Vorlesungen: Lektüre:

14.4.2008
Statistische Mechanik
Vorlesungen:
Donnerstag, 17.4.: Wiederholung. Kanonisches Ensemble. Zustandssumme
und Erwartungswerte.
Freitag, 18.4.:
Freie Energie und Gleichgewicht. Thermodynamik: 1.
Hauptsatz.
Lektüre:
Kapitel über das kanonische Ensemble in einem Textbuch (z.B. Schwabl Kap.
2.4-2.7). Geschichte von Boltzmann
(siehe unter: http://www.physik.uni-kl.de/eggert/statmech/)
Übungen: Einzureichen bis Mo,21.4.2008 12Uhr in Fächer vor 46-594. Je 10 Punkte.
3 a) Argumentiere, dass die Anzahl von Möglichkeiten E identische Bälle auf N
verschiedene Schachteln zu verteilen durch Ω( N , E ) = (EE!+( NN−−11)!)! gegeben ist.
b) Benutze das Resultat von a), um N Teilchen mit einem Energiespektrum der
Form ε i = ihω , i = 0,1,2,.. zu betrachten. Plotte die Entropie und T(N,E) für
N=10 als Funktion der Gesamtenergie E. Benutze die Stirlingsche Formel
ln x!≈ x ln x − x , um die Entropie und T(N,E) für grosse E und N zu nähern.
c) Zwei Systeme mit je N solcher Teilchen sind in Kontakt miteinander mit
Gesamtenergie E=E1+E2=4N. Plotte die Gesamtanzahl der Mikrozustände
Ω( E1 , E2 ) als Funktion von E1 für N = 10,30,50. Bestimme die Breite des
Maximums für grosse N.
4) Negative Temperaturen. Betrachte Spin-1/2 Teilchen in einem Magnetfeld,
die zwei mögliche Zustände haben |+> und |–> mit zugehöriger Energie
E ± = ±ε .
a) Wende das Konzept des Mikrokanonischen Ensembles auf dieses System
an. Berechne und plotte die Entropie S(N,E)/N für große N als Funktion von
E/N. Einige der Resultate von Aufgabe 1) sind dabei nützlich.
b) Berechne und plotte die Temperatur T(N,E) für große N als Funktion von
E/N. Gibt es die Möglichkeit negativer Temperaturen? Was passiert bei
T → 0 − und T → −∞ ? Ausgehend von einem „gewöhnlichen“ Makrozustand
mit T>0, kann man experimentell einen Zustand mit T<0 erzeugen? Warum?
(bzw. Wie?)
c) Zeige durch direkte Berechnung im Mikrokanonischen Ensemble, dass die
Wahrscheinlichkeit für den Mikrozustand eines Spins durch P± = exp(− βE± ) / Z
gegeben ist für sowohl positive als auch negative Temperaturen.
d) In welcher Richtung fliesst die Energie zwischen Reservoirs mit
verschiedenen negativen Temperaturen, bzw einer negativen und einer
positiven Temperatur (mit Begründung)? Kann es negative Temperaturen in
Systemen mit folgenden Teilchen geben: (i) Freie Atome, (ii) Oszillatoren,
(iii) klassische magnetische Momente im Magnetfeld? Warum?
Verständnisfragen
1.)
Was ist ein Makrozustand und ein Mikrozustand?
2.)
Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung? Was versteht man unter
dem Phasenraum? Wie werden Erwartungswerte allgemein berechnet?
3.)
Was besagt der zentrale Grenzwertsatz?
4.)
Was ist die wahrscheinlichkeitstheoretische Definition der Entropie?
5.)
Beschreibe das Konzept des Mikrokanonischen Ensembles. Was ist die
Wahrscheinlichkeitsverteilung im Mikrokanonischen Ensemble?
6.)
Mit welchem Ausdruck kann die Gesamtzahl der Zustände Ω im
Mikrokanonischen Ensemble berechnet werden? Was ist die Entropie?
7.)
Wann sind zwei Systeme im Gleichgewicht im Mikrokanonischen
Ensemble? Was bedeutet das für die Entropie?
8.)
Definiere Temperatur im Mikrokanonischen Ensemble. Zeige, dass die
Temperaturen gleich sind wenn zwei Systeme im energetischen Gleichgewicht sind.
9.)
Zeige mit Hilfe des Mikrokanonischen Ensembles, dass es
wahrscheinlicher ist, dass Wärme von höheren zu niedrigeren
Temperaturen fliesst. Was ist die Clausius Version des 2. Hauptsatzes?
10.) Was ist ein vollständiges Differential einer Funktion? Zeige die
Umkehrrelation und die zyklische Relation für partielle Ableitungen.
11.) Was ist mit einer generalisierten Kraft konjugiert zu einem externen
Parameter gemeint? Zeige, wie man die generalisierte Kraft im
Mikrokanonischen Ensemble berechnen kann. Gebe ein Beispiel für eine
generalisierte Kraft.
12.) Leite das Ideale Gasgesetz mit Hilfe des Mikrokanonischen Ensembles
her. Zeige, dass die durchschnittliche Energie pro Teilchen E=3kT/2 ist.