Vorlesungsblatt 8, Dia-, Para und Ferromagnetismus
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Prof. Dr. F. Koch Dr. H. E. Porteanu [email protected] [email protected] SS 2005 HÖHERE PHYSIK – SKRIPTUM VORLESUNGBLATT VIII – 16.06.05 Festkörperphysik XI – Dia-, Para- und Ferromagnetismus In Gegenwart von magnetischer Materie ist µ0=4π×10-7 mks Einheiten B=µµ0H wobei das µ die Magnetisierung der Materie beinhaltet. Man schreibt µ = 1+ χ = 1+ µ0M B Da χ immer sehr klein ist (~10-5), braucht man nicht zwischen dem extern angelegten und dem internen B-Feld zu unterscheiden (für Dia- und Paramagnetismus). Substanzen, für die die Suszeptibilität χ>0 ist, sind paramagnetisch. Wenn χ<0 ist, dann ist die Substanz diamagnetisch. Man kann diese beiden Fälle leicht unterscheiden durch Messungen der Kraft, die ein inhomogenes B-Feld auf die Materie ausübt. Diamagneten werden vom Feld abgestoßen. Paramagneten in das Feld eingezogen. Langevin Diamagnetismus Charakteristisch für Atome mit geschlossenen Elektronenschalen, wie die Edelgaskristalle, ist dieser Mechanismus. Das angelegte B-Feld ändert die Umlauffrequenz aller Elektronen um den Betrag der Larmor Präzession ωL = eB 2m Der extra Strom für Z Elektronen ist I = Ze eB 4πm Die dadurch entstehende Magnetisierung M ist das Produkt von N und dem magnetischen Dipolmoment eines jeden Atoms (ur = IxA = Iπ ρ ). Man erhält 2 µ 0 M − NZe 2µ 0 2 χ= = r ~ 10 −5 mks Einheiten B 6m wobei für eine kugelförmige Verteilung von Elektronenbahnen angenommen werde, dass ρ2 = 2 2 r 3 1 Paramagnetismus Man unterscheidet den Paramagnetismus von Atomen mit Magnetmoment und den Paramagnetismus freier Elektronen (Pauli Paramagnetismus). Atome mit Magnetmoment orientieren sich im B-Feld so, dass sich die mJ Werte von –J bis +J einstellen. Für den einfachsten Fall J=1/2 sind das die zwei Orientierungen in der Abbildung. Die Besetzungen sind nach Boltzmann zu berechnen als ⎛ µB ⎞ exp⎜ ⎟ N1 kT ⎠ ⎝ = N ⎛ µB ⎞ ⎛ µB ⎞ exp⎜ ⎟ + exp⎜ − ⎟ ⎝ kT ⎠ ⎝ kT ⎠ ⎛ µB ⎞ exp⎜ − ⎟ N2 kT ⎠ ⎝ = N ⎛ µB ⎞ ⎛ µB ⎞ exp⎜ ⎟ + exp⎜ − ⎟ ⎝ kT ⎠ ⎝ kT ⎠ ⎛ µB ⎞ M = (N1 − N 2 )µ = Nµ tanh⎜ ⎟ ⎝ kT ⎠ Die Magnetisierung ist Für klein x ist tanhx~x so dass und Nµ 2 B M≅ kT µ 0 Nµ 2 χ= kT 2 das ist generell nach Curie von der Form χ= C T und gilt für alle Paramagneten mit beliebigem J. Auch klassisch, wenn alle Richtungen der Einstellung möglich sind (J groß) gilt die Formel C . T Kühlung mit Paramagneten durch adiabatische Demagnetisierung Im Diagramm ist dargestellt, wie man mit Hilfe eines paramagnetischen Salzes eine Kühlung erreichen kann Paramagnetismus freier Elektronen nach Pauli berechnet man den Betrag der Spins zum Paramagnetismus unter Berücksichtigung der Fermi-Statistik dadurch, dass man die effektive Anzahl der Spins durch den Faktor T/TF berücksichtigt. Somit ist Nµ 2 B T Nµ 2 B M≅ ⋅ = kT TF kTF Die