9.5.10 Dia- und Paramagnetismus ****** 1 Motivation 2

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Dia- und Paramagnetismus
9.5.10 Dia- und Paramagnetismus
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1 Motivation
Eine (paramagnetische) Aluminiumkugel wird im inhomogenen Magnetfeld angezogen, eine
(diamagnetische) Wismutkugel dagegen abgestossen.
2 Experiment
Abbildung 1: Detail: Probe zwischen den Magnetpolen
Eine kleine Metallkugel aus Aluminium bzw. aus Wismut befindet sich im Spalt zwischen
den Polschuhen zweier Elektromagneten, von denen der eine als ebene Kreisfläche, der andere
konisch ausgebildet ist (siehe Abb. 1). Damit entsteht ein inhomogenes Magnetfeld, dessen
Feldstärke in Richtung des konischen Polschuhs zunimmt.
2.1 Durchführung des Experiments
a) Aluminiumkugel:
Man hängt die (paramagnetische) Kugel an einem oberhalb der Magneten befindlichen
Metallstab auf, so dass sie sich in der Mitte zwischen den beiden Polschuhen befindet.
Nach Einschalten des Spulenstroms wird die Kugel vom konischen Polschuh angezogen
(siehe Abb. 2). Anschliessend schaltet man die Stromrichtung um und stellt fest, dass die
Kugel wiederum vom konischen Polschuh angezogen wird!
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Abbildung 2: Die paramagnetische Aluminiumkugel wird im inhomogenen Magnetfeld angezogen.
b) Wismutkugel:
Man wiederholt nun das Experiment mit der (diamagnetischen) Wismutkugel. In diesem
Fall wird die Kugel unabhängig von der Polarität stets vom konischen Polschuh abgestossen!
3 Theorie
3.1 Magnetische Grössen
Dia- und paramagnetische Stoffe werden in einem äusseren Magnetfeld B 0 schwach polarisiert.
Dadurch ändert sich die magnetische Flussdichte B m im Material geringfügig:
B m = µr B 0 = (1 + χm )B 0
(1)
Dabei bedeuten µm die relative Permeabilitätszahl und χm die magnetische Suszeptilität des
Materials. Die Magnetisierung M ist als Dipolmomentdichte das makroskopische magnetische
Dipolmoment µm pro Volumen V des Materials und gegeben durch
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M=
µm
1 X
1
χm B 0 ,
=
µi =
V
V
µ0
(2)
i
wobei µi das magnetische Dipolmoment des Atoms i, (i = 1, . . . , N ) und µ0 die magnetische
Feldkonstante bedeuten.
3.2 Dipol im Magnetfeld
Auf einen magnetischen Dipol µ im homogenen Magnetfeld B wirkt, analog zum elektrischen
Dipol im homogenen elektrischen Feld, keine Kraft, aber ein Drehmoment
MD = µ × B ,
(3)
das bewirkt, dass sich das Moment parallel zum Feld einstellt. Die Wechselwirkungsenergie
beträgt
E = −µ · B ,
(4)
was eine stabilen Zustand für µ k B ergibt.
Im inhomogenen Feld wirkt auf den Dipol aber eine Kraft:
F = −∇E = ∇ (µ · B) = (µ · ∇) B + µ × (∇ × B)
(5)
3.3 Paramagnetismus
Atome mit einem ungepaarten Elektron haben einen resultierenden Gesamtdrehimpuls j und
damit verknüpft ein magnetisches Moment
µ = −gµB
j
~
(6)
Es bedeuten dabei g den Landé-Faktor, µB das Bohrsche Magneton und ~ = h/(2π) die auf 2π
normierte Heisenbergkonstante. Im feldlosen Zustand sind die einzelnen magnetischen Momente
nicht korreliert, so dass ein makroskopisches Stück dieses Materials unpolarisiert ist.
In einem äusseren Magnetfeld würden sich die einzelnen magnetischen Momente zwar gemäss
Gl. (4) parallel zum Feld ausrichten, werden dabei aber immer wieder durch Stösse von Nachbaratomen daran gehindert. Es bildet sich dadurch ein Gleichgewichtszustand.
Wir untersuchen hierzu den einfachen Fall für ein Spin-1/2-System. Das magnetische Moment
des Elektrons beträgt
√
3
µB mit gs ≈ 2
(7)
µ = gs
2
Der Spin kann nur einen der beiden Werte ms = ±1/2 annehmen. Der energetisch günstigere ist
ms = −1/2, da der Spin bei einem negativen Teilchen entgegengesetzt zum magnetischen MoPhysikdepartement ETH Zürich
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Tabelle 1: Magnetische Suszeptibilität verschiedener Stoffe
Paramagnetika
Material
109 χm
O2 (flüssig) 3 600 000
Pt
250 000
Al
24 000
O2 (Gas)
1 500
Diamagnetika
Material
109 χm
N2 (Gas)
−6,75
Bi
−150 000
Au
−29 000
Cu
−10 000
H2 O
−7 000
ment ausgerichtet ist.
Die Energie der beiden Zustände beträgt
E± = ±µB
(8)
Bei konstanter Temperatur T ergibt sich aus der Boltzmannstatistik die Besetzungswahrscheinlichkeit des jeweiligen Zustands:
E±
p± =
e− kT
E
+
− kT
e
E
−
− kT
(9)
+e
Mit der Teilchendichte dn/dV erhält man daraus die Magnetisierung M : Besetzungswahrscheinlichkeit des jeweiligen Zustands:
M=
gs µB dn (p− − p+ )
·
2 dV (p− + p+ )
(10)
Für µB kT kann man die Reihenentwicklung der Exponentialfunktionen in Gl. (9) in 1.
Ordnung abbrechen und erhält in dieser Näherung
M=
gs2 µ2B dn B
·
4 dV kT
(11)
Die Magnetisierung ist damit proportional zum äusseren Feld und umgekehrt proportional zur
Temperatur.
Kehrt man die Feldrichtung um, so kehrt sich auch die Magnetisierung um, so dass die Wechselwirkungsenergie ihr Vorzeichen gemäss Gl. (4) nicht ändert. Deshalb wird das paramagnetische
Material stets zum stärkeren Feld hingezogen.
3.4 Diamagnetismus
Im Gegensatz zum Paramagnetismus tritt der Diamagnetismus in jedem Material auf. Er beruht
auf der Bewegung der Hüllenelektronen im Magnetfeld, die als Kreisstrom eine dem äusseren
Feld entgegengesetzte Magnetisierung hervorruft, so dass für die magnetische Suszeptibilität
χm < 0 gilt. Gemäss Gl. (4) wird das Material aus dem starken Feld herausgedrängt. Wie beim
Paramagnetismus ist dieser Effekt unabhängig von der Feldrichtung. Tabelle 1 gibt Werte von
χm für verschiedene Materialien an.
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