Reell : rational – irrational

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Reell : rational – irrational
D213-01
Lösungen
1
A
Mögliche Lösungen:
Reelle Zahlen sind alle Zahlen innerhalb des dunkelblauen Ovals.
Dazu gehören also auch alle rationalen Zahlen.
■■ Rationale Zahlen sind alle Zahlen innerhalb des hellblauen Ovals.
Dazu gehören alle ganzen Zahlen sowie alle Zahlen, die sich als gewöhnliche
Brüche schreiben lassen.
■■ Irrationale Zahlen sind alle Zahlen innerhalb des dunkelblauen äusseren Rings.
Es sind diejenigen reellen Zahlen, die sich nicht als gewöhnliche Brüche schreiben
lassen.
■■ Abbrechende Dezimalbrüche gehören (neben weiteren Zahlen) ins Innere
des hellblauen Ovals. Auch die ganzen Zahlen können dazugezählt werden
(Beispiel: 4,0 ist ein abbrechender Dezimalbruch). Alle abbrechenden Dezimalbrüche
können als Brüche mit einem der Nenner 1, 10, 100, 1 000, … geschrieben werden
■■ Periodische Dezimalbrüche lassen sich in einen gewöhnlichen Bruch verwandeln,
und jeder gewöhnliche Bruch, der sich durch Erweitern oder Kürzen nicht in einen
Bruch mit dem Nenner 1, 10, 100, … umformen lässt, kann in einen periodischen
Dezimalbruch verwandelt werden.
■■ Wenn man die Periode 0 zulässt, können auch die abbrechenden Dezimalbrüche
■■
und damit alle rationalen Zahlen als periodische Dezimalbrüche geschrieben werden
(Beispiel: 4,2 = 4,2000000 … ).
■■ Die irrationalen Zahlen befinden sich im dunkelblauen Ring ausserhalb
des hellblauen Ovals. Irrationale Zahlen lassen sich als Dezimalbrüche nur mit
einer nicht abbrechenden und nicht periodischen Folge von Ziffern nach
dem Komma schreiben, und sie lassen sich dementsprechend auch nicht in
gewöhnliche Brüche verwandeln.
B
Mögliche weitere Beispiele:
8.5 pt
8.5 pt
8.5 pt
+
7.5 pt
8.5 pt
–
8.5 pt
+
8.5 pt
–
C
nein
D
■
1 8 50 709 2 10 = 1 024 1,7 Millionen …
____
____
√ 121 ​ = 11 – ​√144 ​
0 – 1 – 3 5 7 ​
 
 = – 12 – (10 40 ) …
____
47
​ __17  ​ 9 0,034 814 814 81… = 0,03​
481​ = ​ ____
  ​ 
…
1 350
___
_______
4
2
1
– ​ __32  ​ – 3 4 = – 81 – ​√___
 ​  169
    
