1. Eine dreiseitige Pyramide ist durch die Punkte P1 (0|

WVV-12
Schuljahr 2012/2013
1
Lösungen zu Übung 9
1. Eine dreiseitige Pyramide ist durch die Punkte P1 (0| − 2|0), P2 (3|1|1), P3 (1|2|1)
und P4 (1|1|3) festgelegt.
(a) Zeigen Sie, dass das Dreieck P2 P3 P4 gleichschenklig ist! 

0
−
−−→

 →
−
Die Kantenvektoren des Dreiecks sind →
a = P3 P4 =  −1 , b =
2




2
−2
−−→
−−→




→
−
−
P4 P2 =  0  und c = P2 P3 =  1 . Oensichtlich ist |→
a| =
−2
0
√
→
−
| c | = 5. Damit ist das Dreieck P2 P3 P4 gleichschenklig.
(b) Berechnen Sie die Gröÿen der Innenwinkel dieses Dreiecks!
α ist der Innenwinkel am Punkt P2 , β der Innenwinkel am Punkt P3 und
→
−
γ der Innenwinkel am Punkt P4 .Vom Punkt P2 gehen die Vektoren − b
−c aus.
und →










−
→−
→

Also ist α = arccos −−→b b ·−→cc = arccos 
| || |




−2
0
2



 ·


√ √
8· 5
−2
1
0








 = arccos √440 ≈




50, 77°.
Damit ist auch γ ≈ 50, 77° und β ≈ 180° − 2 · 50, 77° = 78, 46°.
(c) Bestimmen sie eine Ebenengleichung derjenigen Ebene E , in der das Dreieck P2 P3 P4 liegt!
 


3
−2
−−→
−−→
−−→
−−→
 


E : OX = OP2 + r · P2 P3 + s · P2 P4 =  1  + r ·  1  + s ·
1
0


−2


 0  ; r, s ∈ R.
2
(d) Ermitteln sie eine Gleichung derjenigen Geraden g , die auf der Ebene E
senkrecht steht und durch den Punkt P1 verläuft!
−
Ein Vektor →
n , der orthogonal auf der Ebene E steht, muss die folgenden
Bedingungen erfüllen:
−−→
→
→
−
→
− −−P
n · P
0 und
2 P3 = 
 n ·P
2 4 = 0.

 

n1
−2
n1
−2

 


 
Also  n2  ·  1  = −2n1 + n2 = 0 und  n2  ·  0 
 =
n3
0
n3
2
−2n1 + 2n3 = 0.
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2
Lösungen zu Übung 9


1
 
−
Setze n1 = 1, dann ergibt sich n2 = 2 und n3 = 1, also →
n =  2  also
1
möglicher Normalenvektor der Ebene 
E.

 
0
1
−−→ −−→


 
→
−
Damit ist g : OX = OP1 + k · n =  −2  + k ·  2  ; k ∈ R eine
0
Parametergleichung der gesuchten Geraden g .
1
(e) Berechnen Sie den Schnittpunkt von g und E und das Volumen der dreiseitigen

Pyramide!
   




 
0
1
3
−2
−2
1


   




 
 −2  +k ·  2  =  1  +r ·  1  +s·  0  ⇔ k ·  2  +
0
1
1
0
2
1



  
2
2
3



  
r ·  −1  + s ·  0  =  3 .
0
−2
Als
lineares Gleichungssystem:
1
k +2r +2s = 3 k +2r +2s =
k +2r +2s =
3 3 = 3 ⇔
−5r −4s = −3 ⇔ −5r −4s = −3 2k −r
k
−2s = 1 −2r −4s = −2 −12s = −4 5 6k +12r
6k +
k +
=
=
14
=
10
3 1 ⇔
⇔
⇔
r
= 13 .
15r
=
5 r
= 3 s = 13 s = 13 −12s = −4 Damit ist S 35 | 43 | 53 der gesuchte Schnittpunkt.


