Inkreismittelpunkt eines Dreiecks

2-dimensionale Vektorrechnung
Dreiecke
Inkreismittelpunkt
Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen des Dreiecks.
Winkelsymmetrale wα :
Die Winkelsymmetrale wα geht durch den Punkt A und halbiert den Winkel α . Den
Richtungsvektor dieser Geraden bestimmt man mit der Formel wα = AB 0 + AC 0 .
1.
2.
3.
4.
5.
AB =B-A
AC =C-A
| AB |
| AC |
wα = AB 0 + AC 0
6. wα : x =A+s wα
Winkelsymmetrale wβ :
Die Winkelsymmetrale wβ geht durch den Punkt B und halbiert den Winkel β . Den
Richtungsvektor dieser Geraden bestimmt man mit der Formel wβ = BA0 + BC 0 .
7. BA =A-B
8. BC =C-B
9. | BA |
10. | BC |
11. wβ = BA0 + BC 0
12. wβ : x =B+t wβ
Der Inkreismittelpunkt I ist der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen wα und wβ .
13. Schnittpunkt von wα und wβ
Gerechnetes Beispiel:
Die Punkte A=(3|2), B=(7|5) und C=(7|-1) bilden ein Dreieck. Bestimme den
Inkreismittelpunkt des Dreiecks.
Lösung:
Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen des Dreiecks.
Winkelsymmetrale wα :
Die Winkelsymmetrale wα geht durch den Punkt A und halbiert den Winkel α . Den
Richtungsvektor dieser Geraden bestimmt man mit der Formel wα = AB 0 + AC 0 .
7  3  4
AB =B-A=   -   =  
 5  2  3
 7   3  4 
AC =C-A=   -   =  
 −1  2   − 3 
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2-dimensionale Vektorrechnung
Dreiecke
| AB |= 4² + 3² =5
| AC |= 4² + (−3)² =5
 4  4 
   
3
− 3 8 / 5

wα = AB 0 + AC 0 =   +   = 
5
5
 0 
Diesen Vektor kürzt man durch 8/5 und erhält (1|0) als Richtungsvektor der Winkelsymmetralen:
 3 1
wα : x =   +s  
 2 0
Winkelsymmetrale wβ :
Die Winkelsymmetrale wβ geht durch den Punkt B und halbiert den Winkel β . Den
Richtungsvektor dieser Geraden bestimmt man mit der Formel wβ = BA0 + BC 0 .
 3  7   − 4
BA =A-B=   -   =  
 2  5  − 3
 7  7  0 
BC =C-B=   -   =  
 −1  5   − 6 
| BA |= (−4)² + (−3)² =5
| BC |= 0² + (−6)² =6
 − 4  0 
   
−3
− 6  − 4 / 5

wβ = BA 0 + BC 0 =   +   = 
5
6
 − 8/ 5
Diesen Vektor multipliziert man mit -5/4 und erhält (1|2) als Richtungsvektor der
Winkelsymmetralen:
7 1
wβ : x =   +t  
 5  2
Schnittpunkt von wα und wβ :
Aus der Geraden wα erhält man: x=3+s und y=2. Aus wβ folgt: x=7+t und y=5+2t.
Wenn man sowohl x als auch y gleichsetzt, so erhält man ein Gleichungssystem mit
den Un-bekannten s und t:
3 +s = 7 +t
2
= 5 +2t
Aus der zweiten Gleichung folgt:
2
= 5 +2t |-5
-3
=
2t |:2
=
t
1,5
Diesen Wert setzt man in die Gleichung der Geraden wβ ein und erhält:
7
1 7
 − 1,5   5,5 
 =  
I=   +(-1,5).   =   + 
5
 2  5  − 3   2 
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