2 + 3 2 = 13 __ __ D 3 2 2 + (√ ) 3 2 = 4 + 3 = 7 c=√ 7 __ __ 2 √ ) D 4 ( 2 2 + (√ ) 7 =9 c=3 Mögliche Lösungen: B a = 24 c = 25 B ___ c=√ 13 D1 a=2 D2 C b=7 b=3 C A A B 1 __ 3 √ __ c = √ 7 a=2 D3 __ b=√ 3 C B __ a = √ 2 1 1 A C D4 __ 5 c = √ __ b = √ 3 A 1 www.mathbuch.info Als Kopiervorlage freigegeben © Schulverlag plus AG / Klett und Balmer Verlag AG, 2015 13 Reell : rational – irrational D213-01 Lösungen 7 B Individuelle Lösungen C Individuelle Lösungen 8 www.mathbuch.info A Für alle Zahlenbeispiele gültig ist: __ __ ___ √ a ∙ √b Aussage 1 = √ ab __ __ __ __ √ a : √b Aussage 2 = √ ba ___ __ __ Aussage 3√ a 2 ∙ √ b = a√ b ___ __ Aussage 4√ a 3 = a√ a ___ ___ 2x Aussage 5√ a = √ a x __ ____ Aussage 10 a ∙ √ b = √ a 2b B Nur für einige Zahlenbeispiele gültig ist: __ __ _____ Aussage 6√ a + √ b = √ a + b Wahr z. B. mit a = 4 und b = 0. Falsch z. B. mit a = 2 und b = 3. Die Aussage ist nur dann wahr, wenn die Bedingung a = 0 oder b = 0 ist. __ __ ___ Aussage 7√ a + √ a = √ 2a Wahr für a = 0. Falsch für a ≠ 0. __ __ Aussage 8√ a = √ a = a Wahr für a = 1. Falsch für a ≠ 1. __ __ 2 Aussage 9(√ a – √ ) b = a – b Die Aussage ist nur wahr, wenn a = 0 und / oder b = 0. Als Kopiervorlage freigegeben © Schulverlag plus AG / Klett und Balmer Verlag AG, 2015 5 | 5