5
q
−−→ 3
 10 
Die Höhe h der Pyramide ist dann h = P1 S =  3  = 25+100+25
=
9
5
3
q
√
50
= 35 6.
3
s
−
→
→ 2
√
−
→
−
b
Die Grundäche der Pyramide ist G =
a2− 2
· 2b = 5 − 2·
√
√
2 = 6.
√
√
Damit ist V = 31 G · h = 13 6 · 35 6 = 309 = 3 13 das Volumen V der
Pyramide.
2. Die Spurpunkte einer Ebene E sind die Schnittpunkte der Ebene mit den
Koordinatenachsen, die Spurgeraden die Schnittgeraden mit den Koordinatenächen. Gegeben sind die Punkte A (3|1|0), B (0|3|4) und C (6|6| − 4).
(a) Bestimmen Sie die Spurpunkte und Spurgeraden der Ebene EABC , die
durch die drei gegebenen Punkte festgelegt ist!
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Lösungen zu Übung 9
3

EABC





3
−3
3
−−→  




: OX =  1  + r  2  + s  5  ; r, s ∈ R.
4
−4
0
Zur Berechnung der Spurpunkte setzt man die Ebene mit den Koordinatenachsen
  gleich:
  
 

1
3
−3
3
    
 

x· 0  =  1 +r  2 +s  5 . Aus der dritten Komponen0
0
4
−4
te ergibt sich r = s und aus der ersten dann x = 3. Also ist Sx (3|0|0)der
erste
 Spurpunkt.
  




0
3
−3
3
   




y ·  1  =  1  +r  2  +s  5  . Wieder ergibt sich aus der
0
0
4
−4
dritten Komponente r = s, was allerdings zu einem Widerspruch (0 = 3)
in der ersten Komponente führt. Die y -Achse schneidet die Ebene EABC
alsonicht.

 




0
3
−3
3
   




z ·  0  =  1  + r  2  + s  5  . Das entsprechende Glei1
0
4
−4
chungssystem lässt sich lösen durch r = 74 , s = − 37 und z = 4, so dass
Sz (0|0|4) der Spurpunkt der Ebene EABC auf der z -Achse ist.
−−→
Da
es
nur
zwei
Spurpunkte
gibt,
gibt
es
nur
eine
Spurgerade:
g
:
OX =
xz
 


3
−3
 


 0  + t ·  0  ; t ∈ R. Diese liegt in der x − z−Ebene.
0
4

 

−1
4
−−→ 
 

(b) Gegeben ist eine Gerade g durch g : OX =  2  + q ·  0  ; q ∈ R.
3
1
Bestimmen 
Sie denSchnittpunkt
Schnittwinkel
von
 undden 

 g und
 EABC
!
−1
4
3
−3
3


   




g ∩ EABC :  2  + q ·  0  =  1  + r ·  2  + s ·  5 
3
1
0
4
−4
4q +3r −3s =
2 Zu lösen ist das Gleichungssystem
−2r −5s = −1 . Also Lö
q −4r +4s = −3 sung ergibt sich
89
9
392
7
der gesuchte
q = − 133
, r = 133
und s = − 133
. Damit ist S − 161
|2|
133
133
Schnittpunkt.
Um den Schnittwinkel zu bestimmen, suchen wir zuerst wieder einen Nor−
malenvektor →
n der Ebene EABC :
−3n1 + 2n2 + 4n3 = 0 und 3n1 + 5n2 − 4n3 = 0. Setzen wir n3 = 3
und addieren die beiden Gleichungen, so ergibt sich n2 = 0 und n1 = 4.
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
Lösungen zu Übung 9
4

4
 
−
Also ist →
n =  0  ein möglicher Normalenvektor der Ebene EABC .
3
Nun ist derWinkel
ϕ zwischen diesem und der Geraden g gerade ϕ =


 4  4 






 0  0 






1
3
√ √
= arccos √1719√25 ≈ 22, 83°.
arccos
17 25
Damit ist der gesuchte Winkel α zwischen der Geraden g und der Ebene
EABC gegeben durch α ≈ 90° − 22, 83° = 67, 17°.