​ ​ = – ​ __
   
​ – 0,0​
285714​ 
= – ​ __
  ​ …
13
35
___
__
3
2
√   10 ​
​√3 ​
  
≈ 1,713 205 … ​
 ≈ 2,154 4 … π ≈ 9,869 6 …
___
____
3
√   20 2 ​ ≈ – 7,368 06 …
– 10 – ​
 ​  101   ​ ​
 ≈ – 0,316 2 … – ​
√__
2 ist eine natürliche Zahl und damit auch ganz, rational und auch reell.
0,5 ist eine rationale Zahl und damit auch reell.
■■ 0 wird meistens nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt, ist aber sicher
eine ganze Zahl, damit auch rational und reell.
__
■■ √
​ 3 ​
   ist keine rationale Zahl, weil es keinen Bruch gibt, der, mit sich selber
__
multipliziert, 3 ergäbe. √
​ 3 ​
   ist also eine irrationale Zahl und gehört
zu den reellen Zahlen.
■■
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E
0,212 212 221… (nach dem Komma jedes Mal eine Zwei mehr zwischen
den einzelnen Einsen) ist offensichtlich nicht periodisch, damit sicher nicht rational,
sondern reell.
F
Individuelle Lösungen
z. B.: 0,123 456 789 101 112 131 415 16 … 1,248 163 264 128 256 …
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D213-01
Lösungen
2
8 pt
8 pt
A
natürliche Zahlen
1. Addieren
B
8.5immer
pt
rationale Zahlen
immer
8 pt
7.5 pt
8.5
pt
immer
ganze Zahlen
reelle Zahlen
immer
8.5
pt
immer
2. Subtrahieren
manchmal
immer
immer
3. Multiplizieren
immer
immer
immer
immer
4. Dividieren
(Divisor ≠ 0)
manchmal
immer
manchmal
immer
5. Wurzelziehen
(positive Zahlen)
manchmal
manchmal
manchmal
immer
6. Wurzelziehen
(negative Zahlen)
Es gibt keine
­negativen natür­
lichen Zahlen
nie
nie
nie
Ein richtiges Ergebnis zur Division a : 0 lässt sich nicht ermitteln, lässt sich aber auch
nicht definieren, weil jede mögliche Definition Widersprüche zu gültigen Rechenregeln
erzeugen würde.
Das lässt sich durch folgende Fragestellung veranschaulichen:
Wie viele Pack mit 0 Beuteln Eistee muss man einkaufen, damit man schliesslich
30 Beutel Eistee eingekauft hat?
Die Division 30 : 0 müsste auf ein gültiges Ergebnis führen. Ein richtiges Ergebnis
lässt sich aber nicht finden, weil für ein beliebiges x die Multiplikation x · 0 niemals
das Produkt 30 erzeugt.
3
A
B
C
Die Behauptung ist (in dieser allgemeinen Formulierung) falsch.
Zwar hat die Subtraktion 12 – 5 = 7 eine natürliche Zahl als Ergebnis,
die Subtraktion 5 – 12 = – 7 hat aber keine natürliche Zahl als Ergebnis.
__ __
Wahr. √
​ 8 ​
   : √
​ 2 ​
   = 2
Wahr. Ein solcher Quotient lässt sich als Bruch darstellen.
Dieser lässt sich immer so erweitern, dass Zähler und Nenner ganzzahlig sind.
3,75
3,75 ∙ 12
45
__   
Beispiel: 3,75 : __​ 67 ​ = ​ ______  
​ = ​ ______
​ 
= ​ __
  ​ 
14
1,1​​
 
6
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1,1​6​  ∙ 2
D
____
Falsch. √
​  144 ​ = 12
E
Falsch. Ganzzahlige Vielfache von irrationalen Zahlen sind immer auch irrational.
F
_____
Falsch. √
​ 1,44 ​
 
 
= 1,2
G
__
Falsch. (​√ 
2
  ​ ) 2 = 2
H
__
Richtig. √
​ 2 ​
   ist irrational.
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Lösungen
4
A
Vorschrift
Zahl
8.5
pt8.5
8.5
pt8.5
Zahlenmengen
pt pt
Denk dir eine natürliche Zahl
7
x
, , ,
(natürliche
Zahl)
8.5
pt
8.5 pt
Dividiere durch 4
1,75
7.5 pt
, pt
8.5
Ziehe die Wurzel
1,32…
8.5 pt
____
__
√
x
​√(  __
​  4 ​)  2 ​ = __
​ ​2  ​ x  ​ 
Addiere 1
2,32…
8.5 pt
√
__
​  ​   ​ x  ​ + 1
Quadriere
5,39…
8.58.5
pt pt
Subtrahiere die Wurzel deiner Anfangszahl
2,75
,
8.58.5
pt pt
x
​ __ ​ + 1
,
8.58.5
pt8.5
pt8.5
pt pt
x
__
​   ​ + 2
, pt, ,
8.5
2
Verdopple
5,5
Subtrahiere die Hälfte der Anfangszahl
2
Ziehe die Wurzel. Du erhältst 1,4142…
1,4142 …
Term
x
​ __ ​ 
4
__
2
7.5 pt
B
Siehe Spalte «Zahlenmengen» in der Tabelle.
C
Start mit 4 oder 16 liefert lauter natürliche Zahlen als Zwischenergebnisse.
D
Die Begründung ist in der letzten Spalte zu finden.
__
x
__
​   ​ + √
​  x ​  + 1
4
4
2
__
 