Suszeptibilität ist damit T-unabhängig. Die beiliegende Abb. und die Gleichung zeigen, wie es professionell mit Hilfe der Zustandsdichte und Fermi-Durac Statistik berechnet wird. 3 4 Ferromagnetismus Neben dem relativ schwachen Dia- und Paramagnetismus (zur Erinnerung χ ~ 10-4) existiert auch ein „starker“ magnetischer Effekt in einigen Substanzen. Dieser Ferromagnetismus (z.B. Eisen, Kobalt, Nickel) führt bei niedrigen T zu geordneten Spin-Systemen und einem permanenten Magnetmoment. Im ferromagnetischen Zustand bedarf es keines angelegten Feldes B, um eine Magnetisierung zu erzeugen. Für diesen Fall ist der Einfluss benachbarter Magnetmomente auf jedes e r⎞ ⎛r einzelne elektronische Magnetmoment ⎜ m = g ⋅S ⎟ 2m ⎠ ⎝ wesentlich. Die hier implizierte Spin-Spin Wechselwirkung ist ein quantenmechanischer Effekt und nicht die magnetische Dipol-Dipol Kopplung. Man unterscheidet verschiedene Arten der geordneten magnetischen Systeme Curie Temperatur und Austauschwechselwirkung Im paramagnetischen Bereich oberhalb der Ordnungstemperatur Tc gilt, dass die Magnetisierung von N Atomen geschrieben wird als das Produkt von einem Suszeptibilitätsfaktor C T (wie im Curie Gesetz) und dem gesamten, lokalen Feld r r µ o M = µ o Nm = ( r C r B + λµ o M T ) Der Term λ mal µ o M ist der Betrag der anderen, magnetisierten Atome zu dem Feld, das die Magnetisierung erzeugt. Der Faktor λ ist noch zu bestimmen. Dieser Ansatz besagt, dass der Einfluss der anderen proportional zu deren Magnetisierung ist. Es folgt aus obiger Gleichung µ o M (T − Cλ ) = CB 5 und χ≡ µo M B = C C = T − Cλ T − TC mit der Curie Temperatur TC=C λ Die Suszeptibilität ist wie im Curie Gesetz aber divergiert nicht bei T=0 sondern T=TC. Es ist das Curie-Weiss Gesetz. λ ist der Parameter für das Weiss’sche Molekularfeld. Was ist λ ? Wir schätzen ab mit χ= C ≈ 10− 4 wie vorher bei dia- und paramagnetischen Systemen im 300°C Bereich, T λ= 1000 K TC ≈ −4 ≈ 30000 C 10 × 3 × 102 K Dieses molekulare Feld λ M ist um ein Vielfaches mehr als die Sättigungsmagnetisierung, weil die Wechselwirkung nicht magnetischer Natur ist. Die Heisenberg’sche Austauschwechselwirkung ist ein Effekt der elektrostatischen Energie für zwei Atome, die nur die Form einer Spinabhängigkeit hat r r U = −2 JSi ⋅ S j Das Austauschintegral J ist proportional zur kritischen Temperatur TC; in etwa gilt J ≈ kTC Hier ist eine Tabelle von einigen ferromagnetischen Kristallen mit Werten der Curie Temperatur Tc und Sättigungsmagnetisierung. 6 Anregungszustände der Ferromagneten sind Spinwellen (Magnonen) die jeweils die Sättigungsquantisierung um ein Quant reduzieren. Dies entspricht dem Umklappen eines Spins mit S=1/2. Die Spinwellen haben ein Spektrum mit Dispersion hω = 4 JS (1 − cos ka ) . Durch Anregung dieser Moden bei Temperatur T reduziert sich die Magnetisierung wie in der Figur: 7