​√ 
 ​
2
5
A
Vorschrift
Zahl
8.5
pt8.5
8.5
pt8.5
Zahlenmengen
pt pt
Denk dir eine Zahl
3
x
, , ,
(natürliche
Zahl)
8.5
pt
8.5 pt
Dividiere durch 2
1,5
7.5 pt
,
8.58.5
pt pt
0,5x
Quadriere
2,25
,
8.58.5
pt8.5
pt8.5
pt pt
0,25x 2
Verachtfache
18
, pt, ,
8.5
Ziehe die Wurzel
4,246…
pt
8.57.5
pt8.5
8.5
pt8.5
pt pt
2x 2
__
√
   ∙ x
​ 2 ​ Dividiere durch die Wurzel aus 2
3
, pt, ,
8.5
Ziehe die Wurzel
1,71…
pt
8.57.5
pt8.5
8.5
pt8.5
pt pt
Dividiere durch die Wurzel der Anfangszahl
1
,
,
,
Term
x
__
​√  
 ​
x
1
7.5 pt
B
Mit einer geraden Quadratzahl (4, 16, 36, 64, …) gehören alle Zwischenergebnisse
__
ausser einem (​√2 ​    ∙ x) zur Menge der natürlichen Zahlen.
C
Individuelle Lösungen
6
Es sind je Spielrunde maximal zwei Operationen erlaubt, höchstens eine Strich­
operation.
Notiert jeweils zuerst die durchzuführende Operation und kontrolliert dann
mit dem ­Rechner.
Beginnt mit einem neuen Spiel, wenn das Ziel nicht erreicht werden kann.
Das Spiel kann man erschweren, wenn 1, 0 und – 1 als Zwischenergebnisse nicht
verwendet werden dürfen.
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3 | 5
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D213-01
4 | 5
Lösungen
7
A
D 1 7 2 + 242 = 625
c = 25
___
c=√
​ 13 ​
   
D 2 2 2 + 3 2 = 13
__
__
D 3 2 2 + (​√ ​)
 
3
  2 = 4 + 3 = 7
c=√
​  ​
7
 
 
__
__
2
√ ​)
D 4 (​
 
2
  2 + (​√ ​)
 
7
  =9
c=3
Mögliche Lösungen:
B
a = 24
c = 25
B
___
   
c=√
​ 13 ​
D1
a=2
D2
C
b=7
b=3
C
A
A
B
1
__
 
3
 
​√ ​
__
c = ​√ ​
7
 
 
a=2
D3
__
 
b=√
​  ​
3
 
C
B
__
 
a = ​√ 
 ​
2
1
1
A
C
D4
__
5
 
c = ​√ ​
 
__
b = ​√ ​
 
3
 
A
1
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D213-01
Lösungen
7
B
Individuelle Lösungen
C
Individuelle Lösungen
8
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A
Für alle Zahlenbeispiele gültig ist:
__ __
___
√ a ​  ∙ ​√b ​
Aussage 1​
   = √
​ ab ​
   
__
__ __
__
√ a ​  : ​√b ​
Aussage 2​
   = √
​ ​ 
 ba  ​ ​
___ __
__
Aussage 3​√ a 2 ​ ∙ √
​  b ​ = a​√ ​
b
 
 
___
__
Aussage 4​√ a 3 ​ = a​√  
 ​
a
___
___
2x
Aussage 5​√ a  ​ = √
​a
  x ​ 
__
____
Aussage 10 a ∙ ​√ b ​ = √
​  a 2b ​ 
B
Nur für einige Zahlenbeispiele gültig ist:
__
__
_____
Aussage 6​√ a ​  + ​√ b ​ = √
​  a + b ​   Wahr z. B. mit a = 4 und b = 0. Falsch z. B. mit a = 2 und b = 3.
Die Aussage ist nur dann wahr, wenn die Bedingung a = 0 oder b = 0 ist.
__
__
___
Aussage 7​√ a ​  + ​√ a ​ = √
​ 2a ​     Wahr für a = 0. Falsch für a ≠ 0.
__
__
Aussage 8​√ a ​ = √
​  a ​ = a Wahr für a = 1. Falsch für a ≠ 1.
__
__ 2
Aussage 9(​√ a ​ – √
​  ​)
 
b
  = a – b Die Aussage ist nur wahr, wenn a = 0 und / oder b = 0.
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5 | 5
